2015年沪科版数学九年级上册单元梯度检测精品卷：（五）第22章相似形单元梯度检测B卷

（五）第22章相似形单元梯度检测B卷
（满分：150分 时间：120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1.若＝，则下列比例式：①＝；②＝；③＝；④＝.其中正确的有…………………………………………………………【 】
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，下列各式中不正确的是…………………【 】
A.＝＝ B.＝＝
C.＝＝ D.＝＝
3.如图，在△ABC中，DF∥EG∥BC，且AD＝DE＝EB，记△ADF的面积为S1，梯形DEGF的面积为S2，梯形EBCG的面积为S3，则S1︰S2︰S3的值为………………………【 】
A.1︰2︰3 B. 1︰3︰5 C. 1︰4︰7 D. 2︰5︰8

4.如图，点A、B、C、D、E、甲、乙、丙、丁都是4×4的方格网中的格点，要使以点D、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则点F应是甲、乙、丙、丁四点中的……【 】
A.丙 B.丁 C. 甲或乙 D. 甲或丙
5.如图，△ABC为等边三角形，D、E分别为边BC、CA上一点，BD＝5，CE＝4，∠ADE＝60°，则△ABC的边长为……………………………………………………………【 】
A.25 B.20 C.26 D.15
6.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、BC上，DE∥AB，AE、BD交于点O，若S△ODE︰S△OBA＝4︰25，则的值为………………………………………………【 】
A. B. C. D.
7.如图，线段AB、CD交于点E，F为线段AC上一点，且∠DFB＝∠A＝∠C ，AB与DF交于点H，CD与BF交于点G，则图中相似三角形有……………………………【 】
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对

8.如图，在正方形ABCD中，E为AB边上一点，AE︰EB＝2︰1，AF⊥DE于点G，交BC于点F，则△AEG的面积与四边形FCDG的面积之比为………………………【 】
A.1︰9 B. 4︰9 C. 4︰17 D. 5︰17
9.如图，△ABC是一块三角形的铁皮材料，边AB＝10cm，BC＝6cm，AC＝8cm，现要把它加工成正方形铁皮，使正方形的四个顶点均在△ABC的边上，则这个正方形铁皮的边长是………………………………………………………………………………【 】
A.2.4cm B. 2.4cm或
C.cm或cm D. cm或cm
10.如图，在平面直角坐标系中，有正方形ABCD和正方形OEFG，其中A点坐标为（3，2），F点坐标为（﹣1，﹣1），则这两个正方形的位似中心的坐标为………………【 】
A.（1，0） B.（1，0）或（﹣5，﹣2）
C. （2，0） D.（2，0）或（﹣5，﹣2）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11.将一个矩形以它的宽为边长截去一个正方形后，剩下的矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽的比为___________.www.21-cn-jy.com
12.在□ABCD中，CD＝10，F是AB边上的一点，DF交AC于点E，且AE︰EC＝2︰5，连接FC，则＝______________.　　21*cnjy*com
13.已知菱形ABCD的周长为8，点E在直线AD上，DE＝3，直线BE与直线AC交于点F，则＝_______________.
14.如图，已知△ABC是的面积为的等边三角形，△ABC∽△ADE，AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE交于点F，则△AEF的面积为____________（结果保留根号）.

三、（本大题共两小题，每小题8分，满分16分）
15．已知在四边形ABCD和四边形A′B′C′D′中，＝＝＝＝，且四边形ABCD的周长为51cm，求四边形A′B′C′D′的周长.
16.如图，点F是□ABCD的边CD上一点，连接BF，交AC于点G，延长BF交AD的延长线于点E.求证： GB2＝GF·GE.21·世纪*教育网
四、（本大题共两小题，每小题8分，满分16分）
17.如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，连接DE并延长交BC的延长线于点F，连接DC、BE，∠BDE＋∠BCE＝180°.【版权所有：21教育】
（1）请写出图中的各对相似三角形（不得添加字母和连线）；
（2）请选择其中的一对相似三角形加以证明.
18.如图，已知正方形ABCD的边长为1，E是AB边的中点，点F在线段BC上，设CF＝k，是否存在这样的实数k，使以E、F、B为顶点的三角形与△AED相似，若存在，请求出k的值，并判断此时△DEF的形状；若不存在，请说明理由.
五、（本大题共两小题，每小题10分，满分20分）
19.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为OC的中点，EF⊥DA于点F，EG⊥AB于点G.【来源：21cnj*y.co*m】
（1）求证：矩形AGEF∽矩形ABCD；
（2）若矩形ABCD的周长为14，面积为12，求AF、AG的长.
