2023-2024学年上海重点大学附中高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年上海重点大学附中高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知双曲线：，直线过“直线平行于双曲线的渐近线”是“直线与双曲线恰有一个公共点”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件
2.空间中，设是直线外一点，是一个平面，则以下列命题中，错误的是( )
A. 过点有且仅有一条直线平行于 B. 过点有且仅有一条直线垂直于
C. 过点有且仅有一条直线垂直于 D. 过点有且仅有一个平面垂直于
3.已知是圆内异于圆心的一点，则此直线与该圆( )
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定
4.在长方体中，，：，是棱的中点，点是线段上的动点，给出以下两个命题：无论取何值，都存在点，使得；无论取何值，都不存在点，使得直线平面则( )
A. 成立，成立 B. 成立，不成立
C. 不成立，成立 D. 不成立，不成立
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.抛物线的焦点坐标为______．
6.空间直角坐标系中，三个坐标平面将空间分为______个部分．
7.设点椭圆：上异于长轴端点的一点，、分别为椭圆的左右焦点，则的周长为______．
8.一个球体的表面积是，则这个球体的体积是______．
9.若直线：平分圆的面积，则直线的倾斜角的大小为______．
10.在正方体中，二面角平面角的正切值为______．
11.已知直线：，直线：，若，则 ______．
12.已知圆柱的轴截面是边长为的正方形，则圆柱的表面积为______．
13.斜率为的直线被椭圆截得的弦长为，则直线的方程为______．
14.如图所示，在棱长为的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为______．
15.过抛物线：的焦点的直线交该抛物线于、两点，若，为坐标原点，则______．
16.在平面上，将一段圆弧：和一段椭圆弧：围成的封闭图形记为，如图中阴影部分所示，记绕轴旋转一周而成的封闭几何体为，过作的水平截面，利用祖暅原理和一个球，得出旋转体的体积值为______．
三、解答题：本题共5小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在空间直角坐标系中，设、、、．
设，，求的坐标，并判断、是否平行；
求、的夹角，以及、为相邻两边的三角形面积．
18.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为的中点，为中点．
求证：平面；
求异面直线与所成角的余弦值．
19.本小题分
在如图所示的圆锥中，是顶点，是底面的圆心，、是圆周上两点，且，．
若圆锥侧面积为，求圆锥的体积；
设圆锥的高为，是线段上一点，且满足，求直线与平面所成角的正切值．
20.本小题分
已知双曲线：的左右顶点分别为、．
求以、为焦点，离心率为，的椭圆的标准方程；
直线过点与双曲线交于、两点，若点恰为弦的中点，求出直线的方程；
动直线：恒过，且与双曲线的交于、两点异于，点常数是轴上的一个定点，若恒有成立，求实数的值．
21.本小题分
类似平面解析几何中的曲线与方程，在空间直角坐标系中，可以定义曲面含平面的方程，若曲面和三元方程之间满足：
曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；
以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为已知曲面的方程为．
写出坐标平面的方程无需说明理由，指出平面截曲面所得交线是什么曲线，说明理由；
已知直线过曲面上一点，以为方向量，求证：直线在曲面上即上任意一点均在曲面上；
已知曲面可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面；同时，过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上设直线在曲面上，且过点，求异面直线与所成角的余弦值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由点不在双曲线：上，且渐近线方程为，
若直线平行于双曲线的渐近线，可得直线与双曲线仅有一个交点；
若直线与双曲线恰有一个公共点，可得直线与双曲线相切，或与渐近线平行，
则“直线平行于双曲线的渐近线”是“直线与双曲线恰有一个公共点”的充分不必要条件．
故选：．
由双曲线的渐近线、直线和双曲线的位置关系和充分必要条件的定义，可得结论．
本题考查双曲线的方程和性质，以及充分必要条件的定义，考查方程思想和推理能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：对选项，空间中，是直线外一点，
过点有且仅有一条直线平行于，选项正确；
对选项，空间中，是直线外一点，
过点有且仅有一个平面垂直于，
