北师大版八年级数学下册试题 《第一章 三角形的证明》全章复习与巩固（含解析）

《三角形的证明》全章复习与巩固
一、单选题
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为(　　)
A．40° B．36° C．30° D．25°
2．如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是( )秒
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
3．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B与灯塔P之间的距离为( )
A．60海里 B．45海里 C．20海里 D．30海里
4．如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC边上的高是（ ）
A． B． C． D．
5．将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（ ）
A．140° B．160° C．170° D．150°
6．如图，在四边形ABCD中，，，，．分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则CD的长为（　　）
A． B．4 C．3 D．
7．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（ ）．
A． B． C． D．
8．如图，在△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边AC、AB于点M、N；②分别以点M和点N为圆心、大于MN的长为半径作圆弧，在∠BAC内，两弧交于点P；③作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）
A．15 B．30 C．45 D．60
9．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
10．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（　　）
A．75° B．80° C．85° D．90°
二、填空题
11．如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接AD，若，则______．
12．如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处．若AE=，则BC的长是_____．
13．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝ _______．
14．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝_______．
15．如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为_______．
16．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为_____度．
17．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，则下列结论：①DE＝DF；②AD平分∠BAC；③AE＝AD；④AC﹣AB＝2BE中正确的是_____．
18．如图，的三边的长分别为，点是三个内角平分线的交点，则_____．
19．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，BF＝5，则EF的长为__．
20．如图，把等边△ABC沿着D E折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，且DP⊥BC，若BP=4cm，则EC=______cm．
21．如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：
以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；
再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；
再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…
这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=__．
22．如图，若∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于_____．
23．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C=___度．
三、解答题
24．如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O
（1）求证：OB=OC；
（2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度数．
25．已知:在中, ,为的中点, , ,垂足分别为点,且.求证:是等边三角形.
26．在中，垂直平分，分别交、于点、，垂直平分，分别交，于点、．
⑴如图①，若，求的度数；
⑵如图②，若，求的度数；
⑶若，直接写出用表示大小的代数式．
27．如图 1，AB∥CD，直线 EF 交 AB 于点 E，交 CD 于点 F，点 G 在 CD 上，点 P在直线 EF 左侧，且在直线 AB 和 CD 之间，连接 PE，PG．
(1) 求证： ∠EPG=∠AEP＋∠PGC；
(2) 连接 EG，若 EG 平分∠PEF，∠AEP+ ∠ PGE=110°，∠PGC=∠EFC，求∠AEP 的度数；
(3) 如图 2，若 EF 平分∠PEB，∠PGC 的平分线所在的直线与 EF 相交于点 H，则∠EPG 与∠EHG之间的数量关系为　　　　　　．
答案
一、单选题
1．B
【分析】
根据AB＝AC可得∠B＝∠C，CD＝DA可得∠ADB＝2∠C＝2∠B，BA＝BD，可得∠BDA＝∠BAD＝2∠B，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B．
【详解】
解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵CD＝DA，
∴∠C＝∠DAC，
∵BA＝BD，
∴∠BDA＝∠BAD＝2∠C＝2∠B，
设∠B＝α，则∠BDA＝∠BAD＝2α，
又∵∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°，
∴α＋2α＋2α＝180°，
∴α＝36°，即∠B＝36°，
故选B．
2．D
【详解】
解：设运动的时间为x，
在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
当△APQ是等腰三角形时，AP=AQ，AP=20﹣3x，AQ=2x，即20﹣3x=2x，
解得x=4．
故选D．
3．D
【分析】
根据题意得出：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，再利用勾股定理得出BP的长，求出答案．
【详解】
解：由题意可得：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，
故AB=2AP=60（海里），
则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为：BP=（海里）
故选：D．
4．A
【详解】
先用勾股定理耱出三角形的三边，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，最后设BC边上的高为h，利用三角形面积公式建立方程即可得出答案.
解：由勾股定理得：
，，，
，即
∴△ABC是直角三角形，
设BC边上的高为h，
则，
∴.
故选A.
5．B
【详解】
试题分析：根据∠AOD=20°可得：∠AOC=70°，根据题意可得：∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+70°=160°.
