【原创】2015-2016学年高一上学期数学开学测试题分类之解答题汇总
文档属性
| 名称 | 【原创】2015-2016学年高一上学期数学开学测试题分类之解答题汇总 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-09-03 15:38:26 | ||
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文档简介
1.计算：
【答案】3－
【解析】
试题分析：首先根据幂和二次根式、三角函数的计算法则求出各式的值，然后进行实数的加减法计算.
试题解析：原式=.
【难度】容易
2.解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来.
【答案】
【解析】
试题分析：解：.
由（1）得：x>-1,
由（2）得：,
所以原不等式组的解集为：.
【难度】容易
3.先化简，再求值：已知，求的值．
【答案】-
【解析】
试题分析：先化简
解：当时，
【难度】较易
4.如图，△ABC和△EFD分别在线段AE的两侧，点C，D在线段AE上，AC=DE，AB=EF，AB∥EF.求证：BC=FD
【答案】∵AB∥EF , ∴∠A=∠E , 在△ABC和△EFD中，AB=EF，∠A=∠E，AC=DE.
∴△ABC≌△EFD（SAS） , ∴BC=FD.
【解析】
试题分析：根据AB∥EF得出∠A=∠E，结合已知条件得出△ABC和△EFD全等，从而得出BC=FD
证明：∵AB∥EF , ∴∠A=∠E , 在△ABC和△EFD中，AB=EF，∠A=∠E，AC=DE.
∴△ABC≌△EFD（SAS） , ∴BC=FD.
【难度】较易
5．已知关于x的方程x2-（2k+1）x+4（k-）=0. （1）求证:无论k取何值,这个方程总有实数根;
（2）若等腰三角形ABC的一边长a=4,另两边的长b、c恰好是这个方程的两个根,求三角形ABC的周长.
【答案】（1）△=（2k+1）2-16（k-）=4k2-12k+9）=（2k-3）2≥0
（2）10.
【解析】（1）因为
恒大于等于0
所以：无论k取何值,这个方程总有实数根。
（2）三角形ABC为等腰三角形，可能有两种情况：
1）b或c中至少有一个等于a= 4，即：方程x2-（2k+1）x+4（k- ）=0有一根为4，
可得k=,方程为x2-6x+8=0.另一根为2，此时三角形ABC周长为10；
2）b=c时，
得k=,方程为x2- 4x+4=0.得b=c=2, 此时a、b、c不能构成三角形；
综上，三角形ABC周长为10.
【难度】一般
6.如图，一次函数的图象与轴交于点A， 与轴交于点B，与反比例函数图象的一个交点为M（﹣2，m）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P是反比例函数图象上一点，且，求点P的坐标．
【答案】（1）. （2）p（2,-1）或p（-2,1）
【解析】
试题分析：（1）∵M（﹣2，m）在一次函数的图象上，
∴.
∴M（﹣2，1）.
又M（﹣2，1）在反比例函数图象上，
∴.
∴.
（2）由一次函数可求，.
∴.
∴.
设边上的高位，则. 则点的横坐标为.
把点的横坐标为代入可得点的纵坐标为.
或.
【难度】一般
7.中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广。为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分。为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了200名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：
请根据所给的信息，解答下列问题：
（1）a= ,b= .
（2）请补全频数分布直方图；
（3）这次比赛成绩的中位数会落在哪个分数段？
（4）若成绩在90分及以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等的大约有多少人？
【答案】（1）a=60；b=0.15；（2）如下图；（3）80≤x＜90；（4）1200人.
【解析】
试题分析：首先根据50≤x＜60的频数和频率求出样本容量，然后分别求出a和b的值；根据a的值补全统计图；根据中位数的计算法则得出中位数所处的位置；根据90分以上的频率估算出总人数.
试题解析：（1）、10÷0.05=200 a=200×0.3=60 b=30÷200=0.15
（2）补全条形统计图如下：
（3）中位数在80≤x＜90分数段.
（4）3000×0.4=1200（人）.
【难度】一般
8.如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF//AB交AC于F
（1）求证：AE=DF．
（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）平行四边形AEDF为菱形；理由详见解析
【解析】
试题分析：（1）∵DE∥AC,DF∥AB.
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AE=DF.
（2）四边形AEDF是菱形.
证明：由（1）知四边形AEDF是平行四边形，∠DAF=∠FDA
∴AF=DF.
∴平行四边AEDF为菱形.
【难度】一般
9.如图，是⊙的直径，是⊙上一点，是的中点，过点D作⊙O的切线，与AB，AC的延长线分别交于点E，F，连结AD．
（1）求证：AF⊥EF；
（2）若，AB=5，求线段BE的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
试题分析：（1）连接OD根据切线得出OD⊥EF，根据OA=OD得出∠1=∠3，根据弧的中点得出∠1=∠2，则∠2=∠3，说明OD∥AF,根据OD⊥EF得AF⊥EF；（2）.连接BD，根据tan∠CAD的值得出tan∠1的值，根据Rt△ADB得出BD和AD的长度，根据平行得出△EDO与△EFA相似，设BE=x，根据相似比得出x的值.
试题解析：（1）证明：连结OD．
∵直线EF与⊙O相切于点D， ∴OD⊥EF．
∵OA = OD，∴∠1=∠3．∵点为的中点， ∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴OD∥AF，∴AF⊥EF．
（2）解：连结BD．
∵，
∴
∵AB为⊙的直径，
∴AD⊥DB,
在Rt△ADB中，AB=5，∴BD=，AD=，
在Rt△AFD中，可得DF=2，AF=4，∵OD∥AF，∴△EDO∽△EFA，∴，
又∵OD=2.5，设BE=x，
∴，∴ ，即BE=．
【难度】一般
10．在芦淞服装批发市场，某种品牌的时装当季节将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为20元/件（第1周价格），并且每周价格上涨，如图示，从第6周开始到第11
周保持30元/件的价格平稳销售；从第12周开始，当季节即将过去时，每周下跌，直到第16周周末，该服装不再销售。
（1）求销售价格（元/件）与周次之间的函数关系式；
（2）若这种时装每件进价Z（元/件）与周次次之间的关系为Z＝（1≤≤16），且为整数，试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大？最大利润为多少？
【答案】（1）;
（2）当时，函数有最大值为.
【解析】
试题分析：
（1）依题意，可建立的函数关系式为：
,
（2）设销售利润为W，则W＝售价－进价
故W＝,
化简得W＝.
①当W＝时，∵≥0，函数随着增大而增大，∵1≤≤6
∴当时，W有最大值，最大值＝18.5.
②当W＝时，∵W＝，当≥8时，函数随增大而增大
∴在时，函数有最大值为.
③当W＝时，∵W＝，∵12≤≤16，当≤16时，函数随增大而减小，
∴在时，函数有最大值为18.
综上所述，当时，函数有最大值为.
【难度】较难
11.在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F.
（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；
（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，D仍与线段AC相交于点F.求证：；
（3）如图3，将（2）中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线交与点F，作DN⊥AC于点N，若DN=FN，求证：.
【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
试题分析：在四边形AEDF中，根据四边形内角和定理，得到∠AED=900，,
∵D为BC的中点，∴BD=CD .
又∵∠BAC=600，AB=AC. ∴△ABC为等边三角形.
∴∠ABD=∠ACD=600. 又∵AB=4 ∴BD=2 ∴BE=1
（2）取AB的中点G，连接DG . 易证：DG为△ABC的中位线，故DG=DC，∠BGD=∠C=60°.
又四边形AEDF的对角互补，故∠GED=∠DFC.∴△DEG≌△DFC, 故EG=CF.
∴BE+CF=BE+EG=BG=AB.
（3）取AB的中点G，连接DG , 同⑵，易证△DEG≌△DFC , 故EG=CF.
故BE-CF=BE-EG=BG=.
设在Rt△DCN中，CD=2x，DN=,
在Rt△DFN中，NF=DN=，故EG=CF=,
BE=BG+EG=DC+CF=2x+=,
故 BE+CF=，.
故.
【难度】困难
12.计算：.
【答案】1
【解析】
试题分析：根据绝对值、三角函数、负指数次幂和0次幂的计算法则求出各式的值，然后进行求和，得出答案.
试题解析：原式=2－++2－1=1.
【难度】容易
13.解方程：.
【答案】=1，.
【解析】
试题解析：去分母，得：x（3x－2）＋5（2x－3）＝4（2x－3）（3x－2），
化简，得：7－20x＋13＝0，解得：=1，
经检验：=1，是原方程的解.
【难度】一般
14.先化简，再求值：，其中a=，b=-.
【答案】－.
【解析】
试题分析：原式=.==,
当a=，b=－时，原式=－.
【难度】较易
15.如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE=CF.
（1）求证：△BOE ≌△DOF ；
（2）若BD=EF，连接DE、BF，判断四边形EBFD的形状，无需说明理由。
【答案】（1）见解析；（2）矩形
【解析】
试题分析：（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴BO=DO，AO=OC.
∵AE=CF,
∴AO－AE=OC－CF,
即OE=OF.
在△BOE和△DOF中，
∴△BOE≌△DOF（SAS）.
（2）∵△BOE≌△DOF,
∴BE=FD，∠OFD=∠OEB.
∵∠OFD=∠OEB,
∴BE∥FD,
∴四边形BEDF为平行四边形.
又∵BD=EF,
∴四边形BEDF为矩形.
【难度】一般
16.大学生小刘回乡创办小微企业，初期购得原材料若干吨，每天生产相同件数的某种产品，单件产品所耗费的原材料相同．当生产6天后剩余原材料36吨，当生产10天后剩余原材料30吨．若剩余原材料数量小于或等于3吨，则需补充原材料以保证正常生产．
（1）求初期购得的原材料吨数与每天所耗费的原材料吨数；
（2）若生产16天后，根据市场需求每天产量提高20%，则最多再生产多少天后必须补充原材料？
【答案】初期购得原材料45吨，每天所耗费的原材料为1.5吨；最多再生产10天.
【解析】
试题解析：（1）设初期购得原材料a吨，每天所耗费的原材料为b吨，
根据题意得：． 解得．
答：初期购得原材料45吨，每天所耗费的原材料为1.5吨.
（2）设再生产x天后必须补充原材料， 依题意得：45﹣16×1.5﹣1.5（1+20%）x≤3，
解得：x≥10．
答：最多再生产10天后必须补充原材料.
【难度】一般
17.某校为了了解学生家长对孩子使用手机的态度情况，随机抽取部分学生家长进行问卷调查，发出问卷140份，每位学生家长1份，每份问卷仅表明一种态度，将回收的问卷进行整理（假设回收的问卷都有效），并绘制了如下两幅不完整的统计图.
根据以上信息解答下列问题：
（1）回收的问卷数为 份，“严加干涉”部分对应扇形的圆心角的度数为 ；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）若将：“稍加询问”和“从来不管”视为“管理不严”，已知学校共1500名学生，请估计该校对孩子使用手机“管理不严”的家长大约有多少人？
【答案】（1）120. （2）见下图. （3）1375人.
【解析】
试题解析：（1）30÷25%=120 10÷120×360°=30° ∴回收的问卷数为120份，圆心角的度数为30°
（2）如下图：
（3）（30+80）÷120×1500=1375 ∴对孩子使用手机“管理不严”的家长大约有1375人.
【难度】一般
18.（1）如图1，纸片□ABCD中，AD=5，S□ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D的形状为（ ）
A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
（2）如图2，在（1）中的四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF=4，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′ 的位置，拼成四边形AFF′D.
①求证四边形AFF′D是菱形；
②求四边形AFF′D两条对角线的长.
【答案】（1）C. （2）①详见下面证明过程. ②和 .
【解析】
试题解析：（1）由平移知：AEDE′，∴四边形AEE′D是平行四边形，又AE⊥BC，∴∠AEE′=90°，
∴四边形AEE′D是矩形，∴C选项正确.
（2）①∵AFDF′， ∴四边形AFF′D是平行四边形，∵AE=3， EF=4 ，∠E=90°， ∴AF=5，
∵S□ABCD=AD·AE=15， ∴AD=5 ， ∴AD=AF ， ∴四边形AFF′D是菱形.
② 如下图， 连接AF′， DF ，
在Rt△AEF′中， AE=3， EF′=9， ∴AF′=
在Rt△DFE′中， FE′=1， DE′=AE=3， ∴DF=
∴四边形AFF′D两条对角线的长分别是和 .
【难度】一般
19.已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0.
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．
【答案】（1）a＜3. （2）a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3.
【解析】
试题解析：
（1）关于x的方程x2﹣2x+a﹣2=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．
（2）设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．
解答：（1）∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，
解得：a＜3．
∴a的取值范围是a＜3；
（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：
，
解得：，
则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3
【难度】一般
20.如图，已知直线与双曲线交于A（），B（）两点（A与B不重合），直线AB与轴交于P（），与轴交于点C.
（1）若A，B两点的坐标分别为（1，3），（3，y2）.求点P的坐标；
（2）若，点的坐标为（6，0），且.求两点的坐标；
（3）结合（1），（2）中的结果，猜想并用等式表示之间的关系（不要求证明）.
【答案】（1） （2） （3）
【解析】
试题解析：（1）把A（1，3）代入得：， 把B代入得：，∴B（3，1）.
把A（1，3），B（3，1）分别代入得：，解得：，
∴ ，令，得， ∴
（2）∵， ∴是的中点，由中点坐标公式知：，
∵两点都在双曲线上，∴，解得， ∴ .
作AD⊥于点D（如图）， 则△∽△，
∴，即， 又，
∴ ，∴.
∴
（3）结论：.
理由如下：∵A（），B（），∴， ∴
令，得 ，∵， ∴
=，即
【难度】一般
21 .如图，⊙O是△ABC的外接圆，P是⊙O外的一点，AM是⊙O的直径，∠PAC=∠ABC
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）连接PB与AC交于点D，与⊙O交于点E，F为BD上的一点，若M为的中点，且∠DCF=∠P，求证：.
【答案】（1）详见下面证明过程. （2）详见下面证明过程.
【解析】
试题解析：证明：（1）连接MC。
∵AM为⊙O直径,
∴∠ACM=90°,
∴∠AMC+∠MAC =90°.
又∵∠AMC=∠ABC,
∴∠ABC+∠MAC=90°.
又∵∠ABC=∠PAC,
∴∠PAC+∠MAC=90°,
∴∠PAM=90°，即MA⊥AP,
∴AP为⊙O的切线.
（2）连接AE.
∵M为中点，AM为⊙O的直径,
∴AM⊥BC.
又∵AM⊥AP,
∴AP∥BC,
∴△ADP∽△CDB （用的是两条直线被一组平斜线所截，所得对应线段成比例）.
.
∵AP//BC,
∴∠CBE =∠P.
又∵∠CBE=∠CAE,
∴∠P=∠CAE.
又∵∠P=∠DCF,
∴∠DCF=∠CAE.
∵∠ADE=∠CDF,
∴△ADE∽△CDF,
.
综上，可证得：.
【难度】一般
22.我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线， AF⊥BE ， 垂足为P.像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”.设，，.
特例探索
（1）如图1，当∠=45°，时，= ， ；
如图2，当∠=30°，时， = ， ；
归纳证明
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式；
拓展应用
（3）如图4，在□ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG， AD= ，AB=3.求AF的长.
【答案】（1） . ， .
（2） （3）
【解析】
试题解析：（1）如图1，连接EF，则EF是△ABC的中位线，
∴EF==，
∵∠ABE=45°，AE⊥EF ∴△ABP是等腰直角三角形，
∵EF∥AB ，∴△EFP也是等腰直角三角形，
∴AP=BP=2 ，EP=FP=1， ∴AE=BF=，
∴.
如图2，连接EF，则EF是△ABC的中位线.
∵∠ABE=30°，AE⊥BF，AB=4，
∴AP=2， BP=，
∵EF， ∴PE=，PF=1，
∴AE=， BF=
∴ ， .
（2）
如图3，连接EF， 设AP=m ，BP=n.，则
∵EF， ∴PE=BP=n ， PF=AP=m，
∴ ， ，
∴，
∴
（3）
如上图，延长EG，BC交于点Q， 延长QD，BA交于点P，延长QE，BE分别交PB，PQ于点M，N，连接EF.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴ADBC， ABCD，
∵E，G是分别是AD，CD的中点，∴△EDG≌△QCG≌△EAM， ∴CQ=DE=， DG=AM=1.5，∴BM=4.5.
∵，∴，∴BP=9， ∴M是BP的中点；
∵ADFQ， ∴四边形ADQF是平行四边形，∴AF∥PQ，
∵E，F分别是AD，BC的中点，∴AEBF， ∴四边形ABFE是平行四边形，∴OA=OF，
由AF∥PQ得：
， ∴， ∴PN=QN， ∴N是PQ的中点；
∴△BQP是“中垂三角形”， ∴，
∴， ∴
【难度】较难
23.已知抛物线E1：y=x2经过点A（1，m），以原点为顶点的抛物线E2经过点B（2，2），点A、B关于y 轴的对称点分别为点A′，B′．
（1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；
（2）如图1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连接OP并延长与抛物线E2相交于点P′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比．
【答案】（1）m=1；y=x2；
（2）存在，点Q的坐标为（2，4）与（，3）；
（3）.
【解析】
试题解析：（1）∵抛物线E1经过点A（1，m）， ∴m=12=1．
∵抛物线E2的顶点在原点，可设它对应的函数表达式为y=ax2（a≠0）， 又∵点B（2，2）在抛物线E2上，
∴2=a×22， 解得：a=， ∴抛物线E2所对应的二次函数表达式为y=x2．
（2）如图1，假设在第一象限内，抛物线E1上存在点Q，使得△QBB′为直角三角形，
由图象可知直角顶点只能为点B或点Q．
①当点B为直角顶点时，过B作QB⊥BB′交抛物线E1于Q，
则点Q与B的横坐标相等且为2，将x=2代入y=x2得y=4， ∴点Q的坐标为（2，4）．
②当点Q为直角顶点时，则有QB′2+QB2=B′B2，过点Q作GQ⊥BB′于G， 设点Q的坐标为（t，t2）（t＞0），
则有（t+2）2+（t2﹣2）2+（2﹣t）2+（t2﹣2）2=4， 整理得：t4﹣3t2=0，
∵t＞0，∴t2﹣3=0，解得t1=，t2=﹣（舍去）， ∴点Q的坐标为（， 3），
综合①②，存在符合条件的点Q坐标为（2，4）与（，3）；
（3）如图2，过点P作PC⊥x轴，垂足为点C，PC交直线AA'于点E.
【难度】较难
24.已知：线段，直线外一点A．求作：Rt△ABC，使直角边为AC（AC⊥，垂足为C）斜边AB＝c．
【答案】
【解析】
试题分析：首先作出AB⊥l,然后以A为圆心，c的长度为半径画弧，于直线l的交点就是点C.
【难度】较易
25．解不等式： ，并把解集表示在数轴上.
【答案】x＞4．
【解析】
试题分析：先去分母，再移项，合并同类项，把解集在数轴上表示出来即可．
解：去分母得，4x﹣1﹣3x＞3，
移项、合并同类项得，x＞4．
在数轴上表示为：
．
【难度】较易
26．已知，求代数式的值.
【答案】3．
【解析】
试题分析：原式利用完全平方公式及单项式乘以多项式法则计算，将已知等式代入计算即可求出值．
解：原式=a2﹣2a+1+2ab+b2+2a=（a+b）2+1，
把a+b=﹣代入得：原式=2+1=3．
【难度】较易
27.小丽为了测旗杆AB的高度，小丽眼睛距地图1.5米，小丽站在C点，测出旗杆A的仰角为30o，小丽向前走了10米到达点E，此时的仰角为60o，求旗杆的高度。
【答案】+5
【解析】
试题分析：设DF的延长线与AB相交于点G，根据题意得出∠ADF=30°，∠AFG=60°，DF=10，根据三角形外角的性质得出AF=DF=10，根据Rt△AFG的三角函数求出AG的长度，然后根据AB=AG+BG求出AB的长度.
解：设DF的延长线与AB相交于点G 根据题意得：∠ADF=30° ∠AFG=60° DF=10
∴∠DAF=∠AFG－∠ADF=60°－30°=30° ∴∠ADF=∠DAF ∴DF=AF=10
∴AG=AF·sin∠AFG=10×=5 ∴AB=AG+BG=+5（米）
∴旗杆的高度为（+5）米.
【难度】一般
28．我区某学校为了提升学生的体艺素养，准备开设空手道、素描、剪纸三项活动课程，为了解学生对各项活动的兴趣，随机抽取了部分学生进行调查（每人从中必须选取一项，且只能选一项），将调查结果绘制成下面两个统计图，请你结合图中信息解答问题.
（1）将条形统计图补充完整；
（2）本次抽样调查的样本容量是____________；
（3）已知该校有1200名学生，请你根据样本估计全校学生中喜欢剪纸的人数.
【答案】（1）
（2）100.（3）360人.
