6.4辨识成正比例的量和反比例的量（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学苏教版（含解析）

6.4辨识成正比例的量和反比例的量（讲义）
2023-2024学年数学六年级下册同步培优讲义（苏教版）
1．辨识成正比例的量与成反比例的量
【知识点归纳】
1．成正比例的量：
（1）“变化方向”相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小．
（2）相对应的两个数的比值（商）一定．
（3）关系式：k（一定）．
2．判断方法：关键是看着两种相关量中相对应的两个数是商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例．
3．成反比例的量：
（1）“变化方向”相反，一种量扩大或缩小，另一种量反而缩小或扩大．
（2）相对应的两个数的乘积一定．
（3）关系式：xy＝k（一定）．
一．选择题（共7小题）
1．下面说法正确的是（　　）
A．圆柱的底面积一定，圆柱的高和体积成正比例
B．圆周率一定，圆的半径和面积成正比例
C．圆锥的体积一定，圆锥的高和底面积成正比例
2．下列说法正确的是（　　）
A．长方形的周长一定，长与宽成反比例
B．y＝5x，x与y成反比例
C．圆的面积与半径成正比例
D．加工一批零件的总时间一定，加工每个零件所用的时间与零件总个数成反比例
3．下面各选项中的两种量，成正比例关系的是（　　）
A．平行四边形的面积一定，它的底和高
B．已知y＝3+x，y和x
C．正方体的表面积与它的一个面的面积
D．已知9：x＝y：4，y和x
4．下面两种数量中不成比例的是（　　）
A．圆周率和周长
B．总价一定，单价和数量
C．正方形周长和边长
D．速度一定，路程和时间
5．下列四个说法：
①一个人跳高的高度与他的身高成正比例；
②x和y是两种量，如果y＝5x，y 与x成正比例；
③学校食堂新进一批煤，使用天数与每天的平均用煤量成反比例；
④圆锥的体积一定，圆锥的底面半径与高成反比例。
其中正确说法的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．互为倒数的两种量是（　　）的量．
A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例
7．通过比与比例的学习，你认为下列说法不正确的是（　　）
A．两种相关联的量x和y，如果y，那么x与y成正比例
B．24：36 和0.6：能组成比例
C．在一个比例中，若两个内项互为倒数，这两个外项也互为倒数
D．若9x＝4y （x、y都不为0），则x：y＝4：9
二．填空题（共6小题）
8．在a×8＝b式子中，a和b成 　 　比例关系。
9．六年级买《学苑创造》书的数量和总价如下表。
数量/本 20 35 40
总价/元 120 210 240
（1）表中的数量与总价成 　 　比例关系。（填“正”或“反”）
（2）如果六（4）班买《学苑创造》书用了216元，那么买了 　 　本。
10．如果 （一定），则y和x成 　 　关系。
11．在关系式v中，当v一定时，s与t成　 　比例关系；当s一定时，v与t成　 　比例关系；当t一定时，s与v成　 　比例关系．
12．若4x＝y（x≠0），则x和y成　 　比例；若4÷x＝y（x≠0），则x和y成　 　比例．
13．六年级同学排队做操，每行人数和排成的行数成 　 　比例；出油率一定，花生油的质量和花生的质量成 　 　比例；图上距离一定，实际距离和比例尺成 　 　比例。
三．判断题（共7小题）
14．笑笑从家到学校，所用时间与平均速度成反比例。 　 　
15．某杂志的单价一定，订阅的费用和订阅的数量成正比例关系。 　 　
16．圆的周长和直径成正比例关系，圆的面积和半径也成正比例关系。 　 　
17．一天之内树高与影长的比值是不变的。 　 　
18．书的总页数一定，已看的页数和未看的页数成反比例．　 　．
19．长方形的宽一定，它的面积和长成正比例。 　 　
20．从家到学校，已走的路程和剩下的路程成反比例．　 　．
四．应用题（共6小题）
21．新冠肺炎疫情期间，口罩需求量大幅上升。某工厂接到任务紧急生产一批口罩，下面是每时生产口罩的数量与完成任务总共需要的时间的关系。
每时生产口罩的数量/万只 2 3 4 6
时间/时 72 48 36 24
（1）每时生产口罩的数量与时间有什么关系？（1分）
（2）如果每时生产8万只口罩，那么完成这项任务一共需要多少时？（4分）
