§4.2 等差数列
4.2.1 等差数列的概念
第1课时 等差数列的概念及通项公式
[学习目标]
1.理解等差数列、等差中项的概念.
2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题.
3.体会等差数列与一元一次函数的关系．
一、等差数列的概念
问题1 观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题．
(1)近5届冬奥会举办的时间：2006,2010,2014,2018,2022；
(2)我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的中国鞋号按从大到小的顺序可排列为：45,44,43,42,41,40，…；
(3)为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了某班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10,10,10,10,10.
以上数列有什么共同特征？
知识梳理
一般地，如果一个数列从第______项起，每一项与它的前一项的______都等于____________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的______，公差通常用字母______表示．
例1 判断下列各组数列是不是等差数列．如果是，写出首项a1和公差d.
(1)1,3,5,7,9，…；
(2)9,6,3,0，－3，…；
(3)1,3,4,5,6，…；
(4)7,7,7,7,7，…；
(5)1，，，，，….
反思感悟 利用定义法判断等差数列：从第2项起，检验每一项与它的前一项的差是否都等于同一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列．
跟踪训练1 (多选)下列数列是等差数列的是( )
A．1,1,1,1,1 B．4,7,10,13,16
C.，，1，， D．－3，－2，－1,1,2
二、等差中项
问题2 由等差数列的定义可知，如果1，x,3这三个数是等差数列，你能求出x的值吗？
知识梳理
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的____________，且2A＝____________.
例2 (1)若a＝，b＝，则a，b的等差中项为( )
A. B. C. D.
(2)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列．
反思感悟 若a，A，b成等差数列，则A＝；反之，由A＝也可得到a，A，b成等差数列，所以A是a，b的等差中项 A＝.
跟踪训练2 已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5，则2m－n和2n－m的等差中项是( )
A．8 B．6 C．4.5 D．3
三、等差数列的通项公式
问题3 你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
问题4 观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
知识梳理
1．首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝____________.
2．若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，
则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．
(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为______，在y轴上的截距为____________；
(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加______．
例3 在等差数列{an}中，
(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；
(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求an.
延伸探究 若等差数列{an}的前三项和为24，第二项与第三项之积为40，求数列{an}的前三项，并写出通项公式．
反思感悟 等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个量，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个量，那么就可以求出第四个量，在这四个量中，a1和d是等差数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．
跟踪训练3 在等差数列{an}中，求解下列各题：
(1)已知公差d＝－，a7＝8，则a1＝____________.
(2)已知a3＝0，a7－2a4＝－1，则公差d＝__________.
(3)已知{an}的前3项依次为2,6,10，则a15＝________.
例4 下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个结论：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．其中正确的为( )
A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4
反思感悟 熟练掌握等差数列是关于n的一次函数型这一结构特征，并且公差d是一次项系数，它的符号决定了数列的单调性，d>0时，数列{an}为递增数列，d＝0时，数列{an}为常数列，d<0时，数列{an}为递减数列．
跟踪训练4 等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( )
A．第7项 B．第8项
C．第9项 D．第10项
1．知识清单：
(1)等差数列的有关概念．
(2)等差数列的通项公式．
(3)等差数列通项公式与函数的关系．
2．方法归纳：列方程组法、迭代法、构造法．
3．常见误区：
(1)在具体应用问题中项数不清．
(2)忽略等差数列通项公式与函数关系中d＝0的情况．
1．(多选)下列数列中，是等差数列的是( )
A．1,4,7,10
B．lg 2，lg 4，lg 8，lg 16
C．25,24,23,22
D．10,8,6,4,2
2．已知等差数列{an}的前三项分别为a－1，a＋1，2a＋1，则该数列的通项公式为( )
A．an＝2n－5 B．an＝2n－3
C．an＝2n－1 D．an＝2n＋1
3．若5，x，y，z,21成等差数列，则x＋y＋z的值为( )
A．26 B．29 C．39 D．52
4．写出一个具有下列性质①②的数列{an}的通项公式an＝________，①am＋n＝am＋an(m，n∈N*)；②{an}单调递增．
4.2.1 等差数列的概念
第1课时 等差数列的概念及通项公式
问题1 对于(1)，我们发现2010－2006＝4,2014－2010＝4,2018－2014＝4,2022－2018＝4，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数．对于(2)有44－45＝－1,43－44＝－1，….对于(3)，10－10＝0，有同样的取值规律．
知识梳理
2 差 同一个常数 公差 d
例1 解 (1)是，a1＝1，d＝2；(2)是，a1＝9，d＝－3；(3)不是；(4)是，a1＝7，d＝0；(5)不是．
跟踪训练1 ABC [由等差数列的定义得，
A项d＝0，故是等差数列；
B项d＝3，故是等差数列；
C项d＝，故是等差数列；
D项每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列．]
问题2 由定义可知x－1＝3－x，即2x＝1＋3，x＝2.
