人教版2024年八年级下册 第17章 勾股定理 单元测试卷 含详解

人教版2024年八年级下册 第17章 勾股定理 单元测试卷
满分120分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（　　）
A．3，4，7 B．8，10，15 C．6，8，10 D．7，24，26
2．下面图形能够验证勾股定理的有（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．如图：4×1网格中每个正方形边长为1，表示长的线段是（　　）
A．OA B．OB C．OC D．OD
4．在平面直角坐标系中，点P（3，2）到原点的距离是（　　）
A．1 B． C． D．
5．如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段AB⊥AC于点A，且AB长为1个单位长度，若以点C为圆心，BC长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表示的实数为（　　）
A． B． C． D．
6．一棵大树在一次强台风中折断倒下，大树折断前高度估计为18m，倒下后树顶落在距树根部大约12m处．这棵大树离地面约（　　）米处折断．
A．3m B．4m C．5m D．6m
7．如图，长为16cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升6cm至D点，则橡皮筋被拉长了（　　）
A．6cm B．5cm C．4cm D．2cm
8．如图、在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为S1，S2，S3．若S3+S2﹣S1＝18．则图中阴影部分的面积为（　　）
A．6 B． C．5 D．
9．如图，高速公路上有A、B两点相距10km，C、D为两村庄，已知DA＝4km，CB＝6km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则EA的长是（　　）km．
A．4 B．5 C．6 D．
10．如图，在四边形ABCD中，对角线分别为AC，BD，且AC⊥BD交于点O，若AD＝2，BC＝6，则AB2+CD2的值为（　　）
A．40 B．38 C．36 D．32
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．已知直角三角形的两直角边a，b满足，则第三边的长为 　 　．
12．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为 　 　．
13．如图，在6×6正方形网格中，点A、B、C都在网格线上，且都是小正方形边的中点．将△ABC的三边a、b、c按照从小到大排列为 　 　（用“＜”连接）．
14．如图，一架秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5m，将它往前推送1.5m（水平距离BC＝1.5m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1m，秋千的绳索始终拉直，则绳索AD的长是 　 　m．
15．在△ABC中，∠ACB＝30°，AC＝8，，则BC的长为 　 　．
16．如图，四边形ABCD中，已知AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为C，D．若BC＝2，CD＝3，∠ACD＝45°，则AB＝　 　．
三．解答题（共8小题，满分66分）
17．（6分）如图，方格纸中小正方形的边长为1个单位长度，△ABC为格点三角形．
（1）建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣5，4），点B的坐标为（﹣2，0）．此时，点C的坐标为 　 　；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．
18．（8分）如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝20cm，D是边AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm．
（1）求AD的长；
（2）求△ABC中BC边上的高．
19．（8分）如图，把一块Rt△ABC（∠ACB＝90°）土地划出一个△ADC后，测得CD＝3m，AD＝4m，BC＝12m，AB＝13m．
（1）试判断△ADC的形状，并说明理由；
（2）求图中阴影部分土地的面积．
20．（8分）如图，一只小猫沿着斜靠在墙角的木板AB往上爬，木板底端距离墙角0.7m，当小猫从木板底部爬到顶端A时，木板底端向墙外滑动了1.3m，木板顶端向下滑动了0.9m．求出A1C和这块木板的长度．
21．（8分）中菲黄岩岛争端持续，我海监船加大黄岩岛附近海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA＝36海里，OB＝12海里，黄岩岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向黄岩岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．
（1）请用直尺和圆规作出C处的位置；
（2）求我国海监船行驶的航程BC的长．
22．（9分）先阅读下列一段文字，再回答问题．
