苏教版六年级下册数学正比例、反比例（讲义）

正比例、反比例
【知识点梳理】
一、正比例
1.两种相关联的量, 一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商) 一定,这两种量就是成正比例的量,它们的关系就叫作成正比例关系。
2.如果用字母x和y表示两种相关联的量,用k表示它们的比值( 一定).正比例关系可以表示为X=k(一定)。
3.判断两种量是否成正比例的方法:先判断这两种量是不是相关联的量再看这两种量相对应的两个数的比的比值是否定,比值-定,这两种量成正比例;反之,不成比例。
4.正比例图像是一条经过原点的直线。从图像中可以直观地看出两种量的变化情况,由一种量的值可以直接找到对应的另一种量的值。
二、反比例
1.两种相关联的量, 一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就是成反比例的量,它们的关系就叫作成反比例关系。
2.如果用字母x和y表示两种相关联的量,用k表示它们的积(一定),反比例关系可以表示为xy=k(-定)。
3.根据反比例的意义判断两种量成反比例的条件:（1）两种量是相关联的量。一种量变化,另-种量也随着变化。（2）两种量中相对应的两个数的积一定。
【重难点分类解析】
重难点一：正比例的意义与图像
1、用相同的圆柱形杯子装水，水的体积和水的高度如下表。
（1）写出三组相对应水的体积和水的高度的比，求出比值，并比较比值的大小。
（2）这个比值表示的实际意义是什么 你能用式子表示这几个量之间的关系吗
（3）水的体积和水的高度成正比例吗 为什么
2、下面的图像表示奇奇和贝贝写大字的个数和天数的关系。
（1）奇奇写大字的个数和天数成（　　　）比例；贝贝写大字的个数和天数成（　　　）比例。
（2）估一估，7天奇奇共写了（　　　）个大字，贝贝写了（　　　）个大字。
（3）从图像上看，（　　　）每天写大字的个数多一些。
3、右图表示斑马和长颈鹿的奔跑情况。
（1）（　　　）分钟时，它们相距8千米。
（2）奔跑24千米斑马比长颈鹿少用（　　　）分钟。
（3）斑马和长颈鹿的速度比是（　　　）。
重难点二：反比例的意义
1、张老师用60元购买笔记本，笔记本的单价和数量的情况如下表。
（1）把表格填写完整。
（2）笔记本的单价和数量成反比例吗 为什么
重难点三：正、反比例
1、下面各题中的两种量是否成比例 成比例的是成正比例还是成反比例 （在括号里填“成正比例”“成反比例”或“不成比例”）
（1）长方形的长一定，面积和宽。（　　　） （2）长方形的周长一定，长和宽。（　　　）
（3）工作总量一定，工作时间和工作效率。（　　　）
2、下面算式中的两种量是否成比例 成比例的是成正比例还是成反比例 （在括号里填“成正比例”“成反比例”或“不成比例”）
（1）a:5 = 8:b，a和b。（　　　） （2）4a - 5b = 0，a和b。（　　　）
（3）4a - 5b = 10，a和b。（　　　）
3、下表中，若x和y成正比例，则空格里的数是（　　　）；若x和y成反比例，则空格里的数是（　　　）。
4、下表中，若x、y两个量成正比例，则a = （　　　），b = （　　　）；若x、y两个量成反比例，则a = （　　　），b = （　　　）。
5、先判断下表中的两种量成什么比例，再填表。
（1）x和y成（　　　）比例。 （2）x和y成（　　　）比例。
重难点四：利用正、反比例解决问题
1、奇奇买6本笔记本用了30元，毛毛想买4本同样的笔记本，需要用多少钱
2、一辆汽车匀速行驶，行驶240千米，需要3小时；如果行驶500千米，那么需要几小时 （用比例解答）
某加工厂做一批零件，计划每天加工200个，20天可以完成，实际每天多加工50个，实际需要多少天完成 （用比例解答）
【思维训练】
1.正比例在行程问题中的应用
例：思思和维维参加百米赛跑，维继还有10米到达终点，思思还有28米到达终点。照这样的速度，当维维到达终点时，思思距离终点还有多少米？
方法归纳：
1.找出行程问题中相同的量:若时间相同，路程与速度成正比例关系，路程比＝速度比;若速度相同，路程与时间成正比例关系，路程比＝时间比。
2.根据已知条件和要求的问题，路程比、时间比和速度比在解题过程中有时要进行多次转化。
举一反三
