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19.3.1 矩形的性质和判定（第1课时）
学习目标 ：
1.理解矩形的概念，了解矩形与平行四边形的关系；
2.学习用度量法探索矩形的性质，理解并掌握矩形性质的推论.
学习重难点 ：重点是掌握矩形的性质，难点是矩形性质定理的准确、熟练应用．
学 法 指 导 ：自学课本P83-84页内容，自画一个矩形，通过度量，了解矩形的性质，按导学案内容独立完成或小组合作完成相应作业.
课前自主预习问题：
1.用硬纸条或细木棒自制一个可以活动的平行四边形模具，双手拿住某一对顶点轻轻拉动，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？
【答案】是，因为两组对边仍然是互相平行且相等。
2. 的平行四边形叫做矩形；矩形与平行四边形相同，两组 分别平行相等，两组 分别相等，对角线 ；矩形与平行四边形不同的是有一个内角是 ，进而我们可以求出它的其他三个内角也都是 ，即四个内角都 ，且都等于 0 ；而且矩形的对角线 .
【答案】有一全角上二角，对边，对角，互相平分，直角，直角，相等，90，互相垂直
3.矩形的两邻边之比为3∶4，对角线长为10cm，则该矩形的周长是 .
【答案】17
课堂合作学习，探究新知——学生交流展示：
1.认识矩形的定义：
用你前面自制的平行四边形模具演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，你能得到什么图形？引出矩形定义．
的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)；矩形是一种特殊的平行四边形.
【答案】有一个角是直角
2.按照上面的定义，在右面的空白处画一个矩形，用字
母表示出来，度量出它的四条边的长、四个角的度数
和两条对角线的长度，记录如下：
AB = cm,BC = cm, CD = cm,DA = cm;
∠A = ,∠B = , ∠C = ,∠D = ;
AC = cm,BD = cm.
【答案】4，3，4，3；900，900，900，900，5，5
3.根据以上数据，你能得出矩形的有关性质吗？请你用文字表达出来：
①矩形的四个角都是直角
②矩形的对角线相等
③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
4.你是怎么证明“矩形的四个角都是直角”的？（画出相应的图形）
已知:矩形ABCD.
求证:∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
证明：由定义 ,矩形必有一个角是直角,设∠A = 90°.
∵AB//DC,AD//BC,
∴∠B=∠C =∠D =90°. (两直线平行,同旁内角互补)
即矩形ABCD的四个角都是直角.
5.通过阅读课本P83页图20-25及相关文字内容，你能写出“推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明过程吗？
已知：在直角三角形ABC中,∠BAC=90°, AD是斜边BC的中线,求证: AD= 1/2BC。
证明：延长AD到E,使DE=AD , 连接CE。
∵AD是斜边BC的中线，
∴BD=CD ,
又∵∠ADB=∠EDC (对顶角相等) ,
AD=DE
∴ADB≌EDC( SAS ) ,
∴AB=CE ,∠B=∠DCE，
∴AB//CE (内错角相等,两直线平行)
∴∠BAC+∠ACE=180° (两直线平行,同旁内角互补)
∵∠BAC=90° ,
∴∠ACE=90° ,
∵AB=CE ,∠BAC=ECA=90°, AC=CA,
∴ΔABC≌ΔCEA( SAS )
∴BC=AE ,
∵AD=DE=1/2AE ,
∴AD=1/2BC。
6.请你再写出“矩形的对角线相等”这一性质的证明过程：
已知:四边形ABCD是矩形
求证:对角线AC=BD
证明:因为ABCD是矩形,则有AB=CD,AD=BC ,且∠ABC=∠BCD=90°
据勾股定理,AC=BD
∴矩形的对角线相等
7.精典例题
例1：如图 19-31,已知:矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOB = 120°, AD = 4cm.求矩形对角线的长
解.因为四边形 ABCD是矩形,所以
AC = BD.
∴OA = OB.
∵∠AOB = 120°,
∴∠OAB=∠OBA=30°
在RtΔABD中,有
BD=2AD=2x4=8(cm).