已知平面内两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），这两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．
（1）已知点A（2，4），B（﹣3，﹣8），试求A，B两点间的距离；
（2）已知点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为2，A，B两点间的距离为4，求点A的纵坐标；
（3）已知△ABC各顶点的坐标分别为A（﹣2，1），B（1，﹣1），C（3，2），你能判断△ABC的形状吗？说明理由．
23．（9分）规律探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题.；（S1是△OA1A2的面积）；
；（S2是△OA2A3的面积）；
；（S3是△OA3A4的面积）；
…
（1）请用含有n（n为正整数）的等式Sn＝　 　；
（2）推算出OA10＝　 　；
（3）求出的值．
24．（10分）【材料阅读】我国古人对勾股定理的研究非常深邃．如图1，已知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），由勾股定理：c2＝a2+b2，得b2＝c2﹣a2＝（c+a）（c﹣a），则，得到：．
从而得到了勾股定理的推论：已知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），则
【问题解决】如图2，已知△ABC的三边长分别为，如何计算△ABC的面积？据记载，古人是这样计算的：作BC边上的高AH．以BH，CH的长为斜边和直角边作Rt△DEF（如图3），其中DE＝BH，EF＝CH．
（1）用古人的方法计算DF2的值，完成下面的填空：
DF2＝DE2﹣EF2
＝BH2﹣CH2
＝[（ 　 　）2﹣（ 　 　）2]﹣[（ 　 　）2﹣（ 　 　）2]
＝　 　．
（2）试直接利用阅读材料中勾股定理的推论继续完成△ABC面积的计算过程；
（3）你还有其他计算△ABC的面积的方法吗？写出解答过程．
参考答案
一．选择题
1．解：∵3+4＝7，故线段长为3，4，5的三条线段不能构成三角形，故选项A不符合题意；
∵82+102≠152，故选项B不符合题意；
∵62+82＝102，故选项C符合题意；
∵72+242≠262，故选项D不符合题意；
故选：C．
2．解：第一个图形：中间小正方形的面积c2＝（a+b）2﹣4×ab；化简得c2＝a2+b2，可以证明勾股定理．
第二个图形：中间小正方形的面积（b﹣a）2＝c2﹣4×b；化简得a2+b2＝c2，可以证明勾股定理．
第三个图形：梯形的面积＝（a+b）（a+b）＝2××ab+c2，化简得a2+b2＝c2；可以证明勾股定理．
故能够验证勾股定理的有3个．
故选：D．
3．解：由勾股定理得，
，
，
，
∴表示应为线段OB．
故选：B．
4．解：在平面直角坐标系中，点P（3，2）到原点的距离＝，
故选：B．
5．解：由题意可得∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝3﹣1＝2，
则CB＝＝，
那么点P表示的实数为3﹣，
故选：A．
6．解：设这棵大树离地面约x米处折断，
根据题意得，x2+122＝（18﹣x）2，
解得x＝5，
答：这棵大树离地面约5米处折断，
故选：C．
7．解：由题意可知：AB＝16cm，DC垂直平分AB，DC＝6cm，
∴AC＝AB＝8cm，AD＝BD，
根据勾股定理可得：AD＝（cm），
∴橡皮筋被拉长了：AD+BD﹣AB＝10+10﹣16＝4（cm），
故选：C．
8．解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+AB2＝BC2，
即S1+S2＝S3，
∵S3+S2﹣S1＝18，
∴S2＝9，
由图形可知，阴影部分的面积＝S2，
∴阴影部分的面积＝，
故选：B．
9．解：设BE＝x，则AE＝（10﹣x）km，
由勾股定理得：
在Rt△ADE中，
DE2＝AD2+AE2＝42+（10﹣x）2，
在Rt△BCE中，
CE2＝BC2+BE2＝62+x2，
由题意可知：DE＝CE，
所以：62+x2＝42+（10﹣x）2，
解得：x＝4km．
所以，EB的长是4km．
所以，EA＝10﹣4＝6（km）．
故选：C．
10．解：∵AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝∠BOC＝90°，
∴AB2＝OA2+OB2，CD2＝OD2+OC2，AD2＝OA2+OD2＝22＝4，BC2＝OC2+OB2＝62＝36，
∴AB2+CD2＝OA2+OB2+OD2+OC2＝AD2+BC2＝4+36＝40，
故选：A．
二．填空题
11．解：∵直角三角形的两直角边a，b满足，
∴＝0，|4﹣b|＝0，
∴a＝3，b＝4，
∴斜边长为，
故答案为：5．
12．解：由题意：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E，
∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C
∵正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，
∴S正方形B+4＝18﹣6，
∴S正方形B＝8．
故答案为：8．
13．解：设小正方形的边长为1个单位长度，
将△ABC向右平移半个单位长度如图所示，
由勾股定理可知，b＝，c＝4，a＝，
∵4，
∴c＜a＜b，
故答案为：c＜a＜b．
