第一章 专题强化4　带电粒子在组合场中的运动 学案（学生版+教师版）—2024年春高中物理人教版选择性必修二

专题强化4　带电粒子在组合场中的运动
[学习目标]　
1.进一步掌握带电粒子在电场、磁场中运动的特点及分析方法(重点)。
2.掌握带电粒子在组合场中运动问题的分析方法(重点)。
3.会根据电场知识和磁场知识分析带电粒子在组合场中的运动规律(难点)。
一、带电粒子在电场和磁场中运动的动力学分析
(1)洛伦兹力只改变带电粒子速度方向，不改变带电粒子速度大小。(　　)
(2)静电力只改变带电粒子速度大小，不改变带电粒子速度方向。(　　)
(3)带电粒子垂直匀强磁场入射，一定做匀速圆周运动。(　　)
(4)带电粒子垂直匀强电场入射，也可能做匀速圆周运动。(　　)
二、带电粒子在组合场中的运动
1．从电场进入磁场
例1　在半导体离子注放工艺中，初速度可忽略的离子P＋和P3＋，经电压为U的电场加速后，垂直进入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里，有一定的宽度的匀强磁场区域，如图所示。已知离子P＋在磁场中转过θ＝30°后从磁场右边界射出。在电场和磁场中运动时，离子P＋和P3＋(　　)
A．在磁场中运动的半径之比为3∶1
B．在电场中的加速度之比为1∶1
C．在磁场中转过的角度之比为1∶2
D．离开磁场区域时的动能之比为1∶
例2　(2023·南京师范大学附属扬子中学高二期末)如图所示，在y>0的空间中存在匀强电场，场强沿y轴负方向；在y<0的空间中，存在匀强磁场，磁场方向垂直xOy平面(纸面)向外。一电荷量为q、质量为m的带正电的粒子，经过y轴上y＝h处的点P1时速率为v0，方向沿x轴正方向；然后，经过x轴上x＝2h处的P2点进入磁场，并经过y轴上y＝－2h的P3点。不计重力。求：
(1)电场强度的大小；
(2)粒子到达P2时速度的大小和方向；
(3)磁感应强度的大小。
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带电粒子从电场射出的末速度是进入磁场的初速度，要特别注意求解进入磁场时速度的大小和方向，这是正确求解的关键。
例3　如图，在空间直角坐标系O－xyz中，界面 Ⅰ 与Oyz平面重叠，界面Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ相互平行，且相邻界面的间距均为L，与x轴的交点分别为O、O1、O2；在界面Ⅰ、Ⅱ间有沿y轴负方向的匀强电场，在界面Ⅱ、Ⅲ间有沿z轴正方向的匀强磁场。一质量为m、电荷量为＋q的粒子，从y轴上距O点处的P点，以速度v0沿x轴正方向射入电场区域，该粒子刚好从点O1进入磁场区域。粒子重力不计。求：
(1)匀强电场的电场强度的大小E；
(2)要让粒子刚好不从界面Ⅲ飞出，匀强磁场的磁感应强度B应多大。
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此题看题图是立体空间，但是带电粒子在电场中的偏转和磁场中的圆周运动是在同一个平面内完成的，即带电粒子的运动轨迹在同一个平面内。解此类题可以先把立体图转化为平面图，然后画出带电粒子的运动轨迹，再运用带电粒子在电场、磁场中运动的规律列方程求解。
2、从磁场进入电场
例4　(2023·昆山市文峰高级中学高二校考期末)如图所示，直角坐标系中的第Ⅰ象限中存在沿y轴负方向的匀强电场，在第Ⅱ象限中存在垂直纸面向外的匀强磁场。一电荷量为q、质量为m的带正电粒子，在x轴上的a点以与x轴负方向成60°角的速度v0射入磁场，从y＝L处的b点沿垂直于y轴方向进入电场，并经过x轴上x＝2L处的c点。不计粒子重力。求：
(1)磁感应强度B的大小；
(2)电场强度E的大小；
(3)带电粒子在磁场和电场中的运动时间之比。
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3、多次进出电场和磁场
