2023-2024学年湖南省岳阳市平江重点中学高二（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省岳阳市平江重点中学高二（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.空间四边形中，，，，且，，则( )
A. B.
C. D.
2.如图所示，在正方体中，为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A.
B.
C.
D.
3.已数列是等比数列，，，则公比等于( )
A. B. C. D.
4.已知点，，过点的直线与线段相交，则的斜率的取值范围为( )
A. B.
C. D.
5.已知双曲线的上、下焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，，则椭圆的离心率等于( )
A. B. C. D.
7.设是定义在上的偶函数，为其导函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
8.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知三条直线：直线：，：，：不能围成一个封闭图形，则实数的值可以是( )
A. B. C. D.
10.一条直线经过点，被圆截得的弦长等于，这条直线的方程为( )
A. B.
C. D.
11.已知数列的前项和为，则下列说法正确的是( )
A. B. 为的最小值
C. D.
12.若函数在区间上有最小值，则实数的可能取值是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为______．
14.已知点，若，两点在直线上，则点到直线的距离为______．
15.如果椭圆上一点到焦点的距离是，则到另一焦点的距离是______．
16.已知，则 ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在平面直角坐标系中，点的坐标为，动点满足．
求动点的轨迹的方程．
若直线过点且与轨迹相切，求直线的方程．
18.本小题分
已知如图直角梯形，，，，，为的中点，沿将梯形折起如图，使平面平面．
证明：平面；
在线段上是否存在点，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，若存在，求出点的位置：若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知等差数列的前项和为，且，．
求数列的通项公式；
若，令，求数列的前项和．
20.本小题分
已知函数．
求的单调区间及极值；
求在区间上的最值．
21.本小题分
已知抛物线：，是坐标原点，是的焦点，是上一点，，．
求的标准方程；
设点在上，过作两条互相垂直的直线，，分别交于，两点异于点证明：直线恒过定点．
22.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点的切线方程；
讨论函数的单调性．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，为的中点，
，
．
故选：．
利用空间向量的线性运算法则求解．
本题主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，
则，，，，
则，
设平面的法向量为，
则，
解得，
令，则，，
所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则．
故选：．
根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果．
本题考查直线与平面所成角，解题关键是空间向量法的应用，属于中档题．
3.【答案】
【解析】解：数列是等比数列，，，
，
则公比．
故选：．
利用等比数列的通项公式能求出结果．
本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：如图所示：
，
由图象知：当的斜率不存在时，直线与线段相交，
故的斜率的取值范围为．
故选：．
先求得直线和直线的斜率，再利用数形结合法求解．
本题主要考查直线的斜率，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由双曲线的定义可得，，即，，且焦点在轴上，
所以双曲线的方程为：，
故选：．
由双曲线的定义可得实轴长及半个焦距，再由，，之间的关系求出，进而求出双曲线的方程．
本题考查双曲线的定义式求标准方程，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，，，
是直角三角形，，，
由椭圆的定义可得，，
，
．
故选：．
根据已知条件，结合椭圆的定义，以及离心率公式，即可求解．
本题主要考查椭圆的性质，以及椭圆的定义，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：设，，则，
当时，有恒成立，
当时，，在上单调递增，
是定义在上的偶函数，
，即是定义在上的奇函数，
在上也单调递增．
又，，．
不等式的解可等价于即的解，
或，
不等式的解集为．
故选：．
构造函数，易知在上单调递增，由是定义在上的偶函数可推出是定义在上的奇函数，故在上也单调递增，且而不等式的解可等价于即的解，从而得解．
本题考查利用导数研究函数的单调性、解不等式和函数的奇偶性等，构造新函数是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查函数的极值点，属于中档题．
先求导函数，函数有两个极值点，等价于函数与的图象由两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象，由图可求得实数的取值范围．
【解答】
解：函数，
则，
令得，
函数有两个极值点，
等价于有两个零点，
等价于函数与的图象有两个交点，
在同一个坐标系中作出它们的图象如图，
当直线与的图象相切时，设切点为，
对于，，
则，解得，
由图可知，当时，
与的图象有两个交点．
则实数的取值范围是
故选B．
9.【答案】
【解析】解：若，，中有两条相互平行，或三条线过同一点都不可以围成封闭图形，
若，由两直线平行与斜率之间的关系可得；
若，由两直线平行与斜率之间的关系可得；
联立，可得，可知，的交点为，
若，，交于同一点，可得．
故选：．
根据题意可知，三条直线中有两条相互平行或三条线过同一点的情况下满足题意，分类讨论即可求得实数的值．
本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由圆的方程，得到圆心坐标为，半径，
直线被圆截得的弦长为，
弦心距，
若此弦所在的直线方程斜率不存在时，显然满足题意；
