4.1.1 数列的概念及通项公式 学案（ 含答案）

第四章　数　列
§4.1　数列的概念
第1课时　数列的概念及通项公式
[学习目标]　
1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.
2.掌握数列的分类，了解数列的单调性.
3.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项.
4.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.5.了解数列是一种特殊函数．
一、数列的概念与分类
问题1　观察以下几列数：
(1)古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为：7,49,343,2 401,16 807；
(2)战国时期庄周引用过一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭．这句话中隐藏着一列数：1，，，，，…；
(3)从学号1开始，记下本班的每一个同学参加高考的时间：2 023,2 023，…，2 023；
(4)小明为了记住刚设置的手机密码，只听他不停地说：7,0,2,5,7,0,2,5，…；
(5)－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…依次排成一列数：－，，－，，…；
你能找到上述例子中的共同点和不同点吗？
知识梳理
1．一般地，我们把按照____________排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的______．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第______项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第______项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用______表示．其中第1项也叫做______．
2. 数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为____________．
3.
分类标准 名称 含义
按项的个数 有穷数列 项数______的数列
无穷数列 项数______的数列
按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都______它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都______它的前一项的数列
常数列 各项都______的数列
周期数列 项呈现周期性变化
摆动数列 从第2项起，有些项______它的前一项，有些项____它的前一项
例1　下列数列中哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是摆动数列？
(1)1,0.84,0.842,0.843，…；
(2)2,4,6,8,10，…；
(3)7,7,7,7，…；
(4)，，，，…；
(5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1；
(6)0，－1,2，－3,4，－5，….
反思感悟　(1)判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断．
(2)判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外．
跟踪训练1　下列数列中哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？哪些是周期数列？
(1)2 017,2 018,2 019,2 020,2 021,2 022,2 023；
(2)0，，，…，，…；
(3)1，，，…，，…；
(4)－，，－，，…；
(5)1,0，－1，…，sin ，…；
(6)9,9,9,9,9,9.
二、数列的通项公式
问题2　我们发现问题1中的(1)(2)(3)(5)，项与项数之间存在某种联系，你能发现它们的联系吗？
知识梳理
如果数列{an}的第n项an与它的________之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的____________．
例2　根据数列{an}的通项公式，写出数列{an}的前5项，并作出它们的图象．
(1)an＝(－1)n＋2；
(2)an＝.
反思感悟　数列{an}的通项公式给出了第n项an与它的序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列中相应的项．
例3　写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)－1，，－，；
(2)，2，，8；
(3)0,1,0,1；
(4)9,99,999,9 999.
延伸探究　根据本例中的第(4)题，试写出前4项为7,77,777,7 777的一个通项公式．
反思感悟　根据数列的前几项求通项公式的解题思路
(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等．
(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式．
(3)对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n＋1处理符号．有时也可用分段形式．
(4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．
跟踪训练2　写出下列各数列的一个通项公式，它们的前几项分别是：
(1)1,3,7,15,31，…；
(2)，，，，，…；
(3)－，，－，，－，…；
(4)2×3,3×4,4×5,5×6，….
三、数列与函数的关系
问题3　由例2可知在数列的通项公式中，给定任意的序号n，就会有唯一确定的an与其对应，这种情形与以往学的哪方面的知识有联系？
知识梳理
通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数值组成的．
例4　已知数列{an}的通项公式是an＝nn，n∈N*.试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由．
反思感悟　求数列最值的方法
(1)函数的单调性法：令an＝f(n)，通过研究f(n)的单调性来研究最大(小)项．
(2)不等式组法：先假设有最大(小)项．不妨设an最大，则满足(n≥2)，解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项用不等式组(n≥2)求得n的取值范围，从而确定n的值．
跟踪训练3　已知数列an＝－n2＋4n＋2，则该数列中最大项的序号是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
1．知识清单：
(1)数列的概念与分类．
(2)数列的通项公式．
(3)数列与函数的关系．
2．方法归纳：观察法、归纳法、猜想法．
3．常见误区：
(1)归纳法求数列的通项公式时归纳不全面．
(2)不注意用(－1)n进行调节，不注意分子、分母间的联系．
1．下列说法正确的是(　　)
A．数列中不能重复出现同一个数
B．1,2,3,4与4,3,2,1是同一数列
C．1,1,1,1不是数列
D．若两个数列的每一项均相同，则这两个数列相同
2．数列，－，，－，…的通项公式可能是(　　)
A．an＝(－1)n B．an＝(－1)n－1
C．an＝(－1)n D．an＝(－1)n－1
3．在数列{an}中，an＝，则{an}(　　)
A．是常数列
B．不是单调数列
C．是递增数列
D．是递减数列
4．将数列{2n－1}与{n2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则a3＝________.
第1课时　数列的概念及通项公式
问题1　共同点：都是按照确定的顺序进行排列的．不同点：从项数上来看：(1)(3)项数有限，(2)(4)(5)项数无限；从项的变化上来看：(1)每一项在依次变大，(2)每一项在依次变小，(3)项没有发生变化，(4)项呈现周期性的变化，(5)项的大小交替变化．
知识梳理
1．确定的顺序　项　1　2　an　首项
2. {an}
3．有限　无限　大于　小于　相等
大于　小于
例1　解　(5)是有穷数列；(1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列；(2)是递增数列；(1)(4)(5)是递减数列；(3)是常数列；(6)是摆动数列．
跟踪训练1　解　(1)(6)是有穷数列；(2)(3)(4)(5)是无穷数列；(1)(2)是递增数列；(3)是递减数列；(6)是常数列；(5)是周期数列．
问题2　对于(1)，a1＝7，a2＝7×7＝72，a3＝7×7×7＝73，…，于是an＝7n，n∈；
对于(2)，an＝n－1，n∈N*；
对于(3)，an＝2 023，n∈{x|x是本班学生的学号}；
对于(5)，an＝n，n∈N*.
知识梳理
序号n　通项公式
例2　解　(1)数列{an}的前5项依次是1,3,1,3,1，图象如图①所示．
(2)数列{an}的前5项依次是2，，，，，图象如图②所示．
例3　解　(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an＝，n∈N*.
(2)数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，，，，…，
所以它的一个通项公式为an＝，n∈N*.
(3)这个数列中的项是0与1交替出现，奇数项都是0，偶数项都是1，所以通项公式可以写成an＝由第(1)题也可以写成an＝(n∈N*)或an＝(n∈N*)．
(4)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N*.
延伸探究　解　由本例的第(4)题可知，每一项乘即可，
即an＝(10n－1)，n∈N*.
跟踪训练2　解　(1)由1＝2－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，31＝25－1，…
可得an＝2n－1.
(2)由＝，＝，＝，＝，＝，…
可得an＝.
(3)由－，，－，，－，…可知奇数项为负数，偶数项为正数，
可得an＝(－1)n×.
(4)由2×3＝×，3×4＝×，4×5＝×，5×6＝×，…
可得an＝(n＋1)(n＋2)．
问题3　函数．
例4　解　根据题意，令
即
解得2≤n≤3.
又n∈N*，则n＝2或n＝3.
故数列{an}有最大项，为第2项和第3项，
且a2＝a3＝2×2＝.
跟踪训练3　A　[因为an＝－(n－2)2＋6，n∈N*，
所以当n＝2时，an取得最大值．]
随堂演练
1．D　2.D　3.D　4.25