解决问题的策略
【知识点梳理】
一、常见的解决问题的策略
1. 画图。
(1)用画图的方式来解决问题。
(2)作用:①通过画图列举出所有的情况。②通过画图直观理解所学内容。③通过画图分析数量间的关系。
2. 列表。
(1)运用表格整理信息、分析数量关系。
(2)作用:①通过列表整理信息,进行推理。②通过列表分析数量间的关系,寻找规律。
3. 猜想与尝试。
(1)对所求问题进行合理猜测,在尝试解决的过程中不断作出调整,直至求出解。
(2)作用:通过猜测所有可能的情况,并对这些情况分别进行检验,最终得到问题的结果。
4. 从特例开始寻找规律。
(1)在解决复杂的问题时,退一步去考虑简单的情形,由最简单的问题的解决方法推广至较复杂的问题情形,总结出规律,使复杂问题简单化。
(2)作用:把复杂的问题简单化。
人们在解决实际问题的过程中用到的策略不止上面这四种,还有逻辑推理、列方程、转化法、倒推法……有时在解决问题时会同时运用两种或多种策略。
【重难点分类解析】
重难点一:用转化的策略解决问题
1.冬冬收集的画片张数是丁丁的,如果丁丁送给冬冬15张画片,那么两人的画片张数一样多。原来丁丁收集了多少张画片
2.学校甲、乙两个运动队的人数比是5:3,如果从甲队调4人到乙队,那么甲、乙两队的人数比是3:2。两队共有多少人
3.兄弟三人投资办厂,老大投资的钱数是其他两人和的一半,老二投资的钱数是其他两人和的,老三投资了200万元。兄弟三人一共投资了多少万元
重难点二:用假设的策略解决问题
1.一个停车场共有摩托车和小轿车12辆,它们共有40个轮子。这个停车场摩托车和小轿车各有多少辆
2.自行车越野赛全程220千米,全程被分为20个路段,其中一部分路段长是14千米,其余的长是9千米。长是9千米的路段有多少个
3.有三种昆虫:蜘蛛、蜻蜓和蝉。蜘蛛有8条腿,蜻蜓有6条腿和2对翅膀,蝉有6条腿和1对翅膀(退化的1对翅膀不计)。现在这三种昆虫有17只,120条腿和11对翅膀。每种昆虫各有多少只
重难点三:用“组合法”解工程问题
一项工程,甲、乙两队合作15天完成,若甲队做5天,乙队做3天,只能完成工程的,乙队单独完成全部工程需要几天?
2、一项工程,甲队独做12天可以完成。甲队先做了3天,再由乙队做2天,则能完成这项工程的。现在甲、乙两队合做若干天后,再由乙队单独做。做完后发现两段所用时间相等。求两段一共用了几天?
3、移栽西红柿苗若干棵,如果哥、弟二人合栽8小时完成,先由哥哥栽了3小时后,又由弟弟栽了1小时,还剩总棵数的没有栽,已知哥哥每小时比弟弟每小时多栽7棵。共要移栽西红柿苗多少棵?
【思维训练】不定方程
1.加法不定方程
例:方程3x+5y=49有多少组正整数解?分别是多少?
方法归纳
1.将不定方程适当变形,把其中一个未知数用另一个未知数表示,根据限制条件通过收举法试验求解。
2.如果不定方程的系数不互质,可以先化简不定方程,等式两边同时除以系数的最大公因数,得到ax+by=m(a、b互质)再求解。
举一反三
1.求7x+4y=89的正整数解。
2.有一根长58米的电线,现在要把它分割成9米和4米两种长度的电线,且恰好没有剩余,有多少种不同的分割方法?
3.大客车有48个座位,小客车有30个座位。现有306名旅客,要使每名旅客都有座位且车上无空位,需要大、小客车各多少辆?
4.思思和维维共有88本书,其中思思的书中有是科普书,维维的书中有是科普书,那么两个人各有多少本科普书?
2.减法不定方程
例:自然数x、y满足:35x-10y=15+15y,其中y介于20和30之间。求x、y的值。
方法归纳
1.将减法不定方程适当变形,把其中一个未知数用另一个未知数表示,根据限制条件通过收举法试验求解。
2.化简不定方程:如果系数不互质,则等式两边同时除以系数的最大公因数,得到ax-by=m(a、b互质)。
3.收举得到范围内的解时,一般收举系数较大的未知数,从最小值开始试解,计算另一个未知数验证是否满足条件,从而得到一组限制条件内的解。
举一反三
1.自然数x、y满足5x-3y=23,求x、y最小的三组解。
2.自然数x、y满足7x-5y=37,且x在13和17之间。此时y等于多少?
3.一杯橙汁6元,一杯葡萄汁9元,买橙汁总共比买葡萄汁多花了12元。那么橙汁可能买了
几杯?葡萄汁可能买了几杯?请写出三种可能的情况。
【家作】
一、细心填写。
1.一个等腰三角形的周长是84厘米,且它的底边长是腰长的,则该等腰三角形的底边长是( )厘米。
2.商场有冰箱和洗衣机共235台。若冰箱卖出后比洗衣机还多5台,则冰箱原来有( )台。
3.一套课桌椅共300元,其中椅子的价钱比桌子少。桌子的单价是( )元/张。
4.张老师为课外兴趣小组的同学买书,他带的钱正好可以买15本《趣味作文》或24本《奥林探秘》。如果张老师买了10本《趣味作文》后,剩下的钱全部买《奥林探秘》,可以买( )本。
5.六年级(3)班的王老师和李老师带36名学生去公园划船,一共租了8条船。每条大船坐6人,每条小船坐4人。租用的大船有( )条,小船有( )条。
6.张师傅加工一批零件,已经加工了这批零件的25%,如果他再加工36个零件,那么已经加工的零件个数与未加工的零件个数的比是2:3。这批零件共有( )个。
7.工地上有三堆沙子,共120吨。其中A堆沙子的质量是B堆的,同时也是C堆的,则A堆沙子重( )吨,B堆沙子重( )吨,C堆沙子重( )吨。
二、解决问题。
1.甲、乙、丙三人一共储蓄35万元,甲的钱数是乙的,乙的钱数是丙的。三人各储蓄多少万元
2.一项工作,甲、乙、丙3人合做6小时可以完成。如果甲工作6小时后,乙、丙合做2小时,可以完成这项工作的;如果甲、乙合做3小时后,丙做6小时,也可以完成这项工作的。如果由甲、丙合做,需几小时完成?
3.有三堆围棋子,每堆数量都是120枚。第一堆的白子和第二堆的黑子一样多,第三堆白子是黑子的。三堆围棋子一共有白子多少枚
4.小军玩抛硬币的游戏,规则是将一枚硬币抛起,落下后正面朝上就向前走15步,背面朝上就向后退10步。小军一共抛了10次硬币,结果向前走了50步。硬币背面朝上多少次
5.一条公路,甲队独修24天可以完成,乙队独修30天可以完成。先由甲、乙两队合修4天,再由丙队参加一起修7天后全部完成。如果由甲、乙、丙三队同时开工修这条公路,几天可以完成?
拓展提优。
1.一个盒子里装有蓝球和白球若干个,其中蓝球的个数是白球个数的。取走24个蓝球,添进12个白球后,蓝球的个数是白球个数的。现在蓝球和白球各有多少个
2.自然数x、y满足15x+40y=200,求x、y的值。
3.一次数学知识竞赛中,规定做对一道题得8分,做错一道题扣3分,不做不得分,一共有15道题,思思最后得了47分,那么思思做对了多少道题?做错了多少道题?
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