第二章 专题强化10　电磁感应中的动量问题 学案（学生版+教师版）—2024年春高中物理人教版选择性必修二

专题强化10　电磁感应中的动量问题
[学习目标]　
1.会用动量定理、动量守恒定律分析电磁感应的有关问题(重难点)。
2.进一步掌握动量定理、动量守恒定律、能量守恒定律等基本规律(重难点)。
一、动量定理在电磁感应中的应用
如图所示，水平固定且足够长的光滑U形金属导轨处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，在导轨上放置金属棒。定值电阻的阻值为R，金属棒的电阻为r，导轨宽度为L。若棒分别以初速度v0、2v0向右运动。
(1)请分析棒的运动情况；
(2)两种情况下，从棒开始运动至棒停止过程中，通过R的电荷量q1、q2之比为多少？
(3)两种情况下，从棒开始运动至棒停止时的位移x1、x2之比为多少？
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在导体单棒切割磁感线做非匀变速运动时，若牛顿运动定律、能量观点不能解决问题，可运用动量定理求解。
导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时，
安培力的冲量为I安＝BLt＝BLq，
通过导体棒或金属框的电荷量为q＝Δt＝Δt＝n·Δt＝n，
磁通量变化量：ΔΦ＝BΔS＝BLx。
如果安培力是导体棒或金属框受到的合外力，则I安＝mv2－mv1。
例1　(2022·无锡市江阴高级中学高二月考)如图所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN和PQ，两导轨间距为L，导轨电阻均可忽略不计。在M和P之间接有一阻值为R的定值电阻，导体杆ab质量为m、电阻也为R，并与导轨接触良好。整个装置处于方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。现给ab杆一个初速度v0，使杆向右运动，最终ab杆停在导轨上。下列说法正确的是(　　)
A．在整个过程中，ab杆将做匀减速运动直到静止
B．ab杆速度减为时，ab杆加速度大小为
C．ab杆速度减为时，通过定值电阻R的电荷量为
D．ab杆速度减为时，ab杆运动的位移为
针对训练　相距为L＝0.5 m的竖直光滑平行金属轨道，上端接有一阻值为R＝2 Ω的电阻，导轨间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝2 T，一根质量为m＝0.03 kg、长度也为L、电阻r＝1 Ω的金属杆，从轨道的上端由静止开始下落，下落过程中始终与导轨接触良好并保持水平，经过一段时间后金属杆匀速运动。(不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2)
(1)求金属杆匀速运动时通过的电流大小；
(2)求金属杆最终匀速运动的速度大小；
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(3)在金属杆开始下落至刚好匀速的过程中流过电阻的电荷量为q＝0.033 C，求此过程经历的时间。
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二、动量守恒定律在电磁感应中的应用
如图所示，水平面上有足够长的平行光滑金属导轨MN和PQ，导轨间距为L，电阻不计，导轨所处空间存在方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。导轨上放有质量均为m、电阻均为R的金属棒a、b。开始时金属棒b静止，金属棒a获得向右的初速度v0。
(1)试分析金属棒a、b的运动情况，两金属棒稳定后分别做什么运动？
(2)在运动过程中两金属棒受到安培力的冲量有什么关系？把两棒作为一个系统，该系统的动量怎样变化？
(3)金属棒a、b稳定后的速度；
(4)从两金属棒开始运动至稳定的过程中产生的焦耳热。