【解析】
试题分析：（1）抽取女生总人数10÷20℅=50，素描的女生有50-10-16=24（人）
（2）样本容量=抽取的学生总数=30+10+6+24+14+16=100
（3）∵样本中喜欢剪纸的人数为30人，样本容量为100，
∴估计全校学生中喜欢剪纸的人数：1200×=360人．
答：全校学生中喜欢剪纸的有360人。
【难度】一般
29.如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与y轴交于点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）点是轴上一点，且的面积是面积的2倍，求点的坐标．
【答案】（1）y=-3x+3.
（2）（4,0）或（-4,0）.
【解析】
试题分析：（1）∵ 点，在反比例函数的图象上，
∴m=6,n=2.
∴， ∵一次函数的图象过，两点，
∴ ∴
∴一次函数的解析式为y=-3x+3.
（2）∵一次函数y=-3x+3与y轴交点C（0，3）, 且B（2，-3）
∴面积为3.
∵是轴上一点，且的面积是面积的2倍，
∴设（a,0）,
∴，解得，.
∴点的坐标为（4,0）或（-4,0）.
【难度】一般
30．如图，AB为⊙O的直径，M为⊙O外一点，连接MA与⊙O交于点C，连接MB并延长交⊙O于点D，经过点M的直线l与MA所在直线关于直线MD对称．作BE⊥l于点E，连接AD，DE．
（1）依题意补全图形；
（2）在不添加新的线段的条件下，写出图中与∠BED相等的角，并加以证明．
【答案】（1）作图见试题解析；（2）证明见试题解析．
【解析】
试题分析：（1）连结两条线段即可；
（2）连结BC、CD，如图，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，则BC⊥AC，再根据轴对称的性质得到MD平分∠EMC，于是根据角平分线的性质得BC=BE，所以可判断点C与点E关于直线MD对称，得到△BCD≌△BED，则∠BCD=∠BED，再由圆周角定理得∠BCD=∠BAD，于是得到∠BAD=∠BED．
试题解析：（1）如图，
（2）∠BAD=∠BED．理由如下：连结BC、CD，如图，∴AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∵直线l与MA所在直线关于直线MD对称，∴MD平分∠EMC，∴BC=BE，∴点C与点E关于直线MD对称，∴△BCD≌△BED，∴∠BCD=∠BED，∵∠BCD=∠BAD，∴∠BAD=∠BED．
【难度】一般
31．阅读下面的材料：
小敏在数学课外小组活动中遇到这样一个问题：
如果，β都为锐角，且，，求的度数．
小敏是这样解决问题的：如图1，把，放在正方形网格中，使得，，且BA，BC在直线BD的两侧，连接AC，可证得△ABC是等腰直角三角形，因此可求得=∠ABC = °．
请参考小敏思考问题的方法解决问题：
如果，都为锐角，当，时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角，画出∠MON=，由此可得=______°．
【答案】45，45．
【解析】
试题分析：（1）证明△ABC时等腰直角三角形即可得到结论，∴∠ABC=450
（2）构造图形如图，可证△MON为等腰直角三角形，即可得到结论．
画图见图6．∴=45°．
考点：1．锐角三角函数的定义；2．作图题．
【难度】较难
32.如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m。
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
【答案】（1），拱顶D到地面OA的距离为10米；
（2）可以通过；
（3）4.
【解析】
试题分析：根据点B和点C在函数图象上，利用待定系数法求出b和c的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0）），然后求出当x=2或x=10时y的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x的值，然后进行做差得出最小值.
解：（1）由已知点B（0，4）,C（3，）在抛物线上
∴，解得
∴ ∴当时，y最大=10.
（2）由题知车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0））
当时，，所以可以通过
（3），即，可得，解得
答：两排灯的水平距离最小是.
【难度】较难
33.在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4， D，E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0<α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．
（1）如图1，当α=90°时，线段BD1的长等于 ，线段CE1的长等于 ；（直接填写结果）
（2）如图2，当α=135°时，求证：BD1= CE1，且BD1⊥CE1；
（3）①设BC的中点为M，则线段PM的长为 ；②点P到AB所在直线的距离的最大值为 ．（直接填写结果）
【答案】（1）BD1 = 2,CE1=2;
（2）见下面解析证明过程；
（3）①2， ② 1+．
【解析】
试题分析：（1）利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理分别得出BD1的长和CE1的长；
（2）根据旋转的性质得出，∠D1AB=∠E1AC=135°，进而求出△D1AB≌△E1AC（SAS），即可得出答案；
（3）①直接利用直角三角形的性质得出PM=BC得出答案即可；
②首先作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，则D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，
此时四边形AD1PE1是正方形，进而求出PG的长．
解：（1）∵∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是边AB，AC的中点，
∴AE=AD=2，
∵等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°），
∴当α=90°时，AE1=2，∠E1AE=90°，
∴BD1==2，E1C==2；
故答案为：2，2；
（2）证明：当α=135°时，如图2，
∵Rt△AD1E是由Rt△ADE绕点A逆时针旋转135°得到，
∴AD1=AE1，∠D1AB=∠E1AC=135°，
在△D1AB和△E1AC中
∵，
∴△D1AB≌△E1AC（SAS），
∴BD1=CE1，且∠D1BA=∠E1CA，
记直线BD1与AC交于点F，
∴∠BFA=∠CFP，
∴∠CPF=∠FAB=90°，
∴BD1⊥CE1；
（3）解：①∵∠CPB=∠CAB=90°，BC的中点为M，
∴PM=BC，
∴PM==2，
故答案为：2；
②如图3，作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，
∵D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，
当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，
此时四边形AD1PE1是正方形，PD1=2，则BD1==2，
故∠ABP=30°，
则PB=2+2，
故点P到AB所在直线的距离的最大值为：PG=1+．
故答案为：1+．
【难度】较难
34．给出如下规定：两个图形G1和G2，点P为G1上任一点，点Q为G2上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G1和G2之间的距离．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．
（1）点A的坐标为，则点和射线OA之间的距离为________，点和射线OA之间的距离为________；
（2）如果直线和双曲线之间的距离为，那么k= ；（可在图1中进行研究）
（3）点E的坐标为（1，），将射线OE绕原点O逆时针旋转60(，得到射线OF，在坐标平面内所有和射线OE，OF之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M．
①请在图2中画出图形M，并描述图形M的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示）
②将射线OE，OF组成的图形记为图形W，抛物线与图形M的公共部分记为图形N，请直接写出图形W和图形N之间的距离．
【答案】（1）3，；（2）－1；（3）①图形见试题解析；②．
【解析】
试题分析：（1）根据两个图形G1和G2之间的距离的定义即可得到结论；
（2）由于两个图形间的距离为，故把直线向上平移2个单位得到直线，则方程有两个相等的实数根，即可解出k的值；
（3）①根据题意画出图形即可；
②图形W和图形N之间的距离为与的交点到坐标原点的距离，交点为（，），故可得到距离．
试题解析：（1）3，；
（2）(1；
（3）①如图9，过点O分别作射线OE、OF的垂线OG、OH，则图形M为：y轴正半轴，∠GOH的边及其内部的所有点（图中的阴影部分）．说明：（画图2分，描述1分）（图形M也可描述为：y轴正半轴，直线下方与直线下方重叠的部分（含边界））
②．
【难度】困难
35．计算：
【答案】．
【解析】
试题分析：原式==．
【难度】容易
36.解方程：－= 2．
【答案】x=3．
【解析】
试题分析：按照去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可
解：+=2
1+3=2（x-1）
4=2x-2
6=2x
x=3
经检验，x=3是方程得解。
【难度】较易
37．先化简，再求值： ，其中x满足．
【答案】
【解析】
试题分析：首先将分式的除法改成乘法，进行约分化简，然后根据方程求出x的值，将x的值代入化简后的式子进行计算．
解：原式===．
又∵，， ∴． 当时，原式=．
【难度】较易
38.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD＝3 ，AB＝5，求的值．
【答案】．
【解析】
试题分析：根据平行线分线段成比例定理得出=，再根据AD=3，AB=5，即可得出答案．
∵DE∥BC，∴=，∵AD=3，AB=5，∴=．
【难度】较易
39．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
【答案】（1）y=﹣2x+8（2）0＜x＜1或x＞3. （3）8.
【解析】
试题分析：（1）先把（m，6）、B（n，3）代入反比例函数，可求m、n的值，即可得A、B的坐标，然后把AB两点坐标代入一次函数，可得关于k、b的二元一次方程组，解可得k、b的值，从而可得一次函数的解析式；
（2）根据图象可知当0＜x＜1或x＞3时，反比例函数的图象在一次例函数的图象上方，即一次函数y的值小于反比例函数y的值；
（3）分别求出一次函数与x、y轴的交点坐标，然后可求面积为．
解析：（1）分别把A（m，6），B（3，n）代入
得6m=6，3n=6，
解得m=1，n=2，
所以A点坐标为（1，6），B点坐标为（3，2），分别把
A（1，6），B（3，2）代入y=kx+b得
，
解得，
所以一次函数解析式为y=﹣2x+8；
（2）当0＜x＜1或x＞3时，；
（3）如图，当x=0时，y=﹣2x+8=8，则C点坐标为（0，8），
当y=0时，﹣2x+8=0，解得x=4，则D点坐标为（4，0），
所以 =×4×8﹣×8×1﹣×4×2=8．
【难度】一般
40．列方程或方程组解应用题：
为响应市政府“绿色出行”的号召，小张上班由自驾车改为骑公共自行车．已知小张家距上班地点10千米．他用骑公共自行车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的方式平均每小时行驶的路程少45千米，他从家出发到上班地点，骑公共自行车方式所用的时间是自驾车方式所用的时间的4倍．小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶多少千米?
【答案】
【解析】
试题分析：设小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶x千米，根据题意列方程得
解得：
经检验是原方程的解且符合实际意义.
答：小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶15千米.
【难度】一般
41．如图，在□ABCD中，E为BC边上的一点，将△ABE沿AE翻折得到△AFE，点F恰好落在线段DE上．
（1）求证：∠FAD=∠CDE；
（2）当AB=5，AD=6，且时，求线段EC的长．
【答案】（1）见解析；（2）EC=．
【解析】
试题分析：
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B =∠ADC.
∵将△BAE沿AE翻折得到△FAE，点F恰好落在线段DE上，
∴△ABE≌△AFE．∴∠B=∠AFE.
∴∠AFE=∠ADC．∵∠FAD=∠AFE-∠1，∠CDE =∠ADC -∠1，
∴∠FAD=∠CDE．
（2）过点D作DG⊥BE的延长线于点G．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，CD =AB=5.
∴∠2=∠B，∠3=∠EAD．
由（1）可知，△ABE≌△AFE，∴∠B=∠AFE， ∠3=∠4．∴∠4=∠EAD．∴ED=AD=6.
在Rt△CDG中，∴tan∠2= tan∠ABC =．∴DG=2CG．
∵ ，∴.∴CG=， DG=2．
在Rt△EDG中， ∵ ，∴EG=4．∴EC=．
【难度】一般
42．2014年1月10日，国内成品油价格迎来了首次降低，某调查员就“汽油降价对用车的影响”，这一问题向有机动车的私家车车主进行了问卷调查，并制作了统计图表的一部分如下：
车主的态度
百分比
A. 没有影响
4%
B. 影响不大
p
C. 有影响
52%
D. 影响很大
m
E. 不关心这个问题
10%
（1）结合上述统计图表可得：p= ，m= ；
（2）根据以上信息，补全条形统计图；
（3）2014年1月末，某市有机动车的私家车车主约200 000人，根据上述信息，请你估计一下持有“影响不大”这种态度的车主约有多少人？
【答案】（1）p=24%，m=10%；
（2）补全条形统计图，如下图；
（3）48000人.
【解析】
试题分析：（1）根据扇形统计图可得p=24%，m=1-24%-52%-10%-4%=10%；（2）根据E类的频数和百分比求出总人数=400÷10%=4000，然后求出B类和D类的人数分别为B：960人，D：400人，然后可补全条形统计图；（3）把P的值代入200000p计算即可.
解析：（1）24%，10%；
（2）B：960人，D：400人；补全条形统计图如图所示：
（3）200000×24%=48000（人），于是，可以估计持有“影响不大，还可以接受”这种态度的车主约有48000人。
【难度】一般
43．如图，已知等边△ABC，AB=16，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连结GD．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）求FG的长；
（3）求tan∠FGD的值．
【答案】（1）见解析；（2）6；（3）．
【解析】
试题分析：（1）连结OD，根据等边三角形的性质得∠C=∠A=∠B=60°，而OD=OB，所以∠ODB=60°=∠C，于是可判断OD∥AC，又DF⊥AC，则OD⊥DF，根据切线的判定定理可得DF是⊙O的切线；
（2）先证明OD为△ABC的中位线，得到BD=CD=6．在Rt△CDF中，由∠C=60°，得∠CDF=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得CF=CD=3，所以AF=AC-CF=9，然后在Rt△AFG中，根据正弦的定义计算FG的长；
（3）过D作DH⊥AB于H，由垂直于同一直线的两条直线互相平行得出FG∥DH，根据平行线的性质可得∠FGD=∠GDH．解Rt△BDH，得BH=BD=3，DH=BH=3．解Rt△AFG，得AG=AF=，则GH=AB-AG-BH=，于是根据正切函数的定义得到tan∠GDH=，则tan∠FGD可求．
解析：（1）证明：连结OD，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠C=∠A=∠B=60°，
而OD=OB，
∴△ODB是等边三角形，
∴∠ODB=60°，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；
（2）∵OD∥AC，点O为AB的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴BD=CD=8．
在Rt△CDF中，∠C=60°，
∴∠CDF=30°，
∴CF=CD=4，
∴AF=AC﹣CF=16﹣4=12，
在Rt△AFG中，
∵∠A=60°，
∴FG=AF×sinA=12×=6；
（3）过D作DH⊥AB于H．
∵FG⊥AB，DH⊥AB，
∴FG∥DH，
∴∠FGD=∠GDH．
在Rt△BDH中，∠B=60°，
∴∠BDH=30°，
∴BH=BD=4，DH=BH=4．
在Rt△AFG中，∵∠AFG=30°，
∴AG=AF=6，
∵GH=AB﹣AG﹣BH=16﹣6﹣4=6，
∴tan∠GDH=，
∴tan∠FGD=tan∠GDH=．
【难度】一般
44．已知点A（－2，n）在抛物线上．
（1）若b＝1，c＝3，求n的值；
（2）若此抛物线经过点B（4，n），且二次函数的最小值是－4，请画出点
P（，）的纵坐标随横坐标变化的图象，并说明理由．
【答案】（1）5；（2）作图见试题解析，理由见试题解析．
【解析】
试题分析：（1）代入b=1，c=3，以及A点的坐标即可求得n的值；
（2）根据题意求得抛物线的解析式为，从而求得点P（，）的纵坐标随横坐标变化的关系式为，然后利用5点式画出函数的图象即可．
解析：（1）∵b=1，c=3，A（﹣2，n）在抛物线上，∴n=4+（﹣2）×1+3=5；
（2）∵此抛物线经过点A（﹣2，n），B（4，n），∴抛物线的对称轴，∵二次函数的最小值是﹣4，∴抛物线的解析式为，令，∴点P（，）的纵坐标随横坐标变化的关系式为，点P（，）的纵坐标随横坐标变化的如图：
【难度】一般
45．已知点P是∠MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使∠APB+∠MON=1800．
（1）利用图1，求证：PA=PB；
（2）如图2，若点是与的交点，当时，求PC与PB的比值；
（3）若∠MON=60°，OB=2，射线AP交ON于点，且满足且，请借助图3补全图形，并求的长．
【答案】（1）在OB上截取OD=OA，连接PD，∵OP平分∠MON，∴∠MOP=∠NOP．
又∵OA=OD，OP=OP，∴△AOP≌△DOP．∴PA=PD，∠1=∠2．∵∠APB+∠MON=180°，∴∠1+∠3=180°．
∵∠2+∠4=180°，∴∠3=∠4．∴PD=PB．∴PA=PB．
（2）；（3）+1．
【解析】
试题分析：在在OB上截取OD=OA，连接PD，根据角平分线得出∠MOP=∠NOP，根据OA=OD，OP=OP得出△AOP和△DOP全等得到PA=PD，即∠1=∠2，根据∠APB+∠MON=180°得出∠1+∠3=180°，根据∠2+∠4=180°得出∠3=∠4，即PD=PB，从而得出PA=PB；根据题意得出△PBC和△POB相似，从而得出线段的比值；首先根据题意画出图形，然后BE⊥OP交OP于E，从而求出OE和EP的长度，从而得出OP的长度．
试题解析：（1）在OB上截取OD=OA，连接PD，∵OP平分∠MON，∴∠MOP=∠NOP．
又∵OA=OD，OP=OP，∴△AOP≌△DOP．∴PA=PD，∠1=∠2．∵∠APB+∠MON=180°，∴∠1+∠3=180°．
∵∠2+∠4=180°，∴∠3=∠4．∴PD=PB．∴PA=PB．
（2）∵PA=PB，∴∠3=∠4．∵∠1+∠2+∠APB=180°，且∠3+∠4+∠APB=180°，
∴∠1+∠2=∠3+∠4．∴∠2=∠4．∵∠5=∠5，∴△PBC∽△POB．
∴
（3）作BE⊥OP交OP于E，∵∠AOB=600，且OP平分∠MON， ∴∠1=∠2=30°．
∵∠AOB+∠APB=180°，∴∠APB=120°∵PA=PB，∴∠5=∠6=30°∵∠3+∠4=∠7，
∴∠3+∠4=∠7=（180°30°）÷2=75°．
∵在Rt△OBE中，∠3=600，OB=2
∴∠4=150，OE=，BE=1 ∴∠4+∠5=450， ∴在Rt△BPE中，EP=BE=1∴OP=
【难度】较难
46.如图1，在平面直角坐标系内，已知点，，，，记线段为，线段为，点是坐标系内一点.给出如下定义：若存在过点的直线l与，都有公共点，则称点是联络点．
例如，点是联络点．
（1）以下各点中，__________________是联络点（填出所有正确的序号）；
①；② ；③.
