(共19张PPT)
人教版九年级数学上册同步授课课件
21.1 一元二次方程
1．理解一元二次方程概念.
2.掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式．
3.通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．
通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．
1．等号两边都是 ，只含有____个未知数，并且未知数的最高次数是____的方程，叫做一元二次方程．
2．判断一个方程是否是一元二次方程，必须满足：①方程的两边都是 ；②只含 未知数；③未知数的最高次数是____；④二次项系数不能为____．
3．一元二次方程的一般形式为 ．其中____为二次项系数；____为一次项系数；____为常数项．
整式
一
2
整式
一个
2
0
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
a
b
c
１．下列方程中一定是关于x的一元二次方程的是( )．
Ａ. Ｂ.
Ｃ. Ｄ.
2．已知关于x的方程x2－kx－6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为( )．
Ａ.1 B．－1 C．2 D．－2
3．把下列关于x的一元二次方程化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项．
5x(x＋2)＝3(x＋1)
解：5x2＋7x－3＝0，二次系数为5，一次项系数为7，常数项为－3
C
A
1.一元二次方程定义
分析:
①都是整式方程;
②只含一个未知数;
③未知数的最高次数是2.
2.一元二次方程的一般形式为什么规定a≠0，b,c可以为零吗？
当a=0时
bx+c=0
当a≠0，b=0时
ax2+c=0
当a≠0，c=0时
ax2+bx=0
当a≠0，b=0,c=0时
ax2=0
一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0中
ax2
说明：要找到一元二次方程的系数和常数项，必须
先将方程化为一般形式。
bx
c
二次项
一次项
常数项
二次项系数
一次项系数
a
b
3.一元二次方程的一般形式方程左边各项之间的运算关系是什么？关于x的一元二次方程 的各项分别是什么？各项系数是什么？
４.一元二次方程的特殊形式．
【例1】判断下列方程是否为一元二次方程？
（1）
（2）
（3）
（4）
不是，含有两个未知数且最高次数为1
是，符合一元二次方程的定义的条件
不是，这方程不是整式方程
不是，本题先进行化简为：－4x=8,未知数最高次数为1
解析:
①都是整式方程;
②只含一个未知数;
③未知数的最高次数是2.
【例2】 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项．
3x2-3x=5x+10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的
一般形式：
3x2-8x-10=0.
其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.
解：去括号，得
解析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程3x（x-1）=5(x+2)必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．
1. 在下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）．
Ａ. Ｂ.
Ｃ. Ｄ.
２. 已知x=1是一元二次方程x2-2mx+1=0的解,则m的值是( )．
A．-1 B．0 C．1 D．0或1
３. 一元二次方程 的一次项系数和常数项依次是( )．
A．-1和1 B．1和1 C．2和1 D．0和1
Ｂ
Ｃ
Ａ
４.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项.
一般式：
二次项系数为５，一次项系数为-4，常数项为-1.
一般式：
二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为-81.
１．方程x2－5x＋6＝0各项系数之和是( ).
A．－4 B．1 C．12 D．2
２．已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0有一个根是－a(a≠0)，则a－b的值为( ).
A．－1 B．0 C．1 D．2
3．若方程(a－2)x2＋x＝3是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是( ).
A．a≠2 B．a≥0
C．a≥0且a≠2 D．a为任意实数
D
Ａ
Ｃ
4.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；
（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x；
解：（1）设其边长为x，则面积为x2，由题意得
4x2=25
（2）设长为x，则宽为（x-2），由题意得
x(x-2)=100.
化为一般式为：x2-2x-100=0.
化为一般式为：4x2-25=0
4.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：
（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x；
（4）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x．
解（3）设其中的较短一段为x，则较长一段为（1-x），由题意得
x2-3x+1=0.
x·1 = (1-x) 2
(4)设较长的直角边为x ，则较短的直角边为x -2，由题意，得
化为一般式为：
化为一般式为：
1. 若方程 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是_______．
2. 若方程 是关于的一元二次方程，则m= .
3. 若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，则m的值等于 ．
15. 关于x的方程(m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为___________.
m≠-1
-2
2
m≠-1且m≠2
4.下面那些数是方程x2-x-6=0的根？
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.
解：因为-2和3能使方程x2-x-6=0的左右两
边相等，所以-2和3是方程x2-x-6=0的根.
5．方程4x2=81化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别是什么？
解：化为一般式为：4x2-81=0.
所以二次项系数是4，一次项系数是0，常数项是-81.
6.已知关于x的方程(k-2)x2-kx=x2-1当k为何值时，方程为一元二次方程？
解：由（k-2)x2-kx=x2-1 得
(k-2)x2-kx-x2+1=0
(k-2-1)x2-kx+1=0
(k-3)x2-kx+1=0
∵ k-3≠0时方程为一元二次方程
∴ k≠3时方程为一元二次方程.
１. （2015 湖南衡阳）若关于x的一元二次方程x2+3x+a=0有一个根是﹣1，则a= .