若此弦所在的直线方程斜率存在，设斜率为，
所求直线的方程为，即，
圆心到所设直线的距离为，解得：，
此时所求方程为，即，
综上，此弦所在直线的方程为或．
故选：．
由圆的标准方程得到圆心和半径，再由弦长公式得到弦心距离，讨论当斜率存在与不存在时的情况，存在时由圆心到直线的距离等于弦心距求出斜率，再由点斜式写出直线方程即可．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的思想，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：数列的前项和为，
当时，，
当时，，
当时也成立，
，故A正确；
由于，当或时，取得最大值，故B错误；
由于，解得，
，故C正确；
，故D错误．
故选：．
根据数列的求和公式可得通项公式，根据数列的函数特征可得的最小值，根据求和公式和分类讨论即可求出前项和．
本题考查了等差数列的通项公式与前项和公式及其性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由，
得，
令，解得；令解得或
由此得函数在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数
故函数在处取到极小值，
因为函数在的端点处的函数值取不到，
所以此极小值必是区间上的最小值．
，解得，
又当时，，故有，
综上知．
故选：．
求函数导数，由于函数在区间上有最小值，故最小值点的横坐标是集合的元素，由此可以得到关于参数的等式，解之求得实数的取值范围．
本题考查用导数研究函数的最值，利用导数研究函数的最值是导数作为数学中工具的一个重要运用，要注意把握其作题步骤，求导，确定单调性，得出最值，是中档题．
13.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查了直线方程的求法，属于直线方程中的基础题，应当掌握．
分直线的截距不为和为两种情况讨论，用待定系数法求直线方程即可．
【解答】
解：若直线的截距不为，可设直线方程为，
把代入，得，解得，
直线方程为；
若直线的截距为，可设直线方程为，
把代入，得，，
直线方程为．
所求直线方程为或．
故答案为或．
14.【答案】
【解析】解：因为，，，
所以，，
故与同方向的单位向量，
则所求距离．
故答案为：．
由已知结合空间向量的距离公式即可求解．
本题主要考查了空间向量在距离求解中的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：椭圆的长半轴的长为：，
由椭圆的定义可知：椭圆上一点到焦点的距离是，则到另一焦点的距离是：．
故答案为：．
利用椭圆方程求出长半轴的长，利用椭圆的定义求解即可．
本题考查椭圆的简单性质椭圆的定义的应用，是基础题．
16.【答案】
【解析】解：因为，
所以，所以，
解得．
故答案为：．
先求导可得，代入，求得．
本题主要考查了函数的求导，属于基础题．
17.【答案】解：设，由，得，
化简得，
所以点的轨迹的方程为．
由知，轨迹：表示圆心为，半径为的圆，
当直线的斜率不存在时，方程为，圆心到直线的距离为，与相切；
当直线的斜率存在时，设：，即，
于是，解得，因此直线的方程为，即，
所以直线的方程为或．

【解析】设，根据动点满足，再用两点间距离公式列式化简作答．
讨论直线的斜率，设出直线的方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径求解作答．
本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，是中档题．
18.【答案】证明：连接，则，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
所以，
又，，，平面，
所以平面．
解：由得平面，所以，
所以，，两两垂直，
分别以，，方向为，，轴正方向，建立空间直角坐标系，
如图所示，
则，，，
设，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，
取，得，
取平面的法向量为，
所以，
所以，
所以线段上存在点，且为中点时，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．
【解析】连接，则，由平面平面可得平面，可得，又可证平面；
建立空间直角坐标系，设，，根据二面角的向量计算公式即可求出．
本题主要考查线面垂直的证明，立体几何中的探索性问题，空间向量及其应用等知识，属于中等题．
19.【答案】解：设等差数列的公差为，
由题意知，，，
即，化简得．
所以数列的通项公式．
令，
则 ，
，
．
．
【解析】设等差数列的公差为，结合条件求出，，从而得到其通项公式．
利用错位相减，化简解可得出答案．
本题考查了数列递推式、数列求和，考查了计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
．
由知在，上单调递减，
在上单调递增，
又，，
所以函数在上最大值为，最小值为．
【解析】求导得，分析的正负，分析单调性，进而可得的极大值，极小值．
由知在上单调性，求出端点值，，即可得出函数的最值．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
21.【答案】解：由，，可得，
代入：．
解得或舍，
所以抛物线的方程为：．
证明：由题意可得，直线的斜率不为，设直线的方程为，
设，，
由，得，从而，
且，．
又，，
，
故，
整理得．
即，
从而或，即或．
若，则，过定点，与点重合，不符合：
若，则，过定点．
综上，直线过异于点的定点．
【解析】由抛物线的方程可得焦点的坐标及准线方程，由及抛物线的性质可得的横坐标，再由可得的纵坐标，将的坐标代入抛物线的方程可得的值，进而求出抛物线的方程；
由题意可得直线的斜率不为，设直线的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出数量积的表达式，由数量积为可得参数的关系，代入直线的方程可得直线恒过定点．
本题考查求抛物线的方程及直线与抛物线的综合，用数量积为求解两条直线垂直的应用，属于中档题．
22.【答案】解：，，
，
当时，，
，
，，
曲线在点的切线方程为：，
即．
当时，令，得；令，得；
当时，令，得或；
当，即时，令，得或；
令，得；
当时，即时，则恒成立；
当时，即时，令，得或；令，得；
综上所述：当时，在上递减，在上递增；
当时，在和上递减，在上递增；
当时，在上递减；
当时，在和上递减，在上递增．
【解析】求出导函数，求出切线的斜率，进而求解结论，
求出导函数后，用导数符号讨论单调性．
本题考查了利用导数研究函数的单调性．属难题．
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