数学人教A版（2019）选择性必修第三册6.3.2二项式系数的性质 课件（共18张ppt）

(共18张PPT)
6.3.2 二项式系数的性质
第六章 计数原理
努力创造适合每一位学生发展的教育
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难点:会用“赋值法”求展开式系数的和.
重点:能记住二项式系数的性质，并能解决相关问题.
努力创造适合每一位学生发展的教育
一、复习引入
(a+b)n=
1、二项式定理
展开式中一共有n+1项．
2、二项展开式的通项
an-kbk
3、二项式的系数
Cn
0
Cn
1
Cn
k
Cn
n
…
…
4、二项式的系数的和
+ + + … + +… +=
Cn
0
Cn
1
Cn
2
Cn
k
Cn
n
2n
努力创造适合每一位学生发展的教育
二、探究新知
的展开式的二项式系数有很多有趣性质，我可以不同角度进行研究.
问题1：(a＋b)1,(a＋b)2,(a＋b)3,(a＋b)4,(a＋b)5,(a＋b)6的展开式中的二项式系数分别是哪些 并将它们的计算结果填入下表：
6
5
4
3
2
1
二项式系数
n
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
追问1：观察上表中每一行的数据，你发现了什么规律吗？
努力创造适合每一位学生发展的教育
二、探究新知
为了便于发现规律，将上表写成如下形式,你又能发现这些数据有什么新的规律吗
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
实验提示：
（1）从左至右横行来看
（2）从上下相邻行来看
（3）请计算每行的和看
努力创造适合每一位学生发展的教育
三、学生探索
(1)从左至右横行来看，有什么规律？
在同一行中,每行两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等.
性质1：对称性：
性质2 增减性与最大值
二项式系数前半部分是逐渐增大的，它的后半部分是逐渐减小的，且中间项一个或者两个值最大。
∴（1）当n为偶数时，正中间一项的二项式系数最大；
（2）当n为奇数时，中间两项的二项式系数同时取得最大值.
努力创造适合每一位学生发展的教育
三、学生探索
问题4 可以从函数图像的角度分析以上性质吗？
r
f(r)
O
1
2
3
5
10
15
20
4
5
6
对于 的展开式的各二项式系数中 Cnr可看成是以r为自变量的函数 f (r),其定义域是：
当n=6 时，f (r)=C6r (r∈{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6})的图象。
从图像上发现：
1.函数图像是 个孤立的点；
2.对称轴是r= ；
3.直观看出二项式系数值具有:
4.在r= 处取得最大值，f( )=
7
3
3
3
20
先增后减
努力创造适合每一位学生发展的教育
探究 (1)请你分别画出n=7 , 8 , 9时 f(r)=Cnr 的图象，比较它们的异同，你发现了什么规律
n=7
n=8
n=9
三、学生探索
努力创造适合每一位学生发展的教育
三、学生探索
问题5：你能从数的角度证明二项式系数性质（1）和（2）吗？
性质1：对称性
这一性质可直接由公式 得到．
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
追问1：从数的角度我们可以通过比值比较两个数的大小
性质2：增减性与最大值
（增减性的实质是比较 的大小）
由：
可知，当 时，
二项式系数是逐渐增大的，
由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,且中间项取得最大值
努力创造适合每一位学生发展的教育
性质2：增减性与最大值
∴（1）当n为偶数时，正中间一项的二项式系数 最大；
（2）当n为奇数时，中间两项的二项式系数 相等，且同时取得最大值.
∵二项展开式共有n+1项，
f (k)
k
n
3
O
5
15
20
1
10
1
2
4
5
n为偶数
f (r)
r
n
O
5
15
20
1
10
n为奇数
三、学生探索
努力创造适合每一位学生发展的教育
三、学生探索
求证:(a+b)n 的展开式中的所有二项式系数的和等于 .
性质3： 各二项式系数的和
令x =1，得
另证:
结论:
组合总数公式
思考
结合二项式系数和为2n
努力创造适合每一位学生发展的教育
性质4：
三、学生探索
努力创造适合每一位学生发展的教育
性质5：
三、学生探索
研究斜行规律：
……
一般地，
努力创造适合每一位学生发展的教育斐波那契数列问题：写出斜线上各行数字的和，有什么规律？25……1381321第1行1 1第5行1 5 10 10 5 1第6行1 6 15 20 15 6 1第7行1 7 21 35 35 21 7 1第2行1 2 1第3行1 3 3 1第4行1 4 6 4 1第8行1 8 28 56 70 56 28 8 1第0行134努力创造适合每一位学生发展的教育
四、例题展示
性质1：对称性
例1：在的展开式中,第3项和第4项的二项式系数相等,展开式中的系数是( )
变式1：求证：
练习1:的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,含一的项的系数为 (用数字作答).
努力创造适合每一位学生发展的教育
四、例题展示
性质2：增减性与最大值
例2：展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992求:
(1)展开式中二项式系数的最大项
(2)求展开式中系数最大的项
变式2：在的展开式中,
(1)求二项式系数最大的项;
(2)求系数最大的项;
(3)求系数最小的项;
(4)系数的绝对值最大的项是第几项
努力创造适合每一位学生发展的教育
四、例题展示
性质3： 各二项式系数的和
例3：在的二项展开式中，( );所有二项式系数和为( );所有项的系数和（ ）.
变式1:已知，则：
（1） =（ ）;
（2）( ).
练习2：已知多项式可以写成,则（ ）
努力创造适合每一位学生发展的教育
四、例题展示
变式2：已知(x∈R)，求：
(1)的值;
(2)值;
(3) 的值
练习3：若，的值为（ ）
努力创造适合每一位学生发展的教育
五、课堂小结
性质1：对称性
性质2：增减性与最大值
性质3： 各二项式系数的和
性质4：
性质5：