16.1.1二次根式的概念
分层练习
1．对于代数式①：；②：做出下列判断，其中正确的是（ ）
A．①、②均是二次根式 B．①、②均不是二次根式
C．①是二次根式，②不是二次根式 D．①不是二次根式，②是二次根式
【答案】D
【分析】根据二次根式的概念求解即可．
【详解】①：不是二次根式，
②：是二次根式．
故选：D．
【点睛】此题考查了二次根式的概念，负整数幂，解题的关键是熟练掌握二次根式的概念．形如的式子是二次根式，
2．下列各式中，不是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的定义（形如的式子叫做二次根式）逐项判断即可得．
【详解】解：A、是二次根式，则此项不符合题意；
B、不是二次根式，则此项符合题意；
C、是二次根式，则此项不符合题意；
D、是二次根式，则此项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，熟记二次根式的定义是解题关键．
3．已知是整数，则自然数m的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．8 D．11
【答案】B
【分析】先根据二次根式求出m的取值范围，再根据是整数对m的值进行分析讨论．
【详解】解：由题意得：，解得，
又因为是整数，
∴是完全平方数，
当时，即，
当时，即，
当时，即，
当时，即，
综上所述，自然数m的值可以是3、8、11、12，所以m的最小值是3，
故答案选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的化简及自然数的定义，掌握二次根式的化简法则及自然数是指大于等于0的整数是解答本题的关键．
4．下列式子，一定是二次根式的共有（ ）
，1，，，，
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】D
【分析】根据二次根式的定义进行解答即可．
【详解】解：，1，，，，中一定是二次根式的有、，共2个，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握定义，一般地，形如的代数式叫做二次根式．
6．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】主要考查了二次根式的意义，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据二次根式有意义的条件得到，解之即得．
【详解】解：根据题意得，，
解得:．
故选：．
7．在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C． D．
【答案】A
【分析】根据被开方数大于等于0和分式的分母不能等于0的条件且，然后再解不等式即可解答．
【详解】解：由题意得：，且，
所以，且，
故选：A．
【点睛】本题考查函数自变量的取值范围，掌握二次根式有意义和分式有意义的条件是解题的关键．
8．请写出一个大于2且小于3的二次根式： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题意得出，，然后取根式即可．
【详解】解：∵，，
∴大于2且小于3的二次根式为（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】题目主要考查二次根式的比较大小，熟练掌握比较大小的方法是解题关键．
9．当时，二次根式的值是 ．
【答案】
【分析】将代入待求式子，根据根号具有括号的作用，按含乘方的有理数的混合运算的运算顺序算出被开方数即可．
【详解】解：当时，．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
10．当时，求的值．如图
(1)______的解法是错误的．
(2)当时，求的值．
【答案】(1)小亮
(2)
【分析】此题考查二次根式的性质，二次根式有意义的条件，绝对值的化简，
（1）根据二次根式的性质判断，由此进行判断；
（2）利用完全平方公式将化为，再根据取值化简即可；
正确理解二次根式的性质进行化简是解题的关键．
【详解】（1）
当时，，
则小亮的解法是错误的，
故答案为：小亮；
（2）当时，
＝
．
1．设点 ，且，则点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，可得，进而可求；
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查绝对值的非负性、二次根式的非负性，一元一次方程，掌握相关知识是解题的关键．
2．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式有意义的条件（被开方数为非负数），可求出的值，代入计算即可，本题主要考查二次根式有意义的条件，代入求值，掌握被开方数为非负数是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，则，
∴，
故选：．
3．计算：如果，那么 ； ．
【答案】 5
【分析】根据二次根式的非负性解答即可，即．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
故答案为：5，．
【点睛】本题考查了二次根式的双重非负性，熟知是解题的关键．
4．观察图中数的排列规律并回答问题：
如果一个数在第m行第n列，那么记它的位置为有序数对，例如数2在第2行第1列，记它的位置为有序数对，按照这种方式，位置为有序数对的数是 ，数的位置为有序数对 ．
【答案】
【分析】根据题意，找出题目的规律，中含有4个数，中含有9个数，中含有16个数，……，中含有64个数，且奇数行都是从左边第一个数开始，偶数列是从上至下开始，然后根据这个规律即可得出答案．
【详解】解：根据题意，如图：
∴有序数对的数是；
由图可知，至时含有4个数，至时含有9个数，至时含有16个数；
……
∴中含有64个数，且奇数行都是从左边第一个数开始，奇数列是从下至上，
∵，，
∴是第9列的第8个数；
∴数位置为有序数对是．
故答案为：；．
【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，解决问题．
14．已知为正整数，且也为正整数，则的最小值为 ．
【答案】3
【分析】首先将被开方数化简，然后找到满足题意的最小被开方数即可．
【详解】解：，且开方的结果是正整数，
为某数的平方，
又，是满足题意最小的被开方数，
的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，知道开方结果为正整数被开方数必为平方数．先化简再讨论是本题的关键．
1．已知三条边的长度分别是，，，记的周长为．
(1)当时，的周长__________（请直接写出答案）．
(2)请用含的代数式表示的周长（结果要求化简），并求出的取值范围．如果一个三角形的三边长分别为，，，三角形的面积为，则．
若为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积．
【答案】(1)
(2)（），
【分析】（1）利用分别计算三条边的长度，然后求和即可获得答案；
（2）依据二次根式有意义的条件可得的取值范围，进而化简得到的周长；由于为整数，且要使取得最大值，所以的值可以从大到小依次验证，即可得出的面积．
【详解】（1）解：当时，，，，
∴．
故答案为：；
（2）根据题意，可得，解得，
∴
∴
；
∵为整数，且有最大值，
∴或3或2或1或0或，
当时，三角形三边长分别为，，，
∵，
∴此时不满足三角形三边关系，故，
当时，三角形三边长分别为，，，
满足三角形三边关系，
可设，，，
∴
．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简、三角形三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据三角形三边关系求解．16.1.1二次根式的概念
分层练习
1．对于代数式①：；②：做出下列判断，其中正确的是（ ）
A．①、②均是二次根式 B．①、②均不是二次根式
C．①是二次根式，②不是二次根式 D．①不是二次根式，②是二次根式
2．下列各式中，不是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知是整数，则自然数m的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．8 D．11
4．下列式子，一定是二次根式的共有（ ）
，1，，，，
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
5．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C． D．
7．请写出一个大于2且小于3的二次根式： ．
8．当时，二次根式的值是 ．
9．当时，求的值．如图
(1)______的解法是错误的．
(2)当时，求的值．
1．设点 ，且，则点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．计算：如果，那么 ； ．
4．观察图中数的排列规律并回答问题：
如果一个数在第m行第n列，那么记它的位置为有序数对，例如数2在第2行第1列，记它的位置为有序数对，按照这种方式，位置为有序数对的数是 ，数的位置为有序数对 ．
5．已知为正整数，且也为正整数，则的最小值为 ．
1．已知三条边的长度分别是，，，记的周长为．
(1)当时，的周长__________（请直接写出答案）．
(2)请用含的代数式表示的周长（结果要求化简），并求出的取值范围．如果一个三角形的三边长分别为，，，三角形的面积为，则．
若为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积．