6．A
【分析】
连接FC，根据基本作图，可得OE垂直平分AC，由垂直平分线的性质得出．再根据ASA证明，那么，等量代换得到，利用线段的和差关系求出．然后在直角中利用勾股定理求出CD的长．
【详解】
解：如图，连接FC，则．
，
．
在与中，
，
，
，
，．
在中，，
，
，
．
故选A．
7．B
【详解】
试题分析：作点P关于OA对称的点P1,作点P关于OB对称的点P2,连接P1P2,与OA交于点M,与OB交于点N,此时△PMN的周长最小．由线段垂直平分线性质可得出△PMN的周长就是P1P2的长，∵OP=5，∴OP2=OP1=OP=5．又∵P1P2=5，,∴OP1=OP2=P1P2,∴△OP1P2是等边三角形, ∴∠P2OP1=60°，即2（∠AOP+∠BOP）=60°，∠AOP+∠BOP=30°,即∠AOB=30°，故选B．
8．B
【详解】
解：作DE⊥AB于E，由基本作图可知，AP平分∠CAB．∵AP平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC=4，∴△ABD的面积=×AB×DE=30．故选B．
9．C
【详解】
过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA=PE，PD=PE，
∴PE=PA=PD，
∵PA+PD=AD=8，
∴PA=PD=4，
∴PE=4．
故选C．
10．A
【详解】
分析：依据AD是BC边上的高，∠ABC=60°，即可得到∠BAD=30°，依据∠BAC=50°，AE平分∠BAC，即可得到∠DAE=5°，再根据△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，可得∠EAD+∠ACD=75°．
详解：∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，
∴∠BAD=30°，
∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，
∴∠BAE=25°，
∴∠DAE=30°﹣25°=5°，
∵△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，
∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，
故选A．
二、填空题
11．
【分析】
根据旋转的性质可得AC=CD，再判断出△ACD是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出∠CAD=45°，由∠BAD=∠BAC+∠CAD可得答案．
【详解】
∵Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，
∴AC=CD，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠CAD=45°，
则∠BAD=∠BAC+∠CAD=25°+45°=70°，
故答案为70° ．
12．
【解析】
【分析】由折叠的性质可知AE=CE，再证明△BCE是等腰三角形即可得到BC=CE，问题得解．
【详解】∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB==72°，
∵将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处，
∴AE=CE，∠A=∠ECA=36°，
∴∠CEB=72°，
∴BC=CE=AE=，
故答案为．
13．1.5
【详解】
在Rt△ABC中，，∵将△ABC折叠得△AB′E，∴AB′＝AB，B′E＝BE，∴B′C＝5－3＝2．设B′E＝BE＝x，则CE＝4－x．在Rt△B′CE中，CE2＝B′E2＋B′C2，∴（4－x）2＝x2＋22．解之得．
14．135°135度
【分析】
首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3＝∠ACB，再由∠ACB+∠1＝∠1+∠3＝90°，可得∠1+∠2+∠3＝90°．
【详解】
解：如图：
∵在△ABC和△DBE中，
∴△ABC≌△DBE（SAS），
∴∠3＝∠ACB，
∵∠ACB+∠1＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°，
故答案为：135°．
15．13
【详解】
试题分析：已知DE是AB的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，所以△BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13，
16．108．
【详解】
如图，连接OB、OC，
∵∠BAC=54°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO=∠BAC=×54°=27°．
又∵AB=AC，∴∠ABC=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣54°）=63°．
∵DO是AB的垂直平分线，∴OA=OB．
∴∠ABO=∠BAO=27°．∴∠OBC=∠ABC﹣∠ABO=63°﹣27°=36°．
∵DO是AB的垂直平分线，AO为∠BAC的平分线，
∴点O是△ABC的外心．∴OB=OC．∴∠OCB=∠OBC=36°．
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，∴OE=CE．
∴∠COE=∠OCB=36°．
在△OCE中，∠OEC=180°﹣∠COE﹣∠OCB=180°﹣36°﹣36°=108°．
17．①②④
【分析】
利用“HL”证明Rt△BDE和Rt△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝DF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出AD平分∠BAC，然后利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AF，再根据图形表示出表示出AE、AF，再整理即可得到AC﹣AB＝2BE．
【详解】
解：在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，故①正确；
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC，故②正确；
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
∴AB+BE＝AC﹣FC，
∴AC﹣AB＝BE+FC＝2BE，
即AC﹣AB＝2BE，故④正确；
由垂线段最短可得AE＜AD，故③错误，
综上所述，正确的是①②④．
故答案为①②④．
18．
【分析】
过P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，根据角平分线性质求出PD=PE=PF，根据三角形面积公式求出即可．
【详解】
解：如图，过P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，
∵P为△ABC三条角平分线的交点，
∴PD=PE=PF，