知识梳理
等差中项 a＋b
例2 (1)A [由题意知a，b的等差中项为
×＝×(－＋＋)＝.]
(2)解 因为－1，a，b，c,7成等差数列，
所以b是－1与7的等差中项，
则b＝＝3，
又a是－1与3的等差中项，
所以a＝＝1.
又c是3与7的等差中项，
所以c＝＝5.
所以该数列为－1,1,3,5,7.
跟踪训练2 D [∵m＋2n＝8,2m＋n＝10，
∴3m＋3n＝18，∴m＋n＝6，
∴2m－n和2n－m的等差中项是
＝＝3.]
问题3 设一个等差数列的首项为a1，公差为d，
由等差数列的定义可知，an－an－1＝d(n≥2)，
思路一：an＝an－1＋d，故有a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，…
归纳可得，an＝a1＋(n－1)d(n≥2)．
思路二：a2－a1＝d，
a3－a2＝d，
a4－a3＝d，
…
an－an－1＝d，
左右两边分别相加可得，an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d(n≥2)．
问题4 由于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，故an是函数f(x)＝dx＋(a1－d)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)，点(n，an)则是函数f(x)＝dx＋(a1－d)图象上的均匀分布的孤立的点，而d是直线f(x)＝dx＋(a1－d)的斜率，记为d＝(n≥2)，实际上，如果已知直线上任意两点(n，an)，(m，am)，由斜率的公式可知d＝，公差d的符号决定了数列的单调性，d>0时，数列{an}为递增数列，d＝0时，数列{an}为常数列，d<0时，数列{an}为递减数列．
知识梳理
1．a1＋(n－1)d
2．(1)d a1－d (2)d
例3 解 (1)由题意知
解得
(2)设等差数列{an}的公差为d，
由题意知
解得
所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1，n∈N*.
延伸探究 解 设等差数列{an}的公差为d，
由题可得
解得
∴a2＝a1＋d＝8，a3＝a1＋2d＝5.
数列{an}的通项公式为an＝11＋(n－1)×(－3)＝－3n＋14.
跟踪训练3 (1)10 (2)－ (3)58
解析 (1)由a7＝a1＋6d，
得8＝a1＋6×，
故a1＝10.
(2)设首项为a1，公差为d，
则
解得
(3)由题意得，d＝6－2＝4，
把a1＝2，d＝4代入an＝a1＋(n－1)d，
得an＝2＋(n－1)×4＝4n－2，
∴a15＝4×15－2＝58.
例4 D [设等差数列的首项为a1，则an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，∵d>0，∴数列{an}递增，p1正确；
nan＝dn2＋(a1－d)n，当n<时，不递增，p2错误；
＝d＋，当a1－d>0时，不递增，p3错误；
[an＋1＋3(n＋1)d]－(an＋3nd)＝an＋1－an＋3d＝4d>0，{an＋3nd}递增，p4正确，故选D.]
跟踪训练4 B [∵a1＝20，d＝－3，
∴an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n，
∴a7＝2>0，a8＝－1<0.
∴数列中第一个负数项是第8项．]
随堂演练
1．ABD 2.C 3.C 4.n(答案不唯一)第2课时 等差数列的判定与性质
[学习目标]
1.掌握等差数列的判定与证明的方法.
2.掌握等差数列的性质及应用.
3.能根据实例抽象出等差数列进行简单的应用．
一、等差数列的判定与证明
问题1 如果一个数列的前有限项是等差数列，那么这个数列是等差数列吗？
知识梳理
证明或判定等差数列的方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(n∈N*)．
(2)等差中项法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．
(3)通项公式法：an＝a1＋(n－1)d＝pn＋q(p，q为常数)．
例1 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝.