而在该垂面内过有无数条直线，这些直线都垂直，选项错误；
对选项，空间中，是直线外一点，是一个平面，
过点有且仅有一条直线垂直于，选项正确；
对选项，由选项分析知：过点有且仅有一个平面垂直于，选项正确．
故选：．
根据空间中线线关系，线面关系，即可分别判断．
本题考查空间中线线关系，线面关系，属基础题．
3.【答案】
【解析】解：圆心到直线的距离，
点在圆内，且异于圆心，
，
，
故直线与圆相离．
故选C．
表示出圆心到直线的距离，比较与半径的大小的比较．
本题主要考查了直线与圆的位置关系．主要是看圆心到直线的距离与圆的半径大小关系来判断．
4.【答案】
【解析】解：如图所示，假设在长方形中必存在使得，又易知平面，平面，
所以，
因为，、平面，所以平面，
又，则平面，
因为平面，所以，即存在使得，
但若，如下图所示，不妨设，过作交直线于，
过作，易得，，
所以，又，
可得，则，，
则在延长线上，此时不成立；
易知与不垂直，，
所以与不垂直，又平面，所以不垂直于平面，即成立．
故选：．
根据空间中线、面的垂直关系结合长方体的特征及特殊情况一一判定即可．
本题考查长方体的性质的应用，用平面图形解决问题的方法，属于中档题．
5.【答案】
【解析】解：抛物线的焦点在正半轴上，开口向右，，所以抛物线的焦点坐标．
故答案为：．
利用抛物线方程，判断焦点坐标所在轴，求解即可．
本题考查抛物线的简单性质的应用，判断抛物线的类型的解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，空间直角坐标系中，三个坐标平面两两相交，且交于一点，
将空间分部分．
故答案为：．
根据题意，由坐标平面的关系，分析可得答案．
本题考查平面的基本性质，涉及空间直角坐标系，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：点椭圆：上异于长轴端点的一点，、分别为椭圆的左右焦点，，，
的周长为．
故答案为：．
求解，，结合椭圆的定义，求解三角形的周长即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆定义的应用，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：设球的半径为，则
一个球体的表面积是，
，
球体的体积是，
故答案为．
利用球体的表面积是，求出，再利用球的体积公式，求出这个球体的体积
本题考查球的表面积、体积，考查学生的计算能力，比较基础．
9.【答案】
【解析】解：圆的圆心，
由题意可知圆心在直线上，所以，
解得，
设直线的倾斜角为，，
所以，可得．
故答案为：．
由圆的方程可得圆心的坐标，再由题意可得直线过圆心，将圆心的坐标代入直线的方程，可得的值，再求出直线的倾斜角的大小．
本题考查直线平分圆的面积的性质及直线的倾斜角的求法，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：连接、、B、，，再连接，
设正方体的棱长为，因为四边形为正方形，
所以，
又因为是在平面内的身影，所以，
所以是二面角的平面角，
因为平面，平面，所以，
因为是正方体，所以，，
于是．
故答案为．
先证明是二面角的平面角，再用解直角三角形方法求解．
本题考查了正方体的特性，考查了二面角的平面角概念，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：直线：，直线：，，
则，解得或，
经检验，当时，两直线重合，不符合题意，舍去，
两直线不重合，符合题意，
综上所述，．
故答案为：．
根据已知条件，结合两直线平行的性质，即可求解．
本题主要考查两直线平行的性质，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：圆柱的轴截面是边长为的正方形，
圆柱底面圆的直径长为，高为．
则圆柱的表面积．
故答案为．
由圆柱的轴截面是边长为的正方形可得圆柱底面圆的直径长为，高为．
考查了学生的空间想象力．
13.【答案】
【解析】解：设直线的方程为，
联立，可得，
所得弦长为，
，，
直线的方程为，即．
故答案为：．
设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，通过弦长公式建立方程，即可求解．
本题考查直线与椭圆的位置关系，属中档题．
14.【答案】
【解析】解：过点，分别作，交于点，，交于点，连接，
要想平面，则四边形为平行四边形，故，
设，则，故，
由勾股定理得，
其中，
当且仅当时，等号成立，
故，
所以线段长的最小值为．
故答案为：．
作出辅助线，得到要使平面，则四边形为平行四边形，故，设，得出，求出最小值即可．
本题考查空间几何体的应用，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：设．
过抛物线：
的焦点的直线交该抛物线于、两点，
，为坐标原点，
．
如图，作出准线，，，
过作，交于，交于，
则，
由抛物线的性质得：，
解得，，
．
故答案为：．
设，则由抛物线的性质得：，解得，，由此能求出的值．
本题考查抛物线中两线段比值的求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
