2023-2024学年江苏省淮安市高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省淮安市高二（上）期末数学试卷
一、选择题
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.在等差数列中，若，，则的公差为( )
A. B. C. D.
3.已知双曲线：的左、右焦点为，，若双曲线上存在点满足，则双曲线的一条渐近线方程为( )
A. B. C. D.
4.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的方程为，射线绕点从轴正半轴逆时针匀速旋转到轴正半轴，所扫过的内部图形图中阴影部分面积可表示为时间的函数，则下列图象中与图象类似的是( )
A. B. C. D.
5.已知椭圆：的右焦点为，上、下顶点分别为，，是的中点，若，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
6.“勾股数”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形如图所示，以边长为的正方形的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，如此继续，若得到的“勾股树”上所存正方形的面积为，则“勾股树”上所有正方形的个数为( )
A. B. C. D.
7.已知函数为自然常数，记，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
8.已知抛物线上三点，，，直线，是圆的两条切线，则的面积最大值为( )
A. B. C. D.
9.已知曲线：，，则下列结论正确的有( )
A. 若，则曲线是圆
B. 若，则曲线是焦点在轴上的椭圆
C. 若，则曲线是焦点在轴上的双曲线
D. 曲线可能是抛物线
10.已知：，直线：，则下列结论正确的有( )
A. 直线和可能相切
B. 直线过定点
C. 直线被截得的弦最长时，直线的方程为
D. 直线被截得的弦长最小值为
11.设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论正确的有( )
A. 仅有两个极值点
B. 有两个极大值点
C. 是函数的极大值点
D. 是函数的极大值点
12.已知等比数列的前项和为，且，，则( )
A. B. C. D.
二、非选择题
13.直线过点且与直线平行，则直线与，轴围成的三角形面积为______．
14.已知函数，则曲线在处的切线方程为______．
15.已知正项数列是等差数列，若，，则的值为______．
16.已知函数，曲线关于直线对称的曲线为，若曲线是某函数的图象，则实数的取值范围为______．
17.已知，为坐标原点，是平面内的一个动点，且．
求动点的轨迹方程；
若圆：与只有一个公共点，求的值．
18.已知正项等比数列，其前项和为，且满足，，，成等差数列．
求数列的通项公式；
若数列满足：对任意正整数，均成立，求数列的最大项的值．
19.已知函数为自然常数，为实数．
若在上存在极值，求的取值范围；
若对任意，恒成立，求的取值范围．
20.已知数列的各项均大于，其前项和为，数列满足，，，数列满足，且，．
证明：数列是等差数列；
求的前项和．
21.已知椭圆的离心率为分别为的左、右焦点，为上顶点，且的内切圆半径为．
求的方程；
，是上位于直线异侧的两点，且，证明：直线经过定点．
22.已知函数，为实数．
若在上单调递增，求实数的取值范围；
若．
证明：既有极大值又有极小值；
若，分别为函数的极大值和极小值，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为直线的斜率，
故倾斜角为．
故选：．
先求出直线的斜率，然后结合直线倾斜角与斜率关系可求．
本题主要考查了直线的倾斜角与斜率关系的应用，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：设公差为，
等差数列中，，，
，解得．
故选：．
根据等差数列的性质即可求解结论．
本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
3.【答案】
【解析】解：由题意可得，，则，
双曲线的渐近线方程为，即．
结合选项可得，双曲线的一条渐近线方程为．
故选：．
由已知结合双曲线的定义求解，再由双曲线的渐近线方程求解．
本题考查双曲线的几何性质，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，设与轴的夹角为，则，
当时，阴影部分的面积逐渐变大，并且变化得越来越快，即切线的斜率为正值且越来越大，
当时，阴影部分的面积逐渐变大，并且变化得越来越慢，即切线的斜率为正值且越来越小，
分析选项：符合题意．
故选：．
根据题意，设与轴的夹角为，则，分和两种情况讨论，分析阴影部分面积的变化情况，分析选项可得答案．
本题考查函数的图象分析，涉及函数变化快慢的分析，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意可得垂直平分线段，
