第3课时 数列的综合应用
[学习目标]
1.能够把实际问题转化成数列问题.
2.进一步熟悉通过建立数列模型并应用数列模型解决综合问题的过程．
一、数列中的构造问题
例1 已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝an＋1(n∈N*)，正项等比数列{bn}中，b1＝1且2bn＋2＝bn＋1＋3bn(n∈N*)．求数列{an}，{bn}的通项公式．
反思感悟 给出数列的方式有多种，以递推公式的形式给出是很常见的情况，通常是转化为等差或等比数列求出通项．常用方法为待定系数法、倒数法等方法．
跟踪训练1 (1)已知数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝.则数列{an}的通项公式为an＝________.
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an＋1＝2an＋1，且a1＋2a2＝a3.求数列{an}的通项公式．
二、数列在实际问题中的应用
例2 小华准备购买一部售价为5 000元的手机，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清．商家提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，…，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少．(精确到0.1，参考数据：1.00812≈1.10)
反思感悟 (1)解应用问题的核心是建立数学模型．
(2)一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型．
(3)注意问题是求什么(n，an，Sn)．
注意：
①解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答．
②在归纳或求通项公式时，一定要将项数n计算准确．
③在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系．
④在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度的要求．
跟踪训练2 某地本年度旅游业收入估计为400万元，由于该地出台了一系列措施，进一步发展旅游业，预计今后旅游业的收入每年会比上一年增加.(参考数据：lg 6≈0.778，lg ≈0.097)．
(1)求前n年旅游业的总收入(用代数式表示)；
(2)试估计大约从第几年开始，旅游业的总收入超过8 000万元．
三、数列在平面几何中的应用
例3 如图所示，作边长为a的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆．如此下去，前n个内切圆的面积和为________．
反思感悟 此类几何问题可以转化为等比数列模型，利用等比数列的有关知识解决，要注意步骤的规范性．
跟踪训练3 毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们常把沙滩上的沙粒或小石子用数表示，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究．如图，图形中的圆点数分别为1,5,12,22，…，以此类推，第6个图形对应的圆点数为________，若这些数构成数列{an}，则a1＋＋＋…＋＝________.
1．知识清单：
(1)数列中的构造问题．
(2)数列在实际问题中的应用．
(3)数列在平面几何中的应用．
2．方法归纳：构造法、转化法．
3．常见误区：在实际问题中首项和项数弄错．
1．我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷款月利率为0.4%，设张华第n个月的还款金额为an元，则an等于( )
A．2 192 B．3 912－8n
C．3 920－8n D．3 928－8n
2．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1 000米处和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1 000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟领先他10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然领先他1米…所以，阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10－2米时，乌龟爬行的总距离为( )
A.米 B.米
C.米 D.米
3．调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.02 mg/mL.如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，则他至少要经过________才可以驾驶机动车(精确到小时)( )
A．1小时 B．2小时 C．4小时 D．6小时
4.将n个大小不同的正方体形状的积木从上到下，从小到大堆成塔状，平放在桌面上．上面一个正方体积木下底面的四个顶点正好是它下面一个正方体积木的上底面各边的中点，按此规律不断堆放．如果最下面的正方体积木的棱长为1，且这些正方体积木露在外面的面积之和为Sn，则Sn＝________.
第3课时 数列的综合应用
例1 解 由an＋1＝an＋1，
得an＋1－2＝(an－2)，
又a1＝1，即a1－2＝－1≠0，
所以an－2≠0，
从而＝，
所以数列{an－2}是等比数列，首项为－1，公比为，则an－2＝－n－1，
即an＝2－n－1，
设等比数列{bn}的公比为q，
由2bn＋2＝bn＋1＋3bn，得2q2＝q＋3，
解得q＝－1或q＝，
因为bn>0，
所以q>0，从而q＝，又b1＝1，
所以bn＝n－1.
跟踪训练1 (1)
解析 因为an＋1＝，
所以＝＝＋1，
即－＝1，
所以数列是首项为1，
公差为1的等差数列，
所以＝n，an＝.
(2)解 an＋1＝2an＋1，
即an＋1＋1＝2an＋2，
＝2，
因为a1＋2a2＝a3，
a3＝2a2＋1，
所以a1＝1，a1＋1＝2，
则数列{an＋1}是以2为首项，
2为公比的等比数列，
所以an＋1＝2n，an＝2n－1.
