4.1.2 数列的递推公式 学案（ 含答案）

第2课时　数列的递推公式
[学习目标]　
1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.
2.了解用累加法、累乘法求通项公式.
3.会由数列的前n项和Sn求数列的通项公式．
一、数列通项公式的简单应用
例1　已知数列{an}的通项公式是an＝2n2－n，n∈N*.
(1)写出数列的前3项；
(2)判断45是否为数列{an}中的项，3是否为数列{an}中的项．
反思感悟　(1)利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n项an与它的序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．
(2)判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程．若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项．
跟踪训练1　已知数列{an}的通项公式为an＝qn，n∈N*，且a4－a2＝72.
(1)求实数q的值；
(2)判断－81是否为此数列中的项．
二、数列的递推公式
问题1　观察如图所示的钢管堆放示意图，你能够发现上下层之间的关系吗？你能否用数列的形式写出上下层之间的关系？
知识梳理
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用____________来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
例2　若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，n∈N*，求a6.
延伸探究　在例2的条件下，求a2 024.
反思感悟　递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系．要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项．若序号很大，则应考虑数列是否具有规律性(周期性)．
跟踪训练2　已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第3项是(　　)
A．1 B. C. D.
三、由递推公式求通项公式
例3　(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋－，则an等于(　　)
A. B. C. D.
(2)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an，则an等于(　　)
A．n＋1 B．n C. D.
反思感悟　由递推公式求通项公式的常用方法
(1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式．(只适用于选择题、填空题)
(2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类：
①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法．
②an＋1＝pan(p为非零常数)，或an＋1＝f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法．
③an＋1＝pan＋q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决．
跟踪训练3　(1)已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋－(n≥2)，求an.
(2)已知数列{an}满足a1＝1，ln an－ln an－1＝1(n≥2)，求an.
四、an与Sn的关系
问题2　如果已知数列{an}的前n项和，如何求a4呢？
知识梳理　
1．把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝____________.
2．an＝__________________ .
例4　已知Sn为数列{an}的前n项和，根据条件求{an}的通项公式．
(1)Sn＝3n－1；
(2)Sn＝2n2－30n.
延伸探究　将本例(2)的条件“Sn＝2n2－30n”改为“Sn＝2n2－30n＋1”，其他条件不变，求an.
反思感悟　由Sn求通项公式an的步骤
(1)当n＝1时，a1＝S1.
(2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1.
(3)验证a1与an的关系．
①若a1适合an(n≥2)，则an＝Sn－Sn－1.
②若a1不适合an(n≥2)，则an＝
跟踪训练4　(1)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2n2＋3n＋2，求an.
(2)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，求an.
1．知识清单：
(1)数列通项公式的简单应用．
(2)数列的递推公式．
(3)由递推公式求通项公式．
(4)数列的前n项和Sn与an的关系．
2．方法归纳：归纳法、迭代法、累加法、累乘法．
3．常见误区：
(1)累加法、累乘法中不注意验证首项是否符合通项公式．
(2)由Sn求an时忽略验证n＝1时的情况．
1．已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n(n∈N*)，则a4的值为(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
2．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－1(n∈N*)，则a5等于(　　)
A．32 B．31 C．16 D．15
3．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋an＋1＋an＋2＝1，n∈N*，则a2 024等于(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
4．323是数列{n(n＋2)}的第________项．
第2课时　数列的递推公式
例1　解　(1)在通项公式中依次取n＝1,2,3，可得{an}的前3项分别为1,6,15.
(2)令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，解得n＝5或n＝－(舍去)，故45是数列{an}中的第5项．
令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0，解得n＝－1或n＝，故3不是数列{an}中的项．
跟踪训练1　解　(1)由题意知q4－q2＝72，
则q2＝9或q2＝－8(舍去)，
∴q＝±3.
(2)当q＝3时，an＝3n.
显然－81不是此数列中的项；
当q＝－3时，an＝(－3)n.
令(－3)n＝－81，无解，
∴－81不是此数列中的项．
问题1　自上而下每一层的钢管数都比上一层的钢管数多1，即a1＝4，a2＝5＝4＋1＝a1＋1，a3＝6＝5＋1＝a2＋1.依此类推：an＝an－1＋1(2≤n≤7)．
知识梳理
一个式子
例2　解　a2＝＝＝－3，
a3＝＝＝－，
a4＝＝＝，
a5＝＝＝2，
a6＝＝＝－3.
延伸探究　解　由例2知，a5＝a1＝2，a6＝a2＝－3，…，
∴{an}是周期为4的周期数列，
∴a2 024＝a4×505＋4＝a4＝.
跟踪训练2　C　[a1＝1，a2＝a1＋＝1，a3＝a2＋＝.]
例3　(1)B　[方法一　(归纳法)　数列的前5项分别为
a1＝1，a2＝1＋1－＝2－＝，
a3＝＋－＝2－＝，
a4＝＋－＝2－＝，
a5＝＋－＝2－＝，
又a1＝1，由此可得数列的一个通项公式为an＝.
方法二　(迭代法)　a2＝a1＋1－，
a3＝a2＋－，…，
an＝an－1＋－(n≥2)，
则an＝a1＋1－＋－＋－＋…＋－＝2－＝(n≥2)．
又a1＝1也适合上式，
所以an＝(n∈N*)．
方法三　(累加法)　an＋1－an＝－，
a1＝1，a2－a1＝1－，
a3－a2＝－，
a4－a3＝－，
…
an－an－1＝－(n≥2)，
以上各项相加得
an＝1＋1－＋－＋…＋－.
所以an＝(n≥2)．
因为a1＝1也适合上式，
所以an＝(n∈N*)．]
(2)D　[由题意，因为数列{an}满足an＋1＝an，所以＝，
所以当n≥2时，an＝··…···a1＝××…×××1＝.
当n＝1时，a1＝1满足上式，
所以an＝(n∈N*)．]
跟踪训练3　(1)解　因为an＝an－1＋－(n≥2)，
所以an－an－1＝－(n≥2)．
所以当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋1＝－＋1.
又当n＝1时，a1＝1也符合上式，
所以an＝－＋1，n∈N*.
(2)解　因为ln an－ln an－1＝1，
所以ln＝1，即＝e(n≥2)．
所以an＝··…··a1
＝
＝en－1(n≥2)，
又a1＝1也符合上式，
所以an＝en－1，n∈N*.
问题2　用{an}的前4项和减去前3项和．
知识梳理
1．a1＋a2＋…＋an
2.
例4　解　(1)当n＝1时，a1＝S1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－(3n－1－1)
＝2×3n－1，显然a1＝2适合上式，
所以an＝2×3n－1(n∈N*)．
(2)因为Sn＝2n2－30n，
所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32.
显然a1＝－28适合上式，
所以an＝4n－32，n∈N*.
延伸探究　解　因为Sn＝2n2－30n＋1，
所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＋1＝－27，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝2n2－30n＋1－[2(n－1)2－30(n－1)＋1]
＝4n－32.
当n＝1时不适合上式．
所以an＝
跟踪训练4　(1)解　当n＝1时，
a1＝S1＝7，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝2n2＋3n＋2－[2(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝4n＋1，
又a1＝7不适合上式，
所以an＝
(2)解　当n＝1时，
由已知可得a1＝21＝2.
由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，①
可得当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1，②
由①－②得nan＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2)，∴an＝(n≥2)．显然a1＝2不适合上式，∴an＝
随堂演练
1．D　2.C　3.D　4.17