例5　(2023·如皋市第一中学高二期末)如图所示，y轴上M点的坐标为(0，L)，MN与x轴平行，MN与x轴之间有匀强磁场区域，磁场垂直纸面向里。在y>L的区域存在沿－y方向的匀强电场，电场强度大小为E，在坐标原点O处有一带正电粒子以速率v0沿＋x方向射入磁场，粒子穿出磁场进入电场，速度减小到0后又返回磁场。已知粒子的比荷为，粒子重力不计。求：
(1)匀强磁场的磁感应强度的大小；
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(2)该粒子第一次上升到最高点的坐标；
(3)从原点出发后经过多长时间，带电粒子第一次回到x轴。
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专题强化4　带电粒子在组合场中的运动
[学习目标]　1.进一步掌握带电粒子在电场、磁场中运动的特点及分析方法(重点)。2.掌握带电粒子在组合场中运动问题的分析方法(重点)。3.会根据电场知识和磁场知识分析带电粒子在组合场中的运动规律(难点)。
一、带电粒子在电场和磁场中运动的动力学分析
(1)洛伦兹力只改变带电粒子速度方向，不改变带电粒子速度大小。(　√　)
(2)静电力只改变带电粒子速度大小，不改变带电粒子速度方向。(　×　)
(3)带电粒子垂直匀强磁场入射，一定做匀速圆周运动。(　√　)
(4)带电粒子垂直匀强电场入射，也可能做匀速圆周运动。(　×　)
二、带电粒子在组合场中的运动
1．从电场进入磁场
例1　在半导体离子注放工艺中，初速度可忽略的离子P＋和P3＋，经电压为U的电场加速后，垂直进入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里，有一定的宽度的匀强磁场区域，如图所示。已知离子P＋在磁场中转过θ＝30°后从磁场右边界射出。在电场和磁场中运动时，离子P＋和P3＋(　　)
A．在磁场中运动的半径之比为3∶1
B．在电场中的加速度之比为1∶1
C．在磁场中转过的角度之比为1∶2
D．离开磁场区域时的动能之比为1∶
答案　C
解析　两个离子的质量相同，其带电荷量之比是1∶3的关系，所以由牛顿第二定律有q＝ma，得a＝，可知二者在电场中的加速度之比是1∶3，故选项B错误；
离子在离开电场时有Uq＝mv2，即v＝，可知其速度之比为1∶，又由qvB＝m，知r＝，所以其半径之比为∶1，故选项A错误；
由选项A分析可知，离子在磁场中运动的半径之比为∶1，设磁场宽度为L，离子通过磁场转过的角度等于其圆心角，所以有sin θ＝，则可知转过角度的正弦值之比为1∶，又P＋转过的角度为30°，可知P3＋转过的角度为60°，即在磁场中转过的角度之比为1∶2，故选项C正确；
由电场加速后有qU＝mv2，在磁场中洛伦兹力不做功，可知，两离子离开磁场的动能之比为1∶3，故选项D错误。
例2　(2023·南京师范大学附属扬子中学高二期末)如图所示，在y>0的空间中存在匀强电场，场强沿y轴负方向；在y<0的空间中，存在匀强磁场，磁场方向垂直xOy平面(纸面)向外。一电荷量为q、质量为m的带正电的粒子，经过y轴上y＝h处的点P1时速率为v0，方向沿x轴正方向；然后，经过x轴上x＝2h处的P2点进入磁场，并经过y轴上y＝－2h的P3点。不计重力。求：
(1)电场强度的大小；
(2)粒子到达P2时速度的大小和方向；
(3)磁感应强度的大小。
答案　(1)　(2)v0　方向与x轴夹角为45°，斜向右下方　(3)
解析　(1)粒子在电场和磁场中的运动轨迹如图所示
设粒子从P1运动到P2的时间为t，电场强度的大小为E，粒子在电场中的加速度为a，由牛顿第二定律qE＝ma
根据运动学公式有
v0t＝2h
h＝at2
联立以上公式解得E＝
(2)粒子到达P2时速度沿x方向速度分量为v0，沿y方向速度分量的大小为v1，v表示速度的大小，θ表示速度与x轴的夹角，则有
v12＝2ah
v＝
联立以上各式解得v＝v0
cos θ＝＝，则θ＝45°
方向与x轴夹角为45°，斜向右下方。
(3)设磁场的磁感应强度为B，在洛伦兹力作用下粒子做匀速圆周运动，由牛顿第二定律可得
qvB＝m
r是圆周运动的半径，与x轴、y轴的交点为P2、P3，因为OP2＝OP3，θ＝45°
由几何关系可知，连线P2P3为圆周的直径，求得r＝h