(1)数列是否为等差数列？说明理由；
(2)求an.
延伸探究 将本例中的条件“a1＝2，an＋1＝”换为“a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝”．
(1)试证明数列{bn}为等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
反思感悟 (1)通项公式法不能作为证明方法．
(2)若an＋1－an为常数，则该常数为等差数列{an}的公差；若an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N*)成立，则无法确定等差数列{an}的公差．
(3)若数列的前有限项成等差数列，则该数列未必是等差数列；而要否定一个数列是等差数列，只要说明其中连续三项不成等差数列即可．
跟踪训练1 已知数列{an}满足(an＋1－1)·(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
二、等差数列的性质
问题2 如果{an}是等差数列，a3＝5，d＝2，不求首项，你能求数列的通项公式吗？
问题3 若数列{an}是等差数列，公差为d，m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am，an，ap，aq这四项之间有什么样的关系？
知识梳理
1．设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则
(1)an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)；
(2)an＝am＋____________(m，n∈N*)；
(3)d＝__________(m，n∈N*，且m≠n)．
2．下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝________________________________________________________________________.
特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝____________.
例2 (1)已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.
(2)已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15等于( )
A．7 B．14
C．21 D．7(n－1)
延伸探究 在等差数列{an}中，a3＋a7＋2a15＝40，求a10.
反思感悟 (1)灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．令m＝1，an＝am＋(n－m)d即变为an＝a1＋(n－1)d，可以减少记忆负担．
(2)等差数列运算的两种常用思路
①基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量．
②巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，
则am＋an＝ap＋aq＝2ar.
跟踪训练2 (1)已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝________.
(2)数列{an}满足3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，则log6(a5＋a7＋a9)的值是( )
A．－2 B．－ C．2 D.
三、由等差数列构造新数列
问题4 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，在{an}中每相邻两项之间都插入4个数，若要使之构成一个新的等差数列，你能求出它的公差吗？
知识梳理
若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有
数列 结论
{c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数)
{c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数)
{an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*)
{pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数)
例3 在无穷等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出序号能被4除余3的项组成数列{bn}．
(1)求b1和b2；
(2)求数列{bn}的通项公式．
(3)数列{bn}中的第503项是{an}中的第几项？
延伸探究 有两个等差数列2,6,10，…，190和2,8,14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为( )
A．15 B．16 C．17 D．18
反思感悟 对于任何形式的构造数列，判断是否为等差数列，一般从两个方面进行判断：(1)定义：an－an－1(n≥2)是否为常数；(2)其通项公式是否为关于n的一次函数．
跟踪训练3 已知两个等差数列{an}：5,8,11，…，与{bn}：3,7,11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式cn＝________；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是________．
1．知识清单：
(1)证明等差数列的方法．
(2)等差数列的项与项之间的性质及应用．
(3)由等差数列构造新的数列．
2．方法归纳：定义法、公式法、构造法、解方程组法．
3．常见误区：
(1)不注意运用性质而出错或解法烦琐．
(2)实际问题中项数的确定．
1．(多选)下列命题正确的是( )
A．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式
B．若等差数列{an}的公差d>0，则{an}是递增数列
C．若a，b，c成等差数列，则，，可能成等差数列
D．若数列{an}是等差数列，则数列{an＋2an＋1}不一定是等差数列
2．在等差数列{an}中，若a2＋a6＝6，a5＝8，则a10等于( )
A．20 B．25 C．30 D．33
3．已知等差数列{am}满足am－1＋am＋1－a－1＝0，且m>1，则a1＋a2m－1＝________.
4．已知等差数列{an}满足a5＝2，a11＝11，则a－a＝________.
第2课时 等差数列的判定与性质
问题1 不一定，证明一个数列是等差数列，一定要体现出任意性．
例1 解 (1)数列是等差数列，理由如下：
∵a1＝2，an＋1＝，
∴＝＝＋，
∴－＝，
即是首项为＝，
公差为d＝的等差数列．
(2)由(1)可知＝＋(n－1)d＝，
∴an＝，n∈N*.
延伸探究 (1)证明 bn＋1－bn＝－
＝－
＝－
＝＝.