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在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力为系统内力，如果两安培力等大反向，且它们受到的外力的合力为0，则满足动量守恒条件，运用动量守恒定律求解比较方便。这类问题可以从以下三个观点来分析：
(1)动力学观点：通常情况下一个金属棒做加速度逐渐减小的加速运动，而另一个金属棒做加速度逐渐减小的减速运动，最终两金属棒以共同的速度做匀速运动。
(2)动量观点：如果光滑导轨间距恒定，则两个金属棒的安培力大小相等，通常情况下系统的动量守恒。
(3)能量观点：其中一个金属棒动能的减少量等于另一个金属棒动能的增加量与回路中产生的焦耳热之和。
在上面的问题中，求金属棒a从初速度v0到匀速的过程中，
(1)流过金属棒a的电荷量q；
(2)a和b距离的增加量Δx。
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例2　(2023·扬州市高二期中)如图所示，PMN和P′M′N′是两条足够长、相距为L的平行金属轨道，MM′左侧圆弧轨道表面光滑，右侧水平轨道表面粗糙，并且MM′右侧空间存在一方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。在左侧圆弧轨道上高为h处垂直轨道放置一导体棒AB，在右侧水平轨道上距AB棒足够远的地方，垂直轨道放置另一导体棒CD。已知AB棒和CD棒的长均为L，电阻均为R，质量分别为m和2m，AB棒与水平轨道间的动摩擦因数为μ，圆弧轨道与水平轨道平滑连接且电阻不计。现将AB棒由静止释放，让其沿轨道下滑并进入磁场区域，最终运动到距MM′为d处停下，此过程中CD棒因与轨道间存在摩擦而一直处于静止状态。重力加速度为g，求：
(1)AB棒刚进入磁场时AB棒两端的电压大小；
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(2)整个过程中AB棒上产生的焦耳热Q；
(3)若水平轨道也光滑，则从AB棒开始运动到最终处于稳定状态的过程中，通过AB棒的电荷量q为多少？
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电磁感应中不同物理量的求解策略
求加速度：动力学观点；
求焦耳热：能量观点；
系统的初、末速度关系：动量守恒定律；
求电荷量、位移或时间：动量定理。
例3　(2023·南京市六合高级中学校高二期末)如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨固定于同一水平面内，整个导轨处于竖直向下的匀强磁场中，质量均为m＝0.2 kg的导体棒MN、PQ垂直静止于平行导轨上，与导轨构成矩形闭合回路。某时刻给导体棒MN一个水平向右的瞬时冲量I＝0.4 N·s，则从此时至PQ达到最大速度的过程中，回路中产生的焦耳热为(　　)
A．0.1 J B．0.2 J
C．0.3 J D．0.4 J
专题强化10　电磁感应中的动量问题
[学习目标]　1.会用动量定理、动量守恒定律分析电磁感应的有关问题(重难点)。2.进一步掌握动量定理、动量守恒定律、能量守恒定律等基本规律(重难点)。
一、动量定理在电磁感应中的应用
如图所示，水平固定且足够长的光滑U形金属导轨处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，在导轨上放置金属棒。定值电阻的阻值为R，金属棒的电阻为r，导轨宽度为L。若棒分别以初速度v0、2v0向右运动。
(1)请分析棒的运动情况；
(2)两种情况下，从棒开始运动至棒停止过程中，通过R的电荷量q1、q2之比为多少？
(3)两种情况下，从棒开始运动至棒停止时的位移x1、x2之比为多少？
答案　(1)金属棒受到向左的安培力F安＝＝ma，金属棒速度减小，加速度减小，棒做加速度减小的减速运动，最终静止。
(2)当棒的初速度为v0时，由动量定理可得－BLt＝0－mv0，q1＝t，解得q1＝，同理可得q2＝，得＝。
(3)q1＝，ΔΦ＝BΔS＝BLx1，可得q1＝，x1＝，同理可得x2＝
得＝＝。
