第2课时 等比数列的判定与性质
[学习目标]
1.掌握等比数列的判断及证明方法.
2.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算.
3.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形．
一、等比数列的判定与证明
问题1 若数列{an}的前三项成等比数列，能说明这个数列是等比数列吗？
知识梳理
判定与证明等比数列的方法
(1)定义法：＝______(n∈N*且n≥2，q为不为0的常数)．
(2)等比中项法：a＝____________(n∈N*且n≥2)．
(3)通项公式法：an＝____________＝·qn＝A·qn(A≠0)．
例1 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N*)．
(1)求a1，a2；
(2)求证：数列{an}是等比数列．
反思感悟 判断一个数列是等比数列的常用方法
(1)定义法：若数列{an}满足＝q(n∈N*，q为常数且不为零)或＝q(n≥2，且n∈N*，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列．
(2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列．
(3)等比中项法：若a＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，则数列{an}为等比数列．
跟踪训练1 数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3，…)．证明：数列是等比数列．
二、等比数列中项与项之间的关系
问题2 结合上面的类比，你能把等差数列里面的an＝am＋(n－m)d类比出等比数列中相似的性质吗？
问题3 结合上面的类比，你能把等差数列里面的am＋an＝ak＋al(m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N*)，类比出等比数列中相似的性质吗？
知识梳理
1．等比数列通项公式的推广和变形an＝____________.
2．设数列{an}为等比数列，则：
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则____________．
(2)若m，p，n成等差数列，则____________成等比数列．
例2 (1)在等比数列{an}中：
①已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n；
②已知a5＝8，a7＝2，an>0，求an.
(2)已知{an}为等比数列．
①若{an}满足a2a4＝，求a1aa5；
②若an>0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求a6＋a8；
③若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
(3)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数．
反思感悟 (1)应用等比数列的性质可以简化运算，当性质不能应用时，可以通过基本量法求解．
(2)等比数列中的设元技巧：当三个数成等比数列时，可设为，a，aq；当四个正数(负数)成等比数列时，可设为，，aq，aq3.
跟踪训练2 (1)已知等比数列{an}满足a1＋a5＋a9＝21，a4＋a8＋a12＝42，则a7等于( )
A．4 B．8 C．16 D．32
(2)在等比数列{an}中，a1，a13是方程x2－13x＋9＝0的两根，则的值为( )
A. B．3
C．± D．±3
(3)已知有四个数成等比数列，且将这四个数分别减去1,1,4,13后成等差数列，则这四个数的和是________．
三、由等比数列构造新等比数列
问题4 结合我们所学，你能类比等差数列、等比数列的通项公式的结构特点及运算关系吗？
知识梳理
1．在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．
2．若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是____________．
3．若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为______和______．
例3 如果数列{an}是等比数列，那么下列数列中不一定是等比数列的是( )
A. B.
C. D.
反思感悟 由等比数列构造新的等比数列，一定要检验新的数列中是否有为0的项，主要是针对q<0的情况．
跟踪训练3 设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形面积(i＝1,2，…)，则{An}为等比数列的充要条件为( )
A．{an}是等比数列
B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列
C．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列
D．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同
1．知识清单：
(1)等比数列的判定与证明．
(2)等比数列中项与项之间的关系及应用．
(3)由等比数列构造新的等比数列．
2．方法归纳：公式法、类比法、定义法、分类讨论法．
3．常见误区：
(1)构造新的等比数列易忽视有等于0的项．
(2)四个数成等比数列时设成，，aq，aq3，未考虑公比为负的情况．
1．已知{an}，{bn}都是等比数列，那么( )
A．{an＋bn}，{anbn}都一定是等比数列
B．{an＋bn}一定是等比数列，但{anbn}不一定是等比数列
C．{an＋bn}不一定是等比数列，但{anbn}一定是等比数列
D．{an＋bn}，{anbn}都不一定是等比数列
2．已知数列{an}为各项都是正数的等比数列，a＝9a1·a9，则等于( )
A．3 B.