20.如图，△ABC是方格网（每个小正方形的边长均为1）中的格点三角形，已知B（﹣1，3），C（﹣4，2）.21教育网
（1）请画出平面直角坐标系，并写出A点坐标；
（2）以原点O为位似中心，位似比为2，在第二象限内将△ABC放大，画出放大后的图形△A′B′C′；
（3）求△A′B′C的面积.
六、（本题满分12分）
21.如图，在△ABC中，D为AB的中点，E为BC上任意一点，AE与CD交于点F，我班毛可同学在探究这一问题时，发现有如下事实：21cnjy.com
当＝＝时，有＝，如图1；
当＝＝时，有＝，如图2；
当＝＝时，有＝，如图3.
在图4中，当＝时，参照上述探究结论，请你猜想用n表示的一般结论，并加以证明（n为正整数）.
七、（本题满分12分）
22.如图，矩形ABCD中，直线l垂直平分线段BD，垂足为O，直线l分别与线段DC、BA的延长线交于点E、F.2·1·c·n·j·y
（1）求证：＝.
（2）试判断四边形DFBE的形状，并说明理由.
八、（本题满分14分）
23.如图，正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、BC上的两个动点，当E点在AB上运动时，保持DE和EF垂直.2-1-c-n-j-y
（1）证明：Rt△DAE∽Rt△EBF；
（2）设AE＝x，梯形DABF的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当E点运动到什么位置时，梯形DABF的面积最大，并求出最大面积；21·cn·jy·com
（3）当E点运动到什么位置时，Rt△DAE∽Rt△DEF？请说明理由.
参考答案
1.D 解析：∵＝，∴由合比性质可得＝，∴①正确；由合比性质得＝，∴交换内项得＝，∴②正确；由＝交换内外项得＝，由合比性质得＝，又交换内外项得＝，∴③正确；由等比性质得＝，再由等比性质得＝，∴④正确.∴D对.
2.D 解析：∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形ECFD是平行四边形，∴ED＝CF，CE＝DF，由DE∥BC得＝，由DF∥AC得＝＝,∴＝＝,∴①正确；由DE∥BC得＝，由DF∥AC得＝，∴＝＝,∴②正确；由DF∥AC得＝，由DE∥BC得＝，∴＝＝,∴③正确；由DF∥AC得＝，由DE∥BC得＝，∴＝＝,但CE≠DE，∴④错误；∴D对.
∴S△AEG＝4 S△ADE＝4S1，∵S1＋S2＝S△AEG，∴S2＝3S1，∵AD＝DE＝EB，∴＝，∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∴S△ABC＝9S△ADE＝9S1，∵S1＋S2＋S3＝S△ABC，S2＝3S1，∴S3＝5S1，∴S1︰S2︰S3＝S1︰3S1︰5S1＝1︰3︰5，∴B对. 21世纪教育网版权所有
4.C 解析：若F是丙，则△DEF为等腰直角三角形，而△ABC为钝角三角形，它们不可能相似，∴A错误，D错误；若F是丁，则△DEF为锐角三角形，而△ABC为钝角三角形，它们不可能相似，∴B错误；若F是甲，则DF＝＝，DE＝＝，EF＝4，而AB＝1，AC＝＝，BC＝＝，∴＝＝＝,∴△DEF∽△BCA；由整个图形的轴对称性可得，F也可是乙.∴C对. www-2-1-cnjy-com
5.A 解析：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC，∠B＝∠C＝60°，设△ABC的边长为x，则AB＝BC＝x，DC＝x－5，∵∠ADE＝60°，∴∠ADB＋∠CDE＝120°，又∠ADB＋∠BAD＝120°，∴∠CDE＝∠BAD，∴△CDE∽△BAD，∴＝，∴＝，解得x＝25，∴A对.【出处：21教育名师】
又＝，（）2＝，∴＝，又∵DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∴＝＝，∴＝，∴B对. 21教育名师原创作品
7.C 解析：∵∠DFB＝∠A，∠FBH＝∠ABF，∴△FBH∽△ABF；∵∠DFB＝∠C，∠FDG＝∠CDF，∴△FDG∽△CDF；∵△FDG∽△CDF，∴∠FGD＝∠CFD，又∵∠FGD＋∠CGF＝180°，∠CFD＋∠AFH＝180°，∴∠CGF＝∠AFH，又∠A＝∠C，∴△CGF∽△AFH.∴C对.
