7.2.1三角函数的定义 -2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册 课件（共25张PPT）
文档属性
| 名称 | 7.2.1三角函数的定义 -2023-2024学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册 课件（共25张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 434.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-03-11 10:28:40 | ||
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文档简介
(共25张PPT)
三角函数的定义
问题情境
问题1 角的范围已经推广到任意角，那么初中学习的三角函数的定义是否适用于任意角？为什么？
新知探究
问题2 由什么定义媒介替代原定义中的直角三角形？
新知探究
问题3 在平面直角坐标系中，如何定义锐角的三角函数？
新知探究
问题4 点P的位置是否会影响三角函数值？这种定义方式是否适用于任意角？
新知探究
当α是锐角时，它的终边在第一象限内，如图所示，
在α终边上任取一个不同于坐标原点的点P（x，y），
M
x
y
O
α
P(x,y)
作PM垂直于Ox于点M，记
则△OMP是一个直角三角形，
且OM＝x，PM＝y，OP＝r，
x
y
r
由此可知：
新知探究
任意角的正弦、余弦与正切的定义
新知探究
x
y
O
P(x,y)
α的终边
任意角的正弦、余弦与正切的定义
对于任意角α来说，设P（x，y）是α终边上异于原点的任意一点，
r＝ ，称 为角α的正弦，记作sin α；
称 为角α的余弦，记作cos α，因此sin α＝ ，cos α＝ ．
角α的正弦、余弦、正切都称为α的三角函数．
当角α的终边不在y轴上时，称 为角α的正切，记作tan α，即tan α＝ ．
【练一练】若角α的终边上有一点（2，0），则sin α＝______ ；cos α＝______；tan α＝______．
0
2
0
新知探究
问题5 任意角的正弦、余弦、正切的值可能正、可能负，还可能为0．那么它们的符号与什么有关？你能总结出任意角的正弦、余弦与正切符号的规律吗？
当且仅当α的终边在第一、二象限，或y轴正半轴上时，sin α＞0；
当且仅当α的终边在第三、四象限，或y轴负半轴上时，sin α＜0．
当且仅当α的终边在第一、四象限，或x轴正半轴上时，cosα＞0；
当且仅当α的终边在第二、三象限，或x轴负半轴上时，cos α＜0．
当且仅当α的终边在第一、三象限时，tan α＞0；
当且仅当α的终边在第二、四象限时，tan α＜0．
x
y
O
＋
＋
－
－
sin α
x
y
O
－
＋
－
＋
sin α
x
y
O
－
＋
＋
－
tan α
如图所示
新知探究
练
若△ABC的两内角A、B满足sin A·cos B＜0，则此三角形的形状为_____________．
解析：三角形的两内角A、B的终边一定落在第一、二象限或y轴正半轴上，
sin A·cos B＜0，所以sin A＞0，cos B＜0，
所以角B为钝角，此三角形为钝角三角形．
钝角三角形
新知探究
【做一做】当α为第三象限时， ＝____________．
－2
解析：因为α为第三象限角，所以
所以
初步应用
例1 已知角α的终边经过点P（2，－3），求sin α，cos α，tan α．
解答：设x＝2，y＝－3，则
于是
初步应用
利用定义求三角函数值的步骤：
取点；
求r；
代入公式．
初步应用
例2 求下列各角的正弦、余弦、正切．
（1）角0的终边在x轴正半轴上，在x轴的正半轴上取点（1，0），
