6.3 正方形的性质与判定同步练习 （含解析）鲁教版（五四制）八年级数学下册

6.3 正方形的性质与判定
一、选择题：
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A. 四个角都是直角 B. 对角线相等 C. 四条边相等 D. 对角线互相平行
2.如图，正方形的边长为，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为若，则线段的长是 ( )
A. B. C. D.
3.下列命题，其中是真命题的为( )
A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 一组邻边相等的矩形是正方形
4.如图，矩形纸片中，，现将其沿对折，使得点落在边上的点处，折痕与边交于点，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
5.四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形的内角，正方形变为菱形若，则菱形的面积与正方形的面积之比是( )
A. B. C. D.
6.如图，已知正方形的对角线长为，将正方形沿直线折叠，则图中阴影部分的周长为 ( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，点，，分别是，，的中点，则下列四个判断中不一定正确的是( )
A. 四边形一定是平行四边形
B. 若，则四边形是矩形
C. 若四边形是菱形，则是等边三角形
D. 若四边形是正方形，则是等腰直角三角形
8.如图，正方形中，点，，，分别是各边的中点，连结，取的中点，连结，，则下列说法正确的是( )
A.
B. 四边形的面积是面积的倍
C.
D. 四边形的周长是周长的倍
二、填空题：
9.矩形的对角线，相交于点，请你添加一个适当的条件______，使其成为正方形只填一个即可
10.如图，四边形是正方形，延长到，使，则的度数是______．
11.如图，两个边长为的正方形拼合成一个长方形，则图中阴影部分的面积是______．
12.如图，点在线段上，四边形和四边形都是正方形，面积分别是和，则的面积为______．
13.如图，正方形纸片的边长为，是边上一点，连接、折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，得到折痕，点在上，若，则的长为______．
14.如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，且，，则点的坐标为______．
15.如图，在四边形中，，，于若四边形的面积是，则的长是________．
16.如图，在长方形中，，是边上的一点，交于点，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，则 ．
三、解答题：
17.如图所示，已知平行四边形，对角线，相交于点，．
求证：平行四边形是矩形；
请添加一个条件使矩形为正方形．
18.如图，四边形是正方形，是等边三角形．
求证：≌；
求的度数．
19.如图，正方形，点，分别在，上，且，与相交于点．
求证：；
若，，求的长．
20.如图，在正方形中，是对角线上的一点，点在的延长线上，且，交于点．
求证：；
求的度数．
21.已知：如图，四边形中，，，是对角线上一点，且．
求证：四边形是菱形
如果，且，求证：四边形是正方形．
22.如图，已知正方形，是对角线上任意一点，，，垂足分别为点和，交于点．
求证：四边形是正方形；
求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了正方形和矩形的性质，根据正方形、矩形的性质，即可解答．
【解答】
解：根据正方形和矩形的性质知，它们具有相同的特征有：四个角都是直角、对角线都相等、对角线互相平分，但矩形的长和宽不相等．
故选C．
2.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查勾股定理的应用，根据比例可求解的长，设，根据勾股定理可列方程，解方程即可求解的值．
【解答】
解：设，则．
，，
．
在中，，即，
解得，即．
故选B．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定以及命题的真假区别．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，难度适中．
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】
解：例如等腰梯形，故本选项错误；
B.根据菱形的判定，应是对角线互相垂直的平行四边形，故本选项错误；
C.对角线相等且互相平分的平行四边形是矩形，故本选项错误；
D.一组邻边相等的矩形是正方形，故本选项正确．
故选D．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折变换的性质，判断出四边形是正方形是解题的关键．
根据翻折的性质可得，，然后求出四边形是正方形，再根据正方形的性质可得，然后根据，代入数据进行计算即可得解．
【解答】
解：沿对折点落在边上的点处，
，，
又，
四边形是正方形，
，
．
故选D．
5.【答案】
【解析】解：，
根据题意可知菱形的高等于的一半，
菱形的面积为，正方形的面积为．
菱形的面积与正方形的面积之比是．
故选：．
根据角所对的直角边等于斜边的一半可知菱形的高等于的一半，再根据正方形的面积公式和菱形的面积公式即可得解．
本题主要考查了正方形与菱形的性质，熟知角所对的直角边等于斜边的一半是解答本题的关键．
6.【答案】
【解析】【分析】
此题考查折叠问题，正方形的性质，属于中档题．
设正方形的边长为，根据正方形的性质和勾股定理求解值，进而可求解阴影部分的面积．
【解答】
解：根据折叠的性质，可知阴影部分的周长正方形的周长．
设正方形的边长为，则，解得，
所以阴影部分的周长为．
故选C．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，和等腰直角三角形的判定定理等知识点．两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一个角是的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四个角都是直角，且四个边都相等的是正方形．
由题意知，、均为的中位线，，，，，从而四边形一定是平行四边形，再结合选项A、、、进行判定即可．
【解答】
解：由题意知，、均为的中位线，，，，，
A.，，四边形一定是平行四边形，不符合题意；
B.若，则，平行四边形是矩形，不符合题意；
C.若四边形是菱形，则，是等腰三角形，不一定是等边三角形，符合题意；
D.若四边形是正方形，则，且，是等腰直角三角形，不符合题意
故选C．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了中点四边形，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线的性质，正确的理解题意是解题的关键．连接，，，，，根据三角形中位线定理得到，，，，推出四边形是正方形，得到，设，根据勾股定理得到，求得，故A错误；得到，求得四边形的周长，周长，故D错误；根据三角函数的定义得到，求得，故C错误；推出，求得四边形的面积，面积，于是得到结论．
【解答】
解：连接，，，，，
点，，，分别是各边的中点，
，是和的中位线，
，，，，
，，
同理，，，
正方形中，，，
四边形是正方形，
点是的中点，
，
设，
，，
，故A错误；
，，
，
四边形的周长，周长，
，故D错误；
由，得，
在直角三角形中，，
，，
，故C错误；
，，，
，，
四边形的面积，面积，
四边形的面积是面积的倍，故B正确．
故选：．
9.【答案】答案不唯一
【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质，菱形的判定，正方形的判定的应用，能熟记正方形的判定定理是解此题的关键，注意：有一组邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形．此题是一道开放型的题目答案不唯一，也可以添加等．
【解答】
解：添加条件：，理由如下：
四边形是矩形，，
四边形是正方形，
故答案为答案不唯一．
10.【答案】
【解析】【分析】
由四边形是正方形，即可求得，又由，根据等边对等角与三角形内角和等于，即可求得的度数，又由，即可求得答案．
此题考查了正方形的性质与三角形内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意特殊图形的性质．
【解答】
解：四边形是正方形，
，
，
，
．
故答案为：．
11.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了正方形的性质，关键是根据两部分阴影的面积和正好是正方形的面积解答．
观察可以发现：阴影部分的面积正好是正方形的面积．
【解答】
解：根据图形易知：阴影部分的面积正方形的面积，
故答案为．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．
过点作，交的延长线与，由题意可证≌，即可得则可求的面积．
【解答】
解：如图，过点作，交的延长线与．
四边形和四边形都是正方形，面积分别是和，
，，，，
在中，，
，，
，且，，
≌，
，
．
故答案为．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用轴对称的性质．
由折叠及轴对称的性质可知，垂直平分线段，先证≌，推出的长，再利用勾股定理求出的长，最后在中利用面积法可求出的长，可进一步求出的长，即可求的长．
【解答】
解：设折痕与交于点，如图，
四边形为正方形，
，，
由折叠及轴对称的性质可知，垂直平分线段，
，且，
，
又，
，
又，，
≌，
，
在中，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：如图，过点作，，
，
四边形是矩形，
，
，
在和中，
≌，
，
四边形是矩形，
矩形是正方形，
，
，，
，
，
故答案为：；
先构造出≌，得出四边形是正方形，再用，，求出即可得出结论．
此题是全等三角形的判定和性质，主要考查了正方形的判定，解本题的关键是构造出全等三角形，是一道比较基础题目．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和正方形是解题的关键．过点作交的延长线于，先判断出四边形是矩形，再根据等角的余角相等求出，再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后判断出四边形是正方形，再根据正方形的面积公式解答即可．
【解答】
解：如图，过点作交的延长线于．
，
四边形是矩形．
，，
．
，
，
．
在和中，
．
，四边形的面积四边形的面积，
矩形是正方形，
，
故答案为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是翻折变换，正方形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
根据直角三角形两锐角互余求出，再根据翻折变换的性质判断出四边形是正方形，根据正方形的性质可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，再根据翻折变换的性质可得，然后根据平角等于列式计算即可得解．
【解答】
解：矩形，，
，
沿折叠，点恰好落在边上的点处，
四边形是正方形，
，
由三角形的外角性质，，
由翻折的性质得，，
．
故答案为．
17.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
平行四边形是矩形；
解：或答案不唯一．
理由：四边形是矩形，
且，
四边形是正方形．
或：四边形是矩形，
且，
四边形是正方形．
【解析】本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定方法与性质是解题的关键．
根据平行四边形对角线互相平分可得，，根据等角对等边可得，然后求出，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明；
根据正方形的判定方法添加即可．
18.【答案】证明：四边形是正方形，是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌．
，，
，
，
，同理可得，
．