（2）直接在图1中画出所有联络点所组成的区域，用阴影部分表示；
（3）已知点M在y轴上，以M为圆心，r为半径画圆，⊙M上只有一个点为联络点，①若，求点M的纵坐标；
②求的取值范围．
【答案】（1）②，③
（2）所有联络点所组成的区域为图中阴影部分（含边界）．
（3）①或2
②
【解析】
试题分析：
（1）②，③是联络点．
（2）所有联络点所组成的区域为图中阴影部分（含边界）．
（3）① ∵点M在y轴上，⊙M上只有一个点为联络点，阴影部分关于y轴对称，
∴⊙M与直线AC相切于（0，0），
或与直线BD相切于（0，1），如图所示．
又∵⊙M的半径，
∴点M的坐标为（0，）或（0，2）．
经检验：此时⊙M与直线AD，BC无交点，⊙M上只有一个点为联络点，符合题意．
∴点M的坐标为（0，）或（0，2）．∴点M的纵坐标为或2．
②阴影部分关于直线对称，故不妨设点M位于阴影部分下方．
∵点M在y轴上，⊙M上只有一个点为联络点，
阴影部分关于y轴对称，
∴⊙M与直线AC相切于O（0，0），且⊙M与直线AD相离．
作ME⊥AD于E，设AD与BC的交点为F，
∴MO=r，ME>r，F（0，）．
在Rt△AOF中，∠AOF=90°，AO=1，，
∴，．
在Rt△FEM中，∠FEM=90°，FM=FO+OM=r+，，
∴．
∴．又∵，
∴．
【难度】困难
47．先化简，再求值：，其中
【答案】，．
【解析】
=
【难度】容易
48．解方程和不等式组：
（1）
（2）
【答案】（1）．（2）
【解析】
试题分析：（1）观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．（2）分别解出两个不等式的解集，再去公共部分．
试题解析：（1）方程两边同乘以，得．解这个方程，得．检验：将代入知，．所以是原方程的根．
（2）
所以，不等式组的解集为．
【难度】容易
49．在“全民读书月活动中，小明调查了班级里40名同学本学期计划购买课外书的花费情况，并将结果绘制成如图所示的统计图．请根据相关信息，解答下列问题：（直接填写结果）
（1）这次调查获取的样本数据的众数是 ；
（2）这次调查获取的样本数据的中位数是 ；
（3）若该校共有学生1000人，根据样本数据，估计本学期计划购买课外书花费50元的学生有 人．
【答案】（1）30元．（2）50元．（3）250 ．
【解析】（1）众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中30元出现12次，出现的次数最多，故这次调查获取的样本数据的众数是30元．
（2）中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．因此，
∵“样本数据共40，中位数是按从小到大排列后第20，21个数据的平均数，而第20，21个数据都在50元的一组，
∴这次调查获取的样本数据的中位数是50元．
（3）∵，
∴估计本学期计划购买课外书花费50元的学生有250人．
【难度】较易
50．用4张相同的小纸条做成甲、乙、丙、丁4支签，放在一个盒子中，搅匀后先从盒子中任意抽出1支签（不放回），再从剩下的3支签中任意抽出1支签。
（1）用树状图或列表格等方法列出所有可能出现的结果；
（2）求抽出的两支签中，1支为甲签、1支为丁签的概率。
【答案】
（1）
甲
乙
丙
丁
甲
甲乙
甲丙
甲丁
乙
乙甲
乙丙
乙丁
丙
丙甲
丙乙
丙丁
丁
丁甲
丁乙
丁丙
（2）
【解析】
（1）
甲
乙
丙
丁
甲
甲乙
甲丙
甲丁
乙
乙甲
乙丙
乙丁
丙
丙甲
丙乙
丙丁
丁
丁甲
丁乙
丁丙
（2）不放回抽签，抽到1支甲签、1支丁签的可能性为2，总出现的可能性为12．
故其概率为：．
【难度】一般
51．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE=AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE=CD；
（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，求AE的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）证明：在菱形ABCD中，OC=AC．
∴DE=OC．
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵AC⊥BD，
∴平行四边形OCED是矩形．
∴OE=CD．
（2）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴AC=AB=2．
∴在矩形OCED中，
CE= OD=．
在Rt△ACE中，
AE=．
【难度】一般
52．已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示．小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，付费9元；中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12．6元．若该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费．
（1）求m，n的值，并直接写出车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式；
（2）如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费15元，在光明电影院看电影花费25元．问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？为什么？
【答案】
（1）m=9，n=1．8，y=1．8x+3．6(x>3)；（2）不够．
【解析】
（1）由题意可知m=9，则n=(12．6-9)÷(5-3)=1．8元/公里，则
y=1．8(x-3)+9，即y=1．8x+3．6(x>3)．
（2）从光明电影院到光明中学用x=2+5=7公里，则乘车费用y=1．8×7+3．6=16．2元，共花费9+12．6+15+25+16．2=77．8元，因为77．8>75，所以小张剩下的现金不够乘出租车返回。
【难度】一般
53．如图，在⊙中，为直径，，弦与交于点，过点分别作⊙的切线交于点，且GD与的延长线交于点．
（1）求证：；
（2）已知：，⊙的半径为，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）证明：连结，如图．
∵为⊙的切线，为半径，
∴．
∴，即．
∵，
∴．
∴．
而，
∴．
∴．
∵，
∴．
（2）解：∵，⊙的半径为，
∴．
∵，
∴．
在中，，设，则，．
∵，
∴，解得．
∴，．
∵为⊙的切线，为半径，为⊙的切线，
∴，．
∴．
在中，设，则．
∵．
∴，解得，．
∴．
【难度】一般
54．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，DE∥BC分别交AB于D，交AC于E．已知CD⊥BE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值．
小明发现，过点E作EF∥DC，交BC延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
请回答：BC+DE的值为_______．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，已知□ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC=BF=DF，求∠AGF的度数．
【答案】，60°．
【解析】
解：BC＋DE的值为．
解决问题：
连接AE，CE，如图．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB // DC．
∵四边形ABEF是矩形，
∴AB // FE，BF＝AE．
∴DC // FE．
∴四边形DCEF是平行四边形．
∴ CE // DF．
∵AC＝BF＝DF，
∴AC＝AE＝CE．
∴△ACE是等边三角形．
∴∠ACE＝60°．
∵CE∥DF，
∴∠AGF＝∠ACE＝60°．
【难度】较难
55．某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本（单位：元）、销售价（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系．
（1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；
（2）求线段AB所表示的与x之间的函数表达式；
（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；（2）y=﹣0．2x+60（0≤x≤90）；（3）当该产品产量为75kg时，获得的利润最大，最大值为2250．
【解析】
试题分析：（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；
（2）根据线段AB经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；
（3）利用总利润=单位利润×产量列出有关x的二次函数，求得最值即可．
试题解析：（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；
（2）设线段AB所表示的与x之间的函数关系式为，∵的图象过点（0，60）与（90，42），∴，∴解得：，
∴这个一次函数的表达式为：y=﹣0．2x+60（0≤x≤90）；
（3）设与x之间的函数关系式为，
∵经过点（0，120）与（130，42），∴，解得：，
∴这个一次函数的表达式为（0≤x≤130），
设产量为xkg时，获得的利润为W元，
当0≤x≤90时，W==，
∴当x=75时，W的值最大，最大值为2250；
当90≤x130时，W==，
∴当x=90时，W=，
由﹣0．6＜0知，当x＞65时，W随x的增大而减小，∴90≤x≤130时，W≤2160，
因此当该产品产量为75kg时，获得的利润最大，最大值为2250．
【难度】较难
56．对于平面直角坐标系xOy中的点P和线段AB，给出如下定义：在线段AB外有一点P，如果在线段AB上存在两点C、D，使得∠CPD=90°，那么就把点P叫做线段AB的悬垂点．
（1）已知点A（2，0），O（0，0）
①若，D（1，1），E（1，2），在点C，D，E中，线段AO的悬垂点是______；
②如果点P（m，n）在直线上，且是线段AO的悬垂点，求的取值范围；
（2）如下图是帽形M（半圆与一条直径组成，点M是半圆的圆心），且圆M的半径
是1，若帽形内部的所有点是某一条线段的悬垂点，求此线段长的取值范围．
【答案】（1）①C，D；②；（2）
【解析】
（1）①线段AO的悬垂点是C，D；
②以点D为圆心，以1为半径做圆，
设与⊙D 交于点B，C
与x轴，y轴的交点坐标为（1，0），（0，-1）
∴∠ODB=45°
∴DE=BE
在Rt△DBE中，
由勾股定理得：DE=
∴
（2）设这条线段的长为a
①当时，如图1，凡是⊙D外的点不满足条件；
②当时，如图2，所有的点均满足条件；
③当时，如图3，所有的点均满足条件；
综上所述：
【难度】困难
57．
（1）计算：；
（2）解分式方程：．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）利用负整数整数幂的性质以及特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质分别化简求出即可；
（2）利用解分式方程的解法去分母求出即可．
试题解析：（1）原式==；
（2）去分母得：，解得：，检验：当时，，故是原方程的根．
【难度】容易
58．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D.
（1）求弧BC的长；
（2）求弦BD的长.
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）连接OC，根据直径所对的圆周角是直角，求得∠ACB=∠ADB=90°，然后根据求出∠BAC=60°，再根据圆周角定理可求得∠BOC=120°，然后根据弧长公式可求弧BC；
（2）连接OD，根据角平分线的性质可知∠ACD=∠BCD，因此根据圆周角定理可得∠AOD=∠BOD，再由等弧所对的弦相等，得AD=BD，进而知△ADB是等腰直角三角形，然后根据45°角的锐角三角函数可求得BD的长.
试题解析：解：（1）连接OC.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°.
在Rt△ABC中，
∵cos∠BAC=，
∴∠BAC=60°，
∴∠BOC=2∠BAC =120°.
∴弧BC的长为.
（2）连接OD.
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠AOD=∠BOD，
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠ABD=45°
在Rt△ABD中，BD=.
【难度】较易
59．某厂制作甲、乙两种环保包装盒。已知同样用6m的材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少2个，且制成一个甲盒比制作一个乙盒需要多用20%的材料。
（1）求制作每个甲盒、乙盒各用多少材料？
（2）如果制作甲、乙两种包装盒3000个，且甲盒的数量不少于乙盒数量的2倍，那么请写出所需材料总长度与甲盒数量之间的函数关系式，并求出最少需要多少米材料。
【答案】甲盒用0．6米材料；制作每个乙盒用0．5米材料；l=0．1n+1500,1700．
【解析】
试题分析：首先设制作每个乙盒用米材料，则制作甲盒用（1+20%）米材料，根据乙的数量－甲的数量=2列出分式方程进行求解；根据题意得出n的取值范围，然后根据l与n的关系列出函数解析式，根据一次函数的增减性求出最小值．
试题解析：（1）设制作每个乙盒用米材料，则制作甲盒用（1+20%）米材料
由题可得： 解得（米）
经检验是原方程的解，所以
答：制作每个甲盒用0．6米材料；制作每个乙盒用0．5米材料
（2）由题 ∴
∵，∴，∴当时，
【难度】一般
60．根据某网站调查，2014年网民们最关注的热点话题分别有：消费、教育、环保、反腐及其他共五类．根据调查的部分相关数据，绘制的统计图表如下：
根据所给信息解答下列问题：
（1）请补全条形统计图并在图中标明相应数据；
（2）若某市约有880万人口，请你估计最关注环保问题的人数约为多少万人？
（3）在这次调查中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题，现准备从这四人中随机抽取两人进行座谈，试用列表或树形图的方法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．
【答案】
（1）
（2）88；（3）．
【解析】
试题分析：（1）根据关注消费的人数是420人，所占的比例式是30%，即可求得总人数，然后利用总人数乘以关注教育的比例求得关注教育的人数；
（2）利用总人数乘以对应的百分比即可；
（3）利用列举法即可求解即可．
试题解析：（1）调查的总人数是：420÷30%=1400（人），关注教育的人数是：1400×25%=350（人）．
；
（2）880×10%=88万人；
（3）画树形图得：
则P（抽取的两人恰好是甲和乙）==．
【难度】一般
61．如图是函数与函数在第一象限内的图象，点是的图象上一动点，轴于点A，交的图象于点，轴于点B，交的图象于点．
（1）求证：D是BP的中点；
（2）求出四边形ODPC的面积．
【答案】
（1）见解析；（2）S四边形ODPC=3.
【解析】
试题分析：（1）由点P在函数上，可设P点坐标为（，m），由点D在函数上，BP∥轴，可得D点坐标为（，m），由题意可得 BD=，BP=，从而可得D是BP的中点；
（2）有四边形OAPB的面积-三角形BOD的面积-三角形AOC的面积即得.
试题解析：（1）∵点P在函数上，∴设P点坐标为（，m），∵点D在函数上，BP∥轴，∴设D点坐标为（，m），由题意可得 BD=，BP=，故D是BP的中点；
（2）S四边形PBOA =﹒m=6，设C点坐标为（，），D点坐标为（，），则S△OBD==，S△OAC==，∴S四边形ODPC=S四边形PBOA—S△OBD—S△OAC=6——=3；
【难度】一般
62.如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线AE上任意一点（不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D．
（1）直接写出∠NDE的度数；
（2）如图2、图3，当∠EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；
（3）如图4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线CM与AB交于G，BD= ，其他条件不变，求线段AM的长．
【答案】（1）∠NDE=90°；（2）不变；（3）AM=．
【解析】
分析:（1）根据题意证明△MAC≌△NBC即可；
（2）与（1）的证明方法相似，证明△MAC≌△NBC即可；
（3）作GK⊥BC于K，证明AM=AG，根据△MAC≌△NBC，得到∠BDA=90°，根据直角三角形的性质和已知条件求出AG的长，得到答案．
解：（1）∵∠ACB=90°，∠MCN=90°，
∴∠ACM=∠BCN，
在△MAC和△NBC中，
，
∴△MAC≌△NBC，
∴∠NBC=∠MAC=90°，
又∵∠ACB=90°，∠EAC=90°，
∴∠NDE=90°；
（2）不变，
在△MAC和△NBC中，
，
∴△MAC≌△NBC，
∴∠N=∠AMC，
又∵∠MFD=∠NFC，
∠MDF=∠FCN=90°，即∠NDE=90°；
（3）作GK⊥BC于K，
∵∠EAC=15°，
∴∠BAD=30°，
∵∠ACM=60°，
∴∠GCB=30°，
∴∠AGC=∠ABC+∠GCB=75°，
∠AMG=75°，
∴AM=AG，
∵△MAC≌△NBC，
∴∠MAC=∠NBC，
∴∠BDA=∠BCA=90°，
∵BD=，
∴AB=+，
AC=BC=+1，
设BK=a，则GK=a，CK=a，
∴a+a=+1，
∴a=1，
∴KB=KG=1，BG=，
AG=，
∴AM=．
【难度】较难
63．如图，在平面直角坐标系中，以点M（0，3）为圆心、5为半径的圆与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C、D（点C在点D的上方），经过B、C两点的抛物线的顶点E在第二象限．
（1）求点A、B两点的坐标．
（2）当抛物线的对称轴与⊙M相切时, 求此时抛物线的解析式．
（3）连结AE、AC、CE，若．
①求点E坐标；
②在直线BC上是否存在点P，使得以点B、M、P为顶点的三角形和△ACE相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A（－4,0）；B（4,0）；（2）；（3）E；P．
【解析】
试题分析：（1）连接AM，根据题意得出AM=5，OM=3，则OA=0B=4，求出点坐标；（2）设出函数解析式，根据题意得c=8，将点B的坐标代入找出b和a的关系式，求出直线的对称轴；根据切线的性质得出对称轴为x=－5，求出a和b的值；（3）根据∠ACO和∠CAE的正切值得出两个角相等，根据点A在对称轴上，则可得出对对称轴为直线x=－4，求出a的值，然后求出顶点坐标．
试题解析：（1）连结M A，由题意得：AM=5，OM=3，则OA=4，同理得OB=4，
∴点A、点B的坐标分别是（-4，0）（4，0）
（2）设经过B、C两点的抛物线解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
∵OM=3，CM=5
∴OC=8，即C（0,8）
把B、C的坐标代入抛物线解析式得
c=8,
0=16a+4b+8，
∴b=-4a-2；
此时，y=ax2+（-4a-2）x+8（a≠0），
它的对称轴是直线：x==；
又∵抛物线的顶点E在第二象限且该抛物线的对称轴与⊙M相切，
则=-5，∴a=，b=，
∴抛物线的解析式为
（3）①在Rt△AOC中
，
而tan∠CAE=
∴∠CAE=∠ACO，所以AE∥CO，即点A在抛物线的对称轴上
又∵y=ax2+（-4a-2）x+8，
∴，∴a=；
∴
∴E
②在直线BC上存在点P，使得以点B、M、P为顶点的三角形和△ACE相似，点P的坐标为
【难度】困难
64.计算：
【答案】2-.
【解析】
试题分析：先进行二次根式的化简、零指数幂、负整数指数幂、二次根式的乘法运算，再根据运算顺序依次计算即可．
试题解析：原式=-1+3--=2-．
【难度】较易
65．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，且与反比例函数（）的图象在第一象限交于点C，如果点B的坐标为（0，2），OA=OB，B是线段AC的中点．
（1）求点A的坐标及一次函数解析式．
（2）求点C的坐标及反比例函数的解析式．
【答案】（1）A（﹣2，0），；（2）C（2，4），．
【解析】
试题分析：（1）根据OA=OB和点B的坐标可求得点A坐标，再将A、B两点坐标分别代入，可用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）由B是线段AC的中点，得到C点坐标，将C点坐标代入反比例函数的解析式即可．
试题解析：（1）∵OA=OB，点B的坐标为（0，2），∴点A（﹣2，0），点A、B在一次函数（）的图象上，∴，解得k=1，b=2，∴一次函数的解析式为；
（2）∵B是线段AC的中点，∴点C的坐标为（2，4），又∵点C在反比例函数（）的图象上，∴k=8，∴反比例函数的解析式为．
【难度】容易
66．在阳光体育活动时间，小亮、小莹、小芳和大刚到学校乒乓球室打乒乓球，当时只有一副空球桌，他们只能选两人打第一场．
（1）如果确定小亮打第一场，再从其余三人中随机选取一人打第一场，求恰好选中大刚的概率；
（2）如果确定小亮做裁判，用“手心、手背”的方法决定其余三人哪两人打第一场．游戏规则是：三人同时伸“手心、手背”中的一种手势，如果恰好有两人伸出的手势相同，那么这两人上场，否则重新开始，这三人伸出“手心”或“手背”都是随机的，请用画树状图的方法求小莹和小芳打第一场的概率．
【答案】（1）.（2）.
【解析】
试题分析：（1）由小亮打第一场，再从其余三人中随机选取一人打第一场，求出恰好选中大刚的概率即可；
（2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出小莹和小芳伸“手心”或“手背”恰好相同的情况数，即可求出所求的概率．
试题解析：（1）∵确定小亮打第一场，
∴再从小莹，小芳和大刚中随机选取一人打第一场，恰好选中大刚的概率为；
（2）列表如下：
所有等可能的情况有8种，其中小莹和小芳伸“手心”或“手背”恰好相同的结果有2个，
则小莹与小芳打第一场的概率为=．
【难度】一般
67．某市地铁工程正在加快建设，为了缓解市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警大队在一些主要路口设立了交通路况指示牌，如图所示，小明在离指示牌3．2米的点B处测得指示牌顶端D点和底端E点的仰角分别为52°和30°．求路况指示牌DE的高度．（精确到0．01米，参考数据：≈1．732，sin52°≈0．79，cos52°≈0．62, tan52°≈1．28．）
【答案】路况指示牌DE的高度约为2．25米．
【解析】
试题分析：过点A作AF⊥DC于点F，在Rt△ADF中求出DF，在Rt△AEF中求出EF，继而根据DE=DF-EF，可得出答案．
试题解析：
过点A作AF⊥DC于点F，
在Rt△ADF中，AF=3．2，tan∠DAF=tan52°=，
∴DF=AFtan52°=3．2×1．28≈4．10米．
在Rt△AEF中，AF=3．2，tan∠EAF=tan30°=，
∴EF=AFtan30°=3．2×0．577≈1．85米．
故可得DE=DF﹣EF=2．25米．
答：路况指示牌DE的高度约为2．25米．
【难度】一般
68.某专卖店计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1（元/台）与采购数量x1（台）满足y1=﹣20x1+1500（10＜x1≤15，x1为整数）；冰箱的采购单价y2（元/台）与采购数量x2（台）满足y2=﹣10x2+1300（5≤x2＜10，x2为整数）．该专卖店分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．问：怎么采购才能使总利润最大？并求最大利润．
【答案】采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元
【解析】
试题分析：首先设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20﹣x）台，根据题意得出与x的函数关系熟，求出w与x的函数关系式，根据二次函数的性质以及x的取值范围，求出利润的最大值．
试题解析：设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20﹣x）台，
由题意，设总利润为W元，y2=﹣10x2+1300=﹣10（20﹣x）+1300=10x+1100，
则W=（1760﹣y1）x1+（1700﹣y2）x2，=1760x﹣（﹣20x+1500）x+（1700﹣10x﹣1100）（20﹣x），
=1760x+20x2﹣1500x+10x2﹣800x+12000，=30x2﹣540x+12000，=30（x﹣9）2+9570，
当x＞9时，W随x的增大而增大， ∵10＜x≤15， ∴当x=15时，W最大值=30（15﹣9）2+9570=10650（元），
答：采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元．
【难度】较难
69．已知：如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，且D为AC的中点，过D作DE丄CB，垂足为E．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）已知CD=4，CE=3，求⊙O的半径．
【答案】（1）直线DE是⊙O的切线；连接OD,D为AC的中点则有OD为△ABC的中位线，所以OD∥BC,所以DE⊥OD.所以DE是⊙O的切线．（2）⊙O的半径为．
【解析】
试题分析：（1）利用切线的判定得出∠ODE=90°，进而求出DE是⊙O的切线，
（2）利用常作的一条辅助线，即“见切点，连半径，得垂直”，然后再把要证的垂直与已有的垂直进行联系，即可得出证法，利用相似三角形的判定与性质求出即可．
试题解析：（1）连接OD，
∵D为AC的中点，O为AB的中点，
∴DO∥BC，
∵DE丄CB，
∴DE⊥OD，
∴∠ODE=90°，
∴直线DE是⊙O的切线；
（2）连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
又∵DE⊥BC，
Rt△CDB∽Rt△CED，
∴
∴BC=
又∵OD=BC，
∴OD=×＝
即⊙O的半径为．
【难度】较难
70．某校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．
（1）这次被调查的同学共有 名；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校18 000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？
【答案】（1）1000.
（2）
.
