《有理数的乘方》典型例题
例1.计算：(1) ；(2).
分析：应用有理数乘方的定义，把有理数的乘方转化成有理数的乘法进行运算.
例2.用计算器计算和.
分析：用计算器进行有理数的乘方运算，教师注意指导学生运用计算器计算的按键顺序.
例3 计算：（－2）3+（－3）×［（－4）2+2］－（－3）2÷（－2）
分析：有理数的混合运算.通过此例题的运算，使学生熟悉运算顺序.
例4 观察下面三行数
-2，4，-8，16，-32，64，… ①
0，6，-6，18，-30，66，… ②
-1，2，-4，8，-16，32，… ③
（1）第①行数按什么规律排列？
（2）第②③行数与第第①行数分别有什么关系？
（3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和.
分析：通过此例题使学生初步认识数字与数字间的关系，不同数字间可以通过什么运算相互转化.
例5 用科学记数法表示下列各数
1 000 000，57 000 000，123 000 000 000
分析：利用科学记数法的要求，会用科学记数法表示大数.
例6 按括号的要求,用四舍五入法对下列各数取近似值：
(1) 0.015 8 (精确到0.001)
(2) 30 435 (保留3个有效数字)
(3) 1.804 (保留2个有效数字)
(4) 1.804 (保留3个有效数字)
分析：按要求取近似数，熟练有效数字概念.
《有理数的乘方》教学建议
有理数的乘方是有理数的一种基本运算，是在学生学习了有理数的加、减、乘、除运算的基础上来学习的，它既是有理数乘法的推广和延续，又是后继学习有理数的混合运算、科学记数法和开方的基础，起到承前启后、铺路架桥的作用.在这一课的教学过程中，可以培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力，以及转化的数学思想，通过这一课的学习，对培养学生的这些能力和转化的数学思想起到很重要的作用.
本节课的具体建议如下：
1.学法
根据七年级的学生好动、好问、好奇的心理特征，课堂上可采取由浅入深的启发诱导式教学.随着教学内容的深入，让学生一步步的跟着动脑、动手、动口，在合作交流中培养学生学习的积极性和主动性，使学习方式由“学会”变为“会学”.
2.教学手段
利用多媒体教学，目的之一是使课堂生动、形象又直观，能激发学生的学习兴趣，目的之二是增大教学容量，增强教学效果.
3.学情分析
从知识基础方面来看,学生已经有了两个方面良好的基础，一是小学学过如何求一个正数的平方与立方，使学生能很好的理解乘方的意义和记法,实现知识的正迁移；二是学生刚学完有理数的乘法不久，具备良好的运算基础，对于准确理解有理数乘方的符号法则具有很重要的作用，缺点是从小养成了重结果、轻过程的习惯，基础知识不够扎实，计算准确性不够. 因此本堂课的难点定位为：有理数乘方运算的符号法则.
4.有理数乘方的教学建议
①有理数的乘方，实际上是一种特殊的乘法.在教学过程中，要注意创设情境，要学生理解特殊乘法的意义．有理数的乘方是学生进入初中后所接触的一种新的运算，这种运算突出的特点是随着指数的不断增大，乘方运算的结果因底数大于1或小于1而增长或减小得很快，这种抽象的数的变化正是有理数乘方的意义所在.为使抽象的数学具体化、生活化，易于学生理解和接受，基于课程标准的理念，设计和实施“把厚0.1毫米的纸依次折叠10次有10厘米厚，如果一层楼按3米计算，把足够长的厚0.1毫米的纸继续折叠20次有34层楼高，折叠30次有12个珠穆朗玛峰高，数值为什么增长得如此之快”这一探究活动.
②乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果，教学中不必过于关注乘方、幂的区别．
③负数乘方运算法则的得出，可以组织学生观察比较一些算式，猜想其中的规律得到．教学时，应提醒学生：负数的乘方，在书写时一定要把整个负数（连同符号）用小括号括起来．
④应让学生通过观察特例，自己总结规律．同时引导学生感受2和10的幂增长的速度非常快．
⑤教师可鼓励有兴趣的学生想办法解决阅读资料（即读一读）文中最后提出的问题．如可以采用估测，查阅资料等方法．
5.科学记数法的教学建议
用科学记数法表示大数，关键是写出10的指数.教师可以引导学生通过观察、思考得出整数的位数与10的指数的关系.
6.近似数的教学建议
①关于有效数字的意义，要注意：一是从左边第一个不是0的数起；二是到精确到的位数止，所有的数字.
②关于精确度有两种形式，一是精确到哪一位，一是保留几个有效数字.它们的实际意义不同，要注意区分.
课件19张PPT。1.5.1 有理数的乘方 某种细胞每经过30分钟便由1个分裂成2个.经过5时，这种细胞由1个分裂成多少个？想一想经过1个小时经过1.5个小时经过2个小时经过5个小时分裂2次2×2个3次2×2×2个4次2×2×2×2个10次猜 想想一想aa你会算正方形的面积和正方体的体积吗？（1）正方形的面积计算公式：S = a×a（2）正方体的体积计算公式：V = a×a×a 简记作 ，a × a × a .读作a的立方（或三次方）读作a的平方（或二次方） an 这种求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，a叫做底数，n叫做指数，an读作a的n次幂（或a的n次方）
（ 1）23中底数是 ，指数是 。
（2）在 中底数是 ，指数是 。
（3）在8中底数是 ，指数是 。23281练习1（1）22，(-2)3各表示什么意义?（3）34 底数、指数、幂分别是多少?（4）3的底数、指数、幂分别是多少?（2） 可以怎样表示? 试一试34 的底数是3、指数是4、幂是813的底数是3、指数是1、幂是3议一议读作2的4次幂的相反数读作-2的4次幂观察上2题的结果，你能发现什么规律？ 1的任何次幂都等于1；－1的奇次幂都等于－1；－1的偶次幂都等于1.解: 底数为10的幂的规律：102等于1后面加2个0，即100；103等于1后面加3个0……；10n等于1后面加n个0.观察上2题的结果，你能发现什么规律？解:用带符号键 的计算器(-)((-)8)∧5=显示(-8) 5∧-32768.解:用带符号键 的计算器+/-8+/-∧5=显示:-32768.((-)3)∧6=显示(-3) 6∧729.3+/-∧6=显示:729.想一想从例1、例2、例3中，你发现负数的幂的正负有什么规律？当指数为偶数时，负数的幂是正数,当指数为奇数时，负数的幂是负数.根据有理数的乘法法则可以得出：
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.
正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.想一想1、一个数的平方等于16，这个数可能是几？一个数的平方可能是零吗？2、什么数的平方等于它本身？什么数的立方等于它本身？答:一个数的平方等于16，这个数可能是4和-4,一个数的平方可能是零,这个数就是0.答:1和0的平方等于它本身,-1,0,1的立方等于它本身？3、判断下列各题是否正确
① 23=2 ×3 （ ）
② 2+2+2=23 （ ）
③ 23=2×2 ×2 （ ）不正确不正确正确4、1米长的小棒，第一次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此下去，第5次后剩下的小棒有多长？答案： 米解:6、5、下列的结论中，正确的是 （ ）
A、一个数的平方不可能是负数
B、一个数的平方一定是正数
C、一个数的平方一定小于这个数的绝对值
D、一个数的平方大于这个数（n为正整数）表示的数是 （ ） A、10个n相乘的积
B、 n 个10相乘的积
C、1后面有（n-1）个零
D、1后面有（n+1）个零AB请你说给大家听听这节课你有哪些收获?还有哪些困惑?体会.分享1、这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。中，a叫做底数，n叫做指数。读作a的n次方，看作a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂。2、乘方的读法：3、乘方的符号法则：（1）正数的任何次幂都是正数（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数（3）零的正整数次幂都是零4、注意：二者的区别及相互关系；的区别。小结：《1.5 有理数的乘方》
一. 教学内容：
有理数的乘方
1. 乘方的意义，会用乘法的符号法则进行乘方运算；
