2022-2023学年湖南省张家界市慈利一中高一（下）入学数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省张家界市慈利一中高一（下）入学数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则集合的真子集个数为( )
A. B. C. D.
2.若多项式分解因式的结果中有一个因式为，则的值为( )
A. B. C. D.
3.集合用列举法可以表示为( )
A. B. C. D.
4.已知全集，集合，则( )
A. B. 或
C. 或 D. 或
5.若、是实数，则的值是( )
A. 正数 B. 负数 C. 零 D. 以上皆有可能
6.二次函数，当时，对应值有相应的取值范围，则取值的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知不等式的解集为，则不等式的解集是( )
A. B.
C. 或 D. 或
8.二次函数的图象与轴相交于，两点，点在二次函数图象上，且到轴距离为，，则的值为( )
A. B. C. D.
9.已知，，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
10.下列不等式的解集是空集的是( )
A. B.
C. D.
11.已知全集，集合，，则使成立的实数的取值范围可以是( )
A. B.
C. D.
12.已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的序号是( )
A.
B. 不等式的解集为
C. 不等式的解集为或
D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知全集，集合，，则 ______．
14.已知，则的最大值是______．
15.若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为______．
16.已知三个关于的一元二次方程，，恰有一个公共实数根，则的值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合，，．
求；
求．
18.本小题分
设集合，，
若，求；
若，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
设方程的两个实数根分别为，，求代数式的最大值．
20.本小题分
已知关于的不等式．
若，求不等式的解集；
若，不等式的解集中恰有个整数，求实数的取值范围．
21.本小题分
为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化．如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围阴影部分均种植宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为平方米．
若矩形草坪的长比宽至少多米，求草坪宽的最大值；
若草坪四周的花坛宽度均为米，求整个绿化面积的最小值．
22.本小题分
函数．
若的最小值为，求的值；
对于集合，若任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，集合元素个数为，
则集合的真子集个数为．
故选：．
根据已知条件，先求出集合，即可求出元素个数，再结合集合元素个数与真子集个数的关系，即可求解．
本题主要考查真子集个数的求解，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：设另一个因式为，
可得，可得，
，解得，．
故选：．
设出另一个因式，利用展开式相等，列出方程求解即可．
本题考查因式分解独立的应用，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：，，
．
故选：．
根据，可得出的取值分别为，，从而得出．
考查描述法、列举法的定义，以及元素与集合的关系．
4.【答案】
【解析】解：因为全集，集合，
所以或．
故选：．
直接根据补集概念运算求解即可．
本题考查集合的运算，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为，
若，该方程组无解，即，，不同时成立，
所以．
故选：．
整理得，再分析判断即可．
本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：在，二次函数的图象如图：
当时，，所以 取值的最大值为．
故选：．
由已知结合二次函数的图象即可求解函数的最大值．
本题考查的是二次函数的三种形式、二次函数的性质，掌握配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查一元二次不等式的解法，理解一元二次不等式与一元二次方程之间的联系是解题的关键，考查学生的运算求解能力，属于基础题．
由题意可知，和是方程的两根，再结合韦达定理以及十字相乘法，即可得解．
【解答】
解：由题意可知，和是方程的两根，且，
，，，，
不等式为，
即，
解得．
故选A．
8.【答案】
【解析】解：如图，二次函数的图象开口向上，由于，则点在轴下方，
过作轴于，设点，，，
则，，由，得，
于是，即有，
整理得，显然，是方程的两个实根，
则，从而，即，
由点在二次函数的图象上，得，因此，解得，
所以的值为．
故选：．
设出二次函数图象与轴的交点及点的坐标，利用勾股定理及韦达定理建立方程，再借助点在图象上求解即得．
本题主要考查二次函数的性质，考查计算能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，取，，显然满足，但，故A错误；
对于，，则有，故B正确；
对于，取，，，，满足，，此时，故C错误；
对于，取，，，，满足，，但此时，故D错误．
故选：．
根据题意，利用特殊值法判断、、，利用作差法判断，综合可得答案．
本题考查不等式的性质以及证明，注意作差法的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，恒成立，