（3）3600人．
【解析】
试题分析：（1）根据：没有剩的人数÷它的百分比，计算即可；（2）先求出剩少量的人数，然后可补全统计图；（3）根据;18 000×被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐的百分比，计算即可．
试题解析：（1）这次被调查的同学共有400÷40%=1000（名）；
故答案为：1000；
（2）剩少量的人数是；1000﹣400﹣250﹣150=200，
补图如下；
（3）18000×=3600（人）．
答：该校18000名学生一餐浪费的食物可供3600人食用一餐．
【难度】一般
71．【问题探究】
（1）如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．
【深入探究】
（2）如图2，四边形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45o，求BD的长．
（3）如图3，在（2）的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．
【答案】（1）BD=CE．由题意可证△AEC≌△ABD，故BD=CE;（2）cm；（3）（）cm．
【解析】
试题分析：（1）由题意可通过SAS证明△AEC≌△ABD得到BD与CE的大小关系即BD=CE；（2）由上题可知BD=CE，所以建立△AEC≌△ABD，作辅助线：在△ABC的外部，以点A为直角顶点作等腰直角三角形BAE，使∠BAE=90o，AE=AB，连接EA、EB、EC．只要求出CE长，BD就知道了，由AB长可求出BE,BC已知，△EBC是直角三角形，利用勾股定理可求出EC,从而得到BD的值；（3）和上题的思路一样，建立△EAC≌△BAD ，只要求出CE的长，BD就求出来了．作辅助线：在线段AC的右侧，过点A作AE⊥AB于A，交BC的延长线于点E，∴∠BAE=90o，可证△EAC≌△BAD （SAS），∴BD=CE，，BC=3，于是BD=CE=．
试题解析：（1）∵∠BAE=∠CAD，∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，又∵AE=AB，AC=AD，∴△EAC≌△BAD（SAS） ，∴BD=CE．（2）如图1，在△ABC的外部，以点A为直角顶点作等腰直角三角形BAE，使∠BAE=90o，AE=AB，连接EA、EB、EC．∵，∴，∴∠BAE=，∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，∴△EAC≌△BAD（SAS），∴BD=CE．∵AE=AB=7，∴， ∠AEB=∠ABE=45o．又∵∠ABC=45o（已知），∴∠ABC+∠ABE=45o+45o=90o，即∠EBC=90o，∴EC==，∴．∴BD长是cm．
（3）如图2，在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB于A，交BC的延长线于点E，∴∠BAE=90o，又∵∠ABC=45o，∴∠E=∠ABC=45o，∴AE=AB=7，．又∵∠ACD=∠ADC=45 o，∴∠BAE= ∠DAC=90o， ∴∠BAE∠BAC=∠DAC∠BAC，即∠EAC=∠BAD，∴△EAC≌△BAD （SAS） ，∴BD=CE，∵BC=3，∴BD=CE=（cm）．∴BD长是（）cm．
【难度】困难
72．如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．
（1）求AD的长及抛物线的解析式；
（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？
（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）AD=3．y=﹣x2+x；（2）t=或；（3）存在，①M1（-4，-32），N1（4，-38）;②M2（12，-32），N2（4，-26）;③M3（4，），N3（4，﹣）．
【解析】
试题分析：（1）利用△BDC≌△EDC，CE=BC，OC=AB，由勾股定理易得EO=6，则AE可求，设AD=x，则BD=DE=8﹣x，在△ADE中，由勾股定理能求出AD的长，因为抛物线过原点，所以解析式中c=0，设解析式为y=ax2+bx，再将D，C两点坐标代入求出a，b值，即可求出抛物线的解析式．（2）分两种情况讨论：当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，∵∠PCQ与∠AED是对应角（同是∠CEO的余角），∴AD和PQ是对应边，△ADE的各边长都知道，设运动t秒时相似，表示出三角形CPQ的各边长，两种相似情况下的对应线段成比例，即可求出t值；（3）假设存在符合条件的M、N点，分两种情况讨论：①EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，若四边形MENC是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点；顶点坐标即是M点坐标，由平行四边形性质易求出N点坐标；②EC为平行四边形的边，则ECMN，设N（4，m），由平行四边形性质用M表示出M点坐标，再把M点坐标代入抛物线解析式，从而求得M，N点坐标．
试题解析：（1）∵四边形ABCO为矩形，∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10，由题意，△BDC≌△EDC，∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD．在Rt△EOC中，由勾股定理易得EO=6，∴AE=10﹣6=4，设AD=x，则BD=DE=8﹣x，在Rt△ADE中，由勾股定理得：x2+42=（8﹣x）2，解得：x=3，∴AD=3．∵抛物线y=ax2+bx+c过点D（3，10），C（8，0），O（0，0）∴解析式中c=0，设解析式为y=ax2+bx，将D，C两点坐标代入：，解得，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x．（2）分两种情况讨论：∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，∴∠DEA=∠OCE，由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5，而CQ=t，EP=2t，∴PC=10﹣2t．①当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，∴=，即=，解得t=．②当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，∴=，即=，解得t=．∴当t=或时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似；（3）假设存在符合条件的M、N点，分两种情况讨论：①EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，若四边形MENC是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点；则：M（4，）；而平行四边形的对角线互相平分，那么线段MN必被EC中点（4，3）平分，则N（4，﹣）；②EC为平行四边形的边，则ECMN，设N（4，m），则当M在N点左侧时，M点坐标M（4﹣8，m+6），或M在N点右侧时，M点坐标为M（4+8，m﹣6）；将M（﹣4，m+6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣38，此时 N（4，﹣38）、M（﹣4，﹣32）；将M（12，m﹣6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣26，此时 N（4，﹣26）、M（12，﹣32）；综上，存在符合条件的M、N点，且它们的坐标为：
①M1（﹣4，﹣32），N1（4，﹣38）；②M2（12，﹣32），N2（4，﹣26）；③M3（4，），N3（4，﹣）．
【难度】困难
73．先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【解析】
试题分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
试题解析：原式===，
当时，原式=．
【难度】容易
74．某校九年级（3）班的师生到距离10千米的山区植树，出发1．5小时后，张锦同学骑自行车从学校按原路追赶队伍，结果他们同时到达植树地点．如果张锦同学骑车的速度比队伍步行的速度的2倍还多2千米．求骑车与步行的速度各是多少？
【答案】队伍步行的速度是每小时 4 千米，张锦骑车的速度是每小时 10 千米
【解析】
试题分析：设步行的速度为 x 千米/时，然后根据：时间相差1．5小时列分式方程解答即可．
试题解析：设步行的速度为 x 千米/时
根据题意得：,
解得：x1=4,x2=,
经检验：x1=4,x2=都是原方程的解 ,但当x= 不合题意，舍去.
当x=4 时，2x+2=10.
答：队伍步行的速度是每小时 4 千米，张锦骑车的速度是每小时 10 千米.
【难度】容易
75．如图，甲楼AB的高度为35m，经测得，甲楼的底端B处与乙楼的底端D处相距105m，从甲楼顶部A处看乙楼顶部C处的仰角∠CAE的度数为25°．求乙楼CD的高度（结果精确到0．1m）．[参考数据：sin25°=0．42，cos25°=0．91，tan25°=0．47]．
【答案】84．4m．
【解析】
试题分析：作AE⊥CD于E．由题意，得DE=AB=35m，AE=BD=105m，∠CAE=25°．在Rt△ACE中，根据正切函数的定义得出CE=AE?tan∠CAE=49．35，那么CD=DE+CE≈84．4．
试题解析：如图，作AE⊥CD于E．
由题意，得DE=AB=35m，AE=BD=105m，∠CAE=25°．
在Rt△ACE中，∵∠AEC=90°，tan∠CAE=，
∴CE=AE?tan∠CAE=105×0.47=49.35，
∴CD=DE+CE=35+49.35=84.35≈84.4．
答：乙楼CD的高约为84.4m．
【难度】容易
76．如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC，
求证：AD是∠BAC的平分线．
【答案】见解析
【解析】
试题分析：通过证明Rt△BDE与Rt△CDF全等，得到DE=DF，利用角平分线的判定即可得到结论．
试题解析：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠BED=∠CFD=90° ，
在Rt△BDE与Rt△CDF中，
∵，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴DE=DF，
∴AD是∠BAC的平分线．
【难度】较易
77．有A，B两个黑布袋，A布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和2．B 布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字-1，-2和-3．小明从A布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为x，再从B布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为y，这样就确定点Q的一个坐标为．
（1）用列表或画树状图的方法写出点Q的所有可能坐标；
（2）求点Q落在抛物线y=x2-2x-1上的概率．
【答案】（1）点Q所有可能坐标：（1，-1），（1，-2），（1，-3），（2，-1），（2，-2），（2，-3）；
（2）点Q落在抛物线y=x2-2x-1上的概率为：
【解析】
试题分析：（1）先根据题意画出树状图，然后求得所有等可能的结果；
（2）由树状图可得点Q落在抛物线y=x2-2x-1上的有：（1，-2），（2，-1），再利用概率公式即可．
试题解析：（1）画树状图得：
共有6种等可能的结果，点Q所有可能坐标：（1，-1），（1，-2），（1，-3），（2，-1），（2，-2），（2，-3）；
（2）∵点Q落在抛物线y=x2-2x-1上的有：（1，-2），（2，-1），
∴点Q落在抛物线y=x2-2x-1上的概率为：
【难度】一般
78．（1）如图1，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，∠CAE=45°，求AD的长．
（2）如图2，已知∠ACB=∠DCE=90°，∠ABC=∠CED=∠CAE=30°，AC=3，AE=8，求AD的长．
【答案】（1）AD=9；（2）AD=
【解析】
试题分析：（1）连接BE，证明△ACD≌△BCE，得到AD=BE，在Rt△BAE中，AB=6，AE=3，求出BE，得到答案；（2）连接BE，证明△ACD∽△BCE，得到==，求出BE的长，得到AD的长．
试题解析：（1）如图1，连接BE， ∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵AC=BC，DC=EC，
在△ACD和△BCE中，， ∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE， ∵AC﹣BC=6，
∴AB=6， ∵∠BAC=∠CAE=45°， ∴∠BAE=90°， 在Rt△BAE中，AB=6，AE=3，
∴BE=9， ∴AD=9；
（2）如图2，连接BE， 在Rt△ACB中，∠ABC=∠CED=30°，tan30°==，
∵∠ACB=∠DCE=90°， ∴∠BCE=∠ACD， ∴△ACD∽△BCE， ∴==，
∵∠BAC=60°，∠CAE=30°， ∴∠BAE=90°，又AB=6，AE=8， ∴BE=10， ∴AD=．
【难度】一般
79．已知关于x的一元二次方程．
（1）若此方程有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围；
（2）已知x=3是此方程的一个根，求方程的另一个根及k的值；
（3）当Rt△ABC的斜边长C=，且两条直角边A和B恰好是这个方程的两个根时，求Rt△ABC的面积．
【答案】（1）k＜2．（2）方程的另一个根为x=-1，k=-2．（3）△ABC的面积为．
【解析】
试题分析：（1）由根的判别式大于0，即可得；
将所给的根代入方程即可得；
由根与系数的关系和勾股定理即可得．
试题解析：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴B2﹣4AC=4-4（k-1）＞0，解得k＜2．
（2）当x=3时，得k=-2，解x2-2x-3=0得x=3或-1，所以方程的另一个根为x=-1，k=-2．
（3）根据勾股定理得：A2+B2=C2=3;因为两条直角边A和B恰好是这个方程的两个根，
则A+B=2，因为（A+B）2-2AB=A2+B2=3，所以2AB=1，△ABC的面积为．
【难度】较难
80．在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC的顶点A在轴的正半轴上，OA=4，OC=2，点P，点Q分别是边BC，边AB上的点，连结AC，PQ，点B1是点B关于PQ的对称点。
（1）若四边形OABC为矩形，如图1，
①求点B的坐标；
②若BQ:BP=1:2，且点B1落在OA上，求点B1的坐标；
（2）若四边形OABC为平行四边形，如图2，且OC⊥AC，过点B1作B1F∥轴，与对角线AC、边OC分别交于点E、点F。若B1E: B1F=1:3，点B1的横坐标为，求点B1的纵坐标，并直接写出的取值范围.
【答案】（1）①点B（4，2）．
②点B1（3，0）．
（2）①B1的纵坐标为－，ｍ的取值范围是≤ｍ≤1+．
②B1的纵坐标为－m+，ｍ的取值范围是≤ｍ≤3．
【解析】
试题分析：（1）①点B（4，2）．
②证明△PB1D∽△B1QA，从而有=2,从而可得B1A=1，得OB1=3，即点B1（3，0）．
（2）由已知确定点B1不与点E、F重合，也不在线段EF的延长线上．然后分情况讨论：①点B1在线段FE的延长线上，②点B1的线段EF（除点E、F）上，即可．
试题解析：（1）①点B（4，2）．
②如图1，过点P作PD⊥OA，垂足为点D，∵BQ：BP=1：2，点B关于PQ的对称点为B1，∴B1Q：B1P=1：2，∵∠PDB1=∠PB1Q=∠B1AQ=90°，∴∠PB1D=∠B1QA，∴△PB1D∽△B1QA，∴=2,∴B1A=1，∴OB1=3，即点B1（3，0）．
∵四边形OABC为平行四边形，OA=4，OC=2，且OC⊥AC，∴∠OAC=30°，∴点C（1，），∵B1E：B1F=1：3，∴点B1不与点E、F重合，也不在线段EF的延长线上．
①当点B1在线段FE的延长线上时，如图2，延长B1F与y轴交于点G，点B1的横坐标为m，
B1F//x轴，B1E：B1F=1：3，∴B1G=m，设OG=a，则GF=，OF＝，∴CF＝2-，
∴FE＝4－，B1E＝2-，∴B1G＝B1E+EF+FG＝（2-）+（4-）+＝ｍ，∴ａ＝－，即B1的纵坐标为－，ｍ的取值范围是≤ｍ≤1+．
②当点B1的线段EF（除点E、F）上时，如图3，延长B1F与y轴交于点G，点B1的横坐标为m，B1F//x轴，B1E：B1F=1：3，∴B1G=m，设OG=a，则GF=，OF＝，∴CF＝2-，
∴FE＝4－，B1F=EF＝3-，∴B1G＝B1F+FG＝（3-）+＝ｍ，
∴ａ＝－m+，即B1的纵坐标为－m+，ｍ的取值范围是≤ｍ≤3．
【难度】较难
81．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x=1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．
（1）填空：点A坐标为 ；抛物线的解析式为 ．
（2）在图1中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？
（3）在图2中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？
【答案】（1）点A坐标为（1，4），y=﹣x2+2x+3；（2）当t=或t=时，△PCQ为直角三角形；（3）当t=2时，△ACQ的面积最大，最大值是1．
【解析】
试题分析：（1）根据矩形的三个顶点坐标以及抛物线的对称轴可求出点A的坐标；设抛物线的解析式为顶点式，然后把点A、C坐标代入计算即可；（2）分∠QPC=90°和∠PQC=90°两种情况讨论，利用比例线段可求出t的值；（3）求出直线AC的解析式，然后把点P（1，4﹣t）的纵坐标代入，然后用t可表示出点Q的坐标，以及QF的长，然后可求出△ACQ的面积与t的函数关系式，利用二次函数的性质确定函数值的值即可．
试题解析：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4），点A在DE上，
∴点A坐标为（1，4），
设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2+4，
把C（3，0）代入抛物线的解析式，可得a（3﹣1）2+4=0，
解得a=﹣1．
故抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3；
（2）依题意有：OC=3，OE=4，
∴CE===5，
当∠QPC=90°时，
∵cos∠QPC==，
∴=，
解得t=；
当∠PQC=90°时，
∵cos∠QCP==，
∴=，
解得t=．
∴当t=或t=时，△PCQ为直角三角形；
（3）∵A（1，4），C（3，0），
设直线AC的解析式为y=kx+b，则
，
解得．
故直线AC的解析式为y=﹣2x+6．
∵P（1，4﹣t），将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，得x=1+，
∴Q点的横坐标为1+，
将x=1+代入y=﹣（x﹣1）2+4中，得y=4﹣．
∴Q点的纵坐标为4﹣，
∴QF=（4﹣）﹣（4﹣t）=t﹣，
∴S△ACQ=S△AFQ+S△CPQ
=FQ?AG+FQ?DG
=FQ（AG+DG）
=FQ?AD
=×2（t﹣）
=﹣（t﹣2）2+1，
∴当t=2时，△ACQ的面积最大，最大值是1．
【难度】困难
82．先化简，再求值：，其中．
【答案】原式=，当时， 原式=．
【解析】
试题分析：先根据分式的运算法则化简后再代入求值即可．
试题解析：原式=
=
=
当时，原式=．
【难度】较易
83．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于一、三象限内的A、B两点，直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为（-6，n），线段OA=5，E为x轴正半轴上一点，且tan∠AOE=，求△AOB的面积．
【答案】S△AOB= 9．
【解析】
试题分析：过点A作AD⊥x轴，在Rt△AOD中，由勾股定理和锐角三角函数可求得AD、OD的长，即可得点A的坐标，把点A的坐标代入求m的值；再把，点B的坐标（-6，n）代入求n的值，把A、B的坐标代入求得一次函数的表达式；求出与x轴的交点C的坐标，根据S△AOB=S△AOC+S△BOC即可求得△AOB的面积．
试题解析：
过点A作AD⊥x轴，
在Rt△AOD中，tan∠AOE=，
设AD=4x，OD=3x，
∵OA=5，
在Rt△AOD中，根据勾股定理解得AD=4，OD=3，
∴A（3，4），
把A（3，4）代入反比例函数中，
解得：m=12，
则反比例函数的解析式为；
把点B的坐标为（-6，n）代入中，
解得n=-2，则B的坐标为（-6，-2），
把A（3，4）和B（-6，-2）分别代入一次函数得，解得，
则一次函数的解析式为，
∵点C在x轴上，令y=0，得x=-3
即OC=3，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=.
【难度】一般
84．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．
（1）一辆正常行使的汽车经过某十字路口，则它向左转的概率为 ；
（2）现有甲、乙两辆汽车要经过这个十字路口，请用树形图或列表法表示出这两辆汽车行驶方向所有可能的结果，并求这两辆汽车都向左转的概率．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
试题分析：根据题意画出表格，然后得出概率．
试题解析：（1）P（左转）=
（2）列表得：两辆汽车所有9种可能的行驶方向如下：
乙汽车
甲汽车
左转
右转
直行
左转
（左转，左转）
（右转，左转）
（直行，左转）
右转
（左转，右转）
（右转，右转）
（直行，右转）
直行
（左转，直行）
（右转，直行）
（直行，直行）
∴由上表知：P（两辆汽车都向左转的概率）=．
【难度】一般
85．如图，已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为点E．⊙O的切线BF与弦AC的延长线相交于点F，且AC=8，tan∠BDC=．求线段CF的长．
【答案】.
【解析】
试题分析：作OH⊥AC，则AH=4，根据Rt△AOH的三角函数得出OH的长度，然后根据勾股定理求出半径，根据Rt△AEC的三角形函数以及勾股定理求出CE、DE和AE的长度，然后根据切线的性质得出CE∥FB，然后根据相似求出AF的长度，然后根据CF=AF－AC求出CF的长度．
试题解析：作OH⊥AC于H，则AH=AC=4 .
在Rt△AOH中，AH=4，tan∠A=tan∠BDC=， ∴OH=3．
∴半径OA==5.
∵AB⊥CD，∴E为CD的中点，即CE=DE， 在Rt△AEC中，AC=8，∠A=tan∠BDC==，
设CE=3k，则AE=4k， 根据勾股定理得：AC2=CE2+AE2，即9k2+16k2=64，
解得：k=， 则CE=DE=，AE=，
∵BF为圆O的切线，∴FB⊥AB，
又∵AE⊥CD，∴CE∥FB，
∴，即， 解得：AF=， 则CF=AF﹣AC=．
【难度】一般
86．一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度（千米/小时）与所用时间（小时）的函数关系如图所示，其中．
（1）直接写出与的函数关系式；
（2）若一辆货车同时从乙地出发前往甲地，客车比货车平均每小时多行驶千米，小时后两车相遇．
①求两车的平均速度；
②甲、乙两地间有两个加油站、，它们相距千米，当客车进入加油站时，货车恰好进入加油站（两车加油的时间忽略不计），求甲地与加油站的距离．
【答案】（1）与的函数关系式为（）；
（2）①客车和货车的平均速度分别为千米/小时和千米/小时．
②甲地与加油站的距离为或千米.
【解析】
试题分析：（1）利用速度与时间成反比例可以得到反比例函数的解析式．
（2）①由客车的平均速度为每小时v千米，得到货车的平均速度为每小时（v-20）千米，一辆客车从甲地出发前往乙地，一辆货车同时从乙地出发前往甲地，小时后两车相遇，解方程即可．
②分两种情况讨论：当加油站在甲地和加油站之间时；当加油站在甲地和加油站之间时；甲、乙两地间有两个加油站、，它们相距千米列出方程，解方程即可．
试题解析：
（1）与的函数关系式为（）；
（2）①依题意，得
．
解得，
经检验，符合题意．
当时，．
答： 客车和货车的平均速度分别为千米/小时
和千米/小时．
②当加油站在甲地和加油站之间时，
．解得．此时．
当加油站在甲地和加油站之间时，
．解得．此时．
答：甲地与加油站的距离为或千米．
【难度】一般
87．为了提高学生写好汉字的积极性，某校组织全校学生参加汉字听写比赛，比赛成绩从高到低只分A、B、C、D四个等级．若随机抽取该校部分学生的比赛成绩进行统计分析，并绘制了如下的统计图表：
根据图表的信息，回答下列问题：
（1）本次抽查的学生共有 名；
（2）表中和所表示的数分别为： ， ，并在图中补全条形统计图；
（3）若该校共有名学生，请你估计此次汉字听写比赛有多少名学生的成绩达到B级及B级以上？
【答案】（1） ；
（2），，
；
（3）.
【解析】
试题分析：（1）用C或D的人数除以该组所占的百分比即可求出抽查的总人数．
（2）用总人数乘以B组所占的百分比即可求出的值；用整体1减去B、C、D所占的百分比即可求出．
（3）用总人数1500乘以 比赛成绩达到B级及B级?
