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第19章《四边形》复习学案
【学习目标】
1.了解多边形、四边形、特殊四边形之间的关系.
2.理解各种特殊四边形之间的关系.
3.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定.
4.三角形中位线定理等几个重要的结论.
【学习重难点】
重点：各种特殊四边形的性质与判定.
难点：各种特殊四边形性质与判定的综合运用.
【学法指导】
通过复习回顾，探究本章的主要内容，理解掌握各种特殊四边形的性质与判定.
【自主学习】
1.各种特殊四边形之间的关系是怎样的？
2.各种特殊四边形的性质有哪些？
平行四边形：
矩形：
菱形：
正方形：
3.各种特殊四边形的常用判定方法有哪些？
平行四边形：
矩形：
菱形：
正方形：
4.本章还有哪几个重要结论？
【课内探究】
活动一 易错题解析
在中，有两个内角的度数比为，则中较大内角的度数是（ ）
A． B． C． D．
活动二 例题讲解1
图1表示一双开门关闭时的状态图，图2表示打开双门过程中，某一时刻的示意图，其中AB为门槛宽度．
(1)当时，双门间隙与门槛宽度的比值为 ___________．
(2)若双门间隙的距离为2寸，点和点距离都为1尺（1尺10寸），则门槛宽度是 ___________寸．
活动三 例题讲解2
如图1所示，在正三角形中，是边（不含端点）上任意一点，是延长线上一点，是的平分线上一点，连接，若．
(1)求证：；
(2)若将试题中的“正三角形”改为“正方形”（如图2），是的平分线上一点，则当时，结论是否还成立？（直接给出结论，不需要证明）
活动四 能力检测
1.在中，有两个内角的度数比为，则中较大内角的度数是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，的周长为，以它的各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作，如此下去，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，在中，点，分别是，的中点，点M，在对角线上，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则四边形是矩形
B．若，则四边形是矩形
C．若，则四边形是矩形
D．若，则四边形是矩形
4.已知菱形的边长为，它的一条对角线长为，则该菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
5.如图，正方形的边长为10，且，，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
6.如图，在平行四边形中，，按下列步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点，；②过点，作直线，交于点．如果的周长为8，那么平行四边形的周长是 ．
7.如图，O是等边三角形内任意一点，过点O作分别交于点G，H，I，已知等边三角形的周长18，则 ．
8.如图，在中，，是的中线，E是的中点，连接，，若，垂足为E，则的长为 ．
9.如图，菱形中，交于点，于点，连接，若，则 ．
活动5 能力拓展
1.如图，点E、F是对角线上的两点，且，连接、、、．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，，求的面积．
2.如图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边长都是1，点A、B、E、F均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，使所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法．
(1)在图①中，以线段为底画一个等腰三角形，且顶角为锐角；
(2)在图②中，以线段为对角线画一个轴对称四边形，使其面积为4．
3.如图，在正方形中，点，分别在，上，，垂足为．
(1)求证：；
(2)若正方形的边长是8，，点是的中点，求的长．
【学习反思】
这节课，你有哪些收获？你还有什么疑惑？
我的收获有：
我的疑惑有：
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第19章《四边形》复习学案
【学习目标】
1.了解多边形、四边形、特殊四边形之间的关系.
2.理解各种特殊四边形之间的关系.
3.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定.
4.三角形中位线定理等几个重要的结论.
【学习重难点】
重点：各种特殊四边形的性质与判定.
难点：各种特殊四边形性质与判定的综合运用.
【学法指导】
通过复习回顾，探究本章的主要内容，理解掌握各种特殊四边形的性质与判定.