C. D.
3．等比数列{an}为递减数列，若a7·a14＝6，a4＋a17＝5，则等于( )
A. B. C. D．6
4．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，则这四个数为________．
第2课时 等比数列的判定与性质
问题1 不能，要证明一个数列是等比数列，一定要体现出任意性．
知识梳理
(1)q (2)an－1an＋1 (3)a1qn－1
例1 (1)解 由S1＝(a1－1)，
得a1＝(a1－1)，所以a1＝－.
又S2＝(a2－1)，
即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝.
(2)证明 当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1
＝(an－1)－(an－1－1)，
得＝－.又a1＝－，
所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列．
跟踪训练1 证明 由a1＝1，an＋1＝Sn，
得an>0，Sn>0.
由an＋1＝Sn，an＋1＝Sn＋1－Sn，
得(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，
整理，得nSn＋1＝2(n＋1)Sn，
所以＝2·，则＝2.
因为＝＝1，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列．
问题2 类比可得an＝amqn－m；由等比数列的定义可知an＝a1qn－1，am＝a1qm－1，两式相除可得＝＝q(n－1)－(m－1)＝qn－m，即an＝amqn－m.
问题3 类比可得aman＝akal，
其中m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N*.
推导过程：am＝a1qm－1，an＝a1qn－1，ak＝a1qk－1，al＝a1ql－1，
所以aman＝a1qm－1·a1qn－1＝aqm＋n－2，akal＝a1qk－1·a1ql－1＝aqk＋l－2，
因为m＋n＝k＋l，
所以有aman＝akal.
知识梳理
1．amqn－m
2．(1)ak·al＝am·an (2)am，ap，an
例2 (1)解 设等比数列{an}的公比为q.
①由
得q＝.
再由a3＋a6＝a3·(1＋q3)＝36得a3＝32，
则an＝a3·qn－3＝32×n－3＝n－8＝，
所以n－8＝1，所以n＝9.
②由a5＝8，a7＝a5·q2＝2，
得q2＝.
因为an>0，所以q＝，
所以an＝a5·qn－5＝8×n－5＝n－8.
(2)解 ①在等比数列{an}中，
∵a2a4＝，
∴a＝a1a5＝a2a4＝，
∴a1aa5＝.
②由等比中项，化简条件得
a＋2a6a8＋a＝49，
即(a6＋a8)2＝49，
∵an>0，
∴a6＋a8＝7.
③由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2·…·a10)＝log3[(a1a10)·(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]
＝log395＝10.
(3)解 方法一 设前三个数分别为，
a，aq，
则·a·aq＝216，
所以a3＝216.
所以a＝6.
因此前三个数为，6,6q.
由题意知第4个数为12q－6.
所以6＋6q＋12q－6＝12，
解得q＝.
故所求的四个数为9,6,4,2.
方法二 设后三个数为4－d,4,4＋d，
则第一个数为(4－d)2，
由题意知(4－d)2×(4－d)×4＝216，
解得4－d＝6.
所以d＝－2.
故所求的四个数为9,6,4,2.
跟踪训练2 (1)B [设数列{an}的公比为q，
则a4＋a8＋a12＝(a1＋a5＋a9)q3，
即21q3＝42，解得q＝.
因为a1＋a5＋a9＝a1(1＋q4＋q8)＝21a1＝21，
所以a1＝1，则a7＝a1q6＝8.]
(2)B [因为a1，a13是方程x2－13x＋9＝0的两根，
所以a1a13＝9，a1＋a13＝13，
所以a1>0，a13>0，
又{an}为等比数列，
则a7＝a1q6>0，
又a1a13＝a2a12＝a＝9，
所以a7＝3或a7＝－3(舍去)，
所以＝a7＝3.]
(3)45
解析 设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，
则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列．
即
整理得
解得
因此这四个数分别是3,6,12,24，
其和为45.
