2023-2024学年度第一学期期末考试
九年级数学试题（A）
温馨提示：
1. 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页。满分120分。考试用时120分钟。
2.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上。
3.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答案不能答在试题卷上。
4. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。
第 Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题：本大题共10个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．每小题涂对得3分，满分30分．
1.下列几何图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是（ ）
A.等边三角形 B.平行四边形
C.菱形 D.对角线相等的四边形
2.已知反比例函数y=,则下列描述正确的是（ ）
A.图象位于第一、三象限 B.y随x的增大而增大
C.图象不可能与坐标轴相交 D.图象必经过点
3.在平面直角坐标系中,已知点,以原点为位似中心,相似比为,把缩小,则点A的对应点的坐标是（ ）
A. B.
C.或 D.或
4.若正边形边长为4,它的一个内角为,则其外接圆的半径为（ ）
A. B.4 C. D.2
5.小区新增了一家快递店,前三天的揽件数如图所示,若该快递店揽件数平均增长,增长率均为,则根据图中信息,得到所满足的方程是（ ）
A. B.
C. D.
6.将抛物线先向右平移个单位,再向下平移个单位得到的抛物线解析式是（ ）A. B. C. D.
7.如图,为的直径,,分别与⊙O相切于点B,C,过点C作的垂线,垂足为E,交于点D.若,则长为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
8.如图,点D,E分别在的边上,增加下列条件中的一个：①,②,③,④,使与一定相似的有（ ）
A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④
9.对某条路线的长度进行次测量，得到，，，，…，这个数据（如下表）：
数据
对应值 7.1 6.6 7.1
设，若当时，有最小值，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
10.如图是的中线，是上一点，且，的延长线交于点，若，则的值为（ ）．
A．6 B．5 C．4.5 D．5.5
第Ⅱ 卷（非选择题 共90分）
二．填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11.已知点与点关于坐标原点对称,则a+b的值为 .
12.一个不透明的袋中装有2个红球和1个白球,这些球除颜色外无其他差别.现随机从袋中摸出一个球,记下它的颜色后放回摇匀,再从袋中摸出一个球,则两次摸出的球都是“红球”的概率是 .
13.如图,将绕点A逆时针旋转得到,,,.连接,则的长为 .
14.关于方程有如下判断：（1）该方程无实数根；（2）该方程的两根之和是7；（3）该方程的两根之积是16,以上三个判断中正确有 个.
15.如图，的面积为3，边AO在x轴上，点C在y轴上，点B、D在双曲线上，B、D两点的横坐标之比是1:3，则的面积是 ．
16.如图，四边形是的内接四边形，，将绕点旋转至，.则下列结论：①平分②点A，，在同一条直线上；③若，则；④若，则其中一定正确的是 （填序号）.
三．解答题：(本大题共9个小题，满分72分.解答时请写出必要的演推过程.)
17.（4分）卷面分4分，第18题---25题。要求：①字迹清晰、工整；②卷面整洁；③使用蓝色笔或黑色笔,不用红色笔,作图时必须用铅笔和绘图工具，可以先用铅笔作图，再用签字笔描一遍。
18.（9分）解下列方程
(1) (2) (3)
19.（8分）如图,的顶点坐标分别为、、.
(1)以点O为旋转中心,将△ABC顺时针旋转得到,请画出；
(2)分别写出三个顶点的坐标；
(3)以点A为旋转中心,将逆时针旋转得到，直接写出直线的函数解析式.
20.（9分）2023年由于榴莲价格接连下降,“或可实现榴莲自由”的话题登上热搜.某水果店的榴莲水果盒进货价为元/盒,为吸引客流量,该商家承诺榴莲水果盒的价格不会超过元/盒,根据一个月的市场调研,商家发现当售价为元/盒时,日销售量为盒,售价每降低元,日销售量增加盒.
(1)当日销售量为盒时、产品售价为每盒多少元？
(2)直接写出日销售量（盒）与售价（元/盒）的函数关系式；
(3)当每盒产品的售价定为多少时,该水果店的榴莲水果盒每天可盈利元？
21.（9分）如图,在平面直角坐标系中，直线与y轴相交于点A,与反比例函数在第一象限内的图象相交于点.