2. 会用科学记数法表示较大的数，理解近似数和有效数字表示的意义；
3. 了解科学记数法在实际生活中的作用。
二. 知识要点：
1. 有理数乘方的意义
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。
一般地，记作an。
乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数，an从运算的角度读作a的n次方，从结果的角度读作a的n次幂。
注：（1）一个数可以看作这个数本身的一次方。
（2）当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在其右上角写指数，指数要写小些。
（3）乘方是一种运算，是一种特殊的乘法运算（因数相同的乘法运算），幂是乘方的运算的结果。
2. 乘方运算的性质
（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
（3）任何数的偶次幂都是非负数；
（4）－1的偶次幂得1，－1的奇次幂得－1；1的任何次幂都得1；
（5）现在学习的幂的指数都是正整数，在这个条件下，0的任何次幂都得0。
3. 有理数的混合运算顺序
（1）先乘方，再乘除，最后加减。（2）同级运算，从左到右进行。（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
4. 科学记数法
把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，像这样的记数方法叫作科学记数法。
注：科学记数法是有理数的一种记数形式，这种形式就是a×10n，它由两部分组成：a和10n，两者相乘，其中a大于或等于1，且小于10（即1≤a＜10），它是由原来的小数点向左移动后的结果，也就是说，a与原数只是小数点位置不同。指数n是正整数，等于原数化为a时小数点移动的位数，用科学记数法表示一个数时，10的指数比原数的整数位数小1。
5. 近似数和有效数字
（1）近似数
与实际完全符合的数是准确数。与实际有一点偏差但又非常接近的数称为近似数。
（2）精确度
近似数的近似程度，也就是精确度。
一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。
（3）有效数字
四舍五入后的近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的位数止，所有的数字，都叫作这个数字的有效数字。如：近似数23.8精确到十分位，有三个有效数字2，3，8。
注：①对于0.006080，左边第一个不是0的数字是6，左边的三个0都不是有效数字，但6和8之间的0，和最后的0都是有效数字。②精确度一般有两种形式：一是精确到哪一位；二是保留几个有效数字。③规定有效数字的个数，也是对近似数精确程度的一种要求。一般说，对于同一个数取近似值时，有效数字个数越多，精确程度越高。
三. 重点难点：
1. 重点：①能够运用有理数乘方的运算法则进行乘方运算；②会用科学记数法表示较大的数；③能够根据具体要求表示近似数。
2. 难点：①如何确定幂的符号；②小数的有效数字的个数。
【典型例题】
例1. 填空：
（1）（－4）2＝__________，－42＝__________；
（2）－（－4）2＝__________，－（－42）＝__________；
（3）（－）3＝__________，－（）＝__________；
（4）（－2）5＝__________，（－3）4＝__________。
分析：（1）（－4）2表示两个－4相乘，－42表示42的相反数，即－42＝－（4×4）＝－16；
（2）－（－4）2表示－4的平方的相反数，即－（－4）×（－4）＝－16，－（－42）表示4的平方的相反数的相反数，即－（－42）＝42＝4×4＝16；
（4）（－2）5表示5个－2相乘，由符号法则知，结果为负，即（－2）5＝-32，（-3）4表示4个－3相乘，由符号法则知，结果为正，即（－3）4＝81。
解：（1）16，－16? （2）－16，16? （4）－32，81
评析：有理数的乘方是转化为乘法进行计算的，在计算时，一定要分清幂的底数，如：（－4）2的底数是－4，－42的底数是4，－42的意义是“4的平方的相反数”。
例2. 计算：
（1）（2）（－0.75）3；（3）（－1）101。
分析：把带分数转化成假分数，小数化为分数，再根据乘方的意义与乘方运算的符号法则进行计算。
（3）（－1）101＝－1。
评析：乘方是一种积的运算，幂是乘方的运算结果，运算时，先确定符号，再算绝对值。
例3. （2008年华杯初赛广东）＝__________。
分析：有理数的混合运算顺序是：先算乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括号里的运算。
解：
评析：本例题主要考查有理数混合运算的运算顺序，以及符号的确定方法。