例2 解 设小华每期付款x元，第k个月末付款后的欠款本利为Ak元，则：
A2＝5 000×(1＋0.008)2－x＝5 000×1.0082－x，
A4＝A2(1＋0.008)2－x＝5 000×1.0084－1.0082x－x，
…，
A12＝5 000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x＝0，
解得x＝
＝≈883.5.
故小华每期付款金额约为883.5元．
跟踪训练2 解 (1)设第n年的旅游业收入估计为an万元，
则a1＝400，
a2＝a1＝a1，
a3＝a2＝a2，…，
an＋1＝an＝an ，
∴＝，
即数列{an}是首项为400，
公比为的等比数列，
∴Sn＝＝
＝1 600×，
即前n年旅游业的总收入为1 600×万元．
(2)由(1)知Sn＝1 600×，
令Sn>8 000，
即1 600×>8 000，
∴n>6，即lgn>lg 6，
∴n>≈8，
∴大约从第9年开始，旅游业的总收入超过8 000万元．
例3 π
解析 设第n个正三角形的内切圆的半径为an，
∵从第二个正三角形开始每一个正三角形的边长是前一个的，
每一个正三角形的内切圆半径也是前一个正三角形内切圆半径的，
∴a1＝atan 30°＝a，a2＝a1，…，an＝an－1，
∴数列{an}是以a为首项，
为公比的等比数列，
∴an＝×n－1a，
设前n个内切圆的面积和为Sn，
则Sn＝π(a＋a＋…＋a)＝
πa
＝πa
＝×π＝π
＝π.
跟踪训练3 51 305
解析 根据题意，记第n个图形的圆点数为an，由题意知a1＝1，a2－a1＝4＝1＋3×1，a3－a2＝1＋3×2，a4－a3＝1＋3×3，…，an－an－1＝1＋3(n－1)，累加得an－a1＝4＋7＋…＋[1＋3(n－1)]＝(3n－1)－1，即an＝(3n－1)，所以a6＝51，又＝，所以a1＋＋＋…＋＝×(2＋5＋8＋…＋59)＝××20＝305.
随堂演练
1．D 2.B
3．C [设n个小时后才可以驾车，根据题意可知，每小时酒精下降的量成等比数列，公比为50%，进而可得方程0.3(1－50%)n≤0.02，得n≤，即n≥4，所以至少要经过4小时才可以驾驶机动车．]
4．9－
解析 最底层正方体的棱长为1，则该正方体的除底面外的表面积为5×12＝5；
倒数第2个正方体的棱长为1×＝，
它的侧面积为4×2＝4×1，
倒数第3个正方体的棱长为×＝2，它的侧面积为4×2×2＝4×2；
…
倒数第n个正方体的棱长为n－1，
它的侧面积为4×2(n－1)＝4×n－1，
则它们的表面积为Sn＝
5＋4×
＝5＋4×＝9－＝9－.4.3.2 等比数列的前n项和公式
第1课时 等比数列的前n项和公式
[学习目标]
1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.
2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．
一、等比数列前n项和公式
问题1 若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？
问题2 同学们，现在你能帮国王算一下他需要付出多少颗麦粒吗？如果他无法实现他的诺言，你能帮他解决吗？
知识梳理
等比数列的前n项和公式
已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项
求和公式 公式一： Sn＝____________ 公式二： Sn＝____________
例1 (1)在等比数列{an}中，
①a1＝2，q＝－，求S10；
②q＝，S100＝150，求a2＋a4＋a6＋…＋a100的值．
(2)在等比数列{an}中．
①S2＝30，S3＝155，求Sn；
②a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5；
③a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求公比q.
反思感悟 在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解．在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．(注意：q＝1和q≠1的讨论)
跟踪训练1 (1)在14与之间插入n个数，组成所有项的和为的等比数列，求此数列的项数．
(2)①若a2－a1＝1，a3－a1＝3，求等比数列{an}的前n项和Sn；
②已知S4＝1，S8＝17，求等比数列{an}的通项．
二、利用等比数列前n项和公式判断等比数列
问题3 你能发现等比数列前n项和公式Sn＝(q≠1)的函数特征吗？
知识梳理
1．当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝____________.即Sn是n的指数型函数．
2．当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝______，Sn是n的正比例函数．
例2 数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式，并判断{an}是否是等比数列．
延伸探究 若将本题改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n＋1－2k，则实数k＝________.