问题4
等差数列 等比数列
定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列
符号表示 an－an－1＝d(n≥2，n∈N*) ＝q(n≥2，n∈N*)
通项公式 an＝a1＋(n－1)d an＝a1qn－1
类比 差 商；和 积，积 乘方
性质 等差数列首项为a1，公差为d 等比数列首项为a1，公比为q
把等差数列前k项去掉，得到一个以ak＋1为首项，以d为公差的等差数列 把等比数列前k项去掉，得到一个以ak＋1为首项，以q为公比的等比数列
等差数列中，ak，ak＋m，ak＋2m…是公差为md的等差数列 等比数列中，ak，ak＋m，ak＋2m…是公比为qm的等比数列
等差数列中任意一项加上同一个常数，构成一个公差不变的等差数列 等比数列中任意一项同乘一个非零常数，构成一个公比不变的等比数列
两个等差数列相加，还是一个等差数列 两个等比数列相乘，还是一个等比数列
知识梳理
2．q，，q2
3．pq
例3 D [取等比数列an＝n，则an＋an＋1＝0，所以{an＋an＋1}不是等比数列，故D错误；
对于其他选项，均满足等比数列通项公式的性质．]
跟踪训练3 D [因为Ai是边长为ai，ai＋1的矩形面积(i＝1,2，…)，所以Ai＝aiai＋1(i＝1,2,3，…，n，…)，
则数列{An}的通项为An＝anan＋1.根据等比数列的定义，
数列{An}(n＝1,2,3，…)为等比数列的充要条件是＝＝＝q(常数)．]
随堂演练
1．C 2.D 3.A
4．3,6,12,18或，，，§4.3 等比数列
4.3.1 等比数列的概念
第1课时 等比数列的概念及通项公式
[学习目标]
1.通过实例，理解等比数列的概念.
2.掌握等比中项的概念并会应用.
3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程.
4.理解等比数列通项公式与函数的关系．
一、等比数列的概念
问题1 观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题．
(1)我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”
构成数列：9,92,93,94,95,96,97,98；
(2)《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这句话中隐藏着一列数：
，，，，，…；
(3)－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂…，依次排成一列数：－，，－，，…，
类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？
知识梳理
等比数列的概念
一般地，如果一个数列从第______项起，每一项与它的______一项的________都等于____________常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的______，公比通常用字母q表示(显然q≠0)．
例1 判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比．
(1)1，，，，，…；
(2)，2，3，4，…；
(3)1,0,1,0,1,0，…；
(4)1，－4,16，－64,256，…；
(5)a，a，a，a，a….
反思感悟 判断一个数列是否为等比数列的方法
定义法：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论．
跟踪训练1 已知数列{an}为等差数列，则下列数列一定为等比数列的是( )
A．{2an} B．{lg an} C．{a} D.
二、等比中项
问题2 我们知道，任意两个实数都有等差中项，那么，任意两个实数是否也有等比中项？
知识梳理
等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的____________，此时，____________.
例2 －2和＋2的等差中项与等比中项分别为( )
A.，±2 B．2，±
C.，±1 D．1，±
反思感悟 (1)由等比中项的定义可知＝ G2＝ab G＝±，所以只有a，b同号时，a，b才有等比中项，且有两个，异号时，没有等比中项．
(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项．
跟踪训练2 在等差数列{an}中，a3＝0.如果ak是a6与ak＋6的等比中项，那么k＝________.
三、等比数列的通项公式
问题3 类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
问题4 观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
知识梳理
1．若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝____________(n∈N*)．
2．等比数列的通项公式与指数型函数的关系
(1)当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即____________．
(2)任给函数f(x)＝kax(k，a为常数，k≠0，a>0且a≠1)，则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为______，公比为______．
例3 在等比数列{an}中：
(1)a1＝1，a4＝8，求an；
(2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
(3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
反思感悟 等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．
跟踪训练3 若等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a4＋a5＝81，则数列{an}的公比为( )
A．－2 B．2 C．－3 D．3
例4 已知数列{an}是等比数列，且公比大于0，则“q>1”是“数列{an}是递增数列”的( )
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
延伸探究 若{an}为等比数列，则“a1
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
反思感悟 判断等比数列的单调性的方法
(1)当q>1，a1>0或0(2)当q>1，a1<0或00时，{an}是递减数列．
(3)当q＝1时，{an}是常数列；当q<0时，{an}是摆动数列．
跟踪训练4 设{an}是等比数列，则“a1A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
1．知识清单：
(1)等比数列的概念．
(2)等比中项的概念．
(3)等比数列的通项公式及其与函数的关系．
2．方法归纳：方程(组)思想、构造法．
3．常见误区：x，G，y成等比数列 G2＝xy，但G2＝xy x，G，y成等比数列．
1．(多选)已知a是1,2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab等于( )
A．6 B．－6
C．－12 D．12
2．在单调递减的等比数列{an}中，若a3＝1，a2＋a4＝，则a1等于( )
A．9 B．3 C. D.
