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19.3.5 正方形的性质和判定
学习目标 ：
1.理解正方形的概念，了解正方形与菱形、矩形、平行四边形的关系；
2.探索并掌握正方形的性质和判定，注意定理的运用.
学习重难点 ：
重点是掌握正方形的性质，难点是正方形判定方法的探究．
学 法 指 导 ：
自学课本第88-89页内容，理解正方形的性质，思考正方形的多种判定方法.
课前自主预习问题：
1. 的平行四边形叫做正方形；
【答案】有一个角是直角，且有一组邻边相等的
2.正方形是特殊的 ，又是特殊的 ，更是特殊的 ，因此它具有这些图形的所有性质：
正方形与平行四边形相同，两组 分别平行且相等，两组 分别相等，对角线 ；与平行四边形不同的是有一组邻边 ，有一个内角是 ；
正方形与矩形相同，四个内角都 ，且都等于 0 ，对角线 ；与矩形不同的是有一组邻边相等，对角线互相 。
正方形与菱形相同，四条边都 ，对角线互相垂直；与菱形不同的是有一个内角是 ，对角线 ；
总之，正方形的四条边都 ；四个内角都 ，对角线互相 、
且 .
【答案】矩形，菱形，平行四边形；
对边，对角，互相平分；相等，被对角线平分；
相等，90，互相平分；垂直
相等，直角，互相垂直平分
相等，相等，平分、垂直，平分一组对角
3.正方形的一边为3cm ，则它的周长是 .它的两条对角线都是
cm，面积为 .
【答案】13，3，9
4.根据正方形的定义，应该说： 的平行四边形是正方形，
的矩形是正方形， 的菱形是正方形；
根据正方形的性质，可以说：对角线 的矩形是正方形，对角线 的菱形是正方形，对角线 的平行四边形是正方形，对角线 的四边形是正方形.
【答案】有一个角是直角，且有一组邻边相等；有一组邻边相等；互相垂直，相等，互相垂直且相等，互相垂直平分且相等
课堂合作学习，探究新知——学生交流展示：
1.认识矩形的定义：
用你前面自制的平行四边形模具演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角且有一组邻边相等时停止，你能得到什么图形？引出正方形的定义．
的平行四边形叫做正方形；正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形.
【答案】有一个角是直角，且有一组邻边相等
2.按照上面的定义，在右面的空白处画一个正方形，用字母表示出来，度量出
它的四条边的长、四个角的度数和两条对角线的长度，两条对角线之间的夹角，
还有对角线与各边的夹角等，验证并整理正方形的性质：
性质1 正方形的四条边都相等，四个角都是直角
性质2 正方形的对角线相等且互相垂直平分
经典例题
例7如图 19-43,点A', B', C, D'分别是正方形ABCD四条边上的点,并且AA' = BB' = CC' = DD'.
求证:四边形A'B'C'D'是正方形.
证明：因为四边形 ABCD是正方形,所以
AB=BC=CD=DA.
又∵AA'=BB'=CC'=DD',
∴D'A=A'B=B'C=C'D.
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
∴△AA'D'≌△BB'A'≌△CC'B'≌△DD'C'.
∴A'B' = B'C' = C'D' = D'A'.
∴四边形A 'B'C'D'是菱形.
又∵∠1 =∠3,∠1+∠2=90°,
∴∠2+∠3=90°.
∴∠D'A'B' = 90°.
所以四边形A'B'C'D'是正方形.
自结测试：
1.如图，正方形的边长为8，E为边上一点，连接，，取中点F，连接，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查正方形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及勾股定理，根据题意求出，根据勾股定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，故可得答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴
∴；
在中，，
∵点F是的中点，
∴是斜边上的中线，
∴，
故选：C．
2．同学们探究四边形纸板是否为正方形，以下测量方案正确的是（ ）
A．测量四条边是否相等 B．测量四个内角是否相等且一组邻边是否相等
C．测量四个内角是否是直角 D．测量两条对角线是否相等且是否互相垂直
【答案】B
【分析】本题考查了正方形的判定；
根据正方形的判定定理逐项分析即可．
【详解】解：A.测量四条边是否相等可以得出四边形纸板是否为菱形，不符合题意；
B.测量四个内角是否相等且一组邻边是否相等可以得出四边形纸板是否为正方形，符合题意；
C.测量四个内角是否是直角 可以得出四边形纸板是否为矩形，不符合题意；
D.测量两条对角线是否相等且是否互相垂直不能判断四边形纸板是否为正方形，还要测量两条对角线是否互相平分，不符合题意；
故选：B．
3．如图，正方形中，，将沿对折至，延长交于点，刚好是边的中点，则的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题考查正方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理等知识．根据正方形的性质和折叠的性质，很容易证明，进而得到，由是的中点，，得到，在中有勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：连接，由已知，且，
，
，
，
，是的中点，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：
，
解得，即．
故选：A．
4.如图，正方形的对角线交于点O，M是边上一点，连接，过点O作交于点N，若四边形的面积是4，则的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】本题考查正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．过点O作，证明，进而得到四边形的面积等于正方形的面积，进而求出的长，即可得解．
【详解】解：过点O作于点E，于点F，
则：，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，四边形为矩形，
∴四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴正方形的面积等于四边形的面积，
∴，
∴（负值已舍掉）；
∴；
故选：C．
5.如图，在边长为2的正方形中，，分别是边，上的动点（可与端点重合），，分别是，的中点，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题考查正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，确定何时有最大值是解题关键．
连接，则是的中位线，，当最大时，有最大值求出即可．
【详解】解：连接，如图：
，分别是，的中点，
是的中位线，，
当最大时，有最大值，
，分别是边，上的动点，
当与重合时，最大为的长，
正方形边长为2，
，
的最大值为，
故答案为：．
拓展性训练
6.如图，已知平行四边形中，对角线，交于点，是延长线上的点，且是等边三角形．
(1)求证：
(2)若，判断四边形是怎样的特殊平行四边形？并证明你的猜想.