反思感悟 (1)已知Sn，通过an＝
求通项公式an，应特别注意当n≥2时，an＝Sn－Sn－1.需验证当n＝1时是否满足此式．
(2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列．
跟踪训练2 若数列{an}的前n项和Sn＝tn－1(t∈R)，则此数列是( )
A．等差数列
B．等比数列
C．等差数列或等比数列
D．以上说法均不对
1．知识清单：
(1)等比数列前n项和公式的推导．
(2)等比数列前n项和公式的基本运算．
(3)等比数列前n项和公式的结构特点．
2．方法归纳：公式法、错位相减法．
3．常见误区：等比数列前n项和公式中项数的判断易出错．
1．等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于( )
A.
B.
C.
D.
2．数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
3．在等比数列{an}中，Sn表示前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q＝__________.
4．若各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，满足S2＝，a5＋a6＝12，则S4＝________.
4.3.2 等比数列的前n项和公式
第1课时 等比数列的前n项和公式
问题1 思路一：因为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，
所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1，
上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn，
发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn－qSn＝a1－a1qn，
即(1－q)Sn＝a1(1－qn)，当q≠1时，有Sn＝，而当q＝1时，Sn＝na1.上述等比数列求前n项和的方法，我们称为“错位相减法”．利用该公式，我们很容易解决一周能向家长要多少零花钱，S7＝2＋22＋23＋…＋27＝＝28－2＝254.
思路二：当q≠1时，由等比数列的定义得＝＝…＝＝q，
根据等比数列的性质，有＝＝q (1－q)Sn＝a1－anq，
所以当q≠1时，Sn＝，该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比数列的性质，推导出了公式，通过上述两种推导方法，我们获得了等比数列前n项和的两种形式，而这两种形式可以利用an＝a1qn－1相互转化．
思路三：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋q(a1＋a2＋…＋an－1)，
所以有Sn＝a1＋qSn－1 Sn＝a1＋q(Sn－an) (1－q)Sn＝a1－anq，
所以当q≠1时，Sn＝或Sn＝，显然方程的思想在本次推导过程中显示了巨大的威力，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使我们不拘泥于课本，又能使问题得到解决．
问题2 S64＝1＋2＋22＋23＋…＋263＝＝264－1
＝18 446 744 073 709 551 615，然而这个数字对国王来说是一个天文数字，显然国王无法实现他的诺言，国王为了使自己不失信于民，于是他向发明者说：你这个提议很好，你自己去数吧．大家知道吗，要把这些数完，如果一秒钟数一粒，大约需要5 800亿年．同学们，看来学好数学是多么的重要．
知识梳理
例1 (1)解 ①S10＝
＝
＝×＝.
②方法一 S100＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a99＋a100
＝2(a2＋a4＋…＋a100)＋a2＋a4＋…＋a100
＝3(a2＋a4＋…＋a100)＝150，
∴a2＋a4＋a6＋…＋a100＝50.
方法二 S100＝＝150，
整理得a1＝75，
∴a2＋a4＋…＋a100＝
＝a1＝×75＝50.
(2)解 ①由题意知
解得或
从而Sn＝×5n＋1－或
Sn＝.
②方法一 由题意知
解得
从而S5＝＝.
方法二 由a4＋a6＝(a1＋a3)q3，
得q3＝，从而q＝.
又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，所以a1＝8，
从而S5＝＝.
③因为a2an－1＝a1an＝128，
且a1＋an＝66，
所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两个根．
从而或
又Sn＝＝126，所以q＝2或.
跟踪训练1 (1)解 设此数列的公比为q(易知q≠1)，
则解得
故此数列共有5项．
(2)解 ①设等比数列{an}的公比为q，由已知，
得
解得
∴Sn＝＝2n－1.
②若q＝1，则S8＝2S4，不符合题意，∴q≠1，
∴S4＝＝1，
S8＝＝17，
两式相除得＝17＝1＋q4，
解得q＝2或q＝－2.
当q＝2时，a1＝；
当q＝－2时，a1＝－，
∴an＝×2n－1或an＝－×(－2)n－1.