8.C 解析：∵∠DAB＝90°，AF⊥DE，∴∠EAG＋∠GAD＝∠GAD＋∠ADG＝90°，∴∠EAG＝∠ADG，又∠DAE＝∠ABF＝90°，DA＝AB，∴△DAE∽≌△ABF，∴AE＝BF，设EB＝x，∵AE︰EB＝2︰1，∴AE＝BF＝2x，AB＝3x，在Rt△ABF中，由勾股定理得AF＝＝＝，∵∠EAG＝∠FAB，∠AGE＝∠ABF＝90°，∴△AGE∽△ABF，∴＝（）2＝（）2＝，设S△AGE＝4a，则S四边形EBFG＝9a，∵△DAE∽≌△ABF，∴S四边形EBFG＝S△AGD＝9a，又S△ABF＝×AB×BF，∴×3x×2x＝13a，解得x2＝ a，∴S正方形ABCD＝AB2＝（3x）2＝9 x2＝39a，∴S四边形ACDGF＝S正方形ABCD―S△AGE―S四边形EBFG―S△AGD＝39a―4a―9a―9a＝17a，∴＝＝，∴C对.
9.C 解析：∵AB＝10，BC＝6，AC＝8，而62＋82＝102，∴△ABC为直角三角形，且∠C＝90°，分两种情况：当正方形的边落在△ABC的直角边上时，如下图①，设正方形的边长为xcm，由△ADE∽△EFB得＝，∴＝，解得x＝；当正方形的边落在△ABC的斜边上时，如下图②，设正方形的边长为xcm，过点C作CH⊥AB于点H，交DG于点P，由S△ABC＝×AB×CH＝×AC×CB，∴CH＝＝＝4.8，∵DG∥AB，则CP⊥DG，由DG∥AB得△CDG∽△CAB，∴＝,∴＝,解得x＝.∴C对.
10.B 解析：当两个正方形反向位似时，如下图①，∵点O与点B对应，∴位似中心M在OB上，由OG∥AB得△OMG∽△BMA，∴＝,又＝，∴＝，又OB＝3，∴OM＝1，∴M点坐标为（1,0）；当两个正方形同向位似时，如下图②，过位似中心M作MN⊥x轴于点N，由EF∥AB得△OEF∽△OAB，∴＝,又＝，∴＝，由EF∥MN 得＝,∴＝，∴E为NB的中点，又NB＝1＋3＝4，∴NE＝4，∴NO＝5，由E为NB的中点，EF∥MN 得F为MB的中点，∴MN＝2EF＝2，又M在第三象限，∴M点坐标为（﹣5,﹣2）. ∴B对.

11. 解析：如下图，在矩形ABCD中，四边形BCFE为正方形，设AB＝x，AD＝y，则EF＝y，AE＝x－y，由矩形AEFD∽矩形DABC得＝,∴＝,化简得－1＝，设＝a，则原方程化为a2－a－1＝0，解得a1＝，a2＝（负值不合题意，舍去），∴＝.
12. 解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AF∥DC，DC＝AB，∴△AEF∽△CED，∴＝,∵＝，CD＝10，∴＝，∴AF＝4，∴FB＝AB－AF＝10－4＝6，∴＝＝＝.
13.或 解析：分两种情况：当点E在AD的延长线上时，如下图①，∵四边形ABCD是菱形且周长为8，∴AD＝BC＝2，AE∥BC，∴△AFE∽△CFB，∴＝,∵DE＝3，∴AE＝AD＋DE＝2＋3＝5，∴＝；当点E在DA的延长线上时，如下图②，∵四边形ABCD是菱形且周长为8，∴AD＝BC＝2，AE∥BC，∴△AFE∽△CFB，∴＝,∵DE＝3，∴AE＝DE－AD＝3－2＝1，∴＝.∴＝或.
14. 解析：如下图，过点C作CG⊥AB于点G，过点F作FH⊥AE于点H，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，AG＝BG，∠CAG＝60°，∴由勾股定理得CG＝＝AG＝AB，∴S△ABC＝×AB×CG＝＝，∴AB＝2，∵AB＝2AD，∴AD＝1，∵△ABC∽△ADE，∴△ADE也为等边三角形，∴AE＝1，∠E＝∠EAD＝60°，∵∠BAD＝45°，∴∠EAF＝45°，设EH＝x，则EF＝2x，HF＝x＝HA，由EH＋HA＝EA得x＋x＝1，解得x＝，∴HF＝x＝，∴S△AEF＝×AE×FH＝×1×＝.