22．某童车厂装配一批童车，每天装配的数量和需要的时间如表。
每天装配的数量/辆 60 90 120 180 360 …
时间/天 60 40 30 20 10 …
（1）判断每天装配的数量和时间是否成反比例，并说明理由。
（2）如果每天装配200辆，多少天可以装配完这批童车？
23．王老师准备用72元钱去买笔记本．如果每本价格是2元，能买多少本？如果每本价格是3元、4元或6元呢？
每本价格/元 2 3 4 6
数量/本 　 　 　 　 　 　 　 　
观察上表，你有什么发现？
24．用一些纸装订同样的练习本，每本用纸的张数和装订的本数如表。
每本用纸张数/张 8 10 15 20 24
装订本数/本 75 60 40 　 　 　 　
（1）将如表补充完整。
（2）每本用纸张数和装订本数是否成反比例关系？为什么？
（3）如果用这些纸装订成50本练习本（每本用纸张数相同），每本用纸多少张？
25．下面是某辆汽车行驶路程与耗油量的对应数值表。
所行路程/km 0 5 10 15 20 25 ……
耗油量/1 0 1 2 3 4 5 ……
（1）汽车的行驶路程与耗油量成 　 　比例关系。（填“正”或“反”）
（2）把这辆汽车的行驶路程与耗油量所对应的点在右下图中描出来，并连线。
（3）所行驶路程用s表示，耗油量用n表示，写出s与n的关系式。
（4）这辆汽车行驶125千米的耗油量是 　 　升。
26．运输队要运一批货物，每天运的质量和运货的天数之间的关系如下。
每天运的质量/t 300 150 100 75 60 50
运货的天数/天 1 2 3 4 5 6
（1）表中有哪两种量？它们是不是相关联的量？
（2）写出几组这两种量中相对应的两个数的乘积，并比较乘积的大小，说一说这个乘积表示什么。
（3）运货的天数与每天运的质量成反比例关系吗？为什么？
6.4辨识成正比例的量和反比例的量（讲义）-2023-2024学年数学六年级下册同步培优讲义（苏教版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．【答案】A
【分析】两种相关联的量，若其比值（商）一定，两种量成正比例；若其乘积一定，两种量成反比例。据此解答。
【解答】解：选项A，圆柱的底面积＝圆柱的体积÷高，圆柱的底面积一定，圆柱的高和体积成正比例。原题说法正确；
选项B，圆周率＝圆的面积÷半径的平方，圆周率一定，圆的半径和面积不成比例。原题说法错误；
选项C，圆锥的体积×3＝圆锥的高×底面积，圆锥的体积一定，圆锥的高和底面积成反比例。原题说法错误。
故选：A。
【点评】辨识两种相关联的量成正比例还是成反比例，就看这两种量是存在比值（商）一定还是乘积一定。
2．【答案】D
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。
【解答】解：A.长方形的长+宽＝长方形的周长÷2（一定），和一定，所以长方形的周长一定，长与宽不成比例，所以原题说法错误；
B.因为y＝5x，所以y÷x＝5（一定），商一定，所以x与y成正比例，所以原题说法错误；
C.圆的面积÷半径的平方＝π（一定），商一定，所以圆的面积与半径的平方成正比例，但与半径不成比例，所以原题说法错误；
D.加工每个零件所用的时间×零件总个数＝加工一批零件的总时间，（一定），乘积一定，所以加工每个零件所用的时间与零件总个数成反比例，所以原题说法正确。
故选：D。
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断。
3．【答案】C
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。
【解答】解：A.平行四边形的底×高＝平行四边形的面积（一定），乘积一定，所以它的底和高成反比例；
B.y＝3+x，所以y﹣x＝3（一定），差一定，所以y和x不成比例；
C.正方体的表面积÷它的一个面的面积＝6（一定），商一定，所以正方体的表面积与它的一个面的面积成正比例；
D.因为9：x＝y：4，所以xy＝9×4＝36（一定），乘积一定，所以y和x成反比例。
故选：C。
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断。
4．【答案】A
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。
【解答】解：A.圆周率是一个定值，所以圆周率和周长不成比例；
B.单价×数量＝总价（一定），乘积一定，所以总价一定，单价和数量成反比例；