2
２. （2015 湖南衡阳） 绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为米，根据题意，可列方程为（ ）．
Ｂ
Ａ. Ｂ.
Ｃ. Ｄ. 登陆21世纪教育 助您教考全无忧
21.1 一元二次方程 导学案
学习目标
1．理解一元二次方程概念.
掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式
3.会判定一个数是否是一个一元二次方程的根
4.通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
学习重难点
1.重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．
2.难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．21教育网
学习方法：自助探究合作学习
学习过程：
一、预习检测与点评
1．什么叫做方程？什么叫做一元一次方程？
2．指出下面哪些方程是已学过的方程？分别叫做什么方程？
(l)3x+4=l； (2)6x-5y=7；
(3)x2-70x+825=0; (4)x(x+5)=150;
; .
教师针对练习进行简要点评
二、知识点的梳理与理解
1.一元二次方程定义：
分析：首先它是整式方程，然后未知数的个数是1，最高次数是2.
2.一元二次方程的一般形式：
分析：
.为什么规定≠0？
.方程左边各项之间的运算关系是什么？关于x的一元二次方程的各项分别是什么？各项系数是什么？
3.特殊形式：；；
三、学生小练习
1.教材 练习1、2
2.判断下列方程是否为一元二次方程？若是一元二次方程，则找出各项系数与次数？
(1)3x+2=5y-3 (2) x2=4 (3) 3x2-=0 (4) x2-4=(x+2) 2 (5) ax2+bx+c=0
四、例题探究
例1．将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．21cnjy.com
分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程3x（x-1）=5(x+2)必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．21·cn·jy·com
解：学生小组合作互评。教师针对性的个别辅导，并强调学生解题格式。
注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.
例2．（学生活动：请二至三位同学上台演练） 将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．www.21-cn-jy.com
分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式．2·1·c·n·j·y
解：略
例3.若x=1是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2007(a+b+c)的值【来源：21·世纪·教育·网】
练习:关于x的一元二次方程(a-1) x2+x+a 2-1=0的一个根为0,则求a的值
点拨:如果一个数是方程的根,那么把该数代入方程,一定能使左右两边相等,这种解决问题的思维方法经常用到,同学们要深刻理解.21·世纪*教育网
五、巩固练习
1.下面哪些数是方程x2+5x+6=0的根？
-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．
2.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？
（1）x2-64=0（2）x2+1=0 （3）x2-3x=0 （4）
3.在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．
①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-=0
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a范围________．
5.已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________
6.关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？
六、归纳小结（学生归纳，老师点评）
（1）一元二次方程的概念；一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用.
（2）要会判断一个数是否是一元二次方程的根；
（3）要会用一些方法求一元二次方程的根．
引导学生分析自己的所学与所惑.
七、作业
1.将一元二次方程2y2－1＝y化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
解：一般形式为2y2－y－1＝0，其中二次项系数是2，一次项系数是－，常数项是－1
2.用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为( B )www-2-1-cnjy-com
A．x(5＋x)＝6 B．x(5－x)＝6
C．x(10－x)＝6 D．x(10－2x)＝6
3.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一般形式．
(1)正方体的表面积为54，求正方体的边长x；
解：6x2＝54，一般形式为6x2－54＝0
八：教学反思
九：课后达标测试
一、选择题
1. 在下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
B．
C． D．
2. 下列关于的方程：①；②；③；
④；⑤ ． 其中是一元二次方程有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3. 已知x=1是一元二次方程x2-2mx+1=0的解,则m的值是
A．-1 B．0 C．1 D．0或1
4. 下列方程中,不是一元二次方程的是（ ）
B．
C． D．
5. 已知关于x的方程x2+bx+a=0的一个根是-a（a≠0），则a-b值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
二、填空题
6. 若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是_______．
7. 若关于x的一元二次方程x2+3x+a=0有一个根是﹣1，则a=
8. 若方程是关于的一元二次方程，则=__________
9. 若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，则m的值等于 _________ ．21世纪教育网版权所有
三、解答题
10. 若x=1是方程mx2＋3x＋n=0的根，求(m－n)2＋4mn的
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 1 页 （共 1 页） 版权所有@21世纪教育网登陆21世纪教育 助您教考全无忧
21.1一元二次方程同步练习
一、选择题
1. 在下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
B．
C． D．
2. 下列关于的方程：①；②；③；
④；⑤ ． 其中是一元二次方程有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3. 已知x=1是一元二次方程x2-2mx+1=0的解,则m的值是
A．-1 B．0 C．1 D．0或1
4. 下列方程中,不是一元二次方程的是（ ）
B．
C． D．
5. 一元二次方程的一次项系数和常数项依次是
A．-1和1 B．1和1 C．2和1 D．0和1
6. 下列方程中是二项方程的是（ ）
A． B． C． D．
7. 一元二次方程7x2－2x=0的二次项、一次项、常数项依次是
A．7x2,2x,0 B．7x2,－2x，无常数项
C．7x2,0,2x D．7x2,－2x,0
8. 方程x2－2(3x－2)+(x+1)=0的一般形式是( )．
x2－5x+5=0 B．x2+5x+5=0
C．x2+5x－5=0 D．x2+5=0
9. 已知关于x的方程x2+bx+a=0的一个根是-a（a≠0），则a-b值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
二、填空题
10. 若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是_______．
11. 若关于x的一元二次方程x2+3x+a=0有一个根是﹣1，则a=
12. 若方程是关于的一元二次方程，则=__________
13. 若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的常数项为0，则m的值等于 _________ ．21世纪教育网版权所有
14. 一元二次方程3x2-x-2=0的一次项系数是________，常数项是________．
15. 关于x的方程(m2-m-2)x2+mx+n=0是一元二次方程的条件为___________
三、解答题
16. 先化简，再求值： ， 其中是方程的根．
17. 若x=1是方程mx2＋3x＋n=0的根，求(m－n)2＋4mn的
参考答案:
一、选择题
B、由原方程知 ， 符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
C、当时，不是一元二次方程．故本选项错误；
D、该方程中含有2个未知数，所以它不是一元二次方程．故本选项错误．
故选B．
考点：一元二次方程的定义．21cnjy.com
答案：B
解析：根据判断一元二次方程满足的三个条件(1)整式方程，(2)未知数的个数是1，
(3)未知数的最高次数是2.