【解析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．属于中考常考题型．
根据正方形、等边三角形的性质，可以得到，，由此即可证明；
只要证明，即可解决问题；
19.【答案】解：证明：四边形是正方形，
，，
，
，
即，
在和中，
≌，
；
由得：≌，
，
，
，
，
，，
，
，
在中，，
．
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理以及三角形面积公式；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中档题．
由正方形的性质得出，，得出，由证明≌，即可得出结论；
由全等三角形的性质得出，得出，因此，由勾股定理得出，在中，由三角形面积即可得出结果．
20.【答案】证明：在正方形中，，，
在和中
，
≌，
，
，
，
；
在正方形中，，
，
由知，≌，
，
，
，
对顶角相等，
，
即．
【解析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，正确寻找全等三角形的条件是解题的关键．
先证出≌，得，由于，得；
由≌，得，进而得，最后得到结论．
21.【答案】证明：在和中，
．
．
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形．
又，
四边形为菱形．
，
设，，
，
，
，
，
．
，
．
四边形为菱形，
四边形为正方形．

【解析】本题考查了全等三角形的判定及性质，菱形的判定，正方形的判定，掌握好判定定理是解题的关键．
先证四边形为平行四边形，再由一组邻边相等，便可证得四边形为菱形；
证菱形的一个角为直角，便可证得菱形为正方形．
22.【答案】证明：四边形是正方形，
，平分，
，，
，
四边形是矩形，
平分，，，
，
四边形是正方形；
由知四边形是正方形，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．
【解析】本题考查了正方形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题．
先证明四边形是矩形，再证明，可得结论；
证明≌，可得结论．