第2课时 等差数列前n项和的性质及应用
[学习目标]
1.构造等差数列求和模型，解决实际问题.
2.能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值.
3.理解并应用等差数列前n项和的性质．
一、等差数列前n项和的实际应用
问题1 请同学们围绕身边的相关生活背景，发挥智慧，命制一个等差数列求和的应用题．
例1 某优秀大学生毕业团队响应国家号召，毕业后自主创业，通过银行贷款等方式筹措资金，投资72万元生产并经营共享单车，第一年维护费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年收入租金50万元．
(1)若扣除投资和维护费用，则从第几年开始获取纯利润？
(2)若年平均获利最大时，该团队计划投资其他项目，问应在第几年转投其他项目？
反思感悟 (1)本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．
(2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体现．
跟踪训练1 《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织________尺布(不作近似计算)．
二、等差数列中前n项和的最值问题
问题2 根据上节课所学，等差数列的前n项和公式有什么样的函数特点？
知识梳理
等差数列前n项和的最值
(1)在等差数列{an}中，
当a1>0，d<0时，Sn有最______值，使Sn取得最值的n可由不等式组____________确定；
当a1<0，d>0时，Sn有最______值，使Sn取得最值的n可由不等式组____________确定．
(2)Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最____值；当d<0时，Sn有最________值．当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值．
例2 在等差数列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n项和Sn的最大值．
反思感悟 (1)求等差数列前n项和Sn最值的方法
①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用或来寻找；
②运用二次函数求最值，注意n∈N*.
(2)已知等差数列{an}，求{|an|}前n项和的方法根据(1)①中的方法寻找正、负项，然后分类讨论即可．
跟踪训练2 (1)(多选)设数列{an}是以d为公差的等差数列，Sn是其前n项和，a1>0，且S6＝S9，则下列结论正确的是( )
A．d<0
B．a8＝0
C．S5>S6
D．S7和S8为Sn的最大值
(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝－16，S6＝－12.
①求{an}的通项公式an；
②求数列{|an|}的前n项和Tn.
三、等差数列前n项和的性质
问题3 设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，你能发现Sn与S2n的关系吗？
知识梳理
1．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d.
2．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为______．
3．在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n)．
4．项的个数的“奇偶”性质：
(1)若等差数列的项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝.
(2)若等差数列的项数为2n－1，则S奇－S偶＝an，＝(S奇＝nan，S偶＝(n－1)an)．
5．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝，＝·.
例3 (1)已知Sn，Tn分别是等差数列{an}与{bn}的前n项和，且＝(n＝1,2，…)，则＋等于( )
A. B. C. D.
(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10＝100，S100＝10，求S110.
反思感悟 利用等差数列前n项和的性质简化计算
(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些．
(2) 等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．
(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法．
跟踪训练3 (1)等差数列{an}中，S3＝3，S6＝9，则S12等于( )
A．12 B．18 C．24 D．30
(2) 一个等差数列前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，求公差d.
1．知识清单：
(1)等差数列前n项和的实际应用．
(2)等差数列前n项和的最值问题．
(3)等差数列前n项和性质的应用．
2．方法归纳：公式法、构造法、函数法、整体代换法．
3．常见误区：
(1)忽视最值问题中n的个数．
(2)等差数列前n项和性质应用的前提是等差数列．
1．已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为( )
A．11或12 B．12
C．13 D．12或13
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则等于( )
A. B.
C. D.
3．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1等于( )
A．35 B．32
C．23 D．38
4．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2，－＝2，则＝____________.
第2课时 等差数列前n项和的性质及应用
问题1 我们学校会议室里的一排排座位的总和；超市里有规律摆放的水果的总和；工地上的一堆钢管的总和等．
例1 解 (1)设第n年获取的利润为y万元，则n年共收入租金50n万元，维护费构成一个以12为首项，4为公差的等差数列，
共12n＋4×＝(2n2＋10n)万元，
因此利润y＝50n－(72＋2n2＋10n)
＝－2n2＋40n－72，
令y>0，解得2因为n∈N*，
所以从第3年起开始获取纯利润．
(2)年平均获利为
＝
＝－＋40，
因为2n＋≥2＝24，
所以－＋40≤－24＋40＝16，
当且仅当2n＝，即n＝6时，取等号，
所以应在第6年转投其他项目．
跟踪训练1
解析 由题意知，该女每天的织布尺数构成等差数列{an}，其中a1＝5，S30＝390，设其公差为d，则S30＝30×5＋d＝390，解得d＝.故该女子织布每天增加尺．
问题2 由Sn＝na1＋d，可知Sn＝n2＋n，当d≠0时，Sn是常数项为0的二次函数．该函数的定义域是n∈N*，公差的符号决定了该二次函数的开口方向，通常简记为Sn＝An2＋Bn(A，B∈R)．
知识梳理
(1)大 小 (2)小 大
例2 解 方法一 因为S8＝S18，a1＝25，
所以8×25＋d＝18×25＋d，解得d＝－2.