问题3 Sn＝＝－qn＋，设A＝－，则Sn＝Aqn－A.
知识梳理
1．Aqn－A
2．na1
例2 解 方法一 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2×3n－1.
当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1不适合上式．
∴an＝
由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，显然a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列．
方法二 由等比数列{bn}的公比q≠1时的前n项和Sn＝Aqn＋B满足的条件为A＝－B，对比可知Sn＝3n－2，2≠1，故{an}不是等比数列．
延伸探究
解析 ∵Sn＝3n＋1－2k＝3×3n－2k，且{an}为等比数列，
∴3－2k＝0，即k＝.
跟踪训练2 D [当n＝1时，
a1＝S1＝t－1，
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝tn－tn－1＝tn－1(t－1)，
当t＝1时，an＝0，
所以{an}是等差数列；
当t＝0时，{an}为非等差数列，
非等比数列；
当t≠1，且t≠0时，an＝tn－1(t－1)，
所以{an}是等比数列．]
随堂演练
1．C 2.C 3.3 4.第2课时 等比数列前n项和的性质及应用
[学习目标]
1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题.
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．
一、等比数列前n项和公式的性质
问题1 类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质？
问题2 你能否用等比数列{an}中的Sm，Sn来表示Sm＋n
问题3 类似于等差数列中的片段和的性质，在等比数列中，你能发现Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)的关系吗？
知识梳理
1．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：
(1)在其前2n项中，＝q.
(2)在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)；S奇＝a1＋qS偶．
2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋______(n，m∈N*)．
3．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，__________仍构成等比数列．
例1 (1)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，则公比q＝________.
(2)若等比数列{an}共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为________，项数为______________．
例2 在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
反思感悟 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法
(1)若等比数列{an}共有2n项，要抓住＝q和S偶＋S奇＝S2n这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1这一隐含特点．要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．
(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质．
跟踪训练1 (1)已知等比数列{an}的公比q＝，且a1＋a3＋a5＋…＋a99＝90，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝________.
(2)记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝3，S8＝9，则S12等于( )
A．12 B．18 C．21 D．27
二、等比数列前n项和公式的实际应用
例3 《算法统宗》是中国古代数学名著，程大位著，共17卷，书中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”大致意思是：有一个人要到距离出发地378里的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．那么该人第1天所走路程里数为( )
A．96 B．126 C．192 D．252
反思感悟 (1)解应用问题的核心是建立数学模型．
(2)一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型．
(3)注意问题是求什么(n，an，Sn)．
跟踪训练2 中国三大名楼之一的黄鹤楼因其独特的建筑结构而闻名，其外观有五层而实际上内部有九层，隐喻“九五至尊”之意，现打算在黄鹤楼内部挂灯笼进行装饰，若在黄鹤楼内部九层塔楼共挂1 533盏灯笼，且相邻的两层中，下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍，则内部塔楼的顶层应挂________盏灯笼．
三、等比数列前n项和公式的综合应用
例4 螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图(1)所示．如图(2)所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形MNPQ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案．如图(2)阴影部分，设直角三角形AEH的面积为b1，直角三角形EMQ的面积为b2，后续各直角三角形的面积依次为b3，…，bn，则数列{bn}的前n项和Sn＝________.
反思感悟 解决等比数列前n项和公式有关问题时应注意
(1)首先将题目问题转化为等比数列问题．
(2)当题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系．
跟踪训练3 如图，画一个边长为2的正方形，再将此正方形各边的中点相连得到第2个正方形，以此类推，记第n个正方形的面积为an，数列{an}的前n项和为Sn.求{an}的通项公式及S2 023.
1．知识清单：
(1)等比数列前n项和公式的性质．
(2)等比数列前n项和公式的实际应用．
(3)等比数列前n项和公式的综合应用．
2．方法归纳：公式法、分类讨论法、转化法．
3．常见误区：应用片段和性质时易忽略其成立的条件．
1．在等比数列{an}中，a1a2a3＝1，a4＝4，则a2＋a4＋a6＋…＋a2n等于( )
A．2n－1 B.