16.【答案】
【解析】解：椭圆所围成的椭圆面绕其长轴旋转一周后得到椭球体，
椭圆的长半轴为，短半轴为，构造一个底面半径为，高为的圆柱，
把半椭球与圆柱放在同一个平面上，如图，
在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，
即挖去的圆锥底面半径为，高为，在半椭球截面圆的面积为，
在圆柱内圆环的面积为，
距离平面为的平面截取两个几何体的平面面积取等，
根据祖暅原理得出椭球体的体积为：
，
同理，椭圆所围成的椭圆绕其短轴旋转一周后得到的椭球体的体积为，
椭圆弧：旋转而成的球的体积为，
而圆弧：旋转而成的球的体积为，
由题意，旋转体的体积是椭球体的体积减去球的体积，
旋转体的体积值为．
故答案为：．
先根据祖暅原理得出椭球的体积，结合球的体积公式求旋转体的体积．
本题考查祖暅定理、圆柱、圆锥、体积割补法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：设、、、，
故，
故，故、平行．
由于、、、，
所以，，且、的夹角
故，
由于，所以，
所以．
故．
【解析】直接利用向量的坐标运算判断向量间的共线；
首先利用向量的夹角公式求出，进一步利用三角形的面积公式求出结果．
本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的夹角运算，向量的数量积运算，三角形的面积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
18.【答案】证明：以为原点，、、所在直线为轴、轴、轴，建立如图空间直角坐标系，
可得，，，，，
，，，
设平面的法向量，则，
取，得，，故为平面的一个法向量，
因为，所以与平行，可得平面；
解：连接，求得，，，
所以，，，，，
设异面直线与所成角为，则，
即异面直线与所成角的余弦值为．
【解析】根据题意建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后证明该向量与平行，可得答案；
利用空间向量的夹角公式加以求解，可得异面直线与所成角的余弦值．
本题主要考查正方体的结构特征、利用空间坐标系证明空间位置关系、异面直线所成角的求法等知识，属于中档题．
19.【答案】解：设圆锥底面半径为，母线长为，，
可得圆锥的侧面积，解得，圆锥的高，
因此，圆锥的体积；
因为中，，，所以点是线段中点，
取中点，连接、，则为的中位线，可得，
又因为，所以，
因为平面，平面，，
因为、是平面内的相交直线，所以平面，
因此直线是在平面内的射影，可知是直线与平面所成的角，
因为，所以，
中，，可得，
即直线与平面所成的角的正切值为．
【解析】根据圆锥的侧面积公式，算出母线，然后利用勾股定理算出圆锥的高，进而求得圆锥的体积；
取中点，连接、，可证出平面，则是直线与平面所成的角，进而在中利用锐角三角函数定义算出答案．
本题主要考查圆锥的结构特征、线面垂直的判定与性质、直线与平面所成角等知识，考查了计算能力、图形的理解能力，属于中档题．
20.【答案】解：双曲线：的左右顶点分别为、，
则，，
则，又，，，
故椭圆的标准方程为；
设，，
点恰为弦的中点，
则，，
又因为，两点在双曲线上，
所以，两式相减得，化简整理得，即，
关于直线的方程为，即；
由动直线：恒过点，可得，即直线：，
设，，
联立直线与双曲线，，消去整理得，
因为直线与双曲线的交于、两点，
所以，，
则，，由，得，即，即，整理得，即，当时，上式成立，
当时，得，
所以当时，恒有成立．
【解析】根据已知条件，结合双曲线、椭圆的性质，即可求解；
根据已知条件，结合点差法，以及中点坐标公式，即可求解；
联立直线与双曲线方程，再结合韦达定理，以及直线的斜率公式，即可求解．
本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查转化能力，属于中档题．
21.【答案】解：根据坐标平面内点的坐标的特征可知，坐标平面的方程为．
已知曲面的方程为，
当时，平面截曲面所得交线上的点满足，
从而平面截曲面所得交线是：平面上，以原点为圆心，为半径的圆．
证明：直线过曲面上一点，以为方向量，
设是直线上任意一点，
从而存在实数，使得，即，
则，，，所以点的坐标为，
于是，
因此点的坐标总是满足曲面的方程，从而直线在曲面上．
直线在曲面上，且过点，
设是直线上任意一点，直线的方向向量为，
从而存在实数，使得，即，
则，，所以点的坐标为，
在曲面上，，
整理得，
，且，，，或，，
不妨取，则，，或，
，或，
又直线的方向向量为．
则异面直线与所成角的余弦值均为．
【解析】根据坐标平面内点的坐标的特征可知，可得坐标平面的方程；当时，可得平面截曲面所得交线的方程，进而可得曲线类型；
设是直线上任意一点，由题意有，从而得点的坐标，代入曲面的方程验证即可；
设是直线上任意一点，直线的方向向量为，由题意有，可得点的坐标，代入曲面的方程，进而可求得，，的关系，可得，利用向量夹角公式求解即可得出．
本题要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的，属于难题．
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