【自主学习】
1.各种特殊四边形之间的关系是怎样的？
2.各种特殊四边形的性质有哪些？
平行四边形：
平行四边形的对边相等
平行四边形的对角相等
（3）平行四边形对角线互相平分
矩形：
矩形的四个角都是直角
（2）矩形的对角线相等
菱形：
菱形的四条边都相等
（2）菱形的对角线互相垂直
正方形：
（1）正方形的四条边都相等，四个角都是直角
（2）正方形的对角线相等且互相垂直平分
3.各种特殊四边形的常用判定方法有哪些？
平行四边形：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形
矩形：
对角线相等的平行四边形是矩形。
（2）三个角是直角的四边形是矩形。
菱形：
四边都相等的四边形是菱形
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形
正方形：
（1）对角线相等的菱形是正方形。
（2）有一个角为直角的菱形是正方形。
（3）对角线互相垂直的矩形是正方形。
（4）一组邻边相等的矩形是正方形。
（5）一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
（6）对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。
（7）对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。
（8）一组邻边相等,有三个角是直角的四边形是正方形。
（9）既是菱形又是矩形的四边形是正方形。
4.本章还有哪几个重要结论？
（1）三角形两边中点连线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
（2）三角形的三条中线相交于一点，这点和各边中点的距离等于相应各边上中线的三分之一。
（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
【课内探究】
活动一 易错题解析
在中，有两个内角的度数比为，则中较大内角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质，对角相等，结合四边形的内角和为360度，计算即可．
【详解】解：设中的较小的内角的度数为，则较大的内角为，
∵平行四边形的对角相等，
∴，
解得：，
∴，
即：中较大内角的度数是；
故选A．
活动二 例题讲解1
图1表示一双开门关闭时的状态图，图2表示打开双门过程中，某一时刻的示意图，其中AB为门槛宽度．
(1)当时，双门间隙与门槛宽度的比值为 ___________．
(2)若双门间隙的距离为2寸，点和点距离都为1尺（1尺10寸），则门槛宽度是 ___________寸．
【答案】(1)
(2)101
【分析】（1）过作交于点，得到是等边三角形，四边形是平行四边形，从而推出，即可得到答案；
（2）作于，于，得到，得到，设寸，则寸，由勾股定理列出关于的方程，即可解决问题．
【详解】（1）解：过作交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴双门间隙与门槛宽度的比值为．
故答案为：；
（2）作于，于，
∵点和点距离都为1尺，
∴（寸），
∵，
∴，
∴，
设寸，则寸，
∵寸，
∴（寸），
∵，，
∴（寸），
∵，
∴，
∴，
∴（寸），
∴门槛宽度是101寸．
故答案为：101．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解题关键．
活动三 例题讲解2
如图1所示，在正三角形中，是边（不含端点）上任意一点，是延长线上一点，是的平分线上一点，连接，若．
(1)求证：；
(2)若将试题中的“正三角形”改为“正方形”（如图2），是的平分线上一点，则当时，结论是否还成立？（直接给出结论，不需要证明）
【答案】(1)见解析
(2)成立
【分析】对于（1），先在上截取，连结，根据等边三角形的性质得，再说明为等边三角形，可得，即可证明
≌，进而得出答案；
对于（2），仿照（1），在上取一点E，使，连接，先求出，再证明，进而得出，可得≌，最后根据“全等三角形的对应边相等”得出答案.
【详解】（1）证明：在上截取，连结．
是等边三角形，
，．
，，
．
又平分，
，
．
又，，
，
即．
为等边三角形，
∴，
，
即，
∴≌，
．
（2）成立．
在上取一点E，使，连接．
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴．
∵，，，
∴．
∵平分，，
∴，
∴，
∴，
∴≌，
∴.