即不等式的解集为，选项A错误；
对于，不等式，即，即，
解得，所以不等式的解集为，选项B错误；
对于，不等式，即，因为恒成立，
所以不等式的解集为空集，选项C正确；
对于，不等式，即，因为恒成立，
所以不等式的解集为空集，选项D正确．
故选：．
根据一元二次不等式的解法及完全平方数的性质判断即可．
本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：当时，则，即，
因为集合，，
则或，
又，
则或，
解得或，
又，
所以；
当时，则，即，
此时，符合题意．
综上所述，实数的取值范围为或．
故选：．
分和两种情况，求出，然后由子集的定义分析求解即可．
本题考查了集合的运算，主要考查了集合的补集以及子集定义的理解与应用，解题的关键是对集合是否是空集进行讨论，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：不等式的解集为或，
所以，且和是方程的两根，选项A正确；
由根与系数的关系知，，所以，，
所以不等式可化为，解集为，选项B错误；
不等式可化为，解集为或，选项C错误；
因为不等式的解集为或，所以满足不等式，即，选项D正确．
故选：．
根据不等式的解集得出，且和是方程的两根，由根与系数的关系得出、与的关系，再判断选项中的命题是否正确．
本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了转化思想，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：全集，集合，，
由题意可知：，
所以．
故答案为：．
根据集合的交集和补集运算求解．
本题考查集合的运算，考查交集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最大值是．
故答案为：．
凑配基本不等式即可解决．
本题考查了基本不等式及其应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：不等式对任意实数恒成立，
当时，对任意实数恒成立，
符合题意；
当时，则有，
，
，
实数的取值范围为．
综合可得，实数的取值范围为．
故答案为：．
由不等式对任意实数恒成立，对系数分类讨论，当时恒成立，当时，利用二次函数的性质，列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围．
本题考查了函数恒成立问题，对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：设三个方程的公共根为，则，，，
三个方程相加整理可得：，
即，
，
，
，
故答案为：．
设三个方程的公共根为，代入三个方程整理得到，进而得到，进而求解结论．
本题考查了方程的根，整体思想和转化思想的应用，属于基础题．
17.【答案】解：因为，，
所以．
因为，，，
所以，
所以．
【解析】根据并集的定义计算可得；
根据交集、补集的定义计算可得；
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
18.【答案】解：由题意：集合，，
当时，，．
，，
当时，满足题意，此时，解得：；
当时，，解得：；
综上所得：当时，的取值范围为．
【解析】求出集合，，由此能求出．
由，得，当时，，当时，，由此能求出当时，的取值范围．
本题考查并集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查并集、子集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
19.【答案】证明：因为关于的一元二次方程的，
所以无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
因为无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根，
由根与系数的关系可得：，
则，
故当时，代数式取到最大值为．
【解析】由题意，求出判别式即可证明．
利用根与系数的关系，代入结合二次函数分析求解即可．
本题主要考查一元二次方程的解和判它的别式的关系，根与系数的关系，属于基础题．
20.【答案】解：当时，令，
解得，
此时，
则由，得，
故不等式解集为；
当时，令，解得，
若，即时，不等式解集为，
此时要使解集中恰有个整数，这个整数只能是，，，
所以，解得；
若，即时，不等式解集为，此时不符合题意；
若，即时，不等式解集为，
而，此时不等式解集只有一个整数解，故不符合题意，
综上所述，实数的取值范围为．
【解析】根据一元二次不等式的解法求解即可；
先根据一元二次不等式的解法解含参不等式，再结合不等式的解集中恰有个整数，即可得解．
本题主要考查了含参数的一元二次不等式的解法，属于中档题．
21.【答案】解：设草坪的宽为米，长为米，
由题意得知草坪面积为平方米，
所以有，
又因为矩形草坪的长比宽至少多米，
即有，
故，解得，
又因为，
所以，
所以草坪宽的最大值为米；
设整个绿化面积为平方米，
由题意可得，
当且仅当，即时，等号成立，
故整个绿化面积的最小值为平方米．
【解析】根据“矩形草坪的长比宽至少多米”列不等式，解不等式来求得草坪宽的最大值；
求得绿化面积的表达式，利用基本不等式求得最小值．
本题考查了函数在实际生活中的应用，也考查了利用基本不等式求函数的最值，属于基础题．
22.【答案】解：函数的值域，
所以，解得；
由题意可知，
函数图象开口向上，对称轴为直线．
当时，函数在上为增函数，
则，，
故，此时；
当时，函数在区间上为减函数，在上为增函数，
，
故，此时；
当时，函数在区间上为减函数，在上为增函数，
，
故，此时；
当时，在上减函数，
，，
故，此时．
综上所述，实数的取值范围是．
【解析】由函数的最小值，知函数的判别式，求解即可；
由题意可知，函数对称轴为直线，分类讨论当，，和时，求函数的最值列不等式组，求解即可．
本题考查了函数的恒成立问题，属于中档题．
第1页，共1页