例4. （2008年希望杯初一第1试）“嫦蛾一号”第一次入轨运行的椭圆轨道如图所示，其中黑色圆圈表示地球，其半径R＝6371km，A是近地点，距地球205km，B是远地点，距地球50930km（已知地心，近地点，远地点在一条直线上），则AB＝__________km（用科学计数法表示）。
分析：AB＝205＋2×6371＋50930＝63877（km），我们可按科学记数法的表示方法来表示。事实上，a＝6.3877，然后看小数点向左移动了几位，那么n即为几。
解：6.3877×104
评析：用科学记数法表示一个数时，10的指数n等于原数化为a时小数点移动的位数，n比原数的整数位数小1。
例5. 下列说法中正确的是（?? ）
A. 近似数1.70与近似数1.7的精确度相同
B. 近似数5百与近似数500的精确度相同
C. 近似数4.70×104是精确到百位的数，它有三个有效数字4、7、0
D. 近似数24.30是精确到十分位的数，它有三个有效数字2、4、3
分析：近似数1.70精确到0.01，1.7精确到0.1，故A错；近似数5百精确到百位，近似数500精确到个位，故B错；近似数4.70×104的有效数字只与4.70有关，与104无关，它有三个有效数字4、7、0。精确度由所得近似数的最后一位有效数字在该数中所处的位置决定，而4.70×104＝47000，本题中有效数字0在47000中处在百位，故精确到百位，C对；近似数24.30精确到百分位，故D错。
解：C
评析：（1）计算有效数字的个数时，抠住有效数字的意义，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，中间所有的数字，包括0，重复的数字都不能漏掉。（2）近似数后面有单位时，如百、千、万，还有用科学记数法表示的数，其有效数字与单位无关，而精确度应该与单位统一起来考虑。
例6. 观察下列算式：
31＝3? 32＝9? 33＝27? 34＝81
35＝243? 36＝729? 37＝2187? 38＝6551
通过观察，用你发现的规律，判断出3101的末位数字是__________。
分析：通过观察，3n每循环4次，末位数字（个位）就出现周期变化。
当n＝4k＋1时，34k＋1的个位数为3
当n＝4k＋2时，34k＋2的个位数为9
当n＝4k＋3时，34k＋3的个位数为7
当n＝4k时，34k的个位数为1
而101＝4×25＋1，于是3101的末位数是3。
解：3
评析：由特殊到一般发现规律后，再去解决特殊的情形，这种对比发现，归纳的方法是一种学习数学的常见的思维技巧，请同学们一定要多体会、多摸索。
【方法总结】
1. 掌握有理数混合运算的顺序。
2. 归纳、猜想型问题的解决步骤：将问题抽象为数学问题——从特例入手——对比分析——归纳出一般性的结论——用这个一般性的结论去解决实际问题。
【模拟试题】（答题时间：45分钟）
一. 选择题
1. 下列说法正确的是（?? ）
A. －23的底数是－2???????????????????????? B. 2×32的底数是2×3
2. 下列各组数中，其值相等的是（?? ）
A. 32和23???????????????????????????????????????? B. （－2）3和－23
C. －32和（－3）2??? ?????????????????????? D. （－3×2）2和（－3×22）
3. 下列各式计算正确的是（?? ）
A. －24＝－8?? ???????????????????? B. －（－2）2＝－4
4. （2007年辽宁）在“2008北京”奥运会国家体育场的“鸟巢”钢结构工程施工建设中，首次使用了我国科研人员自主研制的强度为4.6×108帕的钢材，那么4.6×108的原数为（?? ）
A. 4600000??????????? B. 46000000???????? C. 460000000????????? D. 4600000000
5. 一个数的平方等于它本身，则这个数一定是（?? ）
A. 0?????????????????????? B. 1???????????????????? C. 0或1???????????????? D. ±1
6. 一个数的立方等于它本身，则这个数是（?? ）
A. 1,－1???????????????? B. －1,0????????????? C. 0,1???????????????????? D. 1,－1,0
7. 下列各式计算不正确的是（?? ）
A. （－1）2008＋（－1）2009＝0??????? B. －24÷23＝－3
8. （2008年希望杯初一第2试）a是最大的负整数，b是绝对值最小的有理数，
9. （2007年山东济宁）今年3月5日，温家宝总理在《政府工作报告》中，讲述了六大民生新亮点，其中之一就是全部免除了西部地区和部分中部地区农村义务教育阶段约52000000名学生的学杂费，这个数据用科学记数法表示为（保留两个有效数字）（?? ）