自结测试：
1.在数学活动课上，同学们在判断一个四边形门框是否为矩形，下面是几个学习小组拟定的方案，其中正确的是（ ）
A．测量两组对边是否分别相等 B．测量其中三个内角是否都为直角
C．测量对角线是否相等 D．测量对角线是否互相平分
【答案】B
【分析】本题考查的是矩形的判定定理，牢记矩形的判定方法是解答本题的关键，难度较小．根据矩形的判定定理即可得到结论．
【详解】解：A、测量两组对边是否相等，能判定平行四边形；不符合题意；
B、测量其中三个内角是否为直角，能判定矩形；符合题意；
C、测量对角线是否相等，不能判定形状；不符合题意；
D、测量对角线是否相互平分，能判定平行四边形；不符合题意；
故选：B．
2.如图，矩形如图放置在平面直角坐标系中，其中，若将其沿着对折后，为点A的对应点，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．4.5
【答案】B
【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，等腰三角形的判定．根据平行线的性质得到，由折叠的性质得到，求得，设，则，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵长方形中，，
∴，，
∴，，，
∴，
由折叠的性质得，，，
∴，
∴，
设，则，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴，
在中，，
∴．
故选：B．
3.如图，用一根绳子检查一平行四边形书架是否是矩形，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线、就可以判断，其推理依据是（ ）
A．邻边相等的平行四边形是矩形 B．平行四边形的对角线互相平分
C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形
【答案】D
【分析】本题考查矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判定．
【详解】解：这种做法的依据是对角线相等的平行四边形为矩形，
故选D．
4.如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，使点落在对角线上的点处，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，
根据勾股定理，列出方程即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
由折叠性质可得：，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，
故选：．
5.如图，将长方形沿着折叠，点落在边上的点处，已知，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理等知识点，根据矩形的性质得到，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，根据勾股定理即可得到结论，解题关键是熟练掌握矩形的性质及勾股定理．
【详解】∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵将长方形沿着折叠，点D落在边上的点F处，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
故选：C．
6.直角三角形两直角边的长为6和8，则该直角三角形斜边上的中线长为 ．
【答案】5
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质．利用勾股定理先求解斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【详解】解： 直角三角形两直角边的长为6和8，，则斜边为：
，
∴该直角三角形斜边上的中线长为，
故答案为：5．
7.如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，已知，，求的长．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的折叠问题，勾股定理等知识点；根据矩形的性质和折叠的性质，得到，再根据勾股定理，求出的长度，进而求出的长度，设，则，根据勾股定理建立方程即可得出答案．
【详解】解：根据题意，，
，
在中，由勾股定理得，
，
设，则，
在中，，
，
，解得
．
．
8.如图，已知四边形是平行四边形，对角线交于点是等边三角形．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，等边三角形的性质，勾股定理．
（1）根据等边三角形的性质，平行四边形的性质，得到，即可得证；
（2）根据勾股定理，进行求解即可．
掌握矩形的判定方法和性质，是解题的关键．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
．
是等边三角形，
，
，
四边形是矩形．
（2）解：四边形是矩形，
．
是等边三角形，
，则，
．
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学习目标 ：
1.理解矩形的概念，了解矩形与平行四边形的关系；
2.学习用度量法探索矩形的性质，理解并掌握矩形性质的推论.
学习重难点 ：重点是掌握矩形的性质，难点是矩形性质定理的准确、熟练应用．
学 法 指 导 ：自学课本P83-84页内容，自画一个矩形，通过度量，了解矩形的性质，按导学案内容独立完成或小组合作完成相应作业.
课前自主预习问题：
1.用硬纸条或细木棒自制一个可以活动的平行四边形模具，双手拿住某一对顶点轻轻拉动，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？
2. 的平行四边形叫做矩形；矩形与平行四边形相同，两组 分别平行相等，两组 分别相等，对角线 ；矩形与平行四边形不同的是有一个内角是 ，进而我们可以求出它的其他三个内角也都是 ，即四个内角都 ，且都等于 0 ；而且矩形的对角线 .
3.矩形的两邻边之比为3∶4，对角线长为10cm，则该矩形的周长是 .
课堂合作学习，探究新知——学生交流展示：
1.认识矩形的定义：
用你前面自制的平行四边形模具演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，你能得到什么图形？引出矩形定义．
的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)；矩形是一种特殊的平行四边形.
2.按照上面的定义，在右面的空白处画一个矩形，用字
母表示出来，度量出它的四条边的长、四个角的度数
和两条对角线的长度，记录如下：
AB = cm,BC = cm, CD = cm,DA = cm;
∠A = ,∠B = , ∠C = ,∠D = ;
AC = cm,BD = cm.
3.根据以上数据，你能得出矩形的有关性质吗？请你用文字表达出来：
4.你是怎么证明“矩形的四个角都是直角”的？（画出相应的图形）
已知:矩形ABCD.
求证:∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
5.通过阅读课本P83页图20-25及相关文字内容，你能写出“推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明过程吗？
已知：在直角三角形ABC中,∠BAC=90°, AD是斜边BC的中线,求证: AD= 1/2BC。
6.请你再写出“矩形的对角线相等”这一性质的证明过程：
已知:四边形ABCD是矩形
求证:对角线AC=BD
7.经典例题
例1：如图 19-31,已知:矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOB = 120°, AD = 4cm.求矩形对角线的长
自结测试：
1.在数学活动课上，同学们在判断一个四边形门框是否为矩形，下面是几个学习小组拟定的方案，其中正确的是（ ）
A．测量两组对边是否分别相等 B．测量其中三个内角是否都为直角
C．测量对角线是否相等 D．测量对角线是否互相平分
2.如图，矩形如图放置在平面直角坐标系中，其中，若将其沿着对折后，为点A的对应点，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．4.5
3.如图，用一根绳子检查一平行四边形书架是否是矩形，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线、就可以判断，其推理依据是（ ）
A．邻边相等的平行四边形是矩形 B．平行四边形的对角线互相平分
C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形
4.如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，使点落在对角线上的点处，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5.如图，将长方形沿着折叠，点落在边上的点处，已知，则的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6.直角三角形两直角边的长为6和8，则该直角三角形斜边上的中线长为 ．
7.如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，已知，，求的长．
8.如图，已知四边形是平行四边形，对角线交于点是等边三角形．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求的长．
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