16.1.2 二次根式的性质
分层练习
1．下列计算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列选项中的等式成立的是( )
A． B． C． D．
3．若，则应满足的条件是( )
A． B． C． D．
4．下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．若，则 ；若，则 ．
6．实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是 ．
7．化简： ； ； ．
8．已知实数a，b的对应点在数轴上的位置如图所示．
(1)判断正负，用“”“”填空：______0，______0．
(2)化简：．
9．实数在数轴上对应的点如图所示，化简：．
1．已知为正整数，若是整数，则的最小值为（ ）．
A．4 B．8 C．21 D．84
2．若是正整数，最小的整数是（ ）
A．2 B．3 C．12 D．48
3．已知；，且，则a的值是（ ）
A． B．5 C． D．8
4．已知正数，正数的两个不同的平方根分别是和，
(1)求，的值；
(2)求的值．
5．已知的立方根是2，的算术平方根是3，的整数部分为c．
(1)分别求出a，b，c的值；
(2)求的平方根．
1．我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求的算术平方根．
解：，的算术平方根是．
你看明白了吗？请根据上面的方法化简：
(1)
(2)
(3)．16.1.2 二次根式的性质
分层练习
1．下列计算中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查算术平方根的计算和二次根式的性质，熟练掌握算数平方根的计算方法是解题的关键．依次进行计算即可得到答案．
【详解】解：A、，故选项A错误；
B、，故选项B错误；
C、，故选项C正确；
D、，故选项D错误．
故选：C．
2．下列选项中的等式成立的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质化简即可求解．
【详解】解：A、，则正确，故符合题意；
B、，则错误，故不符合题意；
C、，则错误，故不符合题意；
D、，则错误，故不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握根据二次根式的性质化简二次根式是解题的关键．
3．若，则应满足的条件是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，直接利用二次根式的性质得出，进而得出答案．
【详解】解：∵，且，
∴，，
解得：．
故选：C．
4．下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，根据二次根式的性质及化简，进行逐一化简即可．
【详解】解：A．因为，所以A选项不符合题意；
B．因为，所以B选项不符合题意；
C．因为，所以C选项不符合题意；
D．因为，所以D选项符合题意．
故选：D．
5．若，则 ；若，则 ．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴,
∴，
∵，
∴．
故答案为：；．
【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
6．实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是 ．
【答案】
【分析】根据数轴上点表示的数的大小关系，得，再根据二次根式的性质，进而解决此题．
【详解】解：由图可知，，
∴，
故答案为：
【点睛】本题主要考查数轴上点表示的数以及大小关系、二次根式的性质与化简，熟练掌握数轴上的点表示的数的大小关系、二次根式的性质是解决本题的关键．
7．化简： ； ； ．
【答案】 1 3 18
【分析】本题考查了零指数幂，立方根，二次根式的化简，熟知除0之外任何数的零次幂为1是解题的关键．
【详解】解：；
；
，
故答案为：1；3；18．
8．已知实数a，b的对应点在数轴上的位置如图所示．
(1)判断正负，用“”“”填空：______0，______0．
(2)化简：．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据数轴得到且，结合有理数运算法则直接计算即可得到答案．
（2）根据数轴得到且，根据根式的性质及绝对值的性质直接化简求值即可得到答案．
【详解】（1）解：由数轴得：
，且，
，，
故答案为：；．
（2）由数轴得：
，且，
原式
．
【点睛】本题考查算术平方根及根据数轴判断式子的值、绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握根式的性质及根据数轴得到且．
9．实数在数轴上对应的点如图所示，化简：．
【答案】
【分析】根据数轴上点的位置，确定a、b的正负，判断出，再化简给出的代数式，合并后得结果；
【详解】解：由数轴可知，且，
所以
．
【点睛】本题考查了数轴的相关知识，实数的加减及二次根式的化简．掌握二次根式的性质是解决本题的关键．
1．已知为正整数，若是整数，则的最小值为（ ）．
A．4 B．8 C．21 D．84
【答案】C
【分析】根据和是整数可得是整数，再结合为正整数即可得．
【详解】解：，
是整数，
是整数，
又∵为正整数，
的最小值为21，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法是解题关键．
2．若是正整数，最小的整数是（ ）
A．2 B．3 C．12 D．48
【答案】B
【分析】先化简二次根式，再确定整数的最小值即可得．
【详解】解：，
是正整数，是整数，
是正整数，
是一个平方数，且为正整数，
最小的整数是3，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法是解题关键．
3．已知；，且，则a的值是（ ）
A． B．5 C． D．8
【答案】C
【分析】先根据m和n的值得出和的值，从而得出和的值，然后利用整体代入求出a的值．
【详解】解：由，得，
两边平方，得，
即，故，
同理，得，
代入，
得
解得，
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式的灵活运用，直接将m、n的值代入，运算比较冗繁，解题关键是求出部分代数式的值再整体代入．
4．已知正数，正数的两个不同的平方根分别是和，
(1)求，的值；
(2)求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了算术平方根，平方根的意义，以及二次根式的性质．
（1）根据算术平方根，平方根的定义求解即可；
（2）把a，b的值代入，然后根据二次根式的性质化简即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∴．
∵正数的两个不同的平方根分别是和，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）∵，，
∴．
5．已知的立方根是2，的算术平方根是3，的整数部分为c．
(1)分别求出a，b，c的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）分别根据立方根，算术平方根，无理数的估算求解，即可得到答案；
（2）将a、b、c的值代入计算出，再计算平方根即可求解．
【详解】（1）解：∵的立方根是2，
,
，
的算术平方根是3，
，
，
的整数部分为c，且，
；
（2）解：
，
的平方根为．
【点睛】本题考查了立方根、平方根和算术平方根的定义、无理数的估算，代数式求值，熟练掌握相关计算方法是解题关键．
1．我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求的算术平方根．
解：，的算术平方根是．
你看明白了吗？请根据上面的方法化简：
(1)
(2)
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式；
（1）将变形为完全平方式的形式，然后开平方即可；
（2）先化简，再化简原式即可得出答案；
（3）分别化简，合并同类二次根式即可得出答案．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：
．
