2023-2024学年福建省三明市高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年福建省三明市高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
2.双曲线的焦距为( )
A. B. C. D.
3.等比数列中，若，，则( )
A. B. C. D.
4.两条平行线：，：间的距离等于( )
A. B. C. D.
5.如图，在四面体中，，且，则( )
A.
B.
C.
D.
6.已知，，若直线上存在点使得，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7.已知数列，的前项和分别为，，若，，，则( )
A. B. C. D.
8.抛物线具有以下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴从抛物线的焦点发出的两条光线分别经抛物线反射，若这两条光线均在抛物线对称轴同侧且与轴的夹角均为，两条反射光线之间的距离为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.等差数列的前项和为，若，则下列各项的值一定为的是( )
A. B. C. D.
10.下列说法中正确的是( )
A.
B.
C. 设函数，若，则
D. 设函数的导函数为，且，则
11.以下四个命题表述正确的是( )
A. 直线恒过定点
B. 圆上有且仅有个点到直线的距离等于
C. 曲线与恰有四条公切线
D. 已知圆：，为直线上一动点，过点向圆引切线，其中为切点，则的最小值为
12.如图，在底面是直角三角形的直三棱柱中，是的中点，，，若平面过点，且与平行，则( )
A. 异面直线与所成角的余弦值为
B. 三棱锥的体积是三棱柱体积的
C. 当平面截棱柱的截面图形为等腰梯形时该图形的面积等于
D. 当平面截棱柱的截面图形为直角梯形时，该图形的面积等于
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知点，，以线段为直径的圆的标准方程为______．
14.曲线在点处的切线方程为______．
15.已知双曲线的离心率为，直线与双曲线交于，两点，若，则的值是______．
16.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上：若是偶数，就将该数除以反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈这就是数学史上著名的“冰雹猜想”又称“角谷猜想”等如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过个步骤变成简称为步“雹程”现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：为正整数，，若“冰雹猜想”中，则所有可能的取值集合为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
等差数列中，，．
求数列的通项公式；
已知数列是首项为，公比为的等比数列，求的前项和．
18.本小题分
在四棱锥中，底面是矩形，，分别是棱，的中点．
证明：平面：
若平面，且，，求二面角的余弦值．
19.本小题分
已知椭圆的右焦点为，且经过点．
求椭圆的标准方程；
经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，求线段的长．
20.本小题分
在如图所示的多面体中，四边形为菱形，且为锐角在梯形中，，，，平面平面．
证明：平面；
若，，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，则求出，若不存在，说明理由．
21.本小题分
已知数列满足：，，．
证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．
22.本小题分
在平面直角坐标系中，已知点，、为抛物线：上不同的两点，，且于点．
求的值；
过轴上一点的直线交于、两点，、在的准线上的射影分别为、，为的焦点，若，求中点的轨迹方程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了空间向量垂直的坐标表示，属于基础题．
利用，得到坐标的等量关系即可求解．
【解答】
解：，，，
，，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：双曲线方程为，
，则，得，
双曲线的焦距为．
故选：．
根据双曲线的标准方程，得出，计算出，即可求出焦距．
本题考查双曲线的几何性质，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：设等比数列的公比是，
因为，，
所以，解得，
所以．
故选：．
设等比数列的公比为，建立方程组，求出，，借助通项公式求出即可．
本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意知：，：，
因为两直线平行，所以，解得，
即直线的方程为：，
所以两条直线间的距离为．
故选：．
利用两平行线间的距离公式求解即可．
本题考查两条直线平行的充要条件的应用，平行线间的距离公式的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
又因为，
所以．
故选：．
根据已知条件，结合空间向量的线性运算法则，即可求解．
本题主要考查空间向量的线性运算法则，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为直线上存在点使得，
所以点在以，为直径的圆上，但点不能是、，
由，为直径的圆，可得圆心为，半径为，即圆：，
要使得，只需直线与圆：有公共点，但公共点不能是，，
因为圆心到直线的距离为，
所以，解得，
当直线与圆：有公共点为，时，则直线为轴，即．
综上所述：实数的取值范围是．
故选：．
根据题意分析可得直线与圆有公共点公共点不能是、，结合直线与圆的位置关系分析运算即可．
本题考查了直线与圆的方程应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
7.【答案】
【解析】解：结合题意可得：当时，，
因为，所以当时，有，
由可得，即，易知，
所以，
又满足，故．
所以，
易知，
所以．
故选：．
利用，之间的关系，结合累乘法求出，再表示出，利用，再求和即可．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：根据题意作出下图，两条光线分别为，
可设：，与联立消元得，
解得、，，
同理设：，与联立消元得，
解得、，，
，，故B正确．
故选：．
根据题意作出图形，设：，联立直线与抛物线方程，消元，即可求出，同理求出，从而可求解．
本题考查抛物线的性质，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：设等差数列的公差为，
若，
则，故A错误，B正确；
，故C错误；
，故D正确．
故选：．
设等差数列的公差为，根据求出可判断；结合等差数列的前项公式可判断CD正确．
本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于选A：，故选项A错误；
对于：，故选项B正确；
对于：，，由，
，解得，故选项C正确；
对于：结合题意可得：，，
解得，故选项D正确．
故选：．
根据题意，利用基本初等函数的导数公式及运算法则分析选项，即可得答案．
本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于选项A：由，
可得，
联立，解得，即该直线恒过定点故A正确；
对于选项B：由圆，可得圆心为，半径为，
所以到直线的距离为，
故直线与圆相交，