A. 52×107???????????? B. 5.2×107????????? C. 5.2×108???????????? D. 52×108
10. （2007年广东初赛）观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256……通过观察，用你所发现的规律写出811的末位数字是（?? ）
A. 2 ???????????????????? B. 4 ?????????????????? C. 6 ????????????????????? D. 8
二. 填空题
1. 在（－2）3中，底数是__________，指数是__________。
2. （）10表示的意义是__________。
3. 用“＜”号把数：－（－5），－︱－3︱，0,－110,（－1）2连接起来：____________________。
4. （2007年吉林）2007年吉林省全面实施义务教育经费保障机制，全部免除农村约2320000名学生的学杂费，2320000名用科学记数法表示为__________名。
5. （2007年济南）把12500取两个有效数字的近似数用科学记数法表示为__________。
6. （2007年河北）已知an＝（－1）n＋1，当n＝1时，a1＝0；当n＝2时，a2＝2；当n＝3时，a3＝0；… 则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6的值为__________。
7. 你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，反复几次就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条。
这样捏合到第__________次后可拉出128根细面条。
8. 1883年，康托尔构造的这个分形，称做康托尔集，从数轴上单位长度线段开始，康托尔取走其中间三分之一而达到第一阶段；然后从每一个余下的三分之一线段中取走其中间三分之一而达到第二阶段. 无限地重复这一过程，余下的无穷点集就称做康托尔集。下图是康托尔集的最初几个阶段，当达到第八个阶段时，余下的所有线段的长度之和为__________。
三. 解答题
1. 计算：
（1）（－1）－（－1）－14
（2）（－3）×（－2）3＋（－6）2×（－）
（3）（－1）2×5＋（－1）×52－12×5＋（－1×5）2
2. 计算：
3. 猜猜我是谁：
（1）“我的平方是我本身，谁与我相乘却都是一个定值。”
（2）“我的绝对值和我的倒数是同一个数。”
（3）“我除以－2的商，等于3与（－6）的积。”
4. 用四舍五入法写出下列各数的近似数：
（1）2.458（精确到0.01）
（2）0.02664（精确到0.001）
（3）27.98（精确到十分位）
（4）316.49（精确到个位）
（5）380290040（保留三个有效数字）
5. 地球上的海洋面积约为3.6×108平方千米，请问3.6×108表示的原数是什么？
6. 按要求求1295330000的近似数，并指出其有效数字的个数。
（1）精确到百万位；（2）精确到亿位。
四. 用简便方法计算：
1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋…＋2005＋2006－2007－2008
五. 探索题
问题：你能很快算出19952吗？
为了解决这个问题，我们考虑个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数是5的自然数的平方可写成（10·n＋5）2的值（n为自然数）。请你试着分析n＝1，n＝2，n＝3，…，这些简单情况，从中探索其规律，并归纳、猜想出结论（在下面空格内填上你的探索结果）。
（1）通过计算，探索规律：
152＝225????? 可写成100×1×（1＋1）＋25，
252＝625????? 可写成100×2×（2＋1）＋25，
352＝1225???? 可写成100×3×（3＋1）＋25，
452＝2025???? 可写成100×4×（4＋1）＋25，
……
752＝5625???? 可写成____________________，
852＝7225???? 可写成____________________。
（2）从第（1）题的结果，归纳、猜想得：（10n＋5）2＝__________。
（3）根据上面的归纳、猜想，请算出：19952＝__________。
【试题答案】
一. 选择题
1. C?? 2. B?? 3. B?? 4. C?? 5. C?? 6. D?? 7. D?? 8. A?? 9. B?? 10. D
二. 填空题
1. －2，3?? 2. ?? 3. －︱－3︱＜－110＜0＜（－1）2＜－（－5）
4. 2.32×106?? 5. 1.3×104?? 6. 6?? 7. 7?? 8.
