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人教版九年级数学上册同步授课课件
21.2.1 配方法
直接开平方法
1.理解一元二次方程“降次”的转化思想．
2.根据平方根的意义解形如x2=p（p≥0）的一元二次方程，然后迁移到解（mx+n）2=p（p≥0）型的一元二次方程.
3.通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
运用开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．
1.理解一元二次方程“降次”的转化思想．
2.配方法．
1．若x2＝a(a≥0)，则x就叫做a的平方根，记为x＝___(a≥0)，由平方根的意义降次来解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．
2．直接开平方，把一元二次方程“降次”转化为________________________.
3．如果方程能化为x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么x＝_____或mx＋n＝_____．
两个一元一次方程
１．方程x2－16=0的根为( )．
Ａ.x=4 Ｂ. x=16
Ｃ. x=±4 Ｄ. x=±8
2．方程x2＋m＝0有实数根的条件是( )．
Ａ.m＞0 B．m≥0 C．m＜0 D．m≤0
3．方程5y2－3=y2＋3的实数根的个数是( )．
4．若4x2－8=0成立，则x的值是________.
C
Ｄ
Ａ.0 B．1 C．2 D．3
Ｃ
1.本课中的一元二次方程如何“降次”的？
运用平方根知识将形如 x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程
2.能化为（x+m）2=n（n≥0）的形式的方程需要具备什么特点？
左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负常数的一元二次方程可化为（x+m）2=n（n≥0）
３.x2＝9，根据平方根的意义，直接开平方得x＝±3，如果x换元为2t＋1，即(2t＋1)2＝9，能否也用直接开平方的方法求解呢？
【例1】解方程：(1)x2＋4x＋4＝1 (2)x2＋6x＋9＝2
解：(1)由原方程得：
(2)由原方程得：
直接开平方得：
直接开平方得：
左边为完全平方式 所以可以直接化 为平方形式．利用 直接开平方法来解 一元二次方程．
右边是大于0的数所以方程有个不同的的实数解
【例2】 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到14.4 m2，求每年人均住房面积增长率．
解析：此题为增长率问题，可以直接引用
a(1+x)2=b；同时一定要注意答案要考虑实际意义，没有意义的要舍去
解：设每年人均住房面积增长率为x，
则：10(1＋x)2＝14.4
(1＋x)2＝1.44
直接开平方，得1＋x＝±1.2
即1＋x＝1.2，1＋x＝－1.2
所以，方程的两根是x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2
因为每年人均住房面积的增长率应为正的， 因此，x2＝－2.2应舍去．
所以，每年人均住房面积增长率应为20%.
1．一元二次方程x2－4＝0的根为( )
A．x＝2 B．x＝－2
C．x1＝2，x2＝－2 D．x＝4
2．方程5y2－3＝y2＋3的实数根的个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
3．一元二次方程x2＝7的根是 ．
C
C
4．若代数式3x2－6的值为21，则x的值是 ．
5．解下列方程：
(1)2y2－100＝0； (2)(x＋6)(x－6)＝64.
解析：由题意可得方程：3x2－6＝21；
解这个方程得：x1=3,x2=-3
解：
1．若3(x＋1)2－48＝0，则x的值等于( )
A．±4 B．3或－5
C．－3或5 D．3或5
2．下列方程中，不能用直接开平方法的是( )
A．x2－3＝0 B．(x－1)2－4＝0
C．x2＋2x＝0 D．(x－1)2＝(2x＋1)2
3．方程2.5(x－0.3)2－1.6＝0的根是 ．
Ｂ
Ｃ
x１=1.1,x2=-0.5
4．已知一元二次方程(x-2)2＋c＝0有实数根，则c的取值范围为 ．
5．解方程：
(1)(x-3)2-9＝0； (2)y2+2y+1＝3.