【答案】3－
【解析】
试题分析：首先根据幂和二次根式、三角函数的计算法则求出各式的值，然后进行实数的加减法计算.
试题解析：原式=.
【难度】容易
2.解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来.
【答案】
【解析】
试题分析：解：.
由（1）得：x>-1,
由（2）得：,
所以原不等式组的解集为：.
【难度】容易
3.先化简，再求值：已知，求的值．
【答案】-
【解析】
试题分析：先化简
解：当时，
【难度】较易
4.如图，△ABC和△EFD分别在线段AE的两侧，点C，D在线段AE上，AC=DE，AB=EF，AB∥EF.求证：BC=FD
【答案】∵AB∥EF , ∴∠A=∠E , 在△ABC和△EFD中，AB=EF，∠A=∠E，AC=DE.
∴△ABC≌△EFD（SAS） , ∴BC=FD.
【解析】
试题分析：根据AB∥EF得出∠A=∠E，结合已知条件得出△ABC和△EFD全等，从而得出BC=FD
证明：∵AB∥EF , ∴∠A=∠E , 在△ABC和△EFD中，AB=EF，∠A=∠E，AC=DE.
∴△ABC≌△EFD（SAS） , ∴BC=FD.
【难度】较易
5．已知关于x的方程x2-（2k+1）x+4（k-）=0. （1）求证:无论k取何值,这个方程总有实数根;
（2）若等腰三角形ABC的一边长a=4,另两边的长b、c恰好是这个方程的两个根,求三角形ABC的周长.
【答案】（1）△=（2k+1）2-16（k-）=4k2-12k+9）=（2k-3）2≥0
（2）10.
【解析】（1）因为
恒大于等于0
所以：无论k取何值,这个方程总有实数根。
（2）三角形ABC为等腰三角形，可能有两种情况：
1）b或c中至少有一个等于a= 4，即：方程x2-（2k+1）x+4（k- ）=0有一根为4，
可得k=,方程为x2-6x+8=0.另一根为2，此时三角形ABC周长为10；
2）b=c时，
得k=,方程为x2- 4x+4=0.得b=c=2, 此时a、b、c不能构成三角形；
综上，三角形ABC周长为10.
【难度】一般
6.如图，一次函数的图象与轴交于点A， 与轴交于点B，与反比例函数图象的一个交点为M（﹣2，m）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P是反比例函数图象上一点，且，求点P的坐标．
【答案】（1）. （2）p（2,-1）或p（-2,1）
【解析】
试题分析：（1）∵M（﹣2，m）在一次函数的图象上，
∴.
∴M（﹣2，1）.
又M（﹣2，1）在反比例函数图象上，
∴.
∴.
（2）由一次函数可求，.
∴.
∴.
设边上的高位，则. 则点的横坐标为.
把点的横坐标为代入可得点的纵坐标为.
或.
【难度】一般
7.中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广。为了传承优秀传统文化，某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分。为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了200名学生的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：
请根据所给的信息，解答下列问题：
（1）a= ,b= .
（2）请补全频数分布直方图；
（3）这次比赛成绩的中位数会落在哪个分数段？
（4）若成绩在90分及以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等的大约有多少人？
【答案】（1）a=60；b=0.15；（2）如下图；（3）80≤x＜90；（4）1200人.
【解析】
试题分析：首先根据50≤x＜60的频数和频率求出样本容量，然后分别求出a和b的值；根据a的值补全统计图；根据中位数的计算法则得出中位数所处的位置；根据90分以上的频率估算出总人数.
试题解析：（1）、10÷0.05=200 a=200×0.3=60 b=30÷200=0.15
（2）补全条形统计图如下：
（3）中位数在80≤x＜90分数段.
（4）3000×0.4=1200（人）.
【难度】一般
8.如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF//AB交AC于F
（1）求证：AE=DF．
（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）平行四边形AEDF为菱形；理由详见解析
【解析】
试题分析：（1）∵DE∥AC,DF∥AB.
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AE=DF.
（2）四边形AEDF是菱形.
证明：由（1）知四边形AEDF是平行四边形，∠DAF=∠FDA
∴AF=DF.
∴平行四边AEDF为菱形.
【难度】一般
9.如图，是⊙的直径，是⊙上一点，是的中点，过点D作⊙O的切线，与AB，AC的延长线分别交于点E，F，连结AD．
（1）求证：AF⊥EF；
（2）若，AB=5，求线段BE的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
试题分析：（1）连接OD根据切线得出OD⊥EF，根据OA=OD得出∠1=∠3，根据弧的中点得出∠1=∠2，则∠2=∠3，说明OD∥AF,根据OD⊥EF得AF⊥EF；（2）.连接BD，根据tan∠CAD的值得出tan∠1的值，根据Rt△ADB得出BD和AD的长度，根据平行得出△EDO与△EFA相似，设BE=x，根据相似比得出x的值.
试题解析：（1）证明：连结OD．
∵直线EF与⊙O相切于点D， ∴OD⊥EF．
∵OA = OD，∴∠1=∠3．∵点为的中点， ∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴OD∥AF，∴AF⊥EF．
（2）解：连结BD．
∵，
∴
∵AB为⊙的直径，
∴AD⊥DB,
在Rt△ADB中，AB=5，∴BD=，AD=，
在Rt△AFD中，可得DF=2，AF=4，∵OD∥AF，∴△EDO∽△EFA，∴，
又∵OD=2.5，设BE=x，
∴，∴ ，即BE=．
【难度】一般
10．在芦淞服装批发市场，某种品牌的时装当季节将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为20元/件（第1周价格），并且每周价格上涨，如图示，从第6周开始到第11
周保持30元/件的价格平稳销售；从第12周开始，当季节即将过去时，每周下跌，直到第16周周末，该服装不再销售。
（1）求销售价格（元/件）与周次之间的函数关系式；
（2）若这种时装每件进价Z（元/件）与周次次之间的关系为Z＝（1≤≤16），且为整数，试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大？最大利润为多少？
【答案】（1）;
（2）当时，函数有最大值为.
【解析】
试题分析：
（1）依题意，可建立的函数关系式为：
,
（2）设销售利润为W，则W＝售价－进价
故W＝,
化简得W＝.
①当W＝时，∵≥0，函数随着增大而增大，∵1≤≤6
∴当时，W有最大值，最大值＝18.5.
②当W＝时，∵W＝，当≥8时，函数随增大而增大
∴在时，函数有最大值为.
③当W＝时，∵W＝，∵12≤≤16，当≤16时，函数随增大而减小，
∴在时，函数有最大值为18.
综上所述，当时，函数有最大值为.
【难度】较难
11.在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F.
（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；
（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，D仍与线段AC相交于点F.求证：；
（3）如图3，将（2）中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线交与点F，作DN⊥AC于点N，若DN=FN，求证：.
【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
试题分析：在四边形AEDF中，根据四边形内角和定理，得到∠AED=900，,
∵D为BC的中点，∴BD=CD .
又∵∠BAC=600，AB=AC. ∴△ABC为等边三角形.
∴∠ABD=∠ACD=600. 又∵AB=4 ∴BD=2 ∴BE=1
（2）取AB的中点G，连接DG . 易证：DG为△ABC的中位线，故DG=DC，∠BGD=∠C=60°.
又四边形AEDF的对角互补，故∠GED=∠DFC.∴△DEG≌△DFC, 故EG=CF.
∴BE+CF=BE+EG=BG=AB.
（3）取AB的中点G，连接DG , 同⑵，易证△DEG≌△DFC , 故EG=CF.
故BE-CF=BE-EG=BG=.
设在Rt△DCN中，CD=2x，DN=,
在Rt△DFN中，NF=DN=，故EG=CF=,
BE=BG+EG=DC+CF=2x+=,
故 BE+CF=，.
故.
【难度】困难
12.计算：.
【答案】1
【解析】
试题分析：根据绝对值、三角函数、负指数次幂和0次幂的计算法则求出各式的值，然后进行求和，得出答案.
试题解析：原式=2－++2－1=1.
【难度】容易
13.解方程：.
【答案】=1，.
【解析】
试题解析：去分母，得：x（3x－2）＋5（2x－3）＝4（2x－3）（3x－2），
化简，得：7－20x＋13＝0，解得：=1，
经检验：=1，是原方程的解.
【难度】一般
14.先化简，再求值：，其中a=，b=-.
【答案】－.
【解析】
试题分析：原式=.==,
当a=，b=－时，原式=－.
【难度】较易
15.如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE=CF.
（1）求证：△BOE ≌△DOF ；
（2）若BD=EF，连接DE、BF，判断四边形EBFD的形状，无需说明理由。
【答案】（1）见解析；（2）矩形
【解析】
试题分析：（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴BO=DO，AO=OC.
∵AE=CF,
∴AO－AE=OC－CF,
即OE=OF.
在△BOE和△DOF中，
∴△BOE≌△DOF（SAS）.
（2）∵△BOE≌△DOF,
∴BE=FD，∠OFD=∠OEB.
∵∠OFD=∠OEB,
∴BE∥FD,
∴四边形BEDF为平行四边形.
又∵BD=EF,
∴四边形BEDF为矩形.
【难度】一般
16.大学生小刘回乡创办小微企业，初期购得原材料若干吨，每天生产相同件数的某种产品，单件产品所耗费的原材料相同．当生产6天后剩余原材料36吨，当生产10天后剩余原材料30吨．若剩余原材料数量小于或等于3吨，则需补充原材料以保证正常生产．
（1）求初期购得的原材料吨数与每天所耗费的原材料吨数；
（2）若生产16天后，根据市场需求每天产量提高20%，则最多再生产多少天后必须补充原材料？
【答案】初期购得原材料45吨，每天所耗费的原材料为1.5吨；最多再生产10天.
【解析】
试题解析：（1）设初期购得原材料a吨，每天所耗费的原材料为b吨，
根据题意得：． 解得．
答：初期购得原材料45吨，每天所耗费的原材料为1.5吨.
（2）设再生产x天后必须补充原材料， 依题意得：45﹣16×1.5﹣1.5（1+20%）x≤3，
解得：x≥10．
答：最多再生产10天后必须补充原材料.
【难度】一般
17.某校为了了解学生家长对孩子使用手机的态度情况，随机抽取部分学生家长进行问卷调查，发出问卷140份，每位学生家长1份，每份问卷仅表明一种态度，将回收的问卷进行整理（假设回收的问卷都有效），并绘制了如下两幅不完整的统计图.
根据以上信息解答下列问题：
（1）回收的问卷数为 份，“严加干涉”部分对应扇形的圆心角的度数为 ；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）若将：“稍加询问”和“从来不管”视为“管理不严”，已知学校共1500名学生，请估计该校对孩子使用手机“管理不严”的家长大约有多少人？
【答案】（1）120. （2）见下图. （3）1375人.
【解析】
试题解析：（1）30÷25%=120 10÷120×360°=30° ∴回收的问卷数为120份，圆心角的度数为30°
（2）如下图：
（3）（30+80）÷120×1500=1375 ∴对孩子使用手机“管理不严”的家长大约有1375人.
【难度】一般
18.（1）如图1，纸片□ABCD中，AD=5，S□ABCD=15，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D的形状为（ ）
A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
（2）如图2，在（1）中的四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF=4，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′ 的位置，拼成四边形AFF′D.
①求证四边形AFF′D是菱形；
②求四边形AFF′D两条对角线的长.
【答案】（1）C. （2）①详见下面证明过程. ②和 .
【解析】
试题解析：（1）由平移知：AEDE′，∴四边形AEE′D是平行四边形，又AE⊥BC，∴∠AEE′=90°，
∴四边形AEE′D是矩形，∴C选项正确.
（2）①∵AFDF′， ∴四边形AFF′D是平行四边形，∵AE=3， EF=4 ，∠E=90°， ∴AF=5，
∵S□ABCD=AD·AE=15， ∴AD=5 ， ∴AD=AF ， ∴四边形AFF′D是菱形.
② 如下图， 连接AF′， DF ，
在Rt△AEF′中， AE=3， EF′=9， ∴AF′=
在Rt△DFE′中， FE′=1， DE′=AE=3， ∴DF=
∴四边形AFF′D两条对角线的长分别是和 .
【难度】一般
19.已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0.
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．
【答案】（1）a＜3. （2）a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3.
【解析】
试题解析：
（1）关于x的方程x2﹣2x+a﹣2=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．
（2）设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．
解答：（1）∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，
解得：a＜3．
∴a的取值范围是a＜3；
（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：
，
解得：，
则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3
【难度】一般
20.如图，已知直线与双曲线交于A（），B（）两点（A与B不重合），直线AB与轴交于P（），与轴交于点C.
（1）若A，B两点的坐标分别为（1，3），（3，y2）.求点P的坐标；
（2）若，点的坐标为（6，0），且.求两点的坐标；
（3）结合（1），（2）中的结果，猜想并用等式表示之间的关系（不要求证明）.
【答案】（1） （2） （3）
【解析】
试题解析：（1）把A（1，3）代入得：， 把B代入得：，∴B（3，1）.
把A（1，3），B（3，1）分别代入得：，解得：，
∴ ，令，得， ∴
（2）∵， ∴是的中点，由中点坐标公式知：，
∵两点都在双曲线上，∴，解得， ∴ .
作AD⊥于点D（如图）， 则△∽△，
∴，即， 又，
∴ ，∴.
∴
（3）结论：.
理由如下：∵A（），B（），∴， ∴
令，得 ，∵， ∴
=，即
【难度】一般
21 .如图，⊙O是△ABC的外接圆，P是⊙O外的一点，AM是⊙O的直径，∠PAC=∠ABC
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）连接PB与AC交于点D，与⊙O交于点E，F为BD上的一点，若M为的中点，且∠DCF=∠P，求证：.
【答案】（1）详见下面证明过程. （2）详见下面证明过程.
【解析】
试题解析：证明：（1）连接MC。
∵AM为⊙O直径,
∴∠ACM=90°,
∴∠AMC+∠MAC =90°.
又∵∠AMC=∠ABC,
∴∠ABC+∠MAC=90°.
又∵∠ABC=∠PAC,
∴∠PAC+∠MAC=90°,
∴∠PAM=90°，即MA⊥AP,
∴AP为⊙O的切线.
（2）连接AE.
∵M为中点，AM为⊙O的直径,
∴AM⊥BC.
又∵AM⊥AP,
∴AP∥BC,
∴△ADP∽△CDB （用的是两条直线被一组平斜线所截，所得对应线段成比例）.
.
∵AP//BC,
∴∠CBE =∠P.
又∵∠CBE=∠CAE,
∴∠P=∠CAE.
又∵∠P=∠DCF,
∴∠DCF=∠CAE.
∵∠ADE=∠CDF,
∴△ADE∽△CDF,
.
综上，可证得：.
【难度】一般
22.我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线， AF⊥BE ， 垂足为P.像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”.设，，.
特例探索
（1）如图1，当∠=45°，时，= ， ；
如图2，当∠=30°，时， = ， ；
归纳证明
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式；
拓展应用
（3）如图4，在□ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG， AD= ，AB=3.求AF的长.
【答案】（1） . ， .
（2） （3）
【解析】
试题解析：（1）如图1，连接EF，则EF是△ABC的中位线，
∴EF==，
∵∠ABE=45°，AE⊥EF ∴△ABP是等腰直角三角形，
∵EF∥AB ，∴△EFP也是等腰直角三角形，
∴AP=BP=2 ，EP=FP=1， ∴AE=BF=，
∴.
如图2，连接EF，则EF是△ABC的中位线.
∵∠ABE=30°，AE⊥BF，AB=4，
∴AP=2， BP=，
∵EF， ∴PE=，PF=1，
∴AE=， BF=
∴ ， .
（2）
如图3，连接EF， 设AP=m ，BP=n.，则
∵EF， ∴PE=BP=n ， PF=AP=m，
∴ ， ，
∴，
∴
（3）
如上图，延长EG，BC交于点Q， 延长QD，BA交于点P，延长QE，BE分别交PB，PQ于点M，N，连接EF.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴ADBC， ABCD，
∵E，G是分别是AD，CD的中点，∴△EDG≌△QCG≌△EAM， ∴CQ=DE=， DG=AM=1.5，∴BM=4.5.
∵，∴，∴BP=9， ∴M是BP的中点；
∵ADFQ， ∴四边形ADQF是平行四边形，∴AF∥PQ，
∵E，F分别是AD，BC的中点，∴AEBF， ∴四边形ABFE是平行四边形，∴OA=OF，
由AF∥PQ得：
， ∴， ∴PN=QN， ∴N是PQ的中点；
∴△BQP是“中垂三角形”， ∴，
∴， ∴
【难度】较难
23.已知抛物线E1：y=x2经过点A（1，m），以原点为顶点的抛物线E2经过点B（2，2），点A、B关于y 轴的对称点分别为点A′，B′．
（1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；
（2）如图1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连接OP并延长与抛物线E2相交于点P′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比．
【答案】（1）m=1；y=x2；
（2）存在，点Q的坐标为（2，4）与（，3）；
（3）.
【解析】
试题解析：（1）∵抛物线E1经过点A（1，m）， ∴m=12=1．
∵抛物线E2的顶点在原点，可设它对应的函数表达式为y=ax2（a≠0）， 又∵点B（2，2）在抛物线E2上，
∴2=a×22， 解得：a=， ∴抛物线E2所对应的二次函数表达式为y=x2．
（2）如图1，假设在第一象限内，抛物线E1上存在点Q，使得△QBB′为直角三角形，
由图象可知直角顶点只能为点B或点Q．
①当点B为直角顶点时，过B作QB⊥BB′交抛物线E1于Q，
则点Q与B的横坐标相等且为2，将x=2代入y=x2得y=4， ∴点Q的坐标为（2，4）．
②当点Q为直角顶点时，则有QB′2+QB2=B′B2，过点Q作GQ⊥BB′于G， 设点Q的坐标为（t，t2）（t＞0），
则有（t+2）2+（t2﹣2）2+（2﹣t）2+（t2﹣2）2=4， 整理得：t4﹣3t2=0，
∵t＞0，∴t2﹣3=0，解得t1=，t2=﹣（舍去）， ∴点Q的坐标为（， 3），
综合①②，存在符合条件的点Q坐标为（2，4）与（，3）；
（3）如图2，过点P作PC⊥x轴，垂足为点C，PC交直线AA'于点E.
【难度】较难
24.已知：线段，直线外一点A．求作：Rt△ABC，使直角边为AC（AC⊥，垂足为C）斜边AB＝c．
【答案】
【解析】
试题分析：首先作出AB⊥l,然后以A为圆心，c的长度为半径画弧，于直线l的交点就是点C.
【难度】较易
25．解不等式： ，并把解集表示在数轴上.
【答案】x＞4．
【解析】
试题分析：先去分母，再移项，合并同类项，把解集在数轴上表示出来即可．
解：去分母得，4x﹣1﹣3x＞3，
移项、合并同类项得，x＞4．
在数轴上表示为：
．
【难度】较易
26．已知，求代数式的值.
【答案】3．
【解析】
试题分析：原式利用完全平方公式及单项式乘以多项式法则计算，将已知等式代入计算即可求出值．
解：原式=a2﹣2a+1+2ab+b2+2a=（a+b）2+1，
把a+b=﹣代入得：原式=2+1=3．
【难度】较易
27.小丽为了测旗杆AB的高度，小丽眼睛距地图1.5米，小丽站在C点，测出旗杆A的仰角为30o，小丽向前走了10米到达点E，此时的仰角为60o，求旗杆的高度。
【答案】+5
【解析】
试题分析：设DF的延长线与AB相交于点G，根据题意得出∠ADF=30°，∠AFG=60°，DF=10，根据三角形外角的性质得出AF=DF=10，根据Rt△AFG的三角函数求出AG的长度，然后根据AB=AG+BG求出AB的长度.
解：设DF的延长线与AB相交于点G 根据题意得：∠ADF=30° ∠AFG=60° DF=10
∴∠DAF=∠AFG－∠ADF=60°－30°=30° ∴∠ADF=∠DAF ∴DF=AF=10
∴AG=AF·sin∠AFG=10×=5 ∴AB=AG+BG=+5（米）
∴旗杆的高度为（+5）米.
【难度】一般
28．我区某学校为了提升学生的体艺素养，准备开设空手道、素描、剪纸三项活动课程，为了解学生对各项活动的兴趣，随机抽取了部分学生进行调查（每人从中必须选取一项，且只能选一项），将调查结果绘制成下面两个统计图，请你结合图中信息解答问题.
（1）将条形统计图补充完整；
（2）本次抽样调查的样本容量是____________；
（3）已知该校有1200名学生，请你根据样本估计全校学生中喜欢剪纸的人数.
【答案】（1）
（2）100.（3）360人.
【解析】
试题分析：（1）抽取女生总人数10÷20℅=50，素描的女生有50-10-16=24（人）
（2）样本容量=抽取的学生总数=30+10+6+24+14+16=100
（3）∵样本中喜欢剪纸的人数为30人，样本容量为100，
∴估计全校学生中喜欢剪纸的人数：1200×=360人．
答：全校学生中喜欢剪纸的有360人。
【难度】一般
29.如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与y轴交于点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）点是轴上一点，且的面积是面积的2倍，求点的坐标．
【答案】（1）y=-3x+3.