，，
椭圆的离心率为．
故选：．
根据题意可得垂直平分线段，从而可得，从而可得，再化归转化，即可求解．
本题考查椭圆的几何性质，属基础题．
6.【答案】
【解析】解：设第次向外作的正方形的个数为，数列的前项和为，
由题意可得第次向外作的正方形面积和与第次向外作的正方形面积和相等，
即每次向外作的正方形面积和为，而，
故向外作了次正方形又，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，则，
所以“勾股树”上所有正方形的个数为．
故选：．
先通过每次产生的新正方形面积和与前一次正方形面积和相同得到向外作的正方形的次数，设第次向外作的正方形的个数为，数列的前项和为，先求数列的递推式，再求通项公式，进而可求和．
本题主要考查了归纳推理，考查了等比数列的定义和前项和公式，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：因为，所以，，
因为是增函数，且，所以当时，，单调递增，
又，所以，即．
故选：．
根据先将转化为，再利用导数判断函数在单调递增即可做出判断．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数值大小的比较，考查了转化思想，属基础题．
8.【答案】
【解析】解：将点代入，可得，所以，
所以抛物线方程为，明显直线，的斜率均存在，且不为零，
设直线，的斜率分别为，，
设过点并与已知圆相切的直线方程为，，即，
则，整理得，
联立，整理可得，
，解得，所以，
因为，
故，，，
将直线的方程代入中，可得：，得，
则，则，解得，
即，
同理可得，
则直线的方程为，
整理得，
令，根据，可得，
则直线的方程为，即，
联立，可得，
可得，，
所以，
点到直线的距离，
所以，
令，，
则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故，
即三角形的面积的最大值为．
故选：．
将点的坐标代入抛物线的方程，可得的值，即求出抛物线的方程，设过点且与圆相切的直线，由抛物线的方程联立，由判别式为，可得参数的关系，设直线的方程，与抛物线的方程联立，可得点的坐标，讨论可得点的坐标，求出直线的方程，与抛物线的方程联立，可得两根之和及两根之积，进而求出的表达式，再求出点到直线的距离的表达式，代入三角形的面积公式，可得的面积的表达式，设，，求导，由函数的单调性，可得的最大值，即求出三角形面积的最大值．
本题考查抛物线的性质的应用及直线与圆相切的性质的应用，用导数的方法求函数的最大值问题，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：曲线：，，曲线是圆，所以A正确；
若，则曲线化为，，是焦点在轴上的椭圆，故B不正确；
若，则曲线化为，是焦点在轴上的双曲线，故C正确；
曲线方程中不会含有一次项，不可能是抛物线，故D错误．
故选：．
由椭圆、双曲线及抛物线的方程逐一分析四个选项得答案．
本题考查圆锥曲线的方程及特征，考查分析问题与解决问题的能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：：，圆的圆心，半径为，直线：，恒过，所以B正确；
因为到圆心的距离为：，所以直线和相交，所以不正确；
直线被截得的弦最长时，直线的斜率为：，所以直线的方程为，即，所以C正确；
直线被截得的弦长最小值为：所以D正确．
故选：．
求解圆的圆心以及半径，直线系经过的定点，然后判断直线与圆的位置关系，即可得到正确选项．
本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：由的图象知，
当时，，当或时，，
则在上是增函数，在上是减函数，
仅有一个极大值点．
故选：．
根据导数与原函数的关系逐个分析的正负，进而得到的正负，结合极值点与零点的定义判断即可．
本题考查了利用导数研究函数的极值，体现了数形结合的思想，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：根据题意，设等比数列的公比为，
由，又由，所以．
又由，即，必有，
依次分析选项：
对于，，由于正负不定，故无法确定与的大小，A错误；
对于，，B正确；
对于，，C正确；
对于，，故，D错误．
故选：．
根据题意，根据可得，由可得，进而根据选项即可逐一求解．
本题考查等比数列的性质以及应用，涉及等比数列的前项和，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：设直线方程为，
因为直线过点，所以，解得，直线方程为．
因此，直线交轴于点，交轴于点，可得．
故答案为：．
先根据两条直线平行，算出直线的方程，然后求得直线与坐标轴的交点，进而算出直线与坐标轴围成的三角形面积．
本题主要考查两条直线平行与方程的关系、三角形的面积公式等知识，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，
，
则又，
曲线在处的切线方程为，即．
