2023-2024学年度第二学期高二年级开学考试
数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设全集，，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数z1=3+4i,z2=a+i,且z1是实数,则实数a等于( )
A. B. C. - D. -
3. 在正方体中，直线与平面所成角正弦值为
A. B. C. D.
4 已知直线，，若，则实数（ ）
A. 或1 B. 0或1 C. 1 D.
5. 直线与圆相切，则实数b的值是（ ）
A. 或12 B. 8或
C. 8或 D. 8或12
6. 已知点F是抛物线的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为4，则点A的坐标为（ ）
A. B. C. D.
7. 等比数列{an}中，a4＝2，a7＝5，则数列{lg an}前10项和等于( )
A. 2 B. lg 50 C. 5 D. 10
8. 已知椭圆＝1的左焦点为F1，右顶点为A，上顶点为B.若∠F1BA＝90°，则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 椭圆的焦距是4，则实数m的值可能为（ ）
A. 5 B. 13 C. 8 D. 21
10. 已知是首项为，公比为q的等比数列，是其前n项和，且，则（ ）
A. B. 或2
C. D.
11. 已知函数的图象与直线有两个不同交点，则正实数a的取值可以是（ ）
A 2 B. 3 C. 4 D. 1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知双曲线，（）的离心率为，则实数a的值为_______.
13. 若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为，则a＝________.
14. 将石子摆成如图的梯形形状，各梯形里石子的个数为5，9，14，20，…，即构成一个数列，根据图形的构成，此数列的第n项即___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知空间向量．
（1）计算和;
（2）求与夹角的余弦值．
16. 已知是一个等差数列，且．
（1）求的通项公式;
（2）求的前项和的最大值．
17. 已知抛物线与直线相切．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知过点且不与x轴垂直的直线l与抛物线C交于A，B两点．若，求弦的中点到直线的距离．
18. 如图，在四棱锥中，底面
．
（1）求证：平面．
（2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求点A到平面的距离．
19. 对于无穷数列，“若存在，必有”，则称数列具有性质.
（1）若数列满足，判断数列否具有性质？是否具有性质？
（2）对于无穷数列，设，求证：若数列具有性质，则必为有限集；
（3）已知是各项均为正整数的数列，且既具有性质，又具有性质，是否存在正整数，，使得，，，…，，…成等差数列.若存在，请加以证明；若不存在，说明理由.2023-2024学年度第二学期高二年级开学考试
数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设全集，，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求补集，进而求出交集.
【详解】，故.
故选：C.
2. 已知复数z1=3+4i,z2=a+i,且z1是实数,则实数a等于( )
A. B. C. - D. -
【答案】A
【解析】
【详解】分析：计算，由z1，是实数得，从而得解.
详解：复数z1=3+4i,z2=a+i,
.
所以z1，是实数，
所以，即.
故选A.
点睛：本题主要考查了复数共轭的概念，属于基础题.
3. 在正方体中，直线与平面所成角的正弦值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通过题干条件得到面的法向量，，求法向量和的夹角即可.
【详解】由题知，为平面的一个法向量，又因为，所以.
故答案为C.
【点睛】求线面角，一是可以利用等体积计算出直线端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．
4. 已知直线，，若，则实数（ ）
A. 或1 B. 0或1 C. 1 D.
【答案】D
【解析】
【分析】讨论，根据两条直线平行的条件列式可解得结果.
【详解】当时，的斜率不存在，的斜率为0，此时，不合题意；
当时，由可得，解得，
故选：D
【点睛】本题查了由两条直线平行求参数，属于基础题.
5. 直线与圆相切，则实数b的值是（ ）
A. 或12 B. 8或
C. 8或 D. 8或12
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线与圆相切求b的值.
【详解】圆的圆心为，半径，
因为直线与圆相切，
所以，解得或12.
故选：A
6. 已知点F是抛物线的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为4，则点A的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】根据抛物线焦半径公式求解即可.
【详解】设，且，到准线的距离为，
则，解得，
则，，.
故选：A
7. 等比数列{an}中，a4＝2，a7＝5，则数列{lg an}的前10项和等于( )
A. 2 B. lg 50 C. 5 D. 10
【答案】C
【解析】
【详解】由题意可知a4a7＝a5a6＝a3a8＝a2a9＝a1a10，即a1a2…a9a10＝105，
所以数列{lg an}的前10项和等于lg a1＋lg a2＋…＋lg a9＋lg a10＝lg a1a2…a10＝lg 105＝5
选C
8. 已知椭圆＝1的左焦点为F1，右顶点为A，上顶点为B.若∠F1BA＝90°，则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件，列出关于的等式关系，进而可得解.
【详解】根据已知得－＝－1，即，由此得，
即－1＝0，即，解得(舍去负值)．
故选：
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 椭圆的焦距是4，则实数m的值可能为（ ）
A. 5 B. 13 C. 8 D. 21
【答案】AB
【解析】
【分析】分类讨论焦点所在的位置，结合椭圆的性质分析求解.
【详解】由题意可知：椭圆的半焦距长为，
若焦点在x轴上，则，解得；
若焦点在y轴上，则，解得；
综上所述：实数的值是5或13.