三. 解答题
1. （1）原式＝－1
（2）原式＝24－4＝20
（3）原式＝5－25－5＋25＝0
3. （1）0?? （2）1?? （3）根据题意得：3×（－6）×（－2）＝36
4. （1）2.46?? （2）0.027?? （3）28.0? （4）316? （5）3.80×108
5. 360000000
6. （1）1.295×109，有4个有效数字?
（2）13亿，有2个有效数字
四.
原式＝（－4）＋（－4）＋…（－4）＝（－4）×502＝－2008
五. 752＝5625可写成：100×7×（7＋1）＋25
852＝7225可写成：100×8×（8＋1）＋25
（10n＋5）2＝100×n×（n＋1）＋25
19952＝100×199×200＋25＝3980025
1.5.1 有理数的乘方
学习目标:
1．理解有理数乘方的意义；
2．掌握有理数乘方运算；
3．经历探索有理数乘方的运算，获得解决问题经验．
学习重点与难点
重点难点：有理数乘方的运算．
学习过程
一、自主学习：
计算：（1）6×6×6= ； （2） (-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)= ；
(3) = ; (4)= .
二、探索新知:
三、应用新知:
1．计算：（1） （2） （3）
从上述可以得出：
负数的奇次幂是 数，负数的偶次幂是 数，
正数的任何次幂都是 数，0的任何正整次幂都是 ．
2．思考：（1） 与 意义一样吗？为什么？
（2） 与 意义一样吗？为什么？
3．自学例2
四、发现总结:
请你对本节课所学知识作个小结
五、课堂检测:
1．填空：
1） 的底数是 ，指数是 ，读作： ，结果是 ；
2）的底数是 ，指数是 ，读作： ，结果是 ；
3）的底数是 ，指数是 ，读作： ， 结果是 ．
2．填空：
1） ； ； ；
2）= ；= ； ； ．（n为正整数）
2．观察下列各等式：
1=； 1+3= ； 1+3+5=； 1+3+5+7=；……
⑴运用上述规律得：1+3+5+7+…+2013= .
⑵通过上述观察，你能猜想出反映这种规律的一般结论:
1+3+5+7+…+(2n-1)= .
七、教学反思：
1.5.1 有理数的乘方
学习目标:
1．能确定有理数加、减、乘、除、乘方混合运算的顺序；
2．会进行有理数的混合运算；
3．培养并提高正确迅速的运算能力．
学习重点与难点
重点：运算顺序的确定和性质符号的处理
难点：有理数的混合运算
学习过程
一、自主学习：
1．计算
－2× －－ －2×
2．师生共同探讨教材第43页例题4观察下面三行数：
－2，4，－8，16，－32，64，……；
0，6，－6，18，－30，66，……；
－1，2，－4，8，－16，32，……；
（1）第①行书按什么规律排列？
（2）第②③行数与第①行数分别有什么关系？
（3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和．
四、发现总结:
遇到有理数的混合运算，应该按怎样的顺序计算？
五、课堂检测:
1．教材第44页练习
2．计算：
（1） （2）（－1）10×2+（－2）3÷4
（3）（－5）3－3× （4）
六、巩固提高:1、 ；
七、教学反思：
