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第7章 一元一次不等式与不等式组 学案
【学习目标】
1.掌握不等式的有关概念及其基本性质.
2.熟练应用不等式的基本性质解一元一次不等式与不等式组.
3.会运用一元一次不等式与不等式组解决简单的实际应用问题.
【学法指导】
1.自主学习，建立本章知识结构体系.
2.合作探究，提高应用知识解决问题的能力.
【自主学习】
1.请整理出本章知识结构图.
2.在本章的学习过程中，用到了哪些重要的数学思想方法，请举例说明.
【合作学习，课内探究】
对点练习1
如图所示，表示三人体重，，的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
对点练习2
不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
对点练习3
解不等式（组），并把解集画在数轴上．
(1)
(2)
易错题辨析
1.下列四个数轴上的点表示的数都是，其中一定满足的是（ ）
A．（1）（3） B．（2）（3） C．（1）（4） D．（2）（4）
2.设n为正整数，且，则n的值为 ．
典例讲解
某中学为丰富学生的校园生活，准备从体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310元，购买2个足球和5个篮球共需500元．
(1)求购买一个足球、一个篮球各需多少元．
(2)根据学校实际情况，需从体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个，要求购买足球和篮球的总费用不超过5700元，这所中学最多可以购买多少个篮球．
解题方法总结：
综合小测试
1.下列不等式中，表示a为非负数的是（ ）
A． B． C． D．
2．据悉，我国设计制造的天舟二号货运飞船，在2021年5月29日顺利升空，将6吨多物资运送到天和核心舱，若用a表示货运飞船的载货质量，则对a的取值理解最准确的是（ ）（单位：吨）
A． B． C． D．
3.若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5.不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
6.某市身高不超过的儿童可以免费乘坐公共汽车，若可以免费乘坐公共汽车的儿童的身高为，则（ ）
A． B． C． D．
7.若不等式组有解，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
9.根据数量关系“x的2倍与y的差大于3”，列不等式： ．
10.如果，，那么a b（填“”“ ”“ ”）．
11.若关于x的方程是一元一次方程，则 ．
12.不等式组的整数解之和是 ．
13.用适当的符号表示下列关系：
(1)x的与x的2倍的和是非正数；
(2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；
(3)三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；
(4)明天下雨的可能性不小于；
(5)小明的体重不比小刚轻．
14.解方程组、解不等式组．
(1)解方程组：
(2)解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
能力拓展
1.由于无理数是无限不循环小数，所以对于其小数部分我们不可能全部写出来，但是我们可以用这个无理数减去其整数部分来表示．比如的整数部分是1，所以其小数部分就可以表示为．根据上述材料，解答下列问题
(1)a是的整数部分，b是的小数部分，则的值是 ；
(2)已知，其中x是整数，求的值．
2.根据以下素材，探索完成任务．
探究奖项设置和奖品采购的方案
素材1 如图，某学校举办“迎亚运庆国庆”知识竞赛，分别设置一等奖、二等奖和三等奖的奖品．已知一盒水笔比一本笔记本的单价多10元，6盒水笔和3本笔记本的总价为150元．
素材2 若设置的获奖总人数不变，为提高同学们的参赛积极性，学校计划对获奖级别及人数进行调整，如下表：
学习反思
通过这节课的学习，你有哪些收获？你还有什么疑惑？
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第7章 一元一次不等式与不等式组 学案
【学习目标】
1.掌握不等式的有关概念及其基本性质.
2.熟练应用不等式的基本性质解一元一次不等式与不等式组.
3.会运用一元一次不等式与不等式组解决简单的实际应用问题.
【学法指导】
1.自主学习，建立本章知识结构体系.
2.合作探究，提高应用知识解决问题的能力.
【自主学习】
1.请整理出本章知识结构图.
2.在本章的学习过程中，用到了哪些重要的数学思想方法，请举例说明.