故选：AB
10. 已知是首项为，公比为q的等比数列，是其前n项和，且，则（ ）
A. B. 或2
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据已知可求出数列的公比，即可依次判断每个选项的正误.
【详解】设的公比为q，∵，，，
∴ ，∴ ，故选项A正确，B错误．
，∴选项C，D正确．
故选：ACD.
11. 已知函数的图象与直线有两个不同交点，则正实数a的取值可以是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 1
【答案】BC
【解析】
【分析】在同一坐标系中作出两函数的图象，观察图象可得到a的取值范围.
【详解】在同一坐标系中作出函数与的大致图象，
如图所示，两图象都经过，易知只有时才能在的区域有第二个交点，
故的取值范围.
故选：BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知双曲线，（）的离心率为，则实数a的值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据双曲线的离心率，得到关于的等式，从而求出的值.
【详解】双曲线，（）的离心率为，
解得.
故答案为:.
【点睛】本题考查双曲线的简单性质，属于基础题.
13. 若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为，则a＝________.
【答案】1
【解析】
【分析】先求得相交弦所在直线方程，然后利用勾股定理列方程，解方程求得的值.
【详解】将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为.
圆的圆心为，半径为.
到直线的距离为：
，解得.
故答案为：
14. 将石子摆成如图的梯形形状，各梯形里石子的个数为5，9，14，20，…，即构成一个数列，根据图形的构成，此数列的第n项即___________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意知：,由累加法得通项公式.
【详解】各梯形里石子的个数为5，9，14，20，…，
可知：，，，，
由累加法得：，
解得：.
故答案为：（或）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知空间向量．
（1）计算和;
（2）求与夹角余弦值．
【答案】（1）,
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用空间向量的坐标运算公式即可求解；（2）利用空间向量的夹角公式计算即可.
【小问1详解】
由题可得
．
【小问2详解】
由题可得，
，
,与夹角的余弦值为．
16. 已知是一个等差数列，且．
（1）求的通项公式;
（2）求的前项和的最大值．
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的通项公式列出方程组即可求解；
（2）利用等差数列的前项和公式可得关于的二次函数，利用配方法即可求解.
【小问1详解】
设的公差为，由已知条件得
解得，
∴．
【小问2详解】
，
∴当时， 取得最大值4．
17. 已知抛物线与直线相切．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知过点且不与x轴垂直的直线l与抛物线C交于A，B两点．若，求弦的中点到直线的距离．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）将直线与抛物线方程联立，由相切求得，写出抛物线方程.
（2）根据过焦点的弦长公式求得，即得的中点的横坐标得答案.
【小问1详解】
联立，化简得，即，
令，因为，解得，
故抛物线C的方程为．
【小问2详解】
点即为抛物线C的焦点，
设A的坐标为的坐标为，
则，故，
则弦的中点的横坐标是，
故弦的中点到直线的距离是．
18. 如图，在四棱锥中，底面
．
（1）求证：平面．
（2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求点A到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据，可得平面．
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面，平面，平面的法向量，由条件求得，再求点A到平面的距离．
【小问1详解】
底面平面．
．
又平面．
【小问2详解】
设，取的中点E，易得三角形是正三角形，．
又底面平面，．
在中，所以，
可建立如图所示的空间直角坐标系，
则
．
设平面的一个法向量为，则
即令，得．
设平面的一个法向量为，则
即令，得．
所以，．
设平面的一个法向量为，
则即令，得．
∴点A到平面的距离为．
19. 对于无穷数列，“若存在，必有”，则称数列具有性质.
（1）若数列满足，判断数列是否具有性质？是否具有性质？
（2）对于无穷数列，设，求证：若数列具有性质，则必为有限集；
（3）已知是各项均为正整数的数列，且既具有性质，又具有性质，是否存在正整数，，使得，，，…，，…成等差数列.若存在，请加以证明；若不存在，说明理由.
【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
（3）见解析.
【解析】
【分析】（1）根据题中所给的条件，利用定义判断可得数列不具有性质，具有性质；
（2）根据数列具有性质，得到数列元素个数，从而证得结果；
（3）依题意，数列是各项为正数的数列，且既具有性质，又具有性质，可证得存在整数，使得是等差数列.
【详解】（1）因为，
，但，所以数列不具有性质，
同理可得数列具有性质；
（2）因为数列具有性质，
所以一定存在一组最小的且，满足，即，
由性质的含义可得，，，，
所以数列中，从第项开始的各项呈现周期性规律：
为一个周期中的各项，
所以数列中最多有个不同的项，
所以最多有个元素，即为有限集；
（3）因为数列具有性质，又具有性质，
所以存在，使得，
其中分别是满足上述关系式的最小的正整数，
由性质的含义可得，
若，则取，可得，
若，则取，可得，
记，则对于，
有，显然，
由性质的含义可得：，
所以
，
所以，
又满足最小的正整数，
所以，，
所以，
所以，
取，所以，若是偶数，则，
若是奇数，
则，
所以，，
所以是公差为1的等差数列.
【点睛】该题考查的是有关与数列相关的创新题，涉及到的知识点有对新定义的理解，属于难题.