c≤0
解：
解：
6．一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是( )
A．x－6＝－4 B．x－6＝4
C．x＋6＝4 D．x＋6＝－4
7．若关于x的方程(x＋1)2＝1－k没有实数根，则k的取值范围是( )
A．k＜1 B．k＜－1
C．k≥1 D．k＞1
D
D
D
B
B
解：x1＝3，x2＝－3
5．某工程队在实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程，原计划每天拆迁1 250 m2，因为准备工作不足，第一天少拆迁了20%，从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1 440 m2，求：
(1)该工程队第一天拆迁的面积；
(2)若该工程第二天，第三天每天的拆迁面积比前一天增长的百分比相同，求这个百分数．
答：该工程队第一天拆迁的面积为1 000 m2
(2)设这个百分数为x，则有1 000(1＋x)2＝1 440
x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(舍去)，
答：这个百分数为20%
１. （2015 白银）一元二次方程(a＋1)x2－ax＋a2－1＝0的一个根为0，则a＝_____．
1
２. （2015 枣庄）x1，x2是一元二次方程3(x－1)2＝15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是( )
A．x1小于－1，x2大于3
B．x1小于－2，x2大于3
C．x1，x2在－1和3之间
D．x1，x2都小于3
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21.2 解一元二次方程－－直接开平方法
课题 21.2.1 配方法(1)直接开平方法解一元二次方程 主备人
执教者
学科 数学 年级 九年级 授课时数 １ 课型
三维目标 知识技能 1.使学生会用直接开平方法解一元二次方程.2.根据平方根的意义解形如x2=p（p≥0）的一元二次方程，然后迁移到解（mx+n）2=p（p≥0）型的一元二次方程．
过程方法 通过观察，思考，对比获得一元二次方程的解法-----直接开平方法，配方法
情感态度与价值观 通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
学习重点 运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程；领会降次——转化的数学思想．
学习难点 通过根据平方根的意义解形如x2＝n(n≥0)的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．
教学方法 小组合作交流
导学预设 环节 操作 调整与思考
自主学习 请同学们根据学习目标，说说你想学会什么知识？努力完成下面练习吧！1．若x2＝a(a≥0)，则x就叫做a的平方根，记为x＝_____(a≥0)，由平方根的意义降次来解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．2．直接开平方，把一元二次方程“降次”转化为________________________.3．如果方程能化为x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么x＝_____或mx＋n＝_____．4.x2=4，则x=±2.想一想：求x2=4的解的过程，就相当于求什么的过程？请同学们通过自学，自行解决以上问题，将答案和你暂时解决不了的问题写在你的学习单上。
小组合作探究 请同学们将你认为最有意义的知识或者你弄不明白的地方提出来，与组内的同学互相交流，并将学习单合作探究部分完成。问题：一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2，小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为__6x2__dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：__10×6x2＝1500__，由此可得__x2＝25__，根据平方根的意义，得x＝__±5__，即x1＝__5__，x2＝__－5__．可以验证__5__和－5都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为__5__dm.探究：对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x－1)2＝5及方程x2＋6x＋9＝4 方程(2x－1)2＝5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为__2x－1＝±__，即将方程变为__2x－1＝和__2x－1＝－__两个一元一次方程，从而得到方程(2x－1)2＝5的两个解为x1＝__，x2＝____．在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了．方程x2＋6x＋9＝4的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x＋__3__)2＝4，进行降次，得到 __x＋3＝±2__ ，方程的根为x1＝ __－1__，x2＝__－5__.归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．如果方程能化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得x＝±或mx＋n＝±.教师组织学生解决学生提出的问题（小组互答，教师精讲点拨,总结归纳知识点）
例题探究 1．用直接开平方法求一元二次方程的解【例1】解方程：（1）2x2﹣8=0；（2）（2x﹣3）2=25．总结：运用直接开平方法解一元二次方程，首先要将一元二次方程的左边化为含有未知数的完全平方式，右边化为非负数的形式，然后直接用开平方的方法求解．练1．解方程：（2x+3）2﹣25=0练2．解方程：9（x+1）2=4（x﹣2）2．2．用直接开平方法判断方程中字母参数的取值范围【例2】若关于x的一元二次方程x2﹣k=0有实数根，则（ ）A．k＜0 B．k＞0 C．k≥0 D．k≤0总结：先把方程化为“左平方，右常数”的形式，且把系数化为1，再根据一元二次方程有无解来求方程中字母参数的取值范围. 练3．（2015春 利辛县校级月考）已知一元二次方程mx2+n=0（m≠0，n≠0），若方程有解，则必须（ ）n=0 B．m，n同号 C．n是m的整数倍 D．m，n异号练4．（2015 岳阳模拟）如果关于x的方程mx2=3有两个实数根，那么m的取值范围是 ．