（2）（4,0）或（-4,0）.
【解析】
试题分析：（1）∵ 点，在反比例函数的图象上，
∴m=6,n=2.
∴， ∵一次函数的图象过，两点，
∴ ∴
∴一次函数的解析式为y=-3x+3.
（2）∵一次函数y=-3x+3与y轴交点C（0，3）, 且B（2，-3）
∴面积为3.
∵是轴上一点，且的面积是面积的2倍，
∴设（a,0）,
∴，解得，.
∴点的坐标为（4,0）或（-4,0）.
【难度】一般
30．如图，AB为⊙O的直径，M为⊙O外一点，连接MA与⊙O交于点C，连接MB并延长交⊙O于点D，经过点M的直线l与MA所在直线关于直线MD对称．作BE⊥l于点E，连接AD，DE．
（1）依题意补全图形；
（2）在不添加新的线段的条件下，写出图中与∠BED相等的角，并加以证明．
【答案】（1）作图见试题解析；（2）证明见试题解析．
【解析】
试题分析：（1）连结两条线段即可；
（2）连结BC、CD，如图，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，则BC⊥AC，再根据轴对称的性质得到MD平分∠EMC，于是根据角平分线的性质得BC=BE，所以可判断点C与点E关于直线MD对称，得到△BCD≌△BED，则∠BCD=∠BED，再由圆周角定理得∠BCD=∠BAD，于是得到∠BAD=∠BED．
试题解析：（1）如图，
（2）∠BAD=∠BED．理由如下：连结BC、CD，如图，∴AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∵直线l与MA所在直线关于直线MD对称，∴MD平分∠EMC，∴BC=BE，∴点C与点E关于直线MD对称，∴△BCD≌△BED，∴∠BCD=∠BED，∵∠BCD=∠BAD，∴∠BAD=∠BED．
【难度】一般
31．阅读下面的材料：
小敏在数学课外小组活动中遇到这样一个问题：
如果，β都为锐角，且，，求的度数．
小敏是这样解决问题的：如图1，把，放在正方形网格中，使得，，且BA，BC在直线BD的两侧，连接AC，可证得△ABC是等腰直角三角形，因此可求得=∠ABC = °．
请参考小敏思考问题的方法解决问题：
如果，都为锐角，当，时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角，画出∠MON=，由此可得=______°．
【答案】45，45．
【解析】
试题分析：（1）证明△ABC时等腰直角三角形即可得到结论，∴∠ABC=450
（2）构造图形如图，可证△MON为等腰直角三角形，即可得到结论．
画图见图6．∴=45°．
考点：1．锐角三角函数的定义；2．作图题．
【难度】较难
32.如图隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m。
（1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
【答案】（1），拱顶D到地面OA的距离为10米；
（2）可以通过；
（3）4.
【解析】
试题分析：根据点B和点C在函数图象上，利用待定系数法求出b和c的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标，得出最大值；根据题意得出车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0）），然后求出当x=2或x=10时y的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过；将y=8代入函数，得出x的值，然后进行做差得出最小值.
解：（1）由已知点B（0，4）,C（3，）在抛物线上
∴，解得
∴ ∴当时，y最大=10.
（2）由题知车最外侧与地面OA的交点为（2,0）（或（10,0））
当时，，所以可以通过
（3），即，可得，解得
答：两排灯的水平距离最小是.
【难度】较难
33.在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4， D，E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0<α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．
（1）如图1，当α=90°时，线段BD1的长等于 ，线段CE1的长等于 ；（直接填写结果）
（2）如图2，当α=135°时，求证：BD1= CE1，且BD1⊥CE1；
（3）①设BC的中点为M，则线段PM的长为 ；②点P到AB所在直线的距离的最大值为 ．（直接填写结果）
【答案】（1）BD1 = 2,CE1=2;
（2）见下面解析证明过程；
（3）①2， ② 1+．
【解析】
试题分析：（1）利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理分别得出BD1的长和CE1的长；
（2）根据旋转的性质得出，∠D1AB=∠E1AC=135°，进而求出△D1AB≌△E1AC（SAS），即可得出答案；
（3）①直接利用直角三角形的性质得出PM=BC得出答案即可；
②首先作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，则D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，
此时四边形AD1PE1是正方形，进而求出PG的长．
解：（1）∵∠A=90°，AC=AB=4，D，E分别是边AB，AC的中点，
∴AE=AD=2，
∵等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°），
∴当α=90°时，AE1=2，∠E1AE=90°，
∴BD1==2，E1C==2；
故答案为：2，2；
（2）证明：当α=135°时，如图2，
∵Rt△AD1E是由Rt△ADE绕点A逆时针旋转135°得到，
∴AD1=AE1，∠D1AB=∠E1AC=135°，
在△D1AB和△E1AC中
∵，
∴△D1AB≌△E1AC（SAS），
∴BD1=CE1，且∠D1BA=∠E1CA，
记直线BD1与AC交于点F，
∴∠BFA=∠CFP，
∴∠CPF=∠FAB=90°，
∴BD1⊥CE1；
（3）解：①∵∠CPB=∠CAB=90°，BC的中点为M，
∴PM=BC，
∴PM==2，
故答案为：2；
②如图3，作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，
∵D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，
当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，
此时四边形AD1PE1是正方形，PD1=2，则BD1==2，
故∠ABP=30°，
则PB=2+2，
故点P到AB所在直线的距离的最大值为：PG=1+．
故答案为：1+．
【难度】较难
34．给出如下规定：两个图形G1和G2，点P为G1上任一点，点Q为G2上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G1和G2之间的距离．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．
（1）点A的坐标为，则点和射线OA之间的距离为________，点和射线OA之间的距离为________；
（2）如果直线和双曲线之间的距离为，那么k= ；（可在图1中进行研究）
（3）点E的坐标为（1，），将射线OE绕原点O逆时针旋转60(，得到射线OF，在坐标平面内所有和射线OE，OF之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M．
①请在图2中画出图形M，并描述图形M的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示）
②将射线OE，OF组成的图形记为图形W，抛物线与图形M的公共部分记为图形N，请直接写出图形W和图形N之间的距离．
【答案】（1）3，；（2）－1；（3）①图形见试题解析；②．
【解析】
试题分析：（1）根据两个图形G1和G2之间的距离的定义即可得到结论；
（2）由于两个图形间的距离为，故把直线向上平移2个单位得到直线，则方程有两个相等的实数根，即可解出k的值；
（3）①根据题意画出图形即可；
②图形W和图形N之间的距离为与的交点到坐标原点的距离，交点为（，），故可得到距离．
试题解析：（1）3，；
（2）(1；
（3）①如图9，过点O分别作射线OE、OF的垂线OG、OH，则图形M为：y轴正半轴，∠GOH的边及其内部的所有点（图中的阴影部分）．说明：（画图2分，描述1分）（图形M也可描述为：y轴正半轴，直线下方与直线下方重叠的部分（含边界））
②．
【难度】困难
35．计算：
【答案】．
【解析】
试题分析：原式==．
【难度】容易
36.解方程：－= 2．
【答案】x=3．
【解析】
试题分析：按照去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可
解：+=2
1+3=2（x-1）
4=2x-2
6=2x
x=3
经检验，x=3是方程得解。
【难度】较易
37．先化简，再求值： ，其中x满足．
【答案】
【解析】
试题分析：首先将分式的除法改成乘法，进行约分化简，然后根据方程求出x的值，将x的值代入化简后的式子进行计算．
解：原式===．
又∵，， ∴． 当时，原式=．
【难度】较易
38.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD＝3 ，AB＝5，求的值．
【答案】．
【解析】
试题分析：根据平行线分线段成比例定理得出=，再根据AD=3，AB=5，即可得出答案．
∵DE∥BC，∴=，∵AD=3，AB=5，∴=．
【难度】较易
39．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
【答案】（1）y=﹣2x+8（2）0＜x＜1或x＞3. （3）8.
【解析】
试题分析：（1）先把（m，6）、B（n，3）代入反比例函数，可求m、n的值，即可得A、B的坐标，然后把AB两点坐标代入一次函数，可得关于k、b的二元一次方程组，解可得k、b的值，从而可得一次函数的解析式；
（2）根据图象可知当0＜x＜1或x＞3时，反比例函数的图象在一次例函数的图象上方，即一次函数y的值小于反比例函数y的值；
（3）分别求出一次函数与x、y轴的交点坐标，然后可求面积为．
解析：（1）分别把A（m，6），B（3，n）代入
得6m=6，3n=6，
解得m=1，n=2，
所以A点坐标为（1，6），B点坐标为（3，2），分别把
A（1，6），B（3，2）代入y=kx+b得
，
解得，
所以一次函数解析式为y=﹣2x+8；
（2）当0＜x＜1或x＞3时，；
（3）如图，当x=0时，y=﹣2x+8=8，则C点坐标为（0，8），
当y=0时，﹣2x+8=0，解得x=4，则D点坐标为（4，0），
所以 =×4×8﹣×8×1﹣×4×2=8．
【难度】一般
40．列方程或方程组解应用题：
为响应市政府“绿色出行”的号召，小张上班由自驾车改为骑公共自行车．已知小张家距上班地点10千米．他用骑公共自行车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的方式平均每小时行驶的路程少45千米，他从家出发到上班地点，骑公共自行车方式所用的时间是自驾车方式所用的时间的4倍．小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶多少千米?
【答案】
【解析】
试题分析：设小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶x千米，根据题意列方程得
解得：
经检验是原方程的解且符合实际意义.
答：小张用骑公共自行车方式上班平均每小时行驶15千米.
【难度】一般
41．如图，在□ABCD中，E为BC边上的一点，将△ABE沿AE翻折得到△AFE，点F恰好落在线段DE上．
（1）求证：∠FAD=∠CDE；
（2）当AB=5，AD=6，且时，求线段EC的长．
【答案】（1）见解析；（2）EC=．
【解析】
试题分析：
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B =∠ADC.
∵将△BAE沿AE翻折得到△FAE，点F恰好落在线段DE上，
∴△ABE≌△AFE．∴∠B=∠AFE.
∴∠AFE=∠ADC．∵∠FAD=∠AFE-∠1，∠CDE =∠ADC -∠1，
∴∠FAD=∠CDE．
（2）过点D作DG⊥BE的延长线于点G．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，CD =AB=5.
∴∠2=∠B，∠3=∠EAD．
由（1）可知，△ABE≌△AFE，∴∠B=∠AFE， ∠3=∠4．∴∠4=∠EAD．∴ED=AD=6.
在Rt△CDG中，∴tan∠2= tan∠ABC =．∴DG=2CG．
∵ ，∴.∴CG=， DG=2．
在Rt△EDG中， ∵ ，∴EG=4．∴EC=．
【难度】一般
42．2014年1月10日，国内成品油价格迎来了首次降低，某调查员就“汽油降价对用车的影响”，这一问题向有机动车的私家车车主进行了问卷调查，并制作了统计图表的一部分如下：
车主的态度
百分比
A. 没有影响
4%
B. 影响不大
p
C. 有影响
52%
D. 影响很大
m
E. 不关心这个问题
10%
（1）结合上述统计图表可得：p= ，m= ；
（2）根据以上信息，补全条形统计图；
（3）2014年1月末，某市有机动车的私家车车主约200 000人，根据上述信息，请你估计一下持有“影响不大”这种态度的车主约有多少人？
【答案】（1）p=24%，m=10%；
（2）补全条形统计图，如下图；
（3）48000人.
【解析】
试题分析：（1）根据扇形统计图可得p=24%，m=1-24%-52%-10%-4%=10%；（2）根据E类的频数和百分比求出总人数=400÷10%=4000，然后求出B类和D类的人数分别为B：960人，D：400人，然后可补全条形统计图；（3）把P的值代入200000p计算即可.
解析：（1）24%，10%；
（2）B：960人，D：400人；补全条形统计图如图所示：
（3）200000×24%=48000（人），于是，可以估计持有“影响不大，还可以接受”这种态度的车主约有48000人。
【难度】一般
43．如图，已知等边△ABC，AB=16，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连结GD．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）求FG的长；
（3）求tan∠FGD的值．
【答案】（1）见解析；（2）6；（3）．
【解析】
试题分析：（1）连结OD，根据等边三角形的性质得∠C=∠A=∠B=60°，而OD=OB，所以∠ODB=60°=∠C，于是可判断OD∥AC，又DF⊥AC，则OD⊥DF，根据切线的判定定理可得DF是⊙O的切线；
（2）先证明OD为△ABC的中位线，得到BD=CD=6．在Rt△CDF中，由∠C=60°，得∠CDF=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得CF=CD=3，所以AF=AC-CF=9，然后在Rt△AFG中，根据正弦的定义计算FG的长；
（3）过D作DH⊥AB于H，由垂直于同一直线的两条直线互相平行得出FG∥DH，根据平行线的性质可得∠FGD=∠GDH．解Rt△BDH，得BH=BD=3，DH=BH=3．解Rt△AFG，得AG=AF=，则GH=AB-AG-BH=，于是根据正切函数的定义得到tan∠GDH=，则tan∠FGD可求．
解析：（1）证明：连结OD，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠C=∠A=∠B=60°，
而OD=OB，
∴△ODB是等边三角形，
∴∠ODB=60°，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；
（2）∵OD∥AC，点O为AB的中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴BD=CD=8．
在Rt△CDF中，∠C=60°，
∴∠CDF=30°，
∴CF=CD=4，
∴AF=AC﹣CF=16﹣4=12，
在Rt△AFG中，
∵∠A=60°，
∴FG=AF×sinA=12×=6；
（3）过D作DH⊥AB于H．
∵FG⊥AB，DH⊥AB，
∴FG∥DH，
∴∠FGD=∠GDH．
在Rt△BDH中，∠B=60°，
∴∠BDH=30°，
∴BH=BD=4，DH=BH=4．
在Rt△AFG中，∵∠AFG=30°，
∴AG=AF=6，
∵GH=AB﹣AG﹣BH=16﹣6﹣4=6，
∴tan∠GDH=，
∴tan∠FGD=tan∠GDH=．
【难度】一般
44．已知点A（－2，n）在抛物线上．
（1）若b＝1，c＝3，求n的值；
（2）若此抛物线经过点B（4，n），且二次函数的最小值是－4，请画出点
P（，）的纵坐标随横坐标变化的图象，并说明理由．
【答案】（1）5；（2）作图见试题解析，理由见试题解析．
【解析】
试题分析：（1）代入b=1，c=3，以及A点的坐标即可求得n的值；
（2）根据题意求得抛物线的解析式为，从而求得点P（，）的纵坐标随横坐标变化的关系式为，然后利用5点式画出函数的图象即可．
解析：（1）∵b=1，c=3，A（﹣2，n）在抛物线上，∴n=4+（﹣2）×1+3=5；
（2）∵此抛物线经过点A（﹣2，n），B（4，n），∴抛物线的对称轴，∵二次函数的最小值是﹣4，∴抛物线的解析式为，令，∴点P（，）的纵坐标随横坐标变化的关系式为，点P（，）的纵坐标随横坐标变化的如图：
【难度】一般
45．已知点P是∠MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使∠APB+∠MON=1800．
（1）利用图1，求证：PA=PB；
（2）如图2，若点是与的交点，当时，求PC与PB的比值；
（3）若∠MON=60°，OB=2，射线AP交ON于点，且满足且，请借助图3补全图形，并求的长．
【答案】（1）在OB上截取OD=OA，连接PD，∵OP平分∠MON，∴∠MOP=∠NOP．
又∵OA=OD，OP=OP，∴△AOP≌△DOP．∴PA=PD，∠1=∠2．∵∠APB+∠MON=180°，∴∠1+∠3=180°．
∵∠2+∠4=180°，∴∠3=∠4．∴PD=PB．∴PA=PB．
（2）；（3）+1．
【解析】
试题分析：在在OB上截取OD=OA，连接PD，根据角平分线得出∠MOP=∠NOP，根据OA=OD，OP=OP得出△AOP和△DOP全等得到PA=PD，即∠1=∠2，根据∠APB+∠MON=180°得出∠1+∠3=180°，根据∠2+∠4=180°得出∠3=∠4，即PD=PB，从而得出PA=PB；根据题意得出△PBC和△POB相似，从而得出线段的比值；首先根据题意画出图形，然后BE⊥OP交OP于E，从而求出OE和EP的长度，从而得出OP的长度．
试题解析：（1）在OB上截取OD=OA，连接PD，∵OP平分∠MON，∴∠MOP=∠NOP．
又∵OA=OD，OP=OP，∴△AOP≌△DOP．∴PA=PD，∠1=∠2．∵∠APB+∠MON=180°，∴∠1+∠3=180°．
∵∠2+∠4=180°，∴∠3=∠4．∴PD=PB．∴PA=PB．
（2）∵PA=PB，∴∠3=∠4．∵∠1+∠2+∠APB=180°，且∠3+∠4+∠APB=180°，
∴∠1+∠2=∠3+∠4．∴∠2=∠4．∵∠5=∠5，∴△PBC∽△POB．
∴
（3）作BE⊥OP交OP于E，∵∠AOB=600，且OP平分∠MON， ∴∠1=∠2=30°．
∵∠AOB+∠APB=180°，∴∠APB=120°∵PA=PB，∴∠5=∠6=30°∵∠3+∠4=∠7，
∴∠3+∠4=∠7=（180°30°）÷2=75°．
∵在Rt△OBE中，∠3=600，OB=2
∴∠4=150，OE=，BE=1 ∴∠4+∠5=450， ∴在Rt△BPE中，EP=BE=1∴OP=
【难度】较难
46.如图1，在平面直角坐标系内，已知点，，，，记线段为，线段为，点是坐标系内一点.给出如下定义：若存在过点的直线l与，都有公共点，则称点是联络点．
例如，点是联络点．
（1）以下各点中，__________________是联络点（填出所有正确的序号）；
①；② ；③.