C.正方形周长÷边长＝4（一定），商一定，所以正方形周长和边长成正比例；
D.路程÷时间＝速度（一定），商一定，所以速度一定，路程和时间成正比例。
故选：A。
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断。
5．【答案】B
【分析】①一个人跳高的高度与他的身高不是相关联的量，所以不成比例。据此判断。
②根据正比例的意义，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，两种相关联的量中相对应的两个数的比值一定，这两种相关联的成正比例。据此判断。
③根据反比例的意义，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，两种相关联的量中相对应的两个数的乘积一定，这两种相关联的成反比例。据此判断。
④根据圆锥的体积公式：Vπr2h，一个圆锥的体积一定，它的底面积与高成反比例；即高和半径的平方成反比例，它的底面半径与高不成比例。据此判断。
【解答】解：由分析得：
①一个人跳高的高度与他的身高成正比例。此说法错误。
②x和y是两种量，如果y＝5x，y与x成正比例。此说法正确。
③学校食堂新进一批煤，使用天数与每天的平均用煤量成反比例。此说法正确。
④圆锥的体积一定，圆锥的底面半径与高成反比例。此说法错误。
答：说法正确的有2个。
故选：B。
【点评】此题考查的目的是理解掌握正反比例的意义及应用。
6．【答案】B
【分析】判断互为倒数的两种量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【解答】解：根据倒数的意义知道，乘积是1的两个数互为倒数，
即互为倒数的两种量的乘积一定，
由此判断互为倒数的两种量成反比例，
故选：B．
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
7．【答案】A
【分析】AD.判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；
B.分别求出两个比的比值，比值相等就能组成比例，否则不能组成比例；
C.根据比例的基本性质判断即可；
【解答】解：A.两种相关联的量x和y，如果y，即xy＝8（一定），乘积一定，则x和y成反比例；
B.24：36，0.6：，所以24：36 和0.6：能组成比例；
C.在一个比例中，若两个内项互为倒数，这两个外项也互为倒数的说法正确；
D.若9x＝4y （x、y都不为0），则x：y＝4：9说法正确。
故选：A。
【点评】熟练掌握辨识成正比例和反比例的量的方法和比例的概念以及比例的基本性质是解题的关键。
二．填空题（共6小题）
8．【答案】正。
【分析】判定两种相关联的量是否成正、反比例，要看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定就成正比例；如果是乘积一定就成反比例，据此解答即可。
【解答】解：因为a×8＝b，所以b÷a＝8，a和b的商一定，所以a和b成正比例关系。
故答案为：正。
【点评】本题主要考查成比例关系的判断，掌握正比例和反比例的意义是解题的关键。
9．【答案】（1）正；（2）36。
【分析】（1）先求出统计表中总价与数量的商，即可判断数量与总价成哪种比例关系；
（2）根据“数量＝总价÷单价”，利用（1）中求出的总价与数量的商（单价），代入数据求出买的本数即可。
【解答】解：（1）120÷20＝210÷35＝240÷40＝6
总价与数量的商一定，所以数量与总价成正比例关系。
（2）216÷6＝36（本）
答：买了36本。
故答案为：正；36。
【点评】解答本题需熟练掌握判定两种相关联的量成正比例还是成反比例的方法，明确总价、单价和数量之间的关系。
10．【答案】正比例。
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。
【解答】解：因为k（一定），比值一定，所以y和x成正比例关系。
故答案为：正比例。
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断。
11．【答案】见试题解答内容
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【解答】解：在关系式v中，当v一定时，是比值一定，s与t成正比例关系；
当s一定时，即tv＝s，是乘积一定，v与t成 反比例关系；
当t一定时，即t，是比值一定，s与v成正比例关系；
故答案为：正，反，正．