【答案】(1)见详解
(2)四边形是正方形，理由见详解
【分析】此题主要考查菱形和正方形的判定，要灵活应用判定定理及等腰三角形的性质、外角的性质定理．
（1）根据平行四边形的性质及等边三角形的性质．证明，得垂直平分即可；
（2）根据有一个角是的菱形是正方形．证明由题意易得即可．
【详解】（1）证明： 四边形是平行四边形，
．
又是等边三角形，
（三线合一），即垂直平分，
．
（2）解：四边形是正方形，理由如下：
四边形是平行四边形，
．
又是等边三角形，
平分（三线合一），
，
又
，
（三角形的一个外角等于和它外角不相邻的两内角之和），
由（1）中，得平行四边形是菱形，
，
四边形是正方形．
7.如图，正方形中，E是边的中点，将沿折叠，得到，延长交边于点P．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)4．
【分析】（1）连接AP，由正方形的性质得，，由折叠得，，则，，即可根据直角三角形全等的判定定理“HL”证明，得；
（2），E是边的中点，得，，由勾股定理得，求得．
【详解】（1）证明：
连接AP，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵将沿折叠，得到，延长交边于点P，
∴，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：∵，E是边的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的长是4．
【点睛】此题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
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19.3.5 正方形的性质和判定
学习目标 ：
1.理解正方形的概念，了解正方形与菱形、矩形、平行四边形的关系；
2.探索并掌握正方形的性质和判定，注意定理的运用.
学习重难点 ：
重点是掌握正方形的性质，难点是正方形判定方法的探究．
学 法 指 导 ：
自学课本第88-89页内容，理解正方形的性质，思考正方形的多种判定方法.
课前自主预习问题：
1. 的平行四边形叫做正方形；
2.正方形是特殊的 ，又是特殊的 ，更是特殊的 ，因此它具有这些图形的所有性质：
正方形与平行四边形相同，两组 分别平行且相等，两组 分别相等，对角线 ；与平行四边形不同的是有一组邻边 ，有一个内角是 ；
正方形与矩形相同，四个内角都 ，且都等于 0 ，对角线 ；与矩形不同的是有一组邻边相等，对角线互相 。
正方形与菱形相同，四条边都 ，对角线互相垂直；与菱形不同的是有一个内角是 ，对角线 ；
总之，正方形的四条边都 ；四个内角都 ，对角线互相 、
且 .
3.正方形的一边为3cm ，则该它的周长是 .它的两条对角线都是
cm，面积为 .
4.根据正方形的定义，应该说： 的平行四边形是正方形，
的矩形是正方形， 的菱形是正方形；
根据正方形的性质，可以说：对角线 的矩形是正方形，对角线 的菱形是正方形，对角线 的平行四边形是正方形，对角线 的四边形是正方形.
课堂合作学习，探究新知——学生交流展示：
1.认识矩形的定义：
用你前面自制的平行四边形模具演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角且有一组邻边相等时停止，你能得到什么图形？引出正方形的定义．
的平行四边形叫做正方形；正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形.
2.按照上面的定义，在右面的空白处画一个正方形，用字母表示出来，度量出
它的四条边的长、四个角的度数和两条对角线的长度，两条对角线之间的夹角，
还有对角线与各边的夹角等，验证并整理正方形的性质：
精典例题
例7如图 19-43,点A', B', C, D'分别是正方形ABCD四条边上的点,并且AA' = BB' = CC' = DD'.
求证:四边形A'B'C'D'是正方形.
自结测试：
1.如图，正方形的边长为8，E为边上一点，连接，，取中点F，连接，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．同学们探究四边形纸板是否为正方形，以下测量方案正确的是（ ）
A．测量四条边是否相等 B．测量四个内角是否相等且一组邻边是否相等
C．测量四个内角是否是直角 D．测量两条对角线是否相等且是否互相垂直
3．如图，正方形中，，将沿对折至，延长交于点，刚好是边的中点，则的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4.如图，正方形的对角线交于点O，M是边上一点，连接，过点O作交于点N，若四边形的面积是4，则的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
5.如图，在边长为2的正方形中，，分别是边，上的动点（可与端点重合），，分别是，的中点，则的最大值为 ．
拓展性训练
6.如图，已知平行四边形中，对角线，交于点，是延长线上的点，且是等边三角形．
(1)求证：
(2)若，判断四边形是怎样的特殊平行四边形？并证明你的猜想.
7.如图，正方形中，E是边的中点，将沿折叠，得到，延长交边于点P．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
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