（2）直接在图1中画出所有联络点所组成的区域，用阴影部分表示；
（3）已知点M在y轴上，以M为圆心，r为半径画圆，⊙M上只有一个点为联络点，①若，求点M的纵坐标；
②求的取值范围．
【答案】（1）②，③
（2）所有联络点所组成的区域为图中阴影部分（含边界）．
（3）①或2
②
【解析】
试题分析：
（1）②，③是联络点．
（2）所有联络点所组成的区域为图中阴影部分（含边界）．
（3）① ∵点M在y轴上，⊙M上只有一个点为联络点，阴影部分关于y轴对称，
∴⊙M与直线AC相切于（0，0），
或与直线BD相切于（0，1），如图所示．
又∵⊙M的半径，
∴点M的坐标为（0，）或（0，2）．
经检验：此时⊙M与直线AD，BC无交点，⊙M上只有一个点为联络点，符合题意．
∴点M的坐标为（0，）或（0，2）．∴点M的纵坐标为或2．
②阴影部分关于直线对称，故不妨设点M位于阴影部分下方．
∵点M在y轴上，⊙M上只有一个点为联络点，
阴影部分关于y轴对称，
∴⊙M与直线AC相切于O（0，0），且⊙M与直线AD相离．
作ME⊥AD于E，设AD与BC的交点为F，
∴MO=r，ME>r，F（0，）．
在Rt△AOF中，∠AOF=90°，AO=1，，
∴，．
在Rt△FEM中，∠FEM=90°，FM=FO+OM=r+，，
∴．
∴．又∵，
∴．
【难度】困难
47．先化简，再求值：，其中
【答案】，．
【解析】
=
【难度】容易
48．解方程和不等式组：
（1）
（2）
【答案】（1）．（2）
【解析】
试题分析：（1）观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．（2）分别解出两个不等式的解集，再去公共部分．
试题解析：（1）方程两边同乘以，得．解这个方程，得．检验：将代入知，．所以是原方程的根．
（2）
所以，不等式组的解集为．
【难度】容易
49．在“全民读书月活动中，小明调查了班级里40名同学本学期计划购买课外书的花费情况，并将结果绘制成如图所示的统计图．请根据相关信息，解答下列问题：（直接填写结果）
（1）这次调查获取的样本数据的众数是 ；
（2）这次调查获取的样本数据的中位数是 ；
（3）若该校共有学生1000人，根据样本数据，估计本学期计划购买课外书花费50元的学生有 人．
【答案】（1）30元．（2）50元．（3）250 ．
【解析】（1）众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中30元出现12次，出现的次数最多，故这次调查获取的样本数据的众数是30元．
（2）中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．因此，
∵“样本数据共40，中位数是按从小到大排列后第20，21个数据的平均数，而第20，21个数据都在50元的一组，
∴这次调查获取的样本数据的中位数是50元．
（3）∵，
∴估计本学期计划购买课外书花费50元的学生有250人．
【难度】较易
50．用4张相同的小纸条做成甲、乙、丙、丁4支签，放在一个盒子中，搅匀后先从盒子中任意抽出1支签（不放回），再从剩下的3支签中任意抽出1支签。
（1）用树状图或列表格等方法列出所有可能出现的结果；
（2）求抽出的两支签中，1支为甲签、1支为丁签的概率。
【答案】
（1）
甲
乙
丙
丁
甲
甲乙
甲丙
甲丁
乙
乙甲
乙丙
乙丁
丙
丙甲
丙乙
丙丁
丁
丁甲
丁乙
丁丙
（2）
【解析】
（1）
甲
乙
丙
丁
甲
甲乙
甲丙
甲丁
乙
乙甲
乙丙
乙丁
丙
丙甲
丙乙
丙丁
丁
丁甲
丁乙
丁丙
（2）不放回抽签，抽到1支甲签、1支丁签的可能性为2，总出现的可能性为12．
故其概率为：．
【难度】一般
51．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE=AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE=CD；
（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，求AE的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）证明：在菱形ABCD中，OC=AC．
∴DE=OC．
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵AC⊥BD，
∴平行四边形OCED是矩形．
∴OE=CD．
（2）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴AC=AB=2．
∴在矩形OCED中，
CE= OD=．
在Rt△ACE中，
AE=．
【难度】一般
52．已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示．小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，付费9元；中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12．6元．若该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费．
（1）求m，n的值，并直接写出车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式；
（2）如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费15元，在光明电影院看电影花费25元．问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？为什么？
【答案】
（1）m=9，n=1．8，y=1．8x+3．6(x>3)；（2）不够．
【解析】
（1）由题意可知m=9，则n=(12．6-9)÷(5-3)=1．8元/公里，则
y=1．8(x-3)+9，即y=1．8x+3．6(x>3)．
（2）从光明电影院到光明中学用x=2+5=7公里，则乘车费用y=1．8×7+3．6=16．2元，共花费9+12．6+15+25+16．2=77．8元，因为77．8>75，所以小张剩下的现金不够乘出租车返回。
【难度】一般
53．如图，在⊙中，为直径，，弦与交于点，过点分别作⊙的切线交于点，且GD与的延长线交于点．
（1）求证：；
（2）已知：，⊙的半径为，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）证明：连结，如图．
∵为⊙的切线，为半径，
∴．
∴，即．
∵，
∴．
∴．
而，
∴．
∴．
∵，
∴．
（2）解：∵，⊙的半径为，
∴．
∵，
∴．
在中，，设，则，．
∵，
∴，解得．
∴，．
∵为⊙的切线，为半径，为⊙的切线，
∴，．
∴．
在中，设，则．
∵．
∴，解得，．
∴．
【难度】一般
54．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，DE∥BC分别交AB于D，交AC于E．已知CD⊥BE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值．
小明发现，过点E作EF∥DC，交BC延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
请回答：BC+DE的值为_______．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，已知□ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC=BF=DF，求∠AGF的度数．
【答案】，60°．
【解析】
解：BC＋DE的值为．
解决问题：
连接AE，CE，如图．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB // DC．
∵四边形ABEF是矩形，
∴AB // FE，BF＝AE．
∴DC // FE．
∴四边形DCEF是平行四边形．
∴ CE // DF．
∵AC＝BF＝DF，
∴AC＝AE＝CE．
∴△ACE是等边三角形．
∴∠ACE＝60°．
∵CE∥DF，
∴∠AGF＝∠ACE＝60°．
【难度】较难
55．某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本（单位：元）、销售价（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系．
（1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；
（2）求线段AB所表示的与x之间的函数表达式；
（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；（2）y=﹣0．2x+60（0≤x≤90）；（3）当该产品产量为75kg时，获得的利润最大，最大值为2250．
【解析】
试题分析：（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；
（2）根据线段AB经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；
（3）利用总利润=单位利润×产量列出有关x的二次函数，求得最值即可．
试题解析：（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；
（2）设线段AB所表示的与x之间的函数关系式为，∵的图象过点（0，60）与（90，42），∴，∴解得：，
∴这个一次函数的表达式为：y=﹣0．2x+60（0≤x≤90）；
（3）设与x之间的函数关系式为，
∵经过点（0，120）与（130，42），∴，解得：，
∴这个一次函数的表达式为（0≤x≤130），
设产量为xkg时，获得的利润为W元，
当0≤x≤90时，W==，
∴当x=75时，W的值最大，最大值为2250；
当90≤x130时，W==，
∴当x=90时，W=，
由﹣0．6＜0知，当x＞65时，W随x的增大而减小，∴90≤x≤130时，W≤2160，
因此当该产品产量为75kg时，获得的利润最大，最大值为2250．
【难度】较难
56．对于平面直角坐标系xOy中的点P和线段AB，给出如下定义：在线段AB外有一点P，如果在线段AB上存在两点C、D，使得∠CPD=90°，那么就把点P叫做线段AB的悬垂点．
（1）已知点A（2，0），O（0，0）
①若，D（1，1），E（1，2），在点C，D，E中，线段AO的悬垂点是______；
②如果点P（m，n）在直线上，且是线段AO的悬垂点，求的取值范围；
（2）如下图是帽形M（半圆与一条直径组成，点M是半圆的圆心），且圆M的半径
是1，若帽形内部的所有点是某一条线段的悬垂点，求此线段长的取值范围．
【答案】（1）①C，D；②；（2）
【解析】
（1）①线段AO的悬垂点是C，D；
②以点D为圆心，以1为半径做圆，
设与⊙D 交于点B，C
与x轴，y轴的交点坐标为（1，0），（0，-1）
∴∠ODB=45°
∴DE=BE
在Rt△DBE中，
由勾股定理得：DE=
∴
（2）设这条线段的长为a
①当时，如图1，凡是⊙D外的点不满足条件；
②当时，如图2，所有的点均满足条件；
③当时，如图3，所有的点均满足条件；
综上所述：
【难度】困难
57．
（1）计算：；
（2）解分式方程：．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）利用负整数整数幂的性质以及特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质分别化简求出即可；
（2）利用解分式方程的解法去分母求出即可．
试题解析：（1）原式==；
（2）去分母得：，解得：，检验：当时，，故是原方程的根．
【难度】容易
58．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D.
（1）求弧BC的长；
（2）求弦BD的长.
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）连接OC，根据直径所对的圆周角是直角，求得∠ACB=∠ADB=90°，然后根据求出∠BAC=60°，再根据圆周角定理可求得∠BOC=120°，然后根据弧长公式可求弧BC；
（2）连接OD，根据角平分线的性质可知∠ACD=∠BCD，因此根据圆周角定理可得∠AOD=∠BOD，再由等弧所对的弦相等，得AD=BD，进而知△ADB是等腰直角三角形，然后根据45°角的锐角三角函数可求得BD的长.
试题解析：解：（1）连接OC.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°.
在Rt△ABC中，
∵cos∠BAC=，
∴∠BAC=60°，
∴∠BOC=2∠BAC =120°.
∴弧BC的长为.
（2）连接OD.
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴∠AOD=∠BOD，
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠ABD=45°
在Rt△ABD中，BD=.
【难度】较易
59．某厂制作甲、乙两种环保包装盒。已知同样用6m的材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少2个，且制成一个甲盒比制作一个乙盒需要多用20%的材料。
（1）求制作每个甲盒、乙盒各用多少材料？
（2）如果制作甲、乙两种包装盒3000个，且甲盒的数量不少于乙盒数量的2倍，那么请写出所需材料总长度与甲盒数量之间的函数关系式，并求出最少需要多少米材料。
【答案】甲盒用0．6米材料；制作每个乙盒用0．5米材料；l=0．1n+1500,1700．
【解析】
试题分析：首先设制作每个乙盒用米材料，则制作甲盒用（1+20%）米材料，根据乙的数量－甲的数量=2列出分式方程进行求解；根据题意得出n的取值范围，然后根据l与n的关系列出函数解析式，根据一次函数的增减性求出最小值．
试题解析：（1）设制作每个乙盒用米材料，则制作甲盒用（1+20%）米材料
由题可得： 解得（米）
经检验是原方程的解，所以
答：制作每个甲盒用0．6米材料；制作每个乙盒用0．5米材料
（2）由题 ∴
∵，∴，∴当时，
【难度】一般
60．根据某网站调查，2014年网民们最关注的热点话题分别有：消费、教育、环保、反腐及其他共五类．根据调查的部分相关数据，绘制的统计图表如下：
根据所给信息解答下列问题：
（1）请补全条形统计图并在图中标明相应数据；
（2）若某市约有880万人口，请你估计最关注环保问题的人数约为多少万人？
（3）在这次调查中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题，现准备从这四人中随机抽取两人进行座谈，试用列表或树形图的方法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．
【答案】
（1）
（2）88；（3）．
【解析】
试题分析：（1）根据关注消费的人数是420人，所占的比例式是30%，即可求得总人数，然后利用总人数乘以关注教育的比例求得关注教育的人数；
（2）利用总人数乘以对应的百分比即可；
（3）利用列举法即可求解即可．
试题解析：（1）调查的总人数是：420÷30%=1400（人），关注教育的人数是：1400×25%=350（人）．
；
（2）880×10%=88万人；
（3）画树形图得：
则P（抽取的两人恰好是甲和乙）==．
【难度】一般
61．如图是函数与函数在第一象限内的图象，点是的图象上一动点，轴于点A，交的图象于点，轴于点B，交的图象于点．
（1）求证：D是BP的中点；
（2）求出四边形ODPC的面积．
【答案】
（1）见解析；（2）S四边形ODPC=3.
【解析】
试题分析：（1）由点P在函数上，可设P点坐标为（，m），由点D在函数上，BP∥轴，可得D点坐标为（，m），由题意可得 BD=，BP=，从而可得D是BP的中点；
（2）有四边形OAPB的面积-三角形BOD的面积-三角形AOC的面积即得.
试题解析：（1）∵点P在函数上，∴设P点坐标为（，m），∵点D在函数上，BP∥轴，∴设D点坐标为（，m），由题意可得 BD=，BP=，故D是BP的中点；
（2）S四边形PBOA =﹒m=6，设C点坐标为（，），D点坐标为（，），则S△OBD==，S△OAC==，∴S四边形ODPC=S四边形PBOA—S△OBD—S△OAC=6——=3；
【难度】一般
62.如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线AE上任意一点（不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D．
（1）直接写出∠NDE的度数；
（2）如图2、图3，当∠EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；
（3）如图4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线CM与AB交于G，BD= ，其他条件不变，求线段AM的长．
【答案】（1）∠NDE=90°；（2）不变；（3）AM=．
【解析】
分析:（1）根据题意证明△MAC≌△NBC即可；
（2）与（1）的证明方法相似，证明△MAC≌△NBC即可；
（3）作GK⊥BC于K，证明AM=AG，根据△MAC≌△NBC，得到∠BDA=90°，根据直角三角形的性质和已知条件求出AG的长，得到答案．
解：（1）∵∠ACB=90°，∠MCN=90°，
∴∠ACM=∠BCN，
在△MAC和△NBC中，
，
∴△MAC≌△NBC，
∴∠NBC=∠MAC=90°，
又∵∠ACB=90°，∠EAC=90°，
∴∠NDE=90°；
（2）不变，
在△MAC和△NBC中，
，
∴△MAC≌△NBC，
∴∠N=∠AMC，
又∵∠MFD=∠NFC，
∠MDF=∠FCN=90°，即∠NDE=90°；
（3）作GK⊥BC于K，
∵∠EAC=15°，
∴∠BAD=30°，
∵∠ACM=60°，
∴∠GCB=30°，
∴∠AGC=∠ABC+∠GCB=75°，
∠AMG=75°，
∴AM=AG，
∵△MAC≌△NBC，
∴∠MAC=∠NBC，
∴∠BDA=∠BCA=90°，
∵BD=，
∴AB=+，
AC=BC=+1，
设BK=a，则GK=a，CK=a，
∴a+a=+1，
∴a=1，
∴KB=KG=1，BG=，
AG=，
∴AM=．
【难度】较难
63．如图，在平面直角坐标系中，以点M（0，3）为圆心、5为半径的圆与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C、D（点C在点D的上方），经过B、C两点的抛物线的顶点E在第二象限．
（1）求点A、B两点的坐标．
（2）当抛物线的对称轴与⊙M相切时, 求此时抛物线的解析式．
（3）连结AE、AC、CE，若．
①求点E坐标；
②在直线BC上是否存在点P，使得以点B、M、P为顶点的三角形和△ACE相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A（－4,0）；B（4,0）；（2）；（3）E；P．
【解析】
试题分析：（1）连接AM，根据题意得出AM=5，OM=3，则OA=0B=4，求出点坐标；（2）设出函数解析式，根据题意得c=8，将点B的坐标代入找出b和a的关系式，求出直线的对称轴；根据切线的性质得出对称轴为x=－5，求出a和b的值；（3）根据∠ACO和∠CAE的正切值得出两个角相等，根据点A在对称轴上，则可得出对对称轴为直线x=－4，求出a的值，然后求出顶点坐标．
试题解析：（1）连结M A，由题意得：AM=5，OM=3，则OA=4，同理得OB=4，
∴点A、点B的坐标分别是（-4，0）（4，0）
（2）设经过B、C两点的抛物线解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
∵OM=3，CM=5
∴OC=8，即C（0,8）
把B、C的坐标代入抛物线解析式得
c=8,
0=16a+4b+8，
∴b=-4a-2；
此时，y=ax2+（-4a-2）x+8（a≠0），
它的对称轴是直线：x==；
又∵抛物线的顶点E在第二象限且该抛物线的对称轴与⊙M相切，
则=-5，∴a=，b=，
∴抛物线的解析式为
（3）①在Rt△AOC中
，
而tan∠CAE=
∴∠CAE=∠ACO，所以AE∥CO，即点A在抛物线的对称轴上
又∵y=ax2+（-4a-2）x+8，
∴，∴a=；
∴
∴E
②在直线BC上存在点P，使得以点B、M、P为顶点的三角形和△ACE相似，点P的坐标为
【难度】困难
64.计算：
【答案】2-.
【解析】
试题分析：先进行二次根式的化简、零指数幂、负整数指数幂、二次根式的乘法运算，再根据运算顺序依次计算即可．
试题解析：原式=-1+3--=2-．
【难度】较易
65．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，且与反比例函数（）的图象在第一象限交于点C，如果点B的坐标为（0，2），OA=OB，B是线段AC的中点．
（1）求点A的坐标及一次函数解析式．
（2）求点C的坐标及反比例函数的解析式．
【答案】（1）A（﹣2，0），；（2）C（2，4），．
【解析】
试题分析：（1）根据OA=OB和点B的坐标可求得点A坐标，再将A、B两点坐标分别代入，可用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）由B是线段AC的中点，得到C点坐标，将C点坐标代入反比例函数的解析式即可．
试题解析：（1）∵OA=OB，点B的坐标为（0，2），∴点A（﹣2，0），点A、B在一次函数（）的图象上，∴，解得k=1，b=2，∴一次函数的解析式为；
（2）∵B是线段AC的中点，∴点C的坐标为（2，4），又∵点C在反比例函数（）的图象上，∴k=8，∴反比例函数的解析式为．
【难度】容易
66．在阳光体育活动时间，小亮、小莹、小芳和大刚到学校乒乓球室打乒乓球，当时只有一副空球桌，他们只能选两人打第一场．
（1）如果确定小亮打第一场，再从其余三人中随机选取一人打第一场，求恰好选中大刚的概率；
（2）如果确定小亮做裁判，用“手心、手背”的方法决定其余三人哪两人打第一场．游戏规则是：三人同时伸“手心、手背”中的一种手势，如果恰好有两人伸出的手势相同，那么这两人上场，否则重新开始，这三人伸出“手心”或“手背”都是随机的，请用画树状图的方法求小莹和小芳打第一场的概率．
【答案】（1）.（2）.
【解析】
试题分析：（1）由小亮打第一场，再从其余三人中随机选取一人打第一场，求出恰好选中大刚的概率即可；
（2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出小莹和小芳伸“手心”或“手背”恰好相同的情况数，即可求出所求的概率．
试题解析：（1）∵确定小亮打第一场，
∴再从小莹，小芳和大刚中随机选取一人打第一场，恰好选中大刚的概率为；
（2）列表如下：
所有等可能的情况有8种，其中小莹和小芳伸“手心”或“手背”恰好相同的结果有2个，
则小莹与小芳打第一场的概率为=．
【难度】一般
67．某市地铁工程正在加快建设，为了缓解市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警大队在一些主要路口设立了交通路况指示牌，如图所示，小明在离指示牌3．2米的点B处测得指示牌顶端D点和底端E点的仰角分别为52°和30°．求路况指示牌DE的高度．（精确到0．01米，参考数据：≈1．732，sin52°≈0．79，cos52°≈0．62, tan52°≈1．28．）
【答案】路况指示牌DE的高度约为2．25米．
【解析】
试题分析：过点A作AF⊥DC于点F，在Rt△ADF中求出DF，在Rt△AEF中求出EF，继而根据DE=DF-EF，可得出答案．
试题解析：
过点A作AF⊥DC于点F，
在Rt△ADF中，AF=3．2，tan∠DAF=tan52°=，
∴DF=AFtan52°=3．2×1．28≈4．10米．
在Rt△AEF中，AF=3．2，tan∠EAF=tan30°=，
∴EF=AFtan30°=3．2×0．577≈1．85米．
故可得DE=DF﹣EF=2．25米．
答：路况指示牌DE的高度约为2．25米．
【难度】一般
68.某专卖店计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1（元/台）与采购数量x1（台）满足y1=﹣20x1+1500（10＜x1≤15，x1为整数）；冰箱的采购单价y2（元/台）与采购数量x2（台）满足y2=﹣10x2+1300（5≤x2＜10，x2为整数）．该专卖店分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．问：怎么采购才能使总利润最大？并求最大利润．
【答案】采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元
【解析】
试题分析：首先设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20﹣x）台，根据题意得出与x的函数关系熟，求出w与x的函数关系式，根据二次函数的性质以及x的取值范围，求出利润的最大值．
试题解析：设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20﹣x）台，
由题意，设总利润为W元，y2=﹣10x2+1300=﹣10（20﹣x）+1300=10x+1100，
则W=（1760﹣y1）x1+（1700﹣y2）x2，=1760x﹣（﹣20x+1500）x+（1700﹣10x﹣1100）（20﹣x），
=1760x+20x2﹣1500x+10x2﹣800x+12000，=30x2﹣540x+12000，=30（x﹣9）2+9570，
当x＞9时，W随x的增大而增大， ∵10＜x≤15， ∴当x=15时，W最大值=30（15﹣9）2+9570=10650（元），
答：采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元．
【难度】较难
69．已知：如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，且D为AC的中点，过D作DE丄CB，垂足为E．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）已知CD=4，CE=3，求⊙O的半径．
【答案】（1）直线DE是⊙O的切线；连接OD,D为AC的中点则有OD为△ABC的中位线，所以OD∥BC,所以DE⊥OD.所以DE是⊙O的切线．（2）⊙O的半径为．
【解析】
试题分析：（1）利用切线的判定得出∠ODE=90°，进而求出DE是⊙O的切线，
（2）利用常作的一条辅助线，即“见切点，连半径，得垂直”，然后再把要证的垂直与已有的垂直进行联系，即可得出证法，利用相似三角形的判定与性质求出即可．
试题解析：（1）连接OD，
∵D为AC的中点，O为AB的中点，
∴DO∥BC，
∵DE丄CB，
∴DE⊥OD，
∴∠ODE=90°，
∴直线DE是⊙O的切线；
（2）连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
又∵DE⊥BC，
Rt△CDB∽Rt△CED，
∴
∴BC=
又∵OD=BC，
∴OD=×＝
即⊙O的半径为．
【难度】较难
70．某校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．
（1）这次被调查的同学共有 名；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐．据此估算，该校18 000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？
【答案】（1）1000.
（2）
.
