4.5.2用二分法求方程的近似解 课件（20张PPT）

(共20张PPT)
4.5.2 用二分法求方程的近似解
4.5 函数的应用（二）
1、函数的零点的定义：
使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点
结论:
一、复习回顾
2、零点存在性定理
1、在上的函数图像是连续的
2、
则函数上至少存在一个零点
一、复习回顾
一、引入新课
思考：但对于一般的方程（2），虽然可用零点存在性定理判定根的存在性，而没有公式求根；
如何求得一般方程的根呢？
（1）x2-2x-3=0
（2）lnx+2x－6=0
问题一：观察下面两个方程，你会解吗？
（1）求根公式法、配方法、因式分解（十字相乘）
二、探究新知
观察图形，怎样求方程lnx+2x-6=0的根？
方程的根在(2，3)区间内.
能否用缩小区间的方法逼近方程的根？
我们用一种常见的数学方法—二分法，共同探究已知方程的根.
1．二分法：
对于区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值.
区间 中点的值 中点函数近似值
(2，3) 2.5 –0.084
(2.5，3) 2.75 0.512
(2.5，2.75) 2.625 0.215
(2.5，2.625) 2.5625 0.066
(2.5，2.5625) 2.53125 –0.009
(2.53125，2.5625) 2.546875 0.029
(2.53125，2.546875) 2.5390625 0.010
(2.53125，2.5390625) 2.53515625 0.001
当精确度为0.01时，求方程lnx+2x-6=0根的近似值
对应函数为f(x)=lnx+2x－6
f(2)=-1.3069
f(3)=1.0986
计算精确度：区间两端点差值的绝对值
当精确度为0.01时，由于|2.5390625-2.53125| =0.007 812 5＜0.01，所以，我们可以将x=2.53125作为函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值，也即方程lnx+2x-6=0根的近似值.
2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步聚
二分法求函数零点近似值口诀
定区间，找中点，中值计算两边看；
同号去，异号算，零点落在异号间；
周而复始怎么办？精确度上来判断．
用二分法求函数零点近似值的方法仅适用于函数的变号零点(曲线通过零点，且在零点两侧函数值异号)，对函数的不变号零点(曲线通过零点，且在零点两侧函数值不异号)不适用．
问题二：是不是所有零点都可以用二分法求呢？
题型一　二分法概念的理解
【例1】　(1)已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为
A．4，4　　　　　　　 B．3，4
C．5，4 D．4，3
解析　图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3，故选D.
D
(2)(多选)下列函数中，能用二分法求函数零点的有
A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x2－2x＋1
C．f(x)＝4x D．f(x)＝ex－2
解析　f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，f(1)＝0，当x<1时，f(x)>0；当x>1时，f(x)>0，在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，其余选项中函数的零点两侧的函数值异号．故选A、C、D.
ACD
|通性通法|
二分法的适用条件
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．
题型二　用二分法求方程的近似解
【例2】　(链接教科书第146页例2)用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解．(精确度0.1)
解　令f(x)＝2x3＋3x－3，
经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，
所以函数f(x)在(0，1)内存在零点，
即方程2x3＋3x＝3在(0，1)内有解．
取(0，1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，
又f(1)>0，
所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5，1)内有解．
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解．
(变条件)若本例中的“精确度0.1”换为“精确度0.05”结论又如何？
解：在本例的基础上，取区间(0.687 5，0.75)的中点x＝0.718 75，因为f(0.718 75)＜0，f(0.75)＞0且|0.718 75－0.75|＝0.031 25＜0.05，所以x＝0.72可作为方程的一个近似解．
|通性通法|
用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)；
(2)取区间端点的中点c，计算f(c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．
一个概念：二分法
两个条件：连续、异号零点
三种思想：转化化归、数形结合、分类讨论
四个步骤：验证、求中点、计算、判断
四、课堂小结
谢 谢！