(1)求反比例函数的关系式；
(2)直接写出当时,关于x的不等式的解集；
(3)将直线向上平移后与反比例函数图象在第一象限内交于点C,且的面积
为18,求平移后的直线解析式.
22.（7分）如图,是的直径,是弦,直线经过点C,于D,．
(1)求证：是的切线； (2)若的半径为6，，求图中阴影部分的面积．
23.（6分）材料阅读：直角三角形射影定理又称“欧几里德定理”．定理的内容是：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项：每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．这一定理可以描述如下：
如图，在中，满足条件：，是斜边上的高，则有如下结论成立：①②③④
(1)自主探究：请证明结论③
己知：在中，是斜边上的高，求证：
(2)直接运用：运用射影定理解决下面的问题：
如图，在中，，是斜边上的高，若，求的长．
24.（9分）如图1，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C．
(1)求 A，B两点的坐标和直线的解析式；
(2)D是直线上的点，过点D作x轴的平行线，交抛物线于M，N两点（点M在点N的左侧），若，求点D的横坐标.
25.（11分）在中,.
(1)特例证明：如图1,点D,E分别在线段上,,求证：;
(2)探索发现：将图1中的绕点C逆时针旋转α（）到图2位置,（1）中的结论还成立吗？若成立,请证明；若不成立,请说明理由；
(3)拓展运用：如图3,点D在内部,当时,若,求线段的长（直接写出答案）.2023-2024学年度第一学期期末考试
九年级数学试题（A）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D B A A C B B A
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11.-6 ；12. ；13.5； 14.1；15.4 ；16.①②④.
解答题：(本大题共9个小题，满分72分.解答时请写出必要的演推过程.)
17.（4分）卷面分4分，第18题---25题。要求：①字迹清晰、工整；②卷面整洁；③使用蓝色笔或黑色笔,不用红色笔,作图时必须用铅笔和绘图工具。
18.（每题3分）（1）解：整理得，
∴或，
∴；
（2）解：移项得，
配方得，即，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴．
19.（1）（2分）如图，即为所作：
（2）（3分）由图可得， ；
（3）（3分）点B旋转到点C的位置，
，
点C旋转后，在A的左边2个单位，上边一个单位，
而，
，
设直线的函数解析式为，
把，代入，得：
，
解得，，
所以，的函数解析式为．
20.（1）（2分）解：
（元/盒），
∴当销售量为盒时，产品售价为元/盒．
（2）（3分）根据题意得：，
∵该产品的进货价为元/盒，且该电商在直播中承诺自家商品价格不会超过元/盒，
∴日销售量（盒）与售价（元/盒）的函数关系式为；
（3）（4分）根据题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：每盒产品的售价应定为元．
21.（1）解：∵直线图象经过点，
∴，
∴，
∴，
又∵反比例函数图象经过点，
∴，
∴反比例函数解析式为；....................................................3分
（2）解：由图可得，当时，；................................................5分
（3）解：设平移后的直线交y轴于点M，设点M坐标为，连接，如图，
则，..............................................7分
∴，
∴，
∴，
∴平移后直线解析式为．...................................................9分
22.（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；.....................................................3分
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，..........................................5分
∴，，
在中，，
∴，........................................6分
∴．......................7分
23.（1）证明：∵，，
∴，
又∵，
∴，....................................2分
∴，
∴；.....................................3分
（2）解：设长为x，则，
根据射影定理可知，
即，
解得：，（舍去），....................................4分
∴，
又∵，
∴．....................................6分
24.（1）解：依题意，
把代入，
则
解得，
即可得，，..........................................................2分
因为
当时，，此时
设直线的解析式为，
把和代入
得
解得
所以直线的解析式为；....................................................4分
设点M的坐标为：，
则点，............................................5分
∵DM=3DN,
...........................................7分
∴点D的横坐标为1或16............................................9分
25.（1）证明：，
，
，
，
，
，
，
；............................................................3分
（2）成立，理由如下：
证明：由旋转可知，，
，
，
；...................................................................4分
BD=3......................................................................4分
理由如下：把线段绕点C逆时针旋转至，连接
则，
，
，
，
，
，
，
，
．