所以Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n
＝－(n－13)2＋169.
所以当n＝13时，Sn有最大值为169.
方法二 同方法一，求出公差d＝－2.
所以an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.
因为a1＝25>0，
由
得
又因为n∈N*，
所以当n＝13时，Sn有最大值为169.
方法三 因为S8＝S18，
所以a9＋a10＋…＋a18＝0.
由等差数列的性质得a13＋a14＝0.
因为a1>0，所以d<0.
所以a13>0，a14<0.
所以当n＝13时，Sn有最大值．
由a13＋a14＝0，
得a1＋12d＋a1＋13d＝0，
解得d＝－2，
所以S13＝13×25＋×(－2)＝169，
所以Sn的最大值为169.
方法四 设Sn＝An2＋Bn.
因为S8＝S18，a1＝25，
所以二次函数图象的对称轴为n＝＝13，且开口方向向下，
所以当n＝13时，Sn取得最大值．
由题意得
解得
所以Sn＝－n2＋26n，
所以S13＝169，
即Sn的最大值为169.
跟踪训练2 (1)ABD [根据题意可得6a1＋d＝9a1＋d，即a1＋7d＝a8＝0.因为a1>0，a8＝0，所以d<0，所以数列是递减数列，故A，B正确；
对于C，因为a8＝0，d<0，所以a6>0，所以S5对于D，因为a8＝0，所以S7＝S8，又为递减数列，所以S7和S8为Sn的最大值，故D正确．]
(2)解 ①设等差数列{an}的首项和公差分别为a1和d，
∴即
解得
∴an＝－7＋(n－1)×2＝2n－9，n∈N*.
②由①知Sn＝(－7)n＋n(n－1)×2＝n2－8n.
当an≥0时 2n－9≥0 n≥5；
当an<0时 2n－9<0 n≤4，
当0Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝－(a1＋a2＋…＋an)＝8n－n2，
当n≥5时，
Tn＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋…＋an)
＝Sn－2S4＝n2－8n－2×(－16)
＝n2－8n＋32.
综上，Tn＝
问题3 S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝2Sn＋n2d，同样我们发现S3n＝3Sn＋3n2d，这里出现了一个数列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…，是一个公差为n2d的等差数列．
知识梳理
2.
例3 (1)B [因为数列{bn}是等差数列，所以b3＋b18＝b6＋b15，
所以＋＝，
又因为Sn，Tn分别是等差数列{an}与{bn}的前n项和，且＝(n＝1,2，…)，
所以＋＝＝＝＝＝.]
(2)解 方法一 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
∵S10＝100，S100＝10，
∴
解得
∴S110＝110a1＋d
＝110×＋×
＝－110.
方法二 ∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列，设公差为d，∴该数列的前10项和为10×100＋d＝S100＝10，
解得d＝－22，
∴前11项和S110＝11×100＋×(－22)＝－110.
方法三 由也是等差数列，构造新的等差数列b1＝＝10，
b10＝＝，
则d＝(b10－b1)
＝×＝－，
所以b11＝＝b10＋d＝＋
＝－1，
所以S110＝－110.
方法四 直接利用性质Sn＝m，Sm＝n，Sm＋n＝－(m＋n)，可知S110＝－110.
跟踪训练3 (1)D [根据题意，得在等差数列{an}中，S3，S6－S3，
S9－S6，S12－S9，…也成等差数列，
又由S3＝3，S6＝9，得S6－S3＝6，
则S9－S6＝9，S12－S9＝12，
则S12＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝3＋6＋9＋12＝30.]
(2) 解 设首项为a1，公差为d，
则由题意可得
解得
又S偶－S奇＝6d，∴d＝5.
综上所述，公差为5.
随堂演练
1．D 2.C 3.A 4.2 0204.2.2 等差数列的前n项和公式
第1课时 等差数列的前n项和公式
[学习目标]
1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.
2.掌握等差数列的前n项和公式.
3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个．
一、等差数列的前n项和公式
问题1 请同学们欣赏唐代诗人张南史的《花》并回答下面的问题：
花， 花．
深浅， 芬葩．
凝为雪， 错为霞．
莺和蝶到， 苑占宫遮．
已迷金谷路， 频驻玉人车．
芳草欲陵芳树， 东家半落西家．
愿得春风相伴去， 一攀一折向天涯．
从数学的角度来看，这首诗有什么特点？这首诗的内容一共有多少个字？
问题2 网络时代与唐代不同的是，宝塔诗的句数不受限制，如图，从第1行到第n行一共有多少个字？
问题3 对于一般的等差数列{an}，如何求其前n项和Sn？设其首项为a1，公差为d.