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
12．【答案】见试题解答内容
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【解答】解：若4x＝y（x≠0），即y：x＝4，是比值一定，则x和y成正比例；
若4÷x＝y（x≠0），即xy＝4，是乘积一定，则x和y成反比例．
故答案为：正，反．
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
13．【答案】反，正，反。
【分析】根据x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；根据xy＝k（一定），x和y成反比例关系，进行分析。
【解答】解：每行人数×排成的行数＝总人数（一定），六年级同学排队做操，每行人数和排成的行数成反比例；花生油的质量÷花生的质量＝出油率，出油率一定，花生油的质量和花生的质量成正比例；实际距离×比例尺＝图上距离，图上距离一定，实际距离和比例尺成反比例。
故答案为：反，正，反。
【点评】关键是理解正比例和反比例的意义，商一定是正比例关系，积一定是反比例关系。
三．判断题（共7小题）
14．【答案】√
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。
【解答】解：平均速度和时间是两种相关联的量，它们从家到学校的距离有下面的关系：速度×时间＝家到学校的距离（一定），已知家到学校的距离一定，也就是平均速度和时间的乘积一定，所以所用时间与平均速度成反比例。所以原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再判断即可。
15．【答案】√
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。
【解答】解：某杂志的单价一定，订阅的费用与订阅的数量的比值一定，它们成正比例关系，本题说法正确。
故答案为：√。
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。
16．【答案】×
【分析】两种相关联的量，若其比值一定，两种量成正比例关系；若其乘积一定，两种量成反比例关系。
【解答】解：圆的周长÷直径＝π，π一定，所以圆的周长和直径成正比例关系；
圆的面积÷半径＝π×半径，半径不是定值，所以π×半径也不是定值，圆的面积和半径不成正比例关系。
原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】辨识两种相关联的量成正比例还是成反比例，就看这两种量是比值一定还是乘积一定。
17．【答案】×
【分析】在同一地点同一时刻，物体高度与影长的比值一定。据此判断。
【解答】解：在同一地点同一时刻，树高与影长的比值是不变的。
原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】解答本题需明确：在同一地点同一时刻，物体高度与影长成正比例。
18．【答案】见试题解答内容
【分析】判断两种相关联的量是否成反比例，就看这两种量是否是对应的乘积一定，如果是乘积一定，就成反比例，如果不是乘积一定或乘积不一定，就不成反比例．
【解答】解：因为看过的页数+没看的页数＝一本书的页数（一定），
即不符合正比例的意义，也不符合反比例的意义，
所以一本书的页数一定，看过的页数与没看的页数不成比例，
故答案为：×．
【点评】此题属于辨识成反比例的量，就看这两种量是否是对应的乘积一定，再做出判断．
19．【答案】√
【分析】判断两种相关联的量是不是成正比例，就看它们的比值是不是一个定值。
【解答】解：长方形的宽＝长方形的面积÷长，长方形的宽一定，即面积与长的比值一定，长方形的面积与长成正比例。
故答案为：√。
【点评】两种相关联的量，若其比值一定，两种量成正比例；若其乘积一定，两种量成反比例。
20．【答案】×
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【解答】解：从家到学校，是路程一定，则已走的路程+剩下的路程＝从家到学校的路程（一定），是和一定，所以已走的路程和剩下的路程不成比例；
故答案为：×．
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
四．应用题（共6小题）
21．【答案】（1）反比例；
（2）18。
