2022-2023学年新疆维吾尔自治区塔城地区高二（下）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年新疆维吾尔自治区塔城地区高二（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.过点且斜率为的直线的方程是( )
A. B. C. D.
2.设满足：，则的轨迹为( )
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 不存在
3.顶点在原点，对称轴为轴，顶点到准线的距离为的抛物线方程是( )
A. B. C. D.
4.已知圆：与圆：，则两圆的位置关系为( )
A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 外离
5.直线：与直线：互相平行，则实数( )
A. B. C. D.
6.双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
7.“”是“曲线表示椭圆”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.若抛物线的焦点到直线的距离为，则( )
A. B. C. D.
9.画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴、短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
10.双曲线的左右焦点分别为，，是双曲线上的点，且，则的面积( )
A. B. C. D.
11.双曲线与双曲线具有相同的( )
A. 焦点 B. 实轴长 C. 离心率 D. 渐近线
12.若直线：与曲线有且只有一个交点，则满足条件的直线有( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若过，两点的直线的倾斜角是，则 ______．
14.以点为圆心且与直线相切的圆的方程为______．
15.已知定点，是圆上的一动点，是的中点，则点的轨迹方程是______．
16.已知过点的直线，与椭圆相交于，两点，且线段以点为中点，则直线的方程是______．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，已知三角形的顶点为，，，求：
直线的方程；
边上的高所在直线的方程．
18.本小题分
已知圆过两点，，且圆心在直线上．
Ⅰ求圆的方程；
Ⅱ过点的直线交圆于，两点，当时，求直线的方程．
19.本小题分
双曲线的左、右焦点分别为，，已知焦距为，离心率为，
求双曲线标准方程；
求双曲线的顶点坐标、焦点坐标、实轴和虚轴长及渐近线方程．
20.本小题分
已知椭圆的焦点在轴上，且短轴长为，离心率．
求椭圆的方程；
若过椭圆的右焦点且斜率为的直线交椭圆于、两点，求弦的长．
21.本小题分
已知抛物线：过点．
求抛物线的方程，并求其准线方程；
过该抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，交抛物线于、两点，求线段的长度．
22.本小题分
已知椭圆：，若椭圆上一点与其中心及长轴一个端点构成等腰直角三角形．
Ⅰ求椭圆的离心率；
Ⅱ如图，若直线与椭圆相交于且是圆的一条直径，求椭圆的标准方程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：过点且斜率为的直线的方程是，
即．
故选：．
先求出直线的点斜式方程，再化为一般式即可．
本题考查的知识要点：直线方程的求法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
2.【答案】
【解析】解：设，，则，，
由，即，
又，所以，
根据椭圆的定义可知点的轨迹是以，为焦点的椭圆．
故选：．
设，，即可得到，根据椭圆的定义判断即可．
本题主要考查了椭圆定义的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据顶点在原点，对称轴为轴，可设抛物线方程为：．
顶点到准线的距离为，
，
，
所求抛物线方程为．
故选：．
根据顶点在原点，对称轴为轴，可设抛物线方程为：，利用顶点到准线的距离为，即可求得抛物线方程．
本题考查抛物线的标准方程，解题的关键是定型与定量，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：圆：的圆心坐标为，半径为；
圆：，的圆心坐标，半径为．
由，
两圆的位置关系是外切．
故选：．
由已知圆的方程求出圆心坐标与半径，再由两圆的圆心距与半径的关系得答案．
本题考查圆与圆位置关系的判定，考查两点间距离公式的应用，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：直线：与直线：互相平行，
，且，
则实数，
故选：．
根据两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求得的值．
本题主要考查两条直线平行的性质，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：双曲线的渐近线方程为．
故选：．
利用双曲线的标准方程，求解渐近线方程即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：曲线表示椭圆，
，
且．
“”是“曲线表示椭圆”的必要而不充分条件．
故选：．
本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断．
本题考查充要条件的判断，椭圆的标准方程的形式，属于基础题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查抛物线的简单性质的应用，点到直线的距离公式的应用，是基础题．
求出抛物线的焦点坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．
【解答】
解：抛物线的焦点到直线的距离为，