【答案】（1）转化思想：例如在探究一元一次不等式性质时，由回忆等式性质引出并结合进行。
数形结合方法：例如在探究一元一次不等式（组）解法时，通过数轴表示其解（解集）
(3)分类讨论思想：例如在探究一元一次不等式组的解集规律时，利用表格进行分类探究。
【合作学习，课内探究】
对点练习1
如图所示，表示三人体重，，的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式的传递性：，，可推得，可得答案．
【详解】A、由图示，得，故错误；
B、由图示，得，故错误；
C、由图示，得，，由不等式的传递性，得，故错误；
D、由图示，得，，由不等式的传递性，得，故正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的性质，利用了不等式的传递性：，，可推得．
对点练习2
不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示解集．熟练掌握解一元一次不等式，在数轴上表示解集是解题的关键．先解一元一次不等式，然后在数轴上表示解集，进行判断即可．
【详解】解：，
解得，
该不等式的解集在数轴上表示如图所示：
故选：B．
对点练习3
解不等式（组），并把解集画在数轴上．
(1)
(2)
【答案】(1)，数轴见解析
(2)，数轴见解析
【分析】本题考查了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法以及在数轴上表示解集，掌握一元一次不等式的解法是解答本题的关键．
（1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可；
（2）先分别求出各不等式的解集，然后再确定不等式组的解集并在数轴上表示出来即可．
【详解】（1）解：
去分母，得
解得
答：原不等式的解为．
解集画在数轴上：
（2）
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为．
将解集表示在数轴上：
易错题辨析
1.下列四个数轴上的点表示的数都是，其中一定满足的是（ ）
A．（1）（3） B．（2）（3） C．（1）（4） D．（2）（4）
【答案】C
【分析】由得或进而即可求解；
【详解】解：∵，
∴或，
∴或，
∴（1）（4）符合题意．
故选：C．
2.设n为正整数，且，则n的值为 ．
【答案】7
【分析】本题考查了无理数的估算，不等式的性质．熟练掌握无理数的估算是解题的关键．
由，可得，即，然后作答即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∵，
∴，
故答案为：7．
典例讲解
某中学为丰富学生的校园生活，准备从体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310元，购买2个足球和5个篮球共需500元．
(1)求购买一个足球、一个篮球各需多少元．
(2)根据学校实际情况，需从体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个，要求购买足球和篮球的总费用不超过5700元，这所中学最多可以购买多少个篮球．
【答案】(1)购买一个足球需50元，购买一个篮球需80元．
(2)这所中学最多可购买30个篮球．
【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用；关键是：根据题意找出表示实际问题含义的对等关系式．
（1）根据题意，列出二元一次方程组，利用二元一次方程组的加减消元法，解出结果．
（2）根据题意，列出一元一次不等式，运用一元一次不等式的一般解题步骤，解出答案．
【详解】（1）解：设每个足球的价格为x元，每个篮球的价格为y元，根据题意列方程组得，，
解得，
答：购买一个足球需50元，购买一个篮球需80元．
（2）设购买了n个篮球，则购买了个足球，
列不等式得：，
解得：，
n为正整数，
这所中学最多可购买30个篮球
解题方法总结：
【答案】①认真审题,分析已知量、未知量和不等关系,并用文字式简略表示出来;
②根据题目需要设出适当的未知数,并且将相关量都用含有未知数的代数式表示出来。
③将用文字表示的表达式用代数式和不等符号替换,根据不等关系列出不等式;
④求出不等式的解集,检验求得的解集是否符合题意,写出答案。
综合小测试
1.下列不等式中，表示a为非负数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据非负数的定义和一元一次不等式的定义即可求解．
【详解】解：∵a为非负数，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查非负数的定义及一元一次不等式的定义，熟练掌握非负数的性质是解题的关键．
2．据悉，我国设计制造的天舟二号货运飞船，在2021年5月29日顺利升空，将6吨多物资运送到天和核心舱，若用a表示货运飞船的载货质量，则对a的取值理解最准确的是（ ）（单位：吨）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据“6吨多”得到的取值范围即可．
【详解】解：根据“6吨多”物资运送到天和核心舱得到．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了不等式的定义：用“”或“”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“”号表示不等关系的式子也是不等式．
3.若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向．
【详解】解：∵，
∴，
∴四个选项中，只有C选项中的不等式成立，
故选C．
4．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据，应用不等式的基本性质，逐项判断即可．
【详解】解：A．，
，但是与的关系不确定，，，都有可能，故本选项不符合题意；
，故本选项符合题意；
，故本选项不符合题意；
，故本选项不符合题意；
故选：B．
5.不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查不等式的基本性质，掌握在不等式的两边同时乘以或除以一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴不等式的解集为：，
故选：D．
6.某市身高不超过的儿童可以免费乘坐公共汽车，若可以免费乘坐公共汽车的儿童的身高为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据不等关系，直接列出不等式即可，本题主要考查列不等式，准确找到不等关系是关键．
【详解】解：由题意得：，
故选：D