3. 答案：C.
解析：试题分析：把x=1代入方程x2﹣2mx+1=0,可得1﹣2m+1=0,得m=1,故选：C．
考点：一元二次方程的解．21·cn·jy·com
4. 答案：D．
解析：试题分析：A.符合ax2+bx+c=0（且a≠0）,是一元二次方程,故本选项错误;
B.化简后为,符合ax2+bx+c=0（且a≠0）,是一元二次方程,故本选项错误;
C.符合ax2+bx+c=0（且a≠0）,是一元二次方程,故本选项错误;
D.化简后为x﹣3=0,是一元一次方程,故本选项正确．
故选D．
考点：一元二次方程定义．www.21-cn-jy.com
5. 答案：A．
解析：试题分析：找出2x2-x+1的一次项-x、和常数项+1，再确定一次项的系数即可．
故选A.
考点:一元二次方程的一般形式．2·1·c·n·j·y
6. 答案：D
解析：试题分析：二项方程的定义：形如的方程叫做二项方程.
A. ， B. ， C. ， 均不是二项方程；
D. ， 符合二项方程的定义，本选项正确.
考点：二项方程的定义
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握二项方程的定义，即可完成
7. 答案：D
解析：试题分析：根据一元二次方程的一般形式：即可得到结果.
一元二次方程7x2－2x=0的二次项、一次项、常数项依次是7x2 ， －2x，0
故选D.
考点：一元二次方程的一般形式
点评：此类问题知识点比较独立，在中考中不太常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般【来源：21·世纪·教育·网】
8. 答案：A
解析：试题分析：先去括号，再合并同类项，最后根据一元二次方程的一般形式：即可得到结果.
x2－2(3x－2)+(x+1)=0
x2－6x+4+x+1=0
x2－5x+5=0
故选A.
考点：一元二次方程的一般形式
点评：此类问题知识点比较独立，在中考中不太常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般21·世纪*教育网
9. 答案：A
解析：把x=-a把入方程中，再进行因式分解，化成含有a-b的形式.
二、填空题
答案：≠－1
解析：根据一元二次方程的意义a≠0, 即m+1≠0,所以≠－1.
11. 答案：2.
解析：试题分析：把x=﹣1代入原方程，列出关于a的新方程，通过解新方程可以求得a的值．
试题解析：∵关于x的一元二次方程x2+3x+a=0有一个根是﹣1，
∴（﹣1）2+3×（﹣1）+a=0，
解得 a=2.
【考点】一元二次方程的解．21教育网
12. 答案：﹣2．
解析：试题分析：由一元二次方程的特点得 ， 解得m=﹣2．
故答案是﹣2．
考点：一元二次方程的定义．www-2-1-cnjy-com
13. 答案：2.
解析：试题分析：根据一元二次方程的定义解答．
试题解析：根据题意，知，
，
解方程得m=2．
考点: 一元二次方程的一般形式．2-1-c-n-j-y
14. 答案：-；-2
解析：试题分析：根据一元二次方程的一般式，即可判断。
一元二次方程3x2-x-2=0的一次项系数是- ， 常数项是-2．
考点：本题考查的是一元二次方程的一般式
点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程的一般式是常数，且 ， 其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项 21*cnjy*com
15. 答案：m≠-1且m≠2
解析：试题分析：一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0），由a≠0即可得到m2-m-2≠0，从而得到结果。
由题意得m2-m-2≠0，解得m≠-1且m≠2.
考点：本题考查的是一元二次方程成立的条件
点评：解答本题的关键是掌握一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），尤其注意a≠0【来源：21cnj*y.co*m】
三、解答题
16. 答案： ．
17. 答案：9
解析：由题意得：m ＋ n = －3, 所以（m － n ）2＋ 4mn =(m ＋ n )2 = 9
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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