（1）0 （2） （3）π （4）
所以
因此：
初步应用
例2 求下列各角的正弦、余弦、正切．
（1）0 （2） （3）π （4）
所以
因此：
不存在；
（2）角 的终边在y轴的正半轴上，在y轴的正半轴上取点（0，1），
初步应用
例2 求下列各角的正弦、余弦、正切．
（3）角π的终边在x轴的负半轴上，在x轴的负半轴上取点（－1，0），
（1）0 （2） （3）π （4）
所以
因此：
初步应用
例2 求下列各角的正弦、余弦、正切．
（1）0 （2） （3）π （4）
所以
因此：
不存在．
（4）角 的终边在y轴的负半轴上，在y轴的负半轴上取点（0，－1），
初步应用
例3 求 的正弦、余弦和正切．
解答：如图所示，在 的终边上取点P，使得OP＝2，作PM⊥Ox，
M
x
y
O
P
则在Rt△OMP中，
因此MP＝1，OM＝ ，从而可知P的坐标为（ ，1），
因此
初步应用
例4 确定下列各值的符号
解答：（1）因为260°是第三象限角，所以cos 260°＜0；
（2）由－672°20′＝47°40′＋（－2）×360°，可知－672°20′是第一象限角，
所以tan（－672°20′）＞0；
（1）cos 260° （2）tan（－672°20′） （3）
（3）由 ，可知 为第三象限角，所以
初步应用
例5 设sin θ＜0且tan θ＞0，确定θ是第几象限角．
解答：因为sin θ＜0，所以θ的终边在第三、四象限，或y轴负半轴上；
又因为tan θ＞0，所以θ的终边在第一、三象限．
因此满足sin θ＜0且tan θ＞0的θ是第三象限角．
初步应用
例6 已知角θ的终边上有一点P（x，3）（x≠0），且cos θ＝ ，求sin θ＋tan θ的值．
又y＝3＞0，所以θ是第一或第二象限角．
解答：因为 ，又 ，所以
又x≠0，所以x＝±1，所以r＝ ．
当θ为第一象限角时，sin θ＝ ，tan θ＝3，则sin θ＋tan θ＝
当θ为第二象限角时，sin θ＝ ，tan θ＝－3．则sin θ＋tan θ＝
练习
练习：教科书练习A：1，2，3，4，5题．
归纳小结
本节课你还有收获了哪些研究经验？
本节课收获了哪些知识，请你从以下几方面总结：（1）任意角的三角函数的定义；（2）各象限角的三角函数的符号．
作业布置
作业：教科书第17页，练习B1，2，3，4，5 ．
三角函数的定义
问题情境
问题1 角的范围已经推广到任意角，那么初中学习的三角函数的定义是否适用于任意角？为什么？
新知探究
问题2 由什么定义媒介替代原定义中的直角三角形？
新知探究
问题3 在平面直角坐标系中，如何定义锐角的三角函数？
新知探究
问题4 点P的位置是否会影响三角函数值？这种定义方式是否适用于任意角？
新知探究
当α是锐角时，它的终边在第一象限内，如图所示，
在α终边上任取一个不同于坐标原点的点P（x，y），
M
x
y
O
α
P(x,y)
作PM垂直于Ox于点M，记
则△OMP是一个直角三角形，
且OM＝x，PM＝y，OP＝r，
x
y
r
由此可知：
新知探究
任意角的正弦、余弦与正切的定义
新知探究
x
y
O
P(x,y)
α的终边
任意角的正弦、余弦与正切的定义
对于任意角α来说，设P（x，y）是α终边上异于原点的任意一点，
r＝ ，称 为角α的正弦，记作sin α；
称 为角α的余弦，记作cos α，因此sin α＝ ，cos α＝ ．
角α的正弦、余弦、正切都称为α的三角函数．
当角α的终边不在y轴上时，称 为角α的正切，记作tan α，即tan α＝ ．
【练一练】若角α的终边上有一点（2，0），则sin α＝______ ；cos α＝______；tan α＝______．
0
2
0
新知探究
问题5 任意角的正弦、余弦、正切的值可能正、可能负，还可能为0．那么它们的符号与什么有关？你能总结出任意角的正弦、余弦与正切符号的规律吗？