故答案为：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再求出的值，利用直线方程的点斜式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：设公差为，则，
因为，，
可得，解得舍．
故．
故答案为：．
根据已知条件求得数列的公差，进而求解结论．
本题主要考查等差数列的性质，考查计算能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：根据题意，曲线是某函数的图象，则在定义域内，曲线与直线有且仅有个交点，
由于曲线关于直线对称的曲线为，设直线与直线关于直线对称，
直线与直线的夹角为，故直线与直线的夹角也为，故直线与轴平行，
涉及直线的方程为，
则函数与直线在上有且只有一个交点，
，
易得在区间上，，，
在区间上，，，
又由的导数，
易得在区间上，，为增函数，
在区间上，，为减函数，
故的图象大致如图：
若函数与直线在上有且只有一个交点，
必有，即的取值范围为．
故答案为：．
根据题意，分析可得：“曲线是某函数的图象”等价于函数与直线在上有且只有一个交点，分析的符号，求出的导数，分析其单调性，作出其大致图象，分析可得答案．
本题考查利用导数分析函数的单调性，涉及函数的定义，属于中档题．
17.【答案】解：设，可得，，
所以，整理得；
由的结论可知的轨迹是以为圆心，半径的圆，
若圆：与轨迹只有一个公共点，则圆与圆内切或外切，
结合圆的圆心在圆内部，可知圆与圆内切，
所以，结合解得或．
【解析】设出点的坐标，根据平面向量数量积的坐标运算公式，列式并化简，可得动点的轨迹方程；
由的结论可知两圆内切，由此列式算出的值．
本题主要考查平面向量数量积的坐标运算、圆与圆的位置关系、轨迹方程的求法等知识，属于中档题．
18.【答案】解：因为，，成等差数列，
所以，又是正项等比数列，设公比为，
则，解得或舍，故，
所以数列的通项公式为；
当时，，
当时，，
又适合上式，
所以，
从而，
又，
故当且时，数列单调递增，即；
当时，数列单调递减，即；
又，，
所以数列的最大项的值为．
【解析】由已知结合等差数列与等比数列的通项公式，等比数列的求和公式即可求解；
由已知结合数列的和与项的递推关系先求出，进而可求，然后结合数列的单调性即可求解．
本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，还考查了数列递推关系的应用，数列单调性在最值求解中的应用，属于中档题．
19.【答案】解：，，
令，解得或，在上有极值，
，
故的取值范围为．
由可得，令解得或，
当即时，在单调递增，所以符合题意；
当即时，在单调递减，在单调递增，
所以不符合题意．
综上所述，的取值范围为．
【解析】由的根及在上有极值，即可求解；
由的单调性求的最小值，即可求解．
本题考查了利用导数研究函数的极值和最值，函数不等式恒成立，属于中档题．
20.【答案】解：证明：由，，，可得，解得，
当时，，化为，
由，可得，则，
可得数列是首项为，公差为的等差数列；
，且，
则，
，
上面两式相减可得，
化简可得．
【解析】由数列的递推式和等差数列的定义，可得证明；
由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．
本题考查数列的递推式和等差数列的定义、通项公式与等比数列的求和公式、数列的错位相减法求和，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
21.【答案】解：因为的离心率为，所以，所以，
设的内切圆半径为，面积为，
则，又，
所以，
由解得，
所以的方程为；
证明：显然直线斜率存在，设其方程为，则点到直线的距离，
同理，直线斜率存在，设其方程为，则点到直线的距离，
因为，所以，即，整理得，
联立直线与的方程，消去得，
所以，，
即，同理，
所以直线的斜率，
所以直线方程为
，
所以直线经过定点．
【解析】已知内切圆半径可利用等面积法列出，，的关系式，与离心率联立即可求得，，的值，即可写出椭圆方程；
设出直线、的方程，由已知得点到直线、的距离相等即可得到两直线斜率之间的关系，联立两直线方程与椭圆方程求出点与点的坐标，然后写出直线的方程并化简，由直线、的斜率之间的关系即可求出直线的定点．
本题考查了直线与椭圆的综合运用，属于难题．
22.【答案】解：在上单调递增，
在上恒成立
在上恒成立在上恒成立，
又，
，
故实数的取值范围为．
证明：，令，
当时，，设的零点为，，且，
则，，则，，
在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
在处取极大值，在处取极小值，
既有极大值又有极小值；
解：若，分别为函数的极大值和极小值，
则，，
，
又由得，得，．
令，，则，，
则，
，
令，
则，
在上单调递增，
，，
的取值范围是．
【解析】求导，则恒成立，转化为在上恒成立，求的最小值即可；
求导，然后研究导函数对应的二次函数的零点情况即可；
，令，，利用韦达定理，将转化为关于的函数，构造函数求范围即可．
本题考查了利用导数研究函数的极值和最值，属于难题．
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