练习巩固提升 一、选择题1.下列方程能用直接开平方法求解的是( ) A.5x2+2=0 B.4x2-2x+1=0 C.(x-2)2=4 D.3x2+4=22.方程100x2-1=0的解为( ) A.x1=，x2= B.x1=10，x2=-10 C.x1=x2= D.x1=x2=3.(丽水中考)一元二次方程(x+6)2=16可化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是( ) A.x-6=4 B.x-6=-4 C.x+6=4 D.x+6=-44.已知b＜0，关于x的一元二次方程(x-1)2=b的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.有两个实数根5．方程x2﹣9=0的解是（ ）A．x=3 B．x=9 C．x=±3 D．x=±9 二、填空题1．方程x2=2的解是 ．2．方程8x2﹣72=0解为 ．3.若代数式(2x-1)2的值是25，则x的值为_______三、解答题1．解方程：（x﹣2）2﹣16=0．2．解方程：．
作业 1．已知一元二次方程x2﹣4x+1+m=5请你选取一个适当的m的值，使方程能用直接开平方法求解，并解这个方程．（1）你选的m的值是 ；（2）解这个方程．
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教学反思
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21.2.1 解一元二次方程——配方法（1）
直接开平方法同步练习题
一、选择题
1.下列方程能用直接开平方法求解的是( )
A.5x2+2=0 B.4x2-2x+1=0 C.(x-2)2=4 D.3x2+4=2
2.方程100x2-1=0的解为( )
A.x1=，x2= B.x1=10，x2=-10 C.x1=x2= D.x1=x2=
3.(丽水中考)一元二次方程(x+6)2=16可化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是( )21教育网
A.x-6=4 B.x-6=-4 C.x+6=4 D.x+6=-4
4.已知b＜0，关于x的一元二次方程(x-1)2=b的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.有两个实数根
5．方程x2﹣9=0的解是（ ）
A．x=3 B．x=9 C．x=±3 D．x=±9
6．已知一元二次方程x2﹣4=0，则该方程的解为（ ）
A．x1=x2=2 B．x1=x2=﹣2 C．x1=﹣4，x2=4 D．x1=﹣2，x2=2
7．关于x的方程a（x+m）2+n=0（a，m，n均为常数，m≠0）的解是x1=﹣2，x2=3，则方程a（x+m﹣5）2+n=0的解是（ ）21cnjy.com
A．x1=﹣2，x2=3 B．x1=﹣7，x2=﹣2 C．x1=3，x2=﹣2 D．x1=3，x2=8
8．如果x=﹣3是一元二次方程ax2=c的一个根，那么该方程的另一个根是（ ）
A．3 B．﹣3 C．0 D．1
9．x1、x2是一元二次方程3（x﹣1）2=15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是（ ）
A．x1小于﹣1，x2大于3 B．x1小于﹣2，x2大于3
C．x1，x2在﹣1和3之间 D．x1，x2都小于3
10．方程（1﹣x）2=2的根是（ ）
A．﹣1，3 B．1，﹣3 C．， D．，
二、填空题
11．方程x2=2的解是 ．
12．方程8x2﹣72=0解为 ．
13.若代数式(2x-1)2的值是25，则x的值为_______
14.完成下面的解题过程：
(1)解方程：2x2-8=0；
解：原方程化成_______，
开平方，得_______，
则x1=_______，x2=_______.
(2)解方程：3(x-1)2-6=0.
解：原方程化成_______，
开平方，得_______，
则x1=_______，x2=_______.
三、解答题
15．解方程：（x﹣2）2﹣16=0．
16．解方程：．
17．已知一元二次方程x2﹣4x+1+m=5请你选取一个适当的m的值，使方程能用直接开平方法求解，并解这个方程．21世纪教育网版权所有
（1）你选的m的值是 ；
（2）解这个方程．
参考答案：
一、选择题
C. 2.A. 3.D. 4.C.
5.
6．
解：x2﹣4=0，
（x+2）（x﹣2）=0，
x1=﹣2，x2=2．
故选D
7．
解：∵关于x的方程a（x+m）2+n=0的解是x1=﹣2，x2=3，（m，n，p均为常数，m≠0），
∴方程a（x+m﹣5）2+n=0变形为a[（x﹣5）+m]2+n=0，即此方程中x﹣5=﹣2或x﹣5=3，
解得x=3或x=8．
故选D．
8．
解：ax2=c，
x2=，
x=±，
∵x=﹣3是一元二次方程ax2=c的一个根，
∴该方程的另一个根是x=3，
故选A．
9．
A．x1小于﹣1，x2大于3 B．x1小于﹣2，x2大于3
C．x1，x2在﹣1和3之间 D．x1，x2都小于3
解：∵x1、x2是一元二次方程3（x﹣1）2=15的两个解，且x1＜x2，
∴（x﹣1）2=5，
∴x﹣1=±，
∴x2=1+＞3，x1=1﹣＜﹣1，
故选：A．
10．
解：方程（1﹣x）2=2，
开方得：1﹣x=±，
解得：x1=1+，x2=1﹣，
故选D
二、填空题
11．
解：x2=2，
x=±．
故答案为±．
12．
解：8x2﹣72=0，
8x2=72，
x2=9，
x=±3，
故答案为：x=±3．
13.3或-2
（1），，2，-2
（2），，，
解答题
15．
解：分解因式得：（x﹣2+4）（x﹣2﹣4）=0，
x﹣2﹣4=0，x﹣2+4=0，
解得x1=6，x2=﹣2．
16．解：，
x﹣=±，
所以x1=1，x2=﹣．
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