北师大版数学八年级下册单元清测试（第三章）培优卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022·黄石）下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．温州博物馆 B．西藏博物馆
C．广东博物馆 D．湖北博物馆
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A：既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
B：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C：不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故答案为：A.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.
中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.
2．（2023·郴州）下列图形中，能由图形通过平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：由题意得能由图形通过平移得到，
故答案为：B
【分析】根据平移的性质结合题意即可求解。
3．（2022·赤峰）如图，点，将线段先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到线段，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵点A坐标为（2，1），
∴线段OA向h 平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，点A的对应点A′的坐标为（2-3，1+2），
即（-1，3），
故答案为：C．
【分析】根据平移的性质可得答案。
4．（2020·赤峰）如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 5，AC= 3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C' ，则四边形ABC'A'的面积是 （ ）
A．15 B．18 C．20 D．22
【答案】A
【知识点】勾股定理；平移的性质
【解析】【解答】解：在 ACB中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，
由勾股定理可得： ，
∵ A’C’B’是由 ACB平移得来，A’C’=AC=3，B’C’=BC=4，
∴ ，
又∵BB’=3，A’C’= 3，
∴ ，
∴ ，
故答案为：A．
【分析】在直角三角形ACB中，可用勾股定理求出BC边的长度，四边形ABC’A’的面积为平行四边形ABB’A’和直角三角形A’C’B’面积之和，分别求出平行四边形ABB’A’和直角三角形A’C’B’的面积，即可得出答案．
5．（2020·内江）将直线 向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；平移的性质；图形的平移
【解析】【解答】解：原直线的k=-2，b=-1；向上平移两个单位得到了新直线，
那么新直线的k=-2，b=-1+2=1．
∴新直线的解析式为y=-2x+1．
故答案为：C．
【分析】向上平移时，k的值不变，只有b发生变化．
6．（2020·苏州）如图，在 中， ，将 绕点A按逆时针方向旋转得到 .若点 恰好落在 边上，且 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：设 =x°.
根据旋转的性质，得∠C=∠ = x°， =AC， =AB.
∴∠ =∠B.
∵ ，∴∠C=∠CA =x°.
∴∠ =∠C+∠CA =2x°.
∴∠B=2x°.
∵∠C+∠B+∠CAB=180°， ，
∴x+2x+108=180.
解得x=24.
∴ 的度数为24°.
故答案为：C.
【分析】根据旋转的性质得出边和角相等，找到角之间的关系，再根据三角形内角和定理进行求解，即可求出答案.
7．（2023·滨州）已知点是等边的边上的一点，若，则在以线段为边的三角形中，最小内角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：将△PBA绕点A逆时针旋转60°得到△QCA，如图所示：
∴∠QAP=60°，PB=QC，QA=PA，∠BPA=∠CQA，
∴△QPA为等边三角形，
∴PA=PQ，
∴最小锐角为∠CQP，
∵，
∴∠BPA=76°，
∴∠CQA=∠BPA=76°，
∴∠CQP=16°，
故答案为：B
【分析】将△PBA绕点A逆时针旋转60°得到△QCA，根据旋转的性质即可得到∠QAP=60°，PB=QC，QA=PA，∠BPA=∠CQA，进而得到△QPA为等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得到PA=PQ，从而得到最小锐角为∠CQP，再结合题意即可求解。
8．（2022·呼和浩特）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，、交于点．若，则的度数是（用含的代数式表示）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将绕点顺时针旋转得到，且
∴BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，
∴∠B=∠BDC，
∴，
∴，
∴，
，
故答案为：C．
【分析】将绕点顺时针旋转得到，且，BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，
∠B=∠BDC，根据三角形内角和定理，，，再根据三角形内角和定理。
9．（2021·永州）如图，在平面内将五角星绕其中心旋转180°后所得到的图案是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，五角星图案绕中心旋转180°后，阴影部分的等腰三角形的顶点向下，得到的图案是C.
故答案为：C.
【分析】根据旋转的性质可得：五角星图案绕中心旋转180°后，阴影部分的等腰三角形的顶点向下，据此判断.