故到直线距离为的有两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，
因此圆上有三个点到直线的距离等于故选项B错误；
对于选项C：曲线可化为，
故曲线是圆心为，半径为的圆；
曲线可化为，
故曲线是圆心为，半径为的圆；
所以，
故曲线与曲线外离，此时公切线的条数有且只有条．故选项C正确；
对于选项D：由圆：，可得圆心为，半径为，
所以，
要使最小，只需最小，
即只需到直线的距离，
所以故选项D正确．
故选：．
利用直线系方程求解直线所过定点可判断；求出圆心到直线的距离，结合圆的半径可判断；由圆心距等于半径之间的关系可判断；根据切线长性质结合点到直线距离公式可判断．
本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于选项，由题可知，，两两垂直，建系如图，
则，，，，
，，
，
异面直线与所成角的余弦值为，选项正确；
对于选项，，
，选项错误；
对于选项，如图，设，，分别为，，的中点，
则，，，，，
，，，
，，，，，共面，
又，平面，平面，
平面，
四边形为平面截棱柱的截面图形，
四边形是等腰梯形，且高为，
当不是中点时，不平行平面，
此时四边形不是梯形，等腰梯形有且仅有一个，
，选项正确；
对于选项，如图，设，，分别为，，的中点，
则，，，，，，
，，，，，四点共面，
又，平面，平面，
平面，可得四边形为平面截棱柱的截面图形，
由题可知，，，，平面，
平面，平面，又平面，
，
四边形是直角梯形，当不是中点时，不平行平面，
则四边形不是梯形，直角梯形有且仅有一个，其面积为，选项错误．
故选：．
建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求解异面直线与的余弦值即可对判断；利用棱锥棱柱体积公式，即可对判断；作出平面截棱柱的截面图形结合条件可得截面的面积判断．
本题考查立体几何的综合应用，几何体的截面问题，属难题．
13.【答案】
【解析】解：因为点，，
线段为直径，
可得圆心的坐标为，故，
所以该圆的标准方程为．
故答案为：．
求出圆心坐标和半径可得结论．
本题主要考查圆的方程的求解，考查计算能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，
，
曲线在点处的切线的斜率为：，
曲线在点处的切线的方程为：，
故答案为．
欲求在处的切线的方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决．
本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、直线方程的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：联立与，得，
解得，
当时，，
由勾股定理得，
，解得，
离心率．
故答案为：．
联立与，求出，从而得到，列出方程，求出，得到离心率．
本题考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题．
16.【答案】
【解析】解：若，则，则，
若，则或，
当时，则，则或；
当时，则，则；
综上所述：所有可能的取值集合为．
故答案为：．
根据运算规则逆向寻找结果即可．
本题主要考查了归纳推理，属于基础题．
17.【答案】解：设等差数列的公差为，
，，
，解得，
；
由得，
数列是首项为，公比为的等比数列，
，
，
．
【解析】设等差数列的公差为，由题意得，解方程组即可求得结果；
由可知，从而利用分组求和即可求出．
本题考查等差数列和等比数列的综合，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：证明：如图，取中点，连接，，因为点为中点，
所以且，
又因为四边形为矩形，为的中点，
所以且，
所以且，
故四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，
所以，，设平面的一个法向量为，
则，即，
令，得，
由于轴平面，则平面的一个法向量为，
显然二面角为锐二面角，设其二面角的平面角为，
则，
所以二面角的余弦值为．
【解析】取中点，连接，，即可证明，从而得证；
建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算即可．
本题考查空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．
19.【答案】解：由题意得，
解得，
故椭圆的标准方程为．
由题意可得直线的方程为，
与椭圆方程联立，得，
设，，则，
故
．
【解析】根据椭圆右焦点，且过点，从而可求解．
根据题意求出直线方程为，与椭圆方程联立后，利用根与系数关系从而可求解．
本题考查椭圆方程的求法，考查弦长公式的应用，考查运算求解能力，属中档题．
20.【答案】证明：因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为四边形为菱形，所以，
又，、平面，所以平面．
解：设，取中点，连接，则，
因为平面，，所以平面，平面，
所以，
所以，
因为为锐角，即为锐角，所以，所以为等边三角形，
所以，，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，，，
设平面的法向量为，则，即，
取，得，，所以，
假设存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为，
设，
由，得，
所以，，，即，
所以，
因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以，，整理得，
解得或，
因为，所以，
故存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】利用面面垂直可得平面，从而有，由菱形的性质知，再结合线面垂直的判定定理，即可得证；
由，可得，设，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法表示线面角，即可求得的值．
本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理，面面垂直的性质定理，利用向量法求线面角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：证明：，
，
又，，则，
数列是以首项为，公比为的等比数列．
，
当时，，
，
当时，也满足上式，
故数列的通项公式为，
由题意得，
，
，
，
，
由得
，
故数列的前项和．
【解析】由可得，进而可证明数列是等比数列，求得，利用累加法计算，即可得出答案；
先求出通项，再利用错位相减法求和，即可得出答案．
本题考查数列的递推式和数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：由及，得直线的斜率，
则直线的方程为，即，
设、，
联立可得，则，
由韦达定理得，于是，
由，得，即，即，解得．
由得抛物线的焦点，设的准线与轴的交点为，
因为点、，则，
，
由，得，所以或，
又因为，所以．
设的中点的坐标为，
当与轴不垂直，即时，由，可得，
即，即，即，即，
当与轴垂直时，点与点重合，所以，
综上，中点的轨迹方程为．
【解析】求出直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，根据题意可得出，利用平面向量数量积的坐标运算可求出的值；
设的准线与轴的交点为，根据可求出的值，设的中点的坐标为，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合斜率公式可求得点的轨迹方程．
本题考查了直线与圆锥曲线的综合，考查了抛物线的方程及性质，考查了数形结合思想，属于中档题．
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