可得，解得．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：由题意可知，蒙日圆的半径为，
所以，
所以，
椭圆的离心率，
故选：．
根据椭圆中蒙日圆的半径公式，即可求得和的值，求得椭圆的离心率．
本题考查椭圆的性质，椭圆中蒙日圆的应用，考查转化思想，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：由题意可得双曲线的，，，
左右焦点分别为，，
设，，
由双曲线的定义可得，
，
由勾股定理可得
，
．
则的面积．
故选：．
求得双曲线的，，，设，，由双曲线的定义，可得，运用勾股定理，由，即可求得的面积．
本题主要考察了双曲线的定义、方程和简单性质，注意定义法和勾股定理，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：将双曲线化为标准方程得，
对于双曲线，，，，焦点坐标为，实轴长为，离心率为，渐近线方程为；
对于双曲线，，，，焦点坐标为，实轴长为，离心率为，渐近线方程为；
故双曲线与双曲线具有相同的渐近线．
故选：．
依次分析两条曲线的焦点，实轴长，离心率，渐近线等即可得答案．
本题主要考查了双曲线的性质，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：直线：，即恒过点，
又双曲线的渐近线方程为，
则点在其中一条渐近线上，
又直线与双曲线只有一个交点，
则直线过点且平行于或过点且与双曲线的右支相切，
即满足条件的直线有条．
故选：．
利用双曲线和双曲线渐近线的图像和性质求解即可．
本题考查双曲线的性质，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：因为过，两点的直线的倾斜角是，
则直线的斜率，解得．
故答案为：．
先由倾斜角可得直线的斜率，再由两点连线的斜率公式即可求解．
本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了求点到直线的距离以及圆的方程，是基础题目．
求出圆的半径，写出圆的方程即可．
【解答】
解：圆心为，且圆心到直线的距离为：
，
所以圆的半径为，
圆的方程为：．
故答案为．
15.【答案】
【解析】解：如图所示，设，，则，
因为为的中点，
所以，
所以由得：，即：，
所以点的轨迹方程为：．
故答案为：．
运用相关点法求轨迹方程，设出、两点坐标，表示出两点横纵坐标关系式，代入点满足的圆的方程即可．
本题主要考查了相关点法在轨迹方程求解中的应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：设，，
则，，
两式相减，化简可得，
因为线段以点为中点，
所以，，
所以，即直线的斜率为，
根据点斜式，得到直线的方程为，即．
故答案为：．
用点差法即可求出直线的斜率，再用点斜式即可求出直线的方程．
本题考查了椭圆的性质的应用，属于中档题．
17.【答案】解：由已知直线的斜率，
直线的方程为，即，
设边上的高所在的直线方程为，由直线过点，
，解得，
故所求直线为，
即
【解析】根据斜率公式求出斜率，然后根据点斜式写出直线方程即可．
由以及垂直的条件可知高所在直线方程的斜率，然后根据过点即可得直线方程．
此题考查了两直线垂直的条件以及斜率公式，熟记条件和公式是解题的关键，属于中档题．
18.【答案】解：Ⅰ依题意圆心在直线上，可设圆的方程为，
因为圆过两点，
所以，解得，
所以圆的方程为；
Ⅱ由Ⅰ可知，圆心，半径，
当直线的斜率不存在时，其方程为，
圆心到直线的距离为，此时满足题意；
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，即，
当时，圆心到直线的距离，
即有，解得，
此时直线的方程为，即为．
综上，直线的方程为或．
【解析】Ⅰ依题意可设圆的方程为，圆过两点，可列方程组求解未知数，从而可得圆的方程；
Ⅱ由弦长，可得圆心到直线的距离为，当直线的斜率不存在时验证即可，当直线的斜率存在时，设出直线的方程，由点到直线的距离公式列出方程可求解．
本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
19.【答案】解：由题知，，解得，，所以，
所以双曲线标准方程为：．
由知，双曲线焦点在轴上，
所以双曲线的顶点坐标为，焦点坐标为，
实轴长，虚轴长，渐近线方程为，即．
【解析】根据已知条件列方程求出，，，然后可得标准方程；
根据中，，的值直接写出所求即可．
本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
20.【答案】解：根据题意，设椭圆的方程为，
，，
又，
；
椭圆的方程为；
椭圆的右焦点为，
直线的方程为；
联立方程，
解得，或；
点，，
弦长．
【解析】本题考查了直线与圆锥曲线的应用问题，解题时应熟练地掌握圆锥曲线的几何性质，并能灵活地应用，是基础题．
设出椭圆的标准方程，由短轴长与离心率，结合，求出、，即得标准方程；
求出直线的方程，与椭圆的方程组成方程组，求出点、的坐标，计算出弦长．
21.【答案】解：过点，
，解得：，
抛物线：，准线方程为：；
由知：抛物线焦点为，
因为直线倾斜角为，
所以设直线，，，
由得：，
，
．
【解析】将点代入抛物线方程即可求得的方程，由抛物线方程可得准线方程；
设，与抛物线方程联立可得韦达定理形式，利用抛物线焦点弦长公式可直接得到结果．
本题主要考查了抛物线的标准方程，考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题，
22.【答案】解：Ⅰ由题意得椭圆上的点，
代入椭圆方程可得：，即，
，
，
．
Ⅱ设椭圆方程为：，
直线为：，，
联立，化为：，
，，
由中点坐标公式可得，解得，
，
则，
，，
椭圆方程为：．
【解析】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
Ⅰ由题意得椭圆上的点，代入椭圆方程可得：，即，又联立解出即可得出．
Ⅱ设椭圆方程为：，直线为：，，与椭圆方程可得：，利用中点坐标公式、根与系数的关系可得，可得，解出即可得出．
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