（3）3600人．
【解析】
试题分析：（1）根据：没有剩的人数÷它的百分比，计算即可；（2）先求出剩少量的人数，然后可补全统计图；（3）根据;18 000×被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供200人用一餐的百分比，计算即可．
试题解析：（1）这次被调查的同学共有400÷40%=1000（名）；
故答案为：1000；
（2）剩少量的人数是；1000﹣400﹣250﹣150=200，
补图如下；
（3）18000×=3600（人）．
答：该校18000名学生一餐浪费的食物可供3600人食用一餐．
【难度】一般
71．【问题探究】
（1）如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．
【深入探究】
（2）如图2，四边形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45o，求BD的长．
（3）如图3，在（2）的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．
【答案】（1）BD=CE．由题意可证△AEC≌△ABD，故BD=CE;（2）cm；（3）（）cm．
【解析】
试题分析：（1）由题意可通过SAS证明△AEC≌△ABD得到BD与CE的大小关系即BD=CE；（2）由上题可知BD=CE，所以建立△AEC≌△ABD，作辅助线：在△ABC的外部，以点A为直角顶点作等腰直角三角形BAE，使∠BAE=90o，AE=AB，连接EA、EB、EC．只要求出CE长，BD就知道了，由AB长可求出BE,BC已知，△EBC是直角三角形，利用勾股定理可求出EC,从而得到BD的值；（3）和上题的思路一样，建立△EAC≌△BAD ，只要求出CE的长，BD就求出来了．作辅助线：在线段AC的右侧，过点A作AE⊥AB于A，交BC的延长线于点E，∴∠BAE=90o，可证△EAC≌△BAD （SAS），∴BD=CE，，BC=3，于是BD=CE=．
试题解析：（1）∵∠BAE=∠CAD，∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，又∵AE=AB，AC=AD，∴△EAC≌△BAD（SAS） ，∴BD=CE．（2）如图1，在△ABC的外部，以点A为直角顶点作等腰直角三角形BAE，使∠BAE=90o，AE=AB，连接EA、EB、EC．∵，∴，∴∠BAE=，∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，∴△EAC≌△BAD（SAS），∴BD=CE．∵AE=AB=7，∴， ∠AEB=∠ABE=45o．又∵∠ABC=45o（已知），∴∠ABC+∠ABE=45o+45o=90o，即∠EBC=90o，∴EC==，∴．∴BD长是cm．
（3）如图2，在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB于A，交BC的延长线于点E，∴∠BAE=90o，又∵∠ABC=45o，∴∠E=∠ABC=45o，∴AE=AB=7，．又∵∠ACD=∠ADC=45 o，∴∠BAE= ∠DAC=90o， ∴∠BAE∠BAC=∠DAC∠BAC，即∠EAC=∠BAD，∴△EAC≌△BAD （SAS） ，∴BD=CE，∵BC=3，∴BD=CE=（cm）．∴BD长是（）cm．
【难度】困难
72．如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．
（1）求AD的长及抛物线的解析式；
（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？
（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）AD=3．y=﹣x2+x；（2）t=或；（3）存在，①M1（-4，-32），N1（4，-38）;②M2（12，-32），N2（4，-26）;③M3（4，），N3（4，﹣）．
【解析】
试题分析：（1）利用△BDC≌△EDC，CE=BC，OC=AB，由勾股定理易得EO=6，则AE可求，设AD=x，则BD=DE=8﹣x，在△ADE中，由勾股定理能求出AD的长，因为抛物线过原点，所以解析式中c=0，设解析式为y=ax2+bx，再将D，C两点坐标代入求出a，b值，即可求出抛物线的解析式．（2）分两种情况讨论：当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，∵∠PCQ与∠AED是对应角（同是∠CEO的余角），∴AD和PQ是对应边，△ADE的各边长都知道，设运动t秒时相似，表示出三角形CPQ的各边长，两种相似情况下的对应线段成比例，即可求出t值；（3）假设存在符合条件的M、N点，分两种情况讨论：①EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，若四边形MENC是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点；顶点坐标即是M点坐标，由平行四边形性质易求出N点坐标；②EC为平行四边形的边，则ECMN，设N（4，m），由平行四边形性质用M表示出M点坐标，再把M点坐标代入抛物线解析式，从而求得M，N点坐标．
试题解析：（1）∵四边形ABCO为矩形，∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10，由题意，△BDC≌△EDC，∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD．在Rt△EOC中，由勾股定理易得EO=6，∴AE=10﹣6=4，设AD=x，则BD=DE=8﹣x，在Rt△ADE中，由勾股定理得：x2+42=（8﹣x）2，解得：x=3，∴AD=3．∵抛物线y=ax2+bx+c过点D（3，10），C（8，0），O（0，0）∴解析式中c=0，设解析式为y=ax2+bx，将D，C两点坐标代入：，解得，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x．（2）分两种情况讨论：∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，∴∠DEA=∠OCE，由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5，而CQ=t，EP=2t，∴PC=10﹣2t．①当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，∴=，即=，解得t=．②当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，∴=，即=，解得t=．∴当t=或时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似；（3）假设存在符合条件的M、N点，分两种情况讨论：①EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，若四边形MENC是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点；则：M（4，）；而平行四边形的对角线互相平分，那么线段MN必被EC中点（4，3）平分，则N（4，﹣）；②EC为平行四边形的边，则ECMN，设N（4，m），则当M在N点左侧时，M点坐标M（4﹣8，m+6），或M在N点右侧时，M点坐标为M（4+8，m﹣6）；将M（﹣4，m+6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣38，此时 N（4，﹣38）、M（﹣4，﹣32）；将M（12，m﹣6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣26，此时 N（4，﹣26）、M（12，﹣32）；综上，存在符合条件的M、N点，且它们的坐标为：
①M1（﹣4，﹣32），N1（4，﹣38）；②M2（12，﹣32），N2（4，﹣26）；③M3（4，），N3（4，﹣）．
【难度】困难
73．先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【解析】
试题分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
试题解析：原式===，
当时，原式=．
【难度】容易
74．某校九年级（3）班的师生到距离10千米的山区植树，出发1．5小时后，张锦同学骑自行车从学校按原路追赶队伍，结果他们同时到达植树地点．如果张锦同学骑车的速度比队伍步行的速度的2倍还多2千米．求骑车与步行的速度各是多少？
【答案】队伍步行的速度是每小时 4 千米，张锦骑车的速度是每小时 10 千米
【解析】
试题分析：设步行的速度为 x 千米/时，然后根据：时间相差1．5小时列分式方程解答即可．
试题解析：设步行的速度为 x 千米/时
根据题意得：,
解得：x1=4,x2=,
经检验：x1=4,x2=都是原方程的解 ,但当x= 不合题意，舍去.
当x=4 时，2x+2=10.
答：队伍步行的速度是每小时 4 千米，张锦骑车的速度是每小时 10 千米.
【难度】容易
75．如图，甲楼AB的高度为35m，经测得，甲楼的底端B处与乙楼的底端D处相距105m，从甲楼顶部A处看乙楼顶部C处的仰角∠CAE的度数为25°．求乙楼CD的高度（结果精确到0．1m）．[参考数据：sin25°=0．42，cos25°=0．91，tan25°=0．47]．
【答案】84．4m．
【解析】
试题分析：作AE⊥CD于E．由题意，得DE=AB=35m，AE=BD=105m，∠CAE=25°．在Rt△ACE中，根据正切函数的定义得出CE=AE?tan∠CAE=49．35，那么CD=DE+CE≈84．4．
试题解析：如图，作AE⊥CD于E．
由题意，得DE=AB=35m，AE=BD=105m，∠CAE=25°．
在Rt△ACE中，∵∠AEC=90°，tan∠CAE=，
∴CE=AE?tan∠CAE=105×0.47=49.35，
∴CD=DE+CE=35+49.35=84.35≈84.4．
答：乙楼CD的高约为84.4m．
【难度】容易
76．如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC，
求证：AD是∠BAC的平分线．
【答案】见解析
【解析】
试题分析：通过证明Rt△BDE与Rt△CDF全等，得到DE=DF，利用角平分线的判定即可得到结论．
试题解析：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠BED=∠CFD=90° ，
在Rt△BDE与Rt△CDF中，
∵，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴DE=DF，
∴AD是∠BAC的平分线．
【难度】较易
77．有A，B两个黑布袋，A布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和2．B 布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字-1，-2和-3．小明从A布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为x，再从B布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为y，这样就确定点Q的一个坐标为．
（1）用列表或画树状图的方法写出点Q的所有可能坐标；
（2）求点Q落在抛物线y=x2-2x-1上的概率．
【答案】（1）点Q所有可能坐标：（1，-1），（1，-2），（1，-3），（2，-1），（2，-2），（2，-3）；
（2）点Q落在抛物线y=x2-2x-1上的概率为：
【解析】
试题分析：（1）先根据题意画出树状图，然后求得所有等可能的结果；
（2）由树状图可得点Q落在抛物线y=x2-2x-1上的有：（1，-2），（2，-1），再利用概率公式即可．
试题解析：（1）画树状图得：
共有6种等可能的结果，点Q所有可能坐标：（1，-1），（1，-2），（1，-3），（2，-1），（2，-2），（2，-3）；
（2）∵点Q落在抛物线y=x2-2x-1上的有：（1，-2），（2，-1），
∴点Q落在抛物线y=x2-2x-1上的概率为：
【难度】一般
78．（1）如图1，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，∠CAE=45°，求AD的长．
（2）如图2，已知∠ACB=∠DCE=90°，∠ABC=∠CED=∠CAE=30°，AC=3，AE=8，求AD的长．
【答案】（1）AD=9；（2）AD=
【解析】
试题分析：（1）连接BE，证明△ACD≌△BCE，得到AD=BE，在Rt△BAE中，AB=6，AE=3，求出BE，得到答案；（2）连接BE，证明△ACD∽△BCE，得到==，求出BE的长，得到AD的长．
试题解析：（1）如图1，连接BE， ∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵AC=BC，DC=EC，
在△ACD和△BCE中，， ∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE， ∵AC﹣BC=6，
∴AB=6， ∵∠BAC=∠CAE=45°， ∴∠BAE=90°， 在Rt△BAE中，AB=6，AE=3，
∴BE=9， ∴AD=9；
（2）如图2，连接BE， 在Rt△ACB中，∠ABC=∠CED=30°，tan30°==，
∵∠ACB=∠DCE=90°， ∴∠BCE=∠ACD， ∴△ACD∽△BCE， ∴==，
∵∠BAC=60°，∠CAE=30°， ∴∠BAE=90°，又AB=6，AE=8， ∴BE=10， ∴AD=．
【难度】一般
79．已知关于x的一元二次方程．
（1）若此方程有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围；
（2）已知x=3是此方程的一个根，求方程的另一个根及k的值；
（3）当Rt△ABC的斜边长C=，且两条直角边A和B恰好是这个方程的两个根时，求Rt△ABC的面积．
【答案】（1）k＜2．（2）方程的另一个根为x=-1，k=-2．（3）△ABC的面积为．
【解析】
试题分析：（1）由根的判别式大于0，即可得；
将所给的根代入方程即可得；
由根与系数的关系和勾股定理即可得．
试题解析：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴B2﹣4AC=4-4（k-1）＞0，解得k＜2．
（2）当x=3时，得k=-2，解x2-2x-3=0得x=3或-1，所以方程的另一个根为x=-1，k=-2．
（3）根据勾股定理得：A2+B2=C2=3;因为两条直角边A和B恰好是这个方程的两个根，
则A+B=2，因为（A+B）2-2AB=A2+B2=3，所以2AB=1，△ABC的面积为．
【难度】较难
80．在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC的顶点A在轴的正半轴上，OA=4，OC=2，点P，点Q分别是边BC，边AB上的点，连结AC，PQ，点B1是点B关于PQ的对称点。
（1）若四边形OABC为矩形，如图1，
①求点B的坐标；
②若BQ:BP=1:2，且点B1落在OA上，求点B1的坐标；
（2）若四边形OABC为平行四边形，如图2，且OC⊥AC，过点B1作B1F∥轴，与对角线AC、边OC分别交于点E、点F。若B1E: B1F=1:3，点B1的横坐标为，求点B1的纵坐标，并直接写出的取值范围.
【答案】（1）①点B（4，2）．
②点B1（3，0）．
（2）①B1的纵坐标为－，ｍ的取值范围是≤ｍ≤1+．
②B1的纵坐标为－m+，ｍ的取值范围是≤ｍ≤3．
【解析】
试题分析：（1）①点B（4，2）．
②证明△PB1D∽△B1QA，从而有=2,从而可得B1A=1，得OB1=3，即点B1（3，0）．
（2）由已知确定点B1不与点E、F重合，也不在线段EF的延长线上．然后分情况讨论：①点B1在线段FE的延长线上，②点B1的线段EF（除点E、F）上，即可．
试题解析：（1）①点B（4，2）．
②如图1，过点P作PD⊥OA，垂足为点D，∵BQ：BP=1：2，点B关于PQ的对称点为B1，∴B1Q：B1P=1：2，∵∠PDB1=∠PB1Q=∠B1AQ=90°，∴∠PB1D=∠B1QA，∴△PB1D∽△B1QA，∴=2,∴B1A=1，∴OB1=3，即点B1（3，0）．
∵四边形OABC为平行四边形，OA=4，OC=2，且OC⊥AC，∴∠OAC=30°，∴点C（1，），∵B1E：B1F=1：3，∴点B1不与点E、F重合，也不在线段EF的延长线上．
①当点B1在线段FE的延长线上时，如图2，延长B1F与y轴交于点G，点B1的横坐标为m，
B1F//x轴，B1E：B1F=1：3，∴B1G=m，设OG=a，则GF=，OF＝，∴CF＝2-，
∴FE＝4－，B1E＝2-，∴B1G＝B1E+EF+FG＝（2-）+（4-）+＝ｍ，∴ａ＝－，即B1的纵坐标为－，ｍ的取值范围是≤ｍ≤1+．
②当点B1的线段EF（除点E、F）上时，如图3，延长B1F与y轴交于点G，点B1的横坐标为m，B1F//x轴，B1E：B1F=1：3，∴B1G=m，设OG=a，则GF=，OF＝，∴CF＝2-，
∴FE＝4－，B1F=EF＝3-，∴B1G＝B1F+FG＝（3-）+＝ｍ，
∴ａ＝－m+，即B1的纵坐标为－m+，ｍ的取值范围是≤ｍ≤3．
【难度】较难
81．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x=1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．
（1）填空：点A坐标为 ；抛物线的解析式为 ．
（2）在图1中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？
（3）在图2中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？
【答案】（1）点A坐标为（1，4），y=﹣x2+2x+3；（2）当t=或t=时，△PCQ为直角三角形；（3）当t=2时，△ACQ的面积最大，最大值是1．
【解析】
试题分析：（1）根据矩形的三个顶点坐标以及抛物线的对称轴可求出点A的坐标；设抛物线的解析式为顶点式，然后把点A、C坐标代入计算即可；（2）分∠QPC=90°和∠PQC=90°两种情况讨论，利用比例线段可求出t的值；（3）求出直线AC的解析式，然后把点P（1，4﹣t）的纵坐标代入，然后用t可表示出点Q的坐标，以及QF的长，然后可求出△ACQ的面积与t的函数关系式，利用二次函数的性质确定函数值的值即可．
试题解析：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4），点A在DE上，
∴点A坐标为（1，4），
设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2+4，
把C（3，0）代入抛物线的解析式，可得a（3﹣1）2+4=0，
解得a=﹣1．
故抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3；
（2）依题意有：OC=3，OE=4，
∴CE===5，
当∠QPC=90°时，
∵cos∠QPC==，
∴=，
解得t=；
当∠PQC=90°时，
∵cos∠QCP==，
∴=，
解得t=．
∴当t=或t=时，△PCQ为直角三角形；
（3）∵A（1，4），C（3，0），
设直线AC的解析式为y=kx+b，则
，
解得．
故直线AC的解析式为y=﹣2x+6．
∵P（1，4﹣t），将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，得x=1+，
∴Q点的横坐标为1+，
将x=1+代入y=﹣（x﹣1）2+4中，得y=4﹣．
∴Q点的纵坐标为4﹣，
∴QF=（4﹣）﹣（4﹣t）=t﹣，
∴S△ACQ=S△AFQ+S△CPQ
=FQ?AG+FQ?DG
=FQ（AG+DG）
=FQ?AD
=×2（t﹣）
=﹣（t﹣2）2+1，
∴当t=2时，△ACQ的面积最大，最大值是1．
【难度】困难
82．先化简，再求值：，其中．
【答案】原式=，当时， 原式=．
【解析】
试题分析：先根据分式的运算法则化简后再代入求值即可．
试题解析：原式=
=
=
当时，原式=．
【难度】较易
83．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于一、三象限内的A、B两点，直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为（-6，n），线段OA=5，E为x轴正半轴上一点，且tan∠AOE=，求△AOB的面积．
【答案】S△AOB= 9．
【解析】
试题分析：过点A作AD⊥x轴，在Rt△AOD中，由勾股定理和锐角三角函数可求得AD、OD的长，即可得点A的坐标，把点A的坐标代入求m的值；再把，点B的坐标（-6，n）代入求n的值，把A、B的坐标代入求得一次函数的表达式；求出与x轴的交点C的坐标，根据S△AOB=S△AOC+S△BOC即可求得△AOB的面积．
试题解析：
过点A作AD⊥x轴，
在Rt△AOD中，tan∠AOE=，
设AD=4x，OD=3x，
∵OA=5，
在Rt△AOD中，根据勾股定理解得AD=4，OD=3，
∴A（3，4），
把A（3，4）代入反比例函数中，
解得：m=12，
则反比例函数的解析式为；
把点B的坐标为（-6，n）代入中，
解得n=-2，则B的坐标为（-6，-2），
把A（3，4）和B（-6，-2）分别代入一次函数得，解得，
则一次函数的解析式为，
∵点C在x轴上，令y=0，得x=-3
即OC=3，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=.
【难度】一般
84．经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．
（1）一辆正常行使的汽车经过某十字路口，则它向左转的概率为 ；
（2）现有甲、乙两辆汽车要经过这个十字路口，请用树形图或列表法表示出这两辆汽车行驶方向所有可能的结果，并求这两辆汽车都向左转的概率．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
试题分析：根据题意画出表格，然后得出概率．
试题解析：（1）P（左转）=
（2）列表得：两辆汽车所有9种可能的行驶方向如下：
乙汽车
甲汽车
左转
右转
直行
左转
（左转，左转）
（右转，左转）
（直行，左转）
右转
（左转，右转）
（右转，右转）
（直行，右转）
直行
（左转，直行）
（右转，直行）
（直行，直行）
∴由上表知：P（两辆汽车都向左转的概率）=．
【难度】一般
85．如图，已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为点E．⊙O的切线BF与弦AC的延长线相交于点F，且AC=8，tan∠BDC=．求线段CF的长．
【答案】.
【解析】
试题分析：作OH⊥AC，则AH=4，根据Rt△AOH的三角函数得出OH的长度，然后根据勾股定理求出半径，根据Rt△AEC的三角形函数以及勾股定理求出CE、DE和AE的长度，然后根据切线的性质得出CE∥FB，然后根据相似求出AF的长度，然后根据CF=AF－AC求出CF的长度．
试题解析：作OH⊥AC于H，则AH=AC=4 .
在Rt△AOH中，AH=4，tan∠A=tan∠BDC=， ∴OH=3．
∴半径OA==5.
∵AB⊥CD，∴E为CD的中点，即CE=DE， 在Rt△AEC中，AC=8，∠A=tan∠BDC==，
设CE=3k，则AE=4k， 根据勾股定理得：AC2=CE2+AE2，即9k2+16k2=64，
解得：k=， 则CE=DE=，AE=，
∵BF为圆O的切线，∴FB⊥AB，
又∵AE⊥CD，∴CE∥FB，
∴，即， 解得：AF=， 则CF=AF﹣AC=．
【难度】一般
86．一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度（千米/小时）与所用时间（小时）的函数关系如图所示，其中．
（1）直接写出与的函数关系式；
（2）若一辆货车同时从乙地出发前往甲地，客车比货车平均每小时多行驶千米，小时后两车相遇．
①求两车的平均速度；
②甲、乙两地间有两个加油站、，它们相距千米，当客车进入加油站时，货车恰好进入加油站（两车加油的时间忽略不计），求甲地与加油站的距离．
【答案】（1）与的函数关系式为（）；
（2）①客车和货车的平均速度分别为千米/小时和千米/小时．
②甲地与加油站的距离为或千米.
【解析】
试题分析：（1）利用速度与时间成反比例可以得到反比例函数的解析式．
（2）①由客车的平均速度为每小时v千米，得到货车的平均速度为每小时（v-20）千米，一辆客车从甲地出发前往乙地，一辆货车同时从乙地出发前往甲地，小时后两车相遇，解方程即可．
②分两种情况讨论：当加油站在甲地和加油站之间时；当加油站在甲地和加油站之间时；甲、乙两地间有两个加油站、，它们相距千米列出方程，解方程即可．
试题解析：
（1）与的函数关系式为（）；
（2）①依题意，得
．
解得，
经检验，符合题意．
当时，．
答： 客车和货车的平均速度分别为千米/小时
和千米/小时．
②当加油站在甲地和加油站之间时，
．解得．此时．
当加油站在甲地和加油站之间时，
．解得．此时．
答：甲地与加油站的距离为或千米．
【难度】一般
87．为了提高学生写好汉字的积极性，某校组织全校学生参加汉字听写比赛，比赛成绩从高到低只分A、B、C、D四个等级．若随机抽取该校部分学生的比赛成绩进行统计分析，并绘制了如下的统计图表：
根据图表的信息，回答下列问题：
（1）本次抽查的学生共有 名；
（2）表中和所表示的数分别为： ， ，并在图中补全条形统计图；
（3）若该校共有名学生，请你估计此次汉字听写比赛有多少名学生的成绩达到B级及B级以上？
【答案】（1） ；
（2），，
；
（3）.
【解析】
试题分析：（1）用C或D的人数除以该组所占的百分比即可求出抽查的总人数．
（2）用总人数乘以B组所占的百分比即可求出的值；用整体1减去B、C、D所占的百分比即可求出．
（3）用总人数1500乘以 比赛成绩达到B级及B级?
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