14．解：∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE，
∴四边形BCEF是矩形，△ACB是直角三角形，
∴CE＝BF＝1m，
∴CD＝CE﹣DE＝1﹣0.5＝0.5（m），
设绳索AD的长为x m，
则AB＝AD＝x m，AC＝AD﹣CD＝（x﹣0.5）m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，
即（x﹣0.5）2+1.52＝x2，
解得：x＝2.5（m），
即绳索AD的长是2.5m，
故答案为：2.5．
15．解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°，
∵∠ACB＝30°，AC＝8，
∴AD＝，
∴CD＝，
∵AB＝，AD＝4，
∴BD＝，
①当点B在CD外时，
BC＝BD+CD＝5；
②当点B'在CD上时，
B'C＝CD﹣B'D＝4﹣＝3，
故答案为：5或3．
16．解：过点D作DE垂直BC的延长线于点E，
∵AC⊥BC，
∴∠ACE＝90°，
∵∠ACD＝45°，
∴∠DCE＝45°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CE＝DE，
∵CD＝3，
∴2DE2＝CD2，即2DE2＝（3）2，
解得DE＝3，
∴CE＝DE＝3，
∵BC＝2，
∴BE＝BC+CE＝2+3＝5，
∴BD＝＝＝，
∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴点A、B、C、D在以AB为直径的圆上，
∴∠ABD＝∠ACD＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD＝BD＝，
∴AB＝＝＝2．
三．解答题
17．解：（1）如图，
点C的坐标为（﹣1，2），
故答案为：（﹣1，2）；
（2）△ABC是直角三角形，理由如下：
∵AB2＝32+42＝52，BC2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，
∴AB2＝BC2+AC2，
∴△ABC是直角三角形．
18．解：（1）∵BC＝20cm，且CD＝16cm，BD＝12cm，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°，
设AD＝x cm，则AC＝AB＝（x+12）cm，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2，
即x2+162＝（x+12）2，
解得：x＝，
即AD＝cm；
（2）AB＝AC＝+12＝（cm），
过A作AE⊥BC于E，则AE是△ABC的高，
∵AB＝AC，BC＝20cm，
∴BE＝CE＝10（cm），
在Rt△AEB中，由勾股定理得：AE＝＝＝（cm），
即△ABC中BC边上的高是cm．
19．解：（1）△ADC是直角三角形，
理由：∵∠ACB＝90°BC＝12m，AB＝13m，
∴AC＝m，
∵在△ADC中，AD＝4m，CD＝3m，
∴32+42＝52，
即：CD2+AD2＝AC2，
∴∠ADC＝90°，
即：△ADC是直角三角形；
（2）S阴影＝S△ACB﹣S△ADC
＝AC BC﹣AD CD
＝
＝30﹣6
＝24（m2）．
答：阴影部分土地的面积为24m2．
20．解：根据题意得：BC＝0.7m，BB1＝1.3m，AA1＝0.9m，
设A1C的长度是x m，
在Rt△ABC和Rt△A1B1C中，∠ACB＝90°，AB＝A1B1，
∴AB2＝AC2+BC2，A1＝A1C2+B1C2，
∴AC2+BC2＝A1C2+B1C2，
即（0.9+x）2+0.72＝x2+（1.3+0.7）2，
解得：x＝1.5，
∴A1C＝1.5m，AC＝0.9+1.5＝2.4（m），
∴AB＝＝＝2.5（m），
答：A1C的长度是1.5m，木板的长度是2.5m．
21．解：（1）作AB的垂直平分线与OA交于点C；
（2）连接BC，
由作图可得：CD为AB的中垂线，则CB＝CA．
由题意可得：OC＝36﹣CA＝36﹣CB．
∵OA⊥OB，
∴在Rt△BOC中，BO2+OC2＝BC2，
即：122+（36﹣BC）2＝BC2，
解得BC＝20．
答：我国海监船行驶的航程BC的长为20海里．
22．解：（1），
即A，B两点间的距离为13．
（2）∵点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为2，A，B两点间的距离为4，
∴A的纵坐标为2+4＝6或者2﹣4＝﹣2．即点A的纵坐标为6或﹣2．
（3）△ABC为等腰直角三角形．理由如下：
∵，
，
，
∴AB＝BC，且AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形．
23．解：（1）结合已知数据，可得：Sn＝；
故答案为：；
（2）∵；
；
；
……
∴OA102＝＝10；
∴OA10＝．
故答案为：．
（3）
＝+++
＝+++
＝2×（﹣+﹣+﹣）
＝2×
＝2﹣2．
24．解：（1）DF2＝DE2﹣EF2
＝BH2﹣CH2
＝（AB﹣AH）2﹣（AC﹣AH）2
＝16，
故答案为：AB，AH，AC，AH，16；
（2）在Rt△DEF中，
由勾股定理的推论，可知：．
∵DE+EF＝BH+CH＝BC＝8，DF2＝16，
∴，
∴CH＝3，
在Rt△ACH中，AH2＝AC2﹣CH2＝52﹣32＝16，
∴AH＝4，
∴；
（3）如图2，设CH＝x，BH＝8﹣x，
由勾股定理，得AH2＝AB2﹣BH2＝AC2﹣CH2，
，
解得x＝3，
∴CH＝3，
∴，
∴．