∵△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为30，40，15，
∴
=AB：BC：AC
=30：40：15
=6：8：3．
故答案为：6：8：3．
19．13
【分析】
本题是典型的一线三角模型，根据正方形的性质、直角三角形两个锐角互余以及等量代换可以证得△AFB≌△AED；然后由全等三角形的对应边相等推知AF＝DE、BF＝AE，所以EF＝AF+AE＝13．
【详解】
解：∵ABCD是正方形（已知），
∴AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°；
又∵∠FAB+∠FBA＝∠FAB+∠EAD＝90°，
∴∠FBA＝∠EAD（等量代换）；
∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，
∴在Rt△AFB和Rt△AED中，
∵ ，
∴△AFB≌△DEA（AAS），
∴AF＝DE＝8，BF＝AE＝5（全等三角形的对应边相等），
∴EF＝AF+AE＝DE+BF＝8+5＝13．
故答案为：13．
20．
【详解】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC，
∵DP⊥BC，∴∠BPD=90°，
∵PB=4cm，
∴BD=8cm，PD=cm，
∵把等边△A BC沿着D E折叠，使点A恰好落在BC边上的点P处，
∴AD=PD=cm，∠DPE=∠A=60°，
∴AB=（8+）cm，
∴BC=（8+）cm，
∴PC=BC﹣BP=（4+）cm，
∵∠EPC=180°﹣90°﹣60°=30°，
∴∠PEC=90°，
∴CE=PC=（）cm，
故答案为 ．
21．9
【详解】
试题分析：根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB的度数，∠A2A1C的度数，∠A3A2B的度数，∠A4A3C的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．
解：由题意可知：AO=A1A，A1A=A2A1，…，
则∠AOA1=∠OA1A，∠A1OA2=∠A1A2A，…，
∵∠BOC=9°，
∴∠A1AB=18°，∠A2A1C=27°，∠A3A2B=36°的度数，∠A4A3C=45°，…，
∴9°n＜90°，
解得n＜10．
由于n为整数，故n=9．
故选B．
22．60°
【详解】
试题解析：∵AB=BC=CD=DE=EF，∠A=15°，
∴∠BCA=∠A=15°，
∴∠CBD=∠BDC=∠BCA+∠A=15°+15°=30°，
∴∠BCD=180°-（∠CBD+∠BDC）=180°-60°=120°，
∴∠ECD=∠CED=180°-∠BCD-∠BCA=180°-120°-15°=45°，
∴∠CDE=180°-（∠ECD+∠CED）=180°-90°=90°，
∴∠EDF=∠EFD=180°-∠CDE-∠BDC=180°-90°-30°=60°，
∴∠DEF=180°-（∠EDF+∠EFD）=180°-120°=60°．
23．135
【详解】
试题分析：如图，连接EE′，
∵将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置，AE=1，BE=2，CE=3，
∴∠EBE′=90°，BE=BE′=2，AE=E′C=1．
∴EE′=2，∠BE′E=45°．
∵E′E2+E′C2=8+1=9，EC2=9．∴E′E2+E′C2=EC2．
∴△EE′C是直角三角形，∴∠EE′C=90°．∴∠BE′C=135°．
三、解答题
24．证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵BD、CE是△ABC的两条高线，∴∠DBC=∠ECB，∴OB=OC；
（2）∵∠ABC=50°，AB=AC，∴∠A=180°﹣2×50°=80°，∴∠BOC=180°﹣80°=100°．
25．∵AB=AC， ∴∠B=∠C．
∵DE⊥AB， DF⊥BC，∴∠DEA=∠DFC=90°．
∵D为的AC中点，∴DA=DC．
又∵DE=DF，∴RtΔAED≌RtΔCDF(HL)，
∴∠A=∠C，
∴∠A=∠B=∠C，
∴ΔABC是等边三角形．
26．
(1)∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠BAE=∠B，
同理可得：∠CAN=∠C，
∴∠EAN=∠BAC-∠BAE-∠CAN=∠BAC-(∠B+∠C)，
在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-112°=68°，
∴∠EAN=∠BAC-(∠BAE+∠CAN)=112°-68°=44°；
(2)∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠BAE=∠B，
同理可得：∠CAN=∠C，
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=(∠B+∠C)-∠BAC，
在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-82°=98°，
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=98°-82°=16°；
(3)当0<α＜90°时，
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠BAE=∠B，
同理可得：∠CAN=∠C，
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=(∠B+∠C)-∠BAC，
在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-α，
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=180°-α-α=180°-2α；
当α＞90°时，
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠BAE=∠B，
同理可得：∠CAN=∠C，
∴∠EAN=∠BAC-∠BAE-∠CAN=∠BAC-(∠B+∠C)，
在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-α，
∴∠EAN=∠BAC-(∠BAE+∠CAN)=α-(180°-α)=2α-180°．
27．
解：（1） 过点作∥，
∵ ∥ ，
∴∥，
∴ ， ，
∴ ∠EPG=∠AEP+∠PGC ；
（2）过点作∥，
1
∴ ，
，
∴ ，
∵平分，
∴ ，
∴.
∵ ，
又∵ ∥ ，
∴ ，
即，
∴ ，
∴ .
∵ ，
∴ ,
（3）图2，∵EF平分∠PEB，
∴可设∠BEF=∠PEF=α，
∵AB∥CD，
∴∠GFE=∠BEF=α，
∴四边形PGFE中，∠PGF=360°-∠P-2α，
∴∠PGC=180°-（360°-∠P-2α）=∠P+2α-180°，
∵∠EFG是△FGH的外角，
∴∠FGH=∠EFG-∠EHG=α-∠EHG，
又∵QG平分∠PGC，
∴∠PGC=2∠FGH，
即∠P+2α-180°=2（α-∠EHG），
整理可得，∠P+2∠EHG=180°．
故答案为：∠P+2∠EHG=180°．