当且仅当α的终边在第一、二象限，或y轴正半轴上时，sin α＞0；
当且仅当α的终边在第三、四象限，或y轴负半轴上时，sin α＜0．
当且仅当α的终边在第一、四象限，或x轴正半轴上时，cosα＞0；
当且仅当α的终边在第二、三象限，或x轴负半轴上时，cos α＜0．
当且仅当α的终边在第一、三象限时，tan α＞0；
当且仅当α的终边在第二、四象限时，tan α＜0．
x
y
O
＋
＋
－
－
sin α
x
y
O
－
＋
－
＋
sin α
x
y
O
－
＋
＋
－
tan α
如图所示
新知探究
练
若△ABC的两内角A、B满足sin A·cos B＜0，则此三角形的形状为_____________．
解析：三角形的两内角A、B的终边一定落在第一、二象限或y轴正半轴上，
sin A·cos B＜0，所以sin A＞0，cos B＜0，
所以角B为钝角，此三角形为钝角三角形．
钝角三角形
新知探究
【做一做】当α为第三象限时， ＝____________．
－2
解析：因为α为第三象限角，所以
所以
初步应用
例1 已知角α的终边经过点P（2，－3），求sin α，cos α，tan α．
解答：设x＝2，y＝－3，则
于是
初步应用
利用定义求三角函数值的步骤：
取点；
求r；
代入公式．
初步应用
例2 求下列各角的正弦、余弦、正切．
（1）角0的终边在x轴正半轴上，在x轴的正半轴上取点（1，0），
（1）0 （2） （3）π （4）
所以
因此：
初步应用
例2 求下列各角的正弦、余弦、正切．
（1）0 （2） （3）π （4）
所以
因此：
不存在；
（2）角 的终边在y轴的正半轴上，在y轴的正半轴上取点（0，1），
初步应用
例2 求下列各角的正弦、余弦、正切．
（3）角π的终边在x轴的负半轴上，在x轴的负半轴上取点（－1，0），
（1）0 （2） （3）π （4）
所以
因此：
初步应用
例2 求下列各角的正弦、余弦、正切．
（1）0 （2） （3）π （4）
所以
因此：
不存在．
（4）角 的终边在y轴的负半轴上，在y轴的负半轴上取点（0，－1），
初步应用
例3 求 的正弦、余弦和正切．
解答：如图所示，在 的终边上取点P，使得OP＝2，作PM⊥Ox，
M
x
y
O
P
则在Rt△OMP中，
因此MP＝1，OM＝ ，从而可知P的坐标为（ ，1），
因此
初步应用
例4 确定下列各值的符号
解答：（1）因为260°是第三象限角，所以cos 260°＜0；
（2）由－672°20′＝47°40′＋（－2）×360°，可知－672°20′是第一象限角，
所以tan（－672°20′）＞0；
（1）cos 260° （2）tan（－672°20′） （3）
（3）由 ，可知 为第三象限角，所以
初步应用
例5 设sin θ＜0且tan θ＞0，确定θ是第几象限角．
解答：因为sin θ＜0，所以θ的终边在第三、四象限，或y轴负半轴上；
又因为tan θ＞0，所以θ的终边在第一、三象限．
因此满足sin θ＜0且tan θ＞0的θ是第三象限角．
初步应用
例6 已知角θ的终边上有一点P（x，3）（x≠0），且cos θ＝ ，求sin θ＋tan θ的值．
又y＝3＞0，所以θ是第一或第二象限角．
解答：因为 ，又 ，所以
又x≠0，所以x＝±1，所以r＝ ．
当θ为第一象限角时，sin θ＝ ，tan θ＝3，则sin θ＋tan θ＝
当θ为第二象限角时，sin θ＝ ，tan θ＝－3．则sin θ＋tan θ＝
练习
练习：教科书练习A：1，2，3，4，5题．
归纳小结
本节课你还有收获了哪些研究经验？
本节课收获了哪些知识，请你从以下几方面总结：（1）任意角的三角函数的定义；（2）各象限角的三角函数的符号．
作业布置
作业：教科书第17页，练习B1，2，3，4，5 ．