又b1＝＝，
∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．
(2)解 由(1)知bn＝＋(n－1)×＝.
∵bn＝，
∴an＝＋2＝＋2.
∴数列{an}的通项公式为an＝＋2，
n∈N*.
跟踪训练1 (1)证明 ∵－
＝＝，
∴bn＋1－bn＝，又b1＝＝1，
∴{bn}是首项为1，公差为的等差数列．
(2)解 由(1)知bn＝n＋，
∴an－1＝，
∴an＝，n∈N*.
问题2 由定义可知a3＝a1＋2d，an＝a1＋(n－1)d，两式相减得an－a3＝(n－3)d，即an＝a3＋(n－3)d.所以an＝2n－1.
问题3 由等差数列的定义可知，am＝a1＋(m－1)d，an＝a1＋(n－1)d，ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，容易发现am＋an＝2a1＋(m＋n－2)d，ap＋aq＝2a1＋(p＋q－2)d，因为m＋n＝p＋q，故有am＋an＝ap＋aq.
知识梳理
1．(2)(n－m)d (3)
2．ap＋aq 2ap
例2 (1)解 方法一 (利用an＝am＋(n－m)d)
设数列 {an}的公差为d，
则a60＝a15＋(60－15)d＝8＋45d＝20，
所以d＝＝＝，
所以a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24.
方法二 (利用隔项成等差数列)
因为{an}为等差数列，
所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，
设其公差为d，a15为首项，
则a60为第四项，
所以a60＝a15＋3d，解得d＝4，
所以a75＝a60＋d＝24.
(2)B [因为a1－a9＋a17＝(a1＋a17)－a9＝2a9－a9＝a9＝7，
所以a3＋a15＝2a9＝2×7＝14.]
延伸探究 解 方法一 设数列{an}的公差为d.
则a3＋a7＋2a15＝a1＋2d＋a1＋6d＋2(a1＋14d)
＝4a1＋36d＝4(a1＋9d)
＝4a10＝40，
∴a10＝10.
方法二 ∵a3＋a7＋2a15＝a3＋a7＋a15＋a15＝a10＋a10＋a10＋a10＝40，∴a10＝10.
跟踪训练2 (1)8
解析 方法一 ∵{bn}为等差数列，∴可设其公差为d，
则d＝＝＝2，
∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8.
∴b8＝2×8－8＝8.
方法二 由＝＝d，
得b8＝×5＋b3＝2×5＋(－2)＝8.
(2)C [由3＋an＝an＋1，
得an＋1－an＝3.
所以{an}是公差为3的等差数列．
又a2＋a4＋a6＝9，
且a2＋a6＝2a4，
所以3a4＝9，
则a4＝3，
所以a7＝a4＋3d＝3＋3×3＝12，
故log6(a5＋a7＋a9)＝log6(3a7)＝log636＝2.]
问题4 设新数列为，公差为d′，则有b1＝a1，b6＝a2，所以b6－b1＝a2－a1＝d，故有5d′＝d，
所以d′＝d.
例3 解 (1)∵a1＝3，d＝－5，
∴an＝3＋(n－1)×(－5)＝8－5n.
数列{an}中序号被4除余3的项是{an}中的第3项，第7项，第11项，…，∴b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27.
(2)设数列{an}中的第m项是数列{bn}中的第n项，即bn＝am，则m＝3＋4(n－1)＝4n－1，∴bn＝am＝a4n－1＝8－5×(4n－1)＝13－20n，即数列{bn}的通项公式为bn＝13－20n.
(3)3＋4×(503－1)＝2 011，∴数列{bn}中的第503项是数列{an}中的第2011项．
延伸探究 B [易知，第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6，故新数列的公差为具有相同首项的两个数列公差的最小公倍数，其公差为12，首项为2，
所以通项公式为an＝12n－10，
所以12n－10≤190，解得n≤，
而n∈N*，所以n的最大值为16，即这个新数列的项数为16.]
跟踪训练3 12n－1 25
解析 由于数列{an}和{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列，且公差为3×4＝12，又c1＝11，故cn＝11＋12(n－1)＝12n－1.又a100＝302，b100＝399，所以11≤12n－1≤302，
解得1≤n≤25.25，
又n∈N*，故{cn}的项数为25.
随堂演练
1．BC 2.D 3.2 4.36