C. D.
2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于( )
A．3∶4 B．2∶3
C．1∶2 D．1∶3
3．我国古代著作《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”其含义是：一尺长的木棍，每天截去它的一半，永远也截不完．在这个问题中，记第n天后剩余木棍的长度为an，数列{an}的前n项和为Sn，则使得不等式Sn>成立的正整数n的最小值为( )
A．6 B．5 C．4 D．3
4．一个项数为偶数的等比数列{an}，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则数列的通项公式an＝_____________________.
第2课时 等比数列前n项和的性质及应用
问题1 若等比数列{an}的项数有2n项，则
其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，
其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，容易发现两列式子中对应项之间存在联系，即S偶＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝qS奇，所以有＝q.
若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1，从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1＝a2q＋a4q＋…＋a2nq＝qS偶，即S奇＝a1＋qS偶．
问题2 思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm＝Sm＋qmSn.
思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn
＝Sn＋qnSm.
问题3 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍成等比数列，证明如下：
思路一：当q＝1时，结论显然成立；
当q≠1时，Sn＝，
S2n＝，
S3n＝.
S2n－Sn＝－＝，
S3n－S2n＝－
＝，
而2＝2，
Sn(S3n－S2n)＝×，
故有2＝Sn(S3n－S2n)，
所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．
思路二：由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，
故有S2n－Sn＝qnSn，
S3n＝S2n＋q2nSn，
故有S3n－S2n＝q2nSn，
故有2＝Sn(S3n－S2n)，
所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．
知识梳理
2．qnSm 3.S3n－S2n
例1 (1)2
解析 由题意知S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80，
∴S奇＝－80，S偶＝－160，
∴q＝＝2.
(2)2 9
解析 由性质S奇＝a1＋qS偶可知341＝1＋170q，所以q＝2，设这个数列共有2n＋1项，则S2n＋1＝＝341＋170＝511，解得n＝4，即这个等比数列的项数为9.
例2 解 方法一 ∵S2n≠2Sn，∴q≠1，
由已知得
②÷①得1＋qn＝，
即qn＝， ③
将③代入①得＝64，
∴S3n＝＝64×＝63.
方法二 ∵{an}为等比数列，显然公比不等于－1，
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，
∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
∴S3n＝＋S2n＝＋60＝63.
方法三 由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，
即60＝48＋48qn，
得qn＝，
∴S3n＝S2n＋q2nSn＝60＋48×2＝63.
跟踪训练1 (1)120
解析 因为在等比数列中，若项数为2n，则＝q，
所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a100)＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a1＋a3＋a5＋…＋a99)
＝90＋×90＝120.
(2)C [方法一 因为Sn为等比数列{an}的前n项和，且S4＝3，S8＝9，易知等比数列{an}的公比q≠－1，所以S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，所以(S8－S4)2＝S4(S12－S8)，所以62＝3(S12－9)，解得S12＝21.
方法二 由方法一知，S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，即3,6,12成等比数列，S12－S8＝12，所以S12＝S8＋12＝9＋12＝21.]
例3 C [由题意得，该人每天走的路程形成以a1为首项，以为公比的等比数列，
因为该人6天后到达目的地，则有
S6＝＝378，
解得a1＝192，
所以该人第1天所走路程里数为192.]
跟踪训练2 3
解析 依题意，各层灯笼数从上到下排成一列构成等比数列{an}(n∈N*，n≤9)，公比q＝2，前9项和为1 533，于是得S9＝＝1 533，解得a1＝3，所以内部塔楼的顶层应挂3盏灯笼．
例4 4－4×n
解析 设由外到内各正方形的边长依次为a1，a2，a3，…，an，
则a1＝4，a2＝＝a1，
a3＝＝a2＝2a1，
…，
an＝＝an－1
＝，
于是数列{an}是以4为首项，
为公比的等比数列，
则an＝4×n－1.
由题意可得，
S△AHE＝，
即b1＝，b2＝，…，bn＝，
于是bn＝
＝×n－1，所以{bn}是以为首项，为公比的等比数列，
Sn＝×＝4×
＝4－4×n.
跟踪训练3 解 记第n个正方形的边长为bn，
由题意可知b＝2×2＝b，
则an＝an－1，
所以数列{an}是以a1＝4为首项，
以q＝为公比的等比数列，
即an＝4×n－1＝23－n.
S2 023＝
＝8×＝8－.
随堂演练
1．B 2.A 3.B
4．12×n－1，n∈N*