1.乐乐从甲地去乙地需要10分钟，从乙地去丙地需要22分钟，已知甲、乙两地之间的距离是1000米，那么乙、丙两地之间的距离是多少米？（假设乐乐的速度不变）
2.甲、乙两车的速度比是5:7，两车同时从A、B两地相对出发，相遇时甲车比乙车少走了18千米，那么A、B两地相距多少千米？
3.甲、乙两人同时从马路两端出发，相向而行，两人的速度比为3:2。已知马路总长600米，当甲、乙两人相遇时，甲走了多少米？
2.反比例在行程问题中的应用
例：乐乐从家步行去学校，如果每分钟走120米，将比预定时间早到5分钟;如果每分钟走90米，则比预定时间晚到3分钟。乐乐家距离学校有多远？
方法归纳：
1.路程相同时，速度和时间成反比例关系。
2.根据题中需要计算的量来确定需要找出的比，也可以根据题中可以找出的比来思考可以计算的量。
举一反三
1.乐乐和天天赛跑，两人的速度比是11:8，结果天天比乐乐晚6秒钟到达终点，那么乐乐到达终点用了多长时间？
2.刘叔叔步行、骑自行车和骑电动车的速度之比为2:5:6。同一段路程，骑电动车可以比骑自行车早到18分钟。已知刘叔叔步行的速度是5千米/时，那么这段路程全长是多少千米？
3.乐乐和天天9:20分别从自己家出发，相向而行，9:50相遇，天天10:10到达乐乐家，那么乐乐什么时候到达天天家？（天天、乐乐全程速度不变）
【家作】
细心填写。
1.正比例与反比例的不同点是成正比例的两种量中相对应的两个数的（　　　）一定；成反比例的两种量中相对应的两个数的（　　　）一定。
2.甲、乙是两种相关联的量，当甲扩大到原来的10倍，乙也随着扩大到原来的10倍时，甲与乙成（　　　）比例；当甲扩大到原来的10倍，乙却随着缩小到原来的时，甲与乙成（　　　）比例。
3.在圆锥的体积、底面积和高三个量中，当圆锥的体积一定时，圆锥的底面积和高成（　　　）比例；当圆锥的底面积一定时，圆锥的体积和高成（　　　）比例；当圆锥的高一定时，圆锥的体积和底面积成（　　　）比例。
4.下表中，若x和y成正比例，则a = （　　　），b = （　　　）。
若x和y成反比例，则a = （　　　），b = （　　　）。
5.下图表示甲、乙两个车间加工零件数与时间的关系。
（1）从图像中可以看出，甲、乙两个车间生产的零件数与时间成（　　　）比例。
（2）根据图像判断，如果生产10万个零件，那么乙车间比甲车间要多用（　　　）个月。
（3）根据图像判断，甲车间半个月生产（　　　）万个零件。
6.若Y = ，则X和Y成（　　　）比例；若Y﹦，则X和Y成（　　　）比例。
7.录入一份稿件，每分钟录入的字数和所需时间成（　　　）比例；总加工时间一定，加工每个零件用的时间和加工零件个数成（　　　）比例。
8.锯一根粗细均匀的钢筋，根据已有数据，请将下表补充完整。
（1）表中（　　　）与（　　　）两种量成（　　　）比例。
（2）如果要把一根18米长的这样的钢筋锯成6分米长的小段，需要（　　　）分钟。
解比例。
2.5:x = 0.5:10 5:8 = 8:x :x = : = = :
五、解决问题。
1.四名同学到超市购买练习本。
（1）如果他们都带了6元钱，买不同的练习本，练习本的单价和购买的数量成什么比例 为什么
（2）如果他们都是买单价是0.6元/本的练习本，购买的数量和总价成什么比例 为什么
3.下图表示笑笑和同学们用自制的皮筋秤称量物体时，称量物体的质量与皮筋长度的变化情况。（皮筋秤最多可称2000 g物体）
（1）在皮筋秤称重范围内，称量物体的质量与（　　　）成正比例。
（2）用这个皮筋秤称700 g物体时，皮筋长（　　　）cm。
（3）笑笑用这个皮筋秤称一袋糖果时，皮筋长25 cm，这袋糖果的质量是多少
拓展提优
1.王明、刘铭、李亮三人进行百米赛跑，王明冲刺到终点时，领先刘铭10米，领先李亮15米。如果刘铭和李亮按原来的速度继续冲向终点，那么当刘铭到达终点时，李亮差（　　　）米到达终点。
2.甲、乙两车同时从A，B两地出发，相向而行，6小时后相遇，相遇后继续前行，甲车又行驶了5小时到达B地，这时乙车离A地还有150千米，A，B两地相距多少千米
3.甲、乙两个圆柱形容器的底面积之比是4:3，甲容器中水深7厘米，乙容器中水深3厘米，往这两个容器中注入同样多的水，直到它们水深相等，这时甲容器中的水面上升多少厘米
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