3．写出一个公比为3，且第三项小于1的等比数列an＝________.
4．已知数列{an}满足an＋1＝λan＋2，若{an＋3}是等比数列，则公比λ＝________.
4.3.1 等比数列的概念
第1课时 等比数列的概念及通项公式
问题1 我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律．对于(1)我们发现＝9，＝9，＝9，…，也就是说从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于9；对于(2)＝，…；对于(3)＝－，…，也有相同的取值规律．
知识梳理
2 前 比 同一个 公比
例1 解 (1)不是等比数列；(2)是等比数列，公比为；(3)不是等比数列；(4)是等比数列，公比为－4；(5)当a＝0时，不是等比数列，当a≠0时，是等比数列，公比为1.
跟踪训练1 A [设{an}的公差是d，即an＋1－an＝d，
显然≠0，且＝＝2d是常数，{2an}是等比数列；若an＝1，则lg an＝0，则{lg an}不是等比数列；只要d≠0，{a}，都不可能是等比数列，如an＝n，a＝n2，＝.]
问题2 不是，首先，0不能出现在等比数列中，就没有任意性；其次，假设－1，x,1这三个数成等比数列，则根据定义会有＝，即x2＝－1，该方程无实数解，故符号不同的两个实数也无等比中项．若1，x,4这三个数成等比数列，由定义可知，x2＝4，即x＝±2；或－1，x，－4这三个数成等比数列，由定义可知，x2＝4，即x＝±2，我们发现，如果两个实数有等比中项，则会有两个，且互为相反数．
知识梳理
等比中项 G2＝ab
例2 C [－2和＋2的等差中项为＝，
－2和＋2的等比中项为±＝±1.]
跟踪训练2 9
解析 设等差数列{an}的公差为d，由题意得a3＝a1＋2d＝0，∴a1＝－2d.又∵ak是a6与ak＋6的等比中项，∴a＝a6ak＋6，即[a1＋(k－1)d]2＝(a1＋5d)·[a1＋(k＋5)d]，[(k－3)d]2＝3d·(k＋3)d，解得k＝9或k＝0(舍去)．
问题3 设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由定义可知＝q(n∈N*且n≥2)．
方法一 an＝××…×××a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1qn－1，
当n＝1时，上式也成立．
方法二 a2＝a1q，
a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，
a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，
……
由此可得an＝a1qn－1(n≥2)，
当n＝1时，上式也成立．
问题4 由an＝a1qn－1＝·qn可知，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)．
知识梳理
1．a1qn－1
2．(1)an＝f(n) (2)ka a
例3 解 (1)因为a4＝a1q3，
所以8＝q3，所以q＝2，
所以an＝a1qn－1＝2n－1.
(2)a1＝＝＝5，故a1＝5.
(3) 因为
由，得q＝，从而a1＝32.
又an＝1，
所以32×n－1＝1，
即26－n＝20，故n＝6.
跟踪训练3 D [设等比数列{an}的公比为q，
因为a1＋a2＝3，a4＋a5＝81，
所以
所以＝，
解得q＝3.]
例4 D [当a1<0，q>1时，数列{an}为递减数列，即充分性不成立；
当“数列{an}是递增数列”时，可能是a1<0,0即“q>1”是“数列{an}是递增数列”的既不充分也不必要条件．]
延伸探究 B [若等比数列{an}是递增数列，可得a1反之：例如数列，
此时满足a1所以“a1跟踪训练4 B [设等比数列{an}的公比为q，
由a10，
解得或
此时数列{an}不一定是递增数列；
若数列{an}为递增数列，
可得或
此时a1所以“a1随堂演练
1．AB 2.A 3.×3n－1(答案不唯一)
4.