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，正方形的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的定义等，构造全等三角形是解题的关键．
活动四 能力检测
1.在中，有两个内角的度数比为，则中较大内角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质，对角相等，结合四边形的内角和为360度，计算即可．
【详解】解：设中的较小的内角的度数为，则较大的内角为，
∵平行四边形的对角相等，
∴，
解得：，
∴，
即：中较大内角的度数是；
故选A．
2.如图，的周长为，以它的各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作，如此下去，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，三角形的周长的计算，正确的找出规律是解题的关键．根据三角形的中位线定理得到的周长的周长，各的周长，于是得到结论．
【详解】解：以的各边的中点为顶点作，
的周长的周长的周长，
以各边的中点为顶点作，
的周长各的周长的周长，
，
的周长
故选：A．
3.如图，在中，点，分别是，的中点，点M，在对角线上，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则四边形是矩形
B．若，则四边形是矩形
C．若，则四边形是矩形
D．若，则四边形是矩形
【答案】D
【分析】取中点O，连接、，先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的判定定理依次判定即可得到答案．
本题考查了平行四边形、矩形的判定定理，掌握矩形的判定定理是解题的关键．
【详解】如图，取中点O，连接、，
∵中，点E，F分别是，的中点，
，，，，，，
，，
∴E，O，F三点共线，
又，，
，即，
四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
A选项，不能推出四边形有内角，故不能证明四边形是矩形；
B、C、D选项，只有D选项能由、，得到，根据对角线相等的平行四边形是矩形可得四边形是矩形．
故选：D
4.已知菱形的边长为，它的一条对角线长为，则该菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理；根据已知可求得菱形的边长，根据勾股定理可求得其另一条对角线的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求得其面积．
【详解】解：如图所示，
，，
，
，
从而得到菱形的面积．
故选：B．
5.如图，正方形的边长为10，且，，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，延长交于点，证是解题关键．
【详解】解：延长交于点，如图所示：
∵，，,
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
6.如图，在平行四边形中，，按下列步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点，；②过点，作直线，交于点．如果的周长为8，那么平行四边形的周长是 ．
【答案】16
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质及平行四边形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质及平行四边形的性质是解答本题的关键；
由中垂线的作法可知，然后由的周长为8，可知，继而可求出平行四边形的周长．
【详解】解：由作法得：垂直平分，
，
的周长为8，
即，
，
即，
四边形是平行四边形，
，，
平行四边形的周长．
故答案为：16．
7.如图，O是等边三角形内任意一点，过点O作分别交于点G，H，I，已知等边三角形的周长18，则 ．
【答案】6
【分析】本题考查了平行的性质、等边三角形的判定和性质、平行四边形的判定与性质．在解题的时候要注意找准对应平行线所形成的角．由平行推理得是等边三角形，由等边三角形三边相等的性质和平行四边形的性质求出的值．
【详解】解：∵
∴
则四边形和四边形都是平行四边形，
∵是等边三角形
∴三角形是等边三角形，
则，
∴，
∴，
∵的周长为，
∴．
故答案为：6．
8.如图，在中，，是的中线，E是的中点，连接，，若，垂足为E，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线定理，勾股定理， 根据中线定理解题即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵点D是的中点，，
∴，
∵E是的中点
∴
∴
∴，
故答案为：．
9.如图，菱形中，交于点，于点，连接，若，则 ．
【答案】/20度
【分析】本题考查菱形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，关键是熟练掌握直角三角形斜边中线性质．先根据菱形的性质得到，，进而求得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，然后根据等边对等角求解即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
故答案为：．
活动5 能力拓展
1.如图，点E、F是对角线上的两点，且，连接、、、．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，，求的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等：
（1）由平行线的性质得到，进而得到，再证明，得到，即可证明四边形是平行四边形；
（2）先利用勾股定理求出，进而得到，求出即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：，，，
∴，
∵，
∴（同高三角形），
∵，
∴．
2.如图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边长都是1，点A、B、E、F均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，使所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法．
(1)在图①中，以线段为底画一个等腰三角形，且顶角为锐角；
(2)在图②中，以线段为对角线画一个轴对称四边形，使其面积为4．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据要求作出图形即可；
（2）作对角线长度为2和4的菱形即可．
【详解】（1）解：如图①，即为所求作．
且．
（2）解：如图，四边形即为所求
四边形为轴对称图形，且为对角线，面积
3.如图，在正方形中，点，分别在，上，，垂足为．
(1)求证：；
(2)若正方形的边长是8，，点是的中点，求的长．
【答案】(1)见解答；
(2)
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判断和性质，勾股定理．
（1）根据正方形的性质可得，，结合可得即可得证；
（2）由题意知即可求出，则，根据勾股定理即可求出，由是中点可得即可解答．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
是中点，，
．
【学习反思】
这节课，你有哪些收获？你还有什么疑惑？
我的收获有：
我的疑惑有：
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