知识梳理
等差数列的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数
求和公式 Sn＝____________ Sn＝____________
例1 在等差数列{an}中：
(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；
(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d.
反思感悟 等差数列中的基本计算
(1)利用基本量求值：
等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．
(2)结合等差数列的性质解题：
等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，特别地，m＋n＝2p,2ap＝am＋an常与求和公式Sn＝结合使用．
跟踪训练1 在等差数列{an}中：
(1)a1＝1，a4＝7，求S9；
(2)a3＋a15＝40，求S17；
(3)a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d.
二、利用等差数列前n项和公式判断等差数列
问题4 等差数列前n项和Sn＝na1＋d是关于n的二次函数吗？它可以写成什么形式？
例2 若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由．
延伸探究 若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n－1，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列．若是，请证明；若不是，请说明理由．
反思感悟 由Sn求得通项公式an的特点，若Sn是关于n的二次函数，不含常数项，则由Sn求得an，知数列{an}是等差数列；否则an＝数列{an}不是等差数列．
跟踪训练2 已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n－1，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列．
1．知识清单：
(1)等差数列前n项和公式的推导过程．
(2)等差数列前n项和有关的基本运算．
(3)利用等差数列前n项和公式判断等差数列．
2．方法归纳：倒序相加法、公式法、整体代换法．
3．常见误区：由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论．
1．已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，n∈N*，则{an}的前n项和Sn等于( )
A．－n2＋ B．－n2－
C.n2＋ D.n2－
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5，a25是方程x2－4x＋3＝0的两根，则S29等于( )
A．60 B．116 C．29 D．58
3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于( )
A. B. C．2 D．3
4．数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，则它的通项公式an＝________.
第1课时 等差数列的前n项和公式
问题1 诗中文字有对称性；S＝2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＝2×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)，根据对称性，可先取其一半来研究．其数的个数较少，大家很容易求出答案．
问题2 方法一 对项数分奇数、偶数讨论，认清当项数为奇数时，通过“落单”中间一项或最后一项，转化成项数为偶数来研究．通过计算发现，无论项数是奇数还是偶数，结果都是S＝，可见，结果与项数的奇偶无关．
方法二 (如图)在原式的基础上，再加一遍1＋2＋3＋…＋n，
即S＝1＋2＋3＋…＋n，
S＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋1，
避免了分类讨论，我们把这种求和的方法称为“倒序相加法”，其本质还是配对，将2n个数重新分组配对求和．
问题3 倒序相加法
两式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等．
知识梳理
na1＋d
例1 解 (1)
解得
∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，
S10＝10a1＋d＝10×(－5)＋5×9×3＝85.
(2)由已知得S8＝＝＝172，
解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，
∴d＝5.
∴a8＝39，d＝5.
跟踪训练1 解 (1)设等差数列{an}的公差为d，
则a4＝a1＋3d＝1＋3d＝7，
所以d＝2.
故S9＝9a1＋d＝9＋×2＝81.
(2)S17＝＝＝＝340.
(3)由题意得，Sn＝＝＝－5，
解得n＝15.
又a15＝＋(15－1)d＝－，
解得d＝－，
所以n＝15，d＝－.
问题4 当d＝0时，Sn不是关于n的二次函数；当d≠0时，Sn是关于n的二次函数．Sn＝
n2＋n.
例2 解 当n＝1时，a1＝S1＝－1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝2n2－3n－2(n－1)2＋3(n－1)＝4n－5，
经检验，当n＝1时，a1＝－1满足上式，
故an＝4n－5.
数列{an}是等差数列，证明如下：
因为an＋1－an＝4(n＋1)－5－4n＋5＝4，
所以数列{an}是等差数列．
延伸探究 解 ∵Sn＝2n2－3n－1，①
当n＝1时，a1＝S1＝2－3－1＝－2；
当n≥2时，Sn－1＝22－3－1，②
①－②得an＝Sn－Sn－1
＝2n2－3n－1－[22－3－1]
＝4n－5，
经检验当n＝1时，
an＝4n－5不成立，
故an＝
故数列{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以4为公差的等差数列．
跟踪训练2 解 当n＝1时，
a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]＝2n.
又a1＝1不满足an＝2n，
∴数列{an}的通项公式是
an＝
∵a2－a1＝4－1＝3≠a3－a2＝2，
∴数列{an}中前两项的差与第二、三项的差不是同一个常数，
∴{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以2为公差的等差数列．
随堂演练
1．A 2.D 3.D 4.－2n＋2