7.若不等式组有解，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，解题的关键是掌握解集的确定方法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．
【详解】解：不等式组有解，
，
故选：D．
8．不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】题考查了解一元一次不等式组．解题的关键是先求出每个不等式的解集，然后遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
【详解】解：解不等式得，
解不等式得，
∴不等式组的解集为：，
故选C．
9.根据数量关系“x的2倍与y的差大于3”，列不等式： ．
【答案】
【分析】本题考查了列不等式题，关键是理解“大于”用数学符号表示应为“>”．表示出x的2倍与 y的差，表示为，后用“> "与3连接即可．
【详解】解∶ “x的2倍与y的差大于3”可表示为．
故答案为∶ ．
10.如果，，那么a b（填“”“ ”“ ”）．
【答案】
【分析】本题考查了不等式的性质．根据不等式的性质，进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
11.若关于x的方程是一元一次方程，则 ．
【答案】0
【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（a，b是常数且）．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，或0，
∴．
故答案为：0．
12.不等式组的整数解之和是 ．
【答案】3
【分析】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整数解即可求出整数解之和．
【详解】解：不等式组可化为，
解得，
其整数解为，，0，1，2，3，
所以整数解之和是．
故答案为：3．
13.用适当的符号表示下列关系：
(1)x的与x的2倍的和是非正数；
(2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；
(3)三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；
(4)明天下雨的可能性不小于；
(5)小明的体重不比小刚轻．
【答案】(1)
(2)设炮弹的杀伤半径为r，则应有
(3)设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有
(4)用P表示明天下雨的可能性，则有
(5)设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有
【分析】（1）非正数用“”表示；
（2）、（4）不小于就是大于等于，用“≥”来表示；
（3）不高于就是等于或低于，用“≤”表示；
（5）不比小刚轻，就是与小刚一样重或者比小刚重．用“≥”表示．
【详解】（1）；
（2）设炮弹的杀伤半径为r，则应有；
（3）设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有；
（4）用P表示明天下雨的可能性，则有；
（5）设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有．
【点睛】本题考查了不等式的定义．一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠．
14.解方程组、解不等式组．
(1)解方程组：
(2)解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】(1)
(2)解集为，数轴表示见解析．
【分析】本题考查了代入消元法解二元一次方程组及解不等式组，表示不等式的解集，熟练求解二元一次方程组及不等式组是解题的关键．
（1）根据代入消元法求解即可；
（2）先求解不等式组，再表示出解集即可．
【详解】（1）解：解法一：把②变形得．③
把③代入①得，解得．
把代入③得．
该方程组的解为
解法二：把①变形得．③
把③代入②得，解得．
把代入③得．
该方程组的解为
（2）解：解不等式①得，
解不等式②得．
在数轴上表示出不等式①②的解集如图所示，
该不等式组的解集为．
能力拓展
1.由于无理数是无限不循环小数，所以对于其小数部分我们不可能全部写出来，但是我们可以用这个无理数减去其整数部分来表示．比如的整数部分是1，所以其小数部分就可以表示为．根据上述材料，解答下列问题
(1)a是的整数部分，b是的小数部分，则的值是 ；
(2)已知，其中x是整数，求的值．
【答案】(1)3
(2)
【分析】本题考查了无理数的整数部分，不等式的性质，代数式求值．熟练掌握无理数的估算，正确表示无理数的整数部分、小数部分是解题的关键．
（1）由题意知，，则，，然后代值求解即可；
（2）由，可得，进而可求，，然后代值求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：3；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，x是整数，
∴，，
∴，
∴的值为．
2.根据以下素材，探索完成任务．
探究奖项设置和奖品采购的方案
素材1 如图，某学校举办“迎亚运庆国庆”知识竞赛，分别设置一等奖、二等奖和三等奖的奖品．已知一盒水笔比一本笔记本的单价多10元，6盒水笔和3本笔记本的总价为150元．
素材2 若设置的获奖总人数不变，为提高同学们的参赛积极性，学校计划对获奖级别及人数进行调整，如下表：
【答案】任务1：一盒水笔20元，一本笔记本10元；任务2：或；任务3：两种情形均选择去A超市购买比较合算，理由见解析
【分析】本题主要考查二元一次方程组及不等式的应用，解题的关键是理解题意；
（1）设每盒水笔的价格是x元，每本笔记本的价格是y元，然后根据题意可列方程，进而求解即可；
（2）由题意易得，然后进行分类讨论即可求解；
（3）由（2）及题意可分类求出所需费用，然后问题可求解
【详解】解：（1）设每盒水笔的价格是x元，每本笔记本的价格是y元，
根据题意得，
解得，
答：一盒水笔20元，一本笔记本10元．
（2）根据题意，得，
解得．
∵m是整数，
∴或7，
∴共有两种可能，分别是或；
（3）①当，时，需采购水笔82盒，笔记本32本．
A超市：买水笔82盒，需支付1640元，送20本笔记本，再买12本笔记本，需支付120元，共支付1760元；
B超市：（元）
∵，
∴选择去A超市购买比较合算．
②当，时，需采购水笔84盒，笔记本34本．
A超市：买水笔84盒，需支付1680元，送21本笔记本，再买13本笔记本，需支付130元，共支付1810元；
B超市：（元）
∵，
∴选择去A超市购买比较合算，
∴两种情形均选择去A超市购买比较合算．
学习反思
通过这节课的学习，你有哪些收获？你还有什么疑惑？
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