10．（2021·牡丹江）如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2 ，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（4，2）或（﹣4，2）
B．（2 ，﹣4）或（﹣2 ，4）
C．（﹣2 ，2）或（2 ，﹣2）
D．（2，﹣2 ）或（﹣2，2 ）
【答案】C
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】过点A作 于点C．
在Rt△AOC中， ．
在Rt△ABC中， ．
∴ ．
∵OA＝4，OB＝6，AB＝2 ，
∴ ．
∴ ．
∴点A的坐标是 ．
根据题意画出图形旋转后的位置，如图，
∴将△AOB绕原点O顺时针旋转90°时，点A的对应点A′的坐标为 ；
将△AOB绕原点O逆时针旋转90°时，点A的对应点A′′的坐标为 ．
故答案为：C．
【分析】过点A作 于点C．利用勾股定理求出A的坐标，再分两种情况讨论即可。
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2023·滨州）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为．若将向左平移3个单位长度得到，则点A的对应点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：由题意得点的坐标是，
故答案为：
【分析】根据平移坐标的变化结合题意即可求解。
12．（2022·淄博）如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若顶点A（-3，4）的对应点是A1（2，5），则点B（-4，2）的对应点B1的坐标是 ．
【答案】（1，3）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵顶点A（-3，4）的对应点是A1（2，5），
又
∴平移至的规律为：将向右平移5个单位，再向上平移1个单位即可得到
∵B（-4，2）
∴的坐标是（-4+5，2+1），即（1，3）
故答案为：（1，3）
【分析】利用点坐标平移的特征：左减右加，上加下减求解即可。
13．（2022·贵港）如图，将绕点A逆时针旋转角得到，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数是 .
【答案】50°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据题意，
∵，
∴，
由旋转的性质，则，，
∴，
∴；
∴旋转角的度数是50°.
故答案为：50°.
【分析】根据题意可得DE⊥AC，∠CAD=25°，由余角的性质可得∠ADE=65°，根据旋转的性质可得∠B=∠ADE=65°，AB=AD，由等腰三角形的性质可得∠ADB=∠B=65°，然后根据内角和定理进行计算.
14．（2020·阜新）如图，在 中， ， .将 绕点B逆时针旋转60°，得到 ，则 边的中点D与其对应点 的距离是 .
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，连接
绕点B逆时针旋转60°， 分别为 的中点，
为等边三角形，
为 中点，
故答案为：
【分析】先由旋转的旋转证明： 为等边三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解 ，从而可得答案.
15．（2022·宁夏）如图，直线，的边在直线上，，将绕点顺时针旋转至，边交直线于点，则 ．
【答案】50
【知识点】平行线的性质；旋转的性质；邻补角
【解析】【解答】解：将△AOB绕点O顺时针旋转75°至△A1OB1，
∴，
∵∠AOB=55°，
∴，
，
，
故答案为：50．
【分析】利用旋转的性质，可得∠BOB1=∠AOA1，利用邻补角的定义求出∠A1OD的度数，然后利用两直线平行，同位角相等，可求出∠1的度数.
16．（2022·西宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=6，将△ABC绕点A逆时针方向旋转15°得到△AB′C′，B′C′交AB于点E，则B′E= ．
【答案】
【知识点】旋转的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=6，
则∠BAC=60°，AC=3，BC=3，
将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°后，
则∠C′AC=15°，AC= AC′=3，B′C′=BC=3，
∴∠C′AE=45°，
而∠AC′E=90°，故△AC′E是等腰直角三角形，
∴AC=AC′=EC′=3
∴B′E= B′C′- EC′=33．
故答案为：33．
【分析】根据题意先求出∠C′AE=45°，再求出AC=AC′=EC′=3，最后计算求解即可。
三、解答题（共7题，共72分）
17．（2023·广安）将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形拼成符合要求的四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形（注：①网格中每个小正方形的边长为1；②所拼的图形不得与原图形相同；③四边形的各顶点都在格点上）．
【答案】解：①要求是轴对称图形但不是中心对称图形，则可作等腰梯形，如图四边形即为所求；
②要求是中心对称图形但不是轴对称图形，则可作一般平行四边形，如图四边形即为所求；
③要求既是轴对称图形又是中心对称图形，则可作菱形、矩形等，如图四边形即为所求；
④要求既不是轴对称图形又不是中心对称图形，则考虑作任意四边形，如图四边形即为所求．
【知识点】轴对称图形；作图﹣轴对称；中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的性质进行作图即可求解。
18．（2019八上·孝南月考）如图，△ABC中，点E在BC边上.AE=AB，将线段AC绕点A旋转到AF的位置.使得∠CAF=∠BAE.连接EF，EF与AC交于点G.
（1）求证：EF =BC；
（2）若∠ABC=65°，∠ACB=28°，求∠FGC的度数.
【答案】（1）证明：∵∠CAF=∠BAE，
∴∠BAC=∠EAF.
∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，
∴AC=AF.
在△ABC与△AEF中，
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴EF=BC
（2）解：∵AB=AE，∠ABC=65°，
∴∠BAE=180°-65°×2=50°，
∴∠FAG=∠BAE=50°.
∵△ABC≌△AEF，
∴∠F=∠C=28°，
∴∠FGC=∠FAG+∠F=50°+28°=78°
【知识