联立解得B＝。
带电粒子从电场射出的末速度是进入磁场的初速度，要特别注意求解进入磁场时速度的大小和方向，这是正确求解的关键。
例3　如图，在空间直角坐标系O－xyz中，界面Ⅰ与Oyz平面重叠，界面Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ相互平行，且相邻界面的间距均为L，与x轴的交点分别为O、O1、O2；在界面Ⅰ、Ⅱ间有沿y轴负方向的匀强电场，在界面Ⅱ、Ⅲ间有沿z轴正方向的匀强磁场。一质量为m、电荷量为＋q的粒子，从y轴上距O点处的P点，以速度v0沿x轴正方向射入电场区域，该粒子刚好从点O1进入磁场区域。粒子重力不计。求：
(1)匀强电场的电场强度的大小E；
(2)要让粒子刚好不从界面Ⅲ飞出，匀强磁场的磁感应强度B应多大。
答案　(1)　(2)
解析　画出平面图如图所示：
(1)粒子在电场区域内做类平抛运动，设电场中粒子加速度大小为a，沿z轴正方向看，如图所示
粒子从O1点进入右边磁场，则
L＝v0t
＝at2
qE＝ma
联立解得E＝
(2)设粒子到O1点时的速度大小为v，与x轴正方向夹角为θ，如图所示，则
vy＝at，v＝
tan θ＝
故tan θ＝1
即有θ＝45°，v＝v0
在磁场区域，粒子做匀速圆周运动，则qvB＝m，粒子刚好不从界面Ⅲ飞出，根据几何关系有R＋Rcos 45°＝L
解得B＝。
此题看题图是立体空间，但是带电粒子在电场中的偏转和磁场中的圆周运动是在同一个平面内完成的，即带电粒子的运动轨迹在同一个平面内。解此类题可以先把立体图转化为平面图，然后画出带电粒子的运动轨迹，再运用带电粒子在电场、磁场中运动的规律列方程求解。
2、从磁场进入电场
例4　(2023·昆山市文峰高级中学高二校考期末)如图所示，直角坐标系中的第Ⅰ象限中存在沿y轴负方向的匀强电场，在第Ⅱ象限中存在垂直纸面向外的匀强磁场。一电荷量为q、质量为m的带正电粒子，在x轴上的a点以与x轴负方向成60°角的速度v0射入磁场，从y＝L处的b点沿垂直于y轴方向进入电场，并经过x轴上x＝2L处的c点。不计粒子重力。求：
(1)磁感应强度B的大小；
(2)电场强度E的大小；
(3)带电粒子在磁场和电场中的运动时间之比。
答案　(1)　(2)　(3)
解析　(1)带电粒子的运动轨迹如图
由几何关系可知
r＋rcos 60°＝L
解得r＝L
又因为qv0B＝m
解得B＝
(2)带电粒子在电场中运动时，沿x轴有2L＝v0t2
沿y轴有L＝at22
又因为qE＝ma
解得E＝
(3)带电粒子在磁场中运动时间为
t1＝T＝·＝
带电粒子在电场中运动时间为t2＝，
所以带电粒子在磁场和电场中运动时间之比为
＝。
3、多次进出电场和磁场
例5　(2023·如皋市第一中学高二期末)如图所示，y轴上M点的坐标为(0，L)，MN与x轴平行，MN与x轴之间有匀强磁场区域，磁场垂直纸面向里。在y>L的区域存在沿－y方向的匀强电场，电场强度大小为E，在坐标原点O处有一带正电粒子以速率v0沿＋x方向射入磁场，粒子穿出磁场进入电场，速度减小到0后又返回磁场。已知粒子的比荷为，粒子重力不计。求：
(1)匀强磁场的磁感应强度的大小；
(2)该粒子第一次上升到最高点的坐标；
(3)从原点出发后经过多长时间，带电粒子第一次回到x轴。
答案　(1)　(2)(L，L＋)　(3)＋
解析　(1)粒子穿出磁场进入电场，速度减小到0后又返回磁场，则粒子进电场时的速度方向沿y轴正方向，所以粒子在组合场中轨迹如图
由几何关系知，粒子在磁场中做圆周运动的半径为
r＝L
根据洛伦兹力提供向心力得qv0B＝m
解得B＝
(2)粒子穿出磁场进入电场，当速度减小到0时粒子第一次上升到最高点，根据牛顿第二定律有a＝
根据运动学公式得粒子沿y轴正方向做匀减速直线运动的距离
y＝＝
粒子第一次上升到最高点的横坐标x＝r＝L
粒子第一次上升到最高点的纵坐标
y′＝r＋y＝L＋
粒子第一次上升到最高点的坐标为(L，L＋)
(3)粒子在磁场中运动的时间为t1＝
粒子在电场中运动的时间t2＝
又a＝
解得t2＝
从原点出发后到带电粒子第一次回到x轴所用的时间t＝t1＋t2＝＋。