在导体单棒切割磁感线做非匀变速运动时，若牛顿运动定律、能量观点不能解决问题，可运用动量定理求解。
导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时，
安培力的冲量为I安＝BLt＝BLq，
通过导体棒或金属框的电荷量为q＝Δt＝Δt＝n·Δt＝n，
磁通量变化量：ΔΦ＝BΔS＝BLx。
如果安培力是导体棒或金属框受到的合外力，则I安＝mv2－mv1。
例1　(2022·无锡市江阴高级中学高二月考)如图所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN和PQ，两导轨间距为L，导轨电阻均可忽略不计。在M和P之间接有一阻值为R的定值电阻，导体杆ab质量为m、电阻也为R，并与导轨接触良好。整个装置处于方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。现给ab杆一个初速度v0，使杆向右运动，最终ab杆停在导轨上。下列说法正确的是(　　)
A．在整个过程中，ab杆将做匀减速运动直到静止
B．ab杆速度减为时，ab杆加速度大小为
C．ab杆速度减为时，通过定值电阻R的电荷量为
D．ab杆速度减为时，ab杆运动的位移为
答案　D
解析　设导体杆在整个过程中某一时刻的速度为v，ab杆的电流和受力方向如图所示
感应电动势为E＝BLv，感应电流为I＝，受到的安培力为F＝BIL＝，ab杆的加速度大小为a＝＝，结合ab杆的初速度和安培力的方向可知，ab杆做加速度逐渐减小的减速运动，A错误；ab杆速度减为时，加速度大小为a＝，B错误；对ab杆运用动量定理－BLΔt＝mv－mv0，其中＝＝＝，q＝Δt，可得q＝，x＝，ab杆速度v＝时，通过定值电阻R的电荷量为q＝，ab杆运动的位移为x＝，C错误，D正确。
针对训练　相距为L＝0.5 m的竖直光滑平行金属轨道，上端接有一阻值为R＝2 Ω的电阻，导轨间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝2 T，一根质量为m＝0.03 kg、长度也为L、电阻r＝1 Ω的金属杆，从轨道的上端由静止开始下落，下落过程中始终与导轨接触良好并保持水平，经过一段时间后金属杆匀速运动。(不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2)
(1)求金属杆匀速运动时通过的电流大小；
(2)求金属杆最终匀速运动的速度大小；
(3)在金属杆开始下落至刚好匀速的过程中流过电阻的电荷量为q＝0.033 C，求此过程经历的时间。
答案　(1)0.3 A　(2)0.9 m/s　(3)0.2 s
解析　(1)由题意可知，当金属杆所受重力等于安培力的时候，金属杆做匀速运动，则有mg＝BIL
解得I＝＝0.3 A；
(2)根据BLv＝IR＋Ir，解得v＝0.9 m/s；
(3)对金属杆，根据动量定理可得mgt－BL·t＝mv－0
又q＝t，代入数据解得t＝0.2 s。
二、动量守恒定律在电磁感应中的应用
如图所示，水平面上有足够长的平行光滑金属导轨MN和PQ，导轨间距为L，电阻不计，导轨所处空间存在方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。导轨上放有质量均为m、电阻均为R的金属棒a、b。开始时金属棒b静止，金属棒a获得向右的初速度v0。
(1)试分析金属棒a、b的运动情况，两金属棒稳定后分别做什么运动？
(2)在运动过程中两金属棒受到安培力的冲量有什么关系？把两棒作为一个系统，该系统的动量怎样变化？
(3)金属棒a、b稳定后的速度；
(4)从两金属棒开始运动至稳定的过程中产生的焦耳热。
答案　(1)金属棒a向右运动切割磁感线，根据右手定则可知在回路中产生逆时针方向的感应电流，根据左手定则可知，a棒受到向左的安培力，b棒受到向右的安培力，a棒在安培力作用下做减速运动，b棒在安培力作用下做加速运动，b棒切割磁感线产生顺时针方向的感应电流；两棒的速度差减小，总电动势E＝BL(va－vb)减小，感应电流减小，安培力减小，加速度减小，即a做加速度减小的减速直线运动，b做加速度减小的加速直线运动，两金属棒稳定后均做匀速直线运动。