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。
【解答】解：（1）因为每时生产口罩的数量与时间的积一定，所以每时生产口罩的数量与时间成反比例。
（2）2×72÷8＝18（时）
答：完成这项任务一共需要18小时。
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。
22．【答案】（1）成反比例；因为60×60＝90×40＝120×30＝180×20＝360×10＝定值，所以每天装配的数量和时间成反比例；
（2）18天。
【分析】两个相关联的量的乘积不变时，这两个量成反比例关系，据此解答即可。
【解答】解：（1）每天装配的数量和时间成反比例。
因为60×60＝90×40＝120×30＝180×20＝360×10＝定值，所以每天装配的数量和时间成反比例。
（2）60×60÷200
＝3600÷200
＝18（天）
答：如果每天装配200辆，18天可以装配完这批童车。
【点评】熟练掌握反比例关系的判断，是解答此题的关键。
23．【答案】见试题解答内容
【分析】根据数量＝总价÷单价，分别用72元除以2元、3元、4元和6元求出可以购买的本数，填入表格，再根据总价一定，单价与数量的乘积一定，它们乘反比例关系求解即可．
【解答】解：72÷2＝36（本）
72÷3＝24（本）
72÷4＝18（本）
72÷6＝12（本）
表格如下：
每本价格/元 2 3 4 6
数量/本 36 24 18 12
观察上表发现：
2×36＝3×24＝4×18＝6×12＝72
即单价×数量＝总价（一定），单价和数量成反比例关系．
【点评】本题考查了总价、数量和单价之间的关系，同时考查了根据正、反比例的意义，辨识两种相关联的量是否成反比例，就看这两种量是否是对应的乘积一定，再做出选择．
24．【答案】（1）30；25；
（2）因为8×75＝10×60＝15×40＝20×30＝24×25＝定值，所以每本用纸张数和装订本数成反比例关系；
（3）12张。
【分析】（1）根据积都是600，用600除以20和24即可；
（2）判断练习本每本的页数和装订的本数之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。
（3）用600除以50即可。
【解答】解：（1）
每本用纸张数/张 8 10 15 20 24
装订本数/本 75 60 40 30 25
（2）因为8×75＝10×60＝15×40＝20×30＝24×25＝定值，所以每本用纸张数和装订本数成反比例关系。
（3）10×60÷50
＝600÷50
＝12（张）
答：每本用纸12张。
故答案为：30；25。
【点评】根据反比例的定义进行判断即可。
25．【答案】（1）正。（2）
（3）5。（4）25。
【分析】（1）正比例：如果两种相关联的量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量。它们的关系叫做正比例关系；反比例：如果两个变量的乘积为常数时的比例关系，一方发生变化，其另一方随之起相反的变化，就是反比例。
（2）根据给出的信息作图即可。
（3）定值。
（4）125：n＝5：1解比例即可。
【解答】解：（1）汽车的行驶路程与耗油量的比是一个定值，所以汽车的行驶路程与耗油量成正比例关系。
（2）
（3）5。
（4）125：n＝5：1
5n＝125×1
5n＝125
n＝25
答：这辆汽车行驶125千米的耗油量是25升。
故答案为：（1）正。（3）s：n＝5。（4）25。
【点评】此题考查了判断正比例和反比例，以及正比例画图和解比例，要求学生掌握。
26．【答案】（1）它们是相关的量。
（2）这个积表示货物的总量。
（3）成反比例关系，因为两种量乘积一定，运货的天数变化，每天运货的质量也随之变化。
【分析】（1）表中有每天运的质量和运货的天数。
（2）两种量相乘得到的是货物总量。
（3）乘积一定，每天运的质量和运货的天数成反比例。
【解答】解：（1）表中有每天运的质量和运货的天数，它们是相关的量。
答：表中有每天运的质量和运货的天数，它们是相关的量。
（2）300×1＝300，150×2＝300，100×3＝300，300＝300＝300，所以积相等，表示货物总量。
答：这个积表示货物的总量。
（3）运货的天数变化，每天运货的质量也随之变化，且这两种量的乘积一定，所以运货的天数与每天运的质量成反比例关系。
答：成反比例关系，因为两种量乘积一定，运货的天数变化，每天运货的质量也随之变化。
【点评】本题考查反比例的识别及应用。