15.解：∵＝＝＝＝，∴由等比性质得＝，∵AB＋BC＋CD＋DA＝51，∴＝，∴A′B′＋B′C′＋C′D′＋D′A′＝＝85（cm），∴四边形A′B′C′D′的周长为85cm.
16.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴FC∥AB，∴△FCG∽△BAG，∴＝,又BC∥AE，∴△CBG∽△AEG，∴ ＝,∴＝，∴GB2＝GF·GE.
17.解：（1）△ADE∽△ACB，△ACD∽△ABE，△FEC∽△FBD，△FCD∽△FEB；
（2）选△ACD∽△ABE，证明：∵∠BDE＋∠BCE＝180° ，∠BDE＋∠ADE＝180° ，∴∠ACB（∠BCE）＝∠ADE，又∠BAC＝∠EAD，∴△ACB∽△ADE，∴＝，∴＝，又∠CAD＝∠BAE，∴△ACD∽△ABE.
18.解：存在；∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝AB＝BC＝1，∠A＝∠B＝90° ，∵E为AB的中点，∴AE＝EB＝，当△DAE∽△EBF时，则＝，∴＝，解得BF＝，∴CF＝BC－BF＝1－＝，此时△DEF为直角三角形；当△DAE∽△FBE时，则＝，∴＝，解得BF＝1，∴CF＝BC－BF＝1－1＝0，此时点F与点C重合，△DEF为等腰三角形.∴k＝0或，当k＝0时，△DEF为等腰三角形；当k＝时，△DEF为直角三角形.21*cnjy*com
19. 解：（1）∵∠EFA＝∠CDA＝90°，∴EF∥CD，∴△EFA∽△CDA，∴＝＝,又∵∠EGA＝∠CBA＝90°，∴EG∥CB，∴△EGA∽△CBA，∴＝＝,∴＝＝＝，又两个矩形的内角都是直角均相等，∴∠EFA＝∠CDA，∠FAG＝∠DAB，∠EGA＝∠CBA，∠FEG＝∠DCB，∴矩形AGEF∽矩形ABCD；
（2）设矩形ABCD的长AB＝x，宽AD＝y，∵矩形ABCD的周长为14，面积为12，∴可得，解得，∴AB＝4，AD＝3，由（1）得＝＝,又E为OC中点，AO＝CO，∴＝，∴＝＝，∴＝＝，解得AF＝，AG＝3.
20.解：（1）建立平面直角坐标系如下图，A点坐标为（﹣1，1）；
（2）放大后的△A′B′C′如下图；
∴＝3×4＝12.
21.解：猜想：当＝时，有＝成立；
证明：如下图4，过点D作DG∥AE，交BC于点G，∵AD＝BD，∴EG＝BG，∴EG＝BE，∴＝＝,又＝，∴＝,∴＝，∴＝，又∵FE∥DG，∴＝，∴＝.
22.解：（1）证明：∵DE∥FB，∴∠DEO＝∠BFO，∠EDO＝∠FBO，又DO＝BO，∴△DEO≌△BFO（AAS），∴FO＝EO，∵四边形ABCD为矩形，EF⊥DB，∠FOD＝∠DAB＝90°，∵EF垂直平分BD，∴FD＝FB，∴∠FDO＝∠DBA,∴△FDO∽△DBA，∴＝，∵FO＝FE，DO＝DB，∴＝，∴＝；
（2）四边形DFBE为菱形，理由如下：由（1）得△DEO≌△BFO，∴FB＝ED，∵EF垂直平分BD，∴FD＝FB，ED＝EB，∴FD＝FB＝ED＝EB，∴四边形DFBE为菱形.
23.解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝90°，∴∠ADE＋∠AED＝90°，又DE⊥FE，∴∠BEF＋∠AED＝90°，∴∠ADE＝∠BEF，∴Rt△DAE∽Rt△EBF；
（2）由Rt△DAE∽Rt△EBF得＝，∴＝，解得BF＝，∴y＝×（BF＋DA）×AB＝× [（＋4）]×4＝﹣x2－2x＋8＝﹣（x－2）2＋10，当x＝2即E为AB中点时，y最大＝10，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x2－2x＋8；当E点运动到AB中点时，梯形DABF的面积最大，最大面积为10；【来源：21·世纪·教育·网】
由勾股定理得DE2＝AD2＋AE2，EF2＝BE2＋BF2，
∴＝，
∴x2(42＋x2)＝42(4－x) 2＋x2(4－x) 2，解得x＝2，
当E点运动到AB中点时，Rt△DAE∽Rt△DEF，理由如上.