(2)两金属棒所受安培力冲量等大反向，系统的合外力为零，两棒组成的系统动量守恒。
(3)设最终达到的共同速度为v，由动量守恒定律得mv0＝2mv，解得va＝vb＝。
(4)根据能量守恒定律，整个过程产生的焦耳热Q＝mv02－(2m)·v2＝。
在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力为系统内力，如果两安培力等大反向，且它们受到的外力的合力为0，则满足动量守恒条件，运用动量守恒定律求解比较方便。这类问题可以从以下三个观点来分析：
(1)动力学观点：通常情况下一个金属棒做加速度逐渐减小的加速运动，而另一个金属棒做加速度逐渐减小的减速运动，最终两金属棒以共同的速度做匀速运动。
(2)动量观点：如果光滑导轨间距恒定，则两个金属棒的安培力大小相等，通常情况下系统的动量守恒。
(3)能量观点：其中一个金属棒动能的减少量等于另一个金属棒动能的增加量与回路中产生的焦耳热之和。
在上面的问题中，求金属棒a从初速度v0到匀速的过程中，
(1)流过金属棒a的电荷量q；
(2)a和b距离的增加量Δx。
答案　(1)由动量定理得－BLΔt＝m－mv0 ，q＝Δt
解得q＝
(2)根据电荷量的推论公式q＝＝，解得a和b距离的增加量Δx＝＝。
例2　(2023·扬州市高二期中)如图所示，PMN和P′M′N′是两条足够长、相距为L的平行金属轨道，MM′左侧圆弧轨道表面光滑，右侧水平轨道表面粗糙，并且MM′右侧空间存在一方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。在左侧圆弧轨道上高为h处垂直轨道放置一导体棒AB，在右侧水平轨道上距AB棒足够远的地方，垂直轨道放置另一导体棒CD。已知AB棒和CD棒的长均为L，电阻均为R，质量分别为m和2m，AB棒与水平轨道间的动摩擦因数为μ，圆弧轨道与水平轨道平滑连接且电阻不计。现将AB棒由静止释放，让其沿轨道下滑并进入磁场区域，最终运动到距MM′为d处停下，此过程中CD棒因与轨道间存在摩擦而一直处于静止状态。重力加速度为g，求：
(1)AB棒刚进入磁场时AB棒两端的电压大小；
(2)整个过程中AB棒上产生的焦耳热Q；
(3)若水平轨道也光滑，则从AB棒开始运动到最终处于稳定状态的过程中，通过AB棒的电荷量q为多少？
答案　(1)BL　(2)mg(h－μd)　(3)
解析　(1)AB棒刚进入磁场时，根据机械能守恒定律得mgh＝mv2
此时感应电动势为E＝BLv
AB棒两端的电压为UAB＝BLv＝BL
(2)AB棒进入磁场后，根据动能定理得
W安－μmgd＝0－mv2
回路中产生的焦耳热Q总＝－W安
又因两导体棒电流相等，电阻相同，则AB棒上产生的焦耳热
Q＝mg(h－μd)
(3)若水平轨道也光滑，根据系统动量守恒得
mv＝(m＋2m)v共
对AB棒，由动量定理可得
－BLΔt＝mv共－mv
又通过AB棒的电荷量
q＝Δt
解得q＝。
电磁感应中不同物理量的求解策略
求加速度：动力学观点；
求焦耳热：能量观点；
系统的初、末速度关系：动量守恒定律；
求电荷量、位移或时间：动量定理。
例3　(2023·南京市六合高级中学校高二期末)如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨固定于同一水平面内，整个导轨处于竖直向下的匀强磁场中，质量均为m＝0.2 kg的导体棒MN、PQ垂直静止于平行导轨上，与导轨构成矩形闭合回路。某时刻给导体棒MN一个水平向右的瞬时冲量I＝0.4 N·s，则从此时至PQ达到最大速度的过程中，回路中产生的焦耳热为(　　)
A．0.1 J B．0.2 J
C．0.3 J D．0.4 J
答案　B
解析　导体棒PQ达到最大速度时，两棒速度相等，做匀速运动，设速度为v，开始时对导体棒MN由动量定理得I＝mv－0，可得MN棒的初速度为v＝2 m/s，以向右为正方向，以两棒组成的系统为研究对象，由动量守恒定律得mv＝2mv′，解得PQ的最大速度v′＝1 m/s，回路中产生的焦耳热等于损失的动能Q＝mv2－×2mv′2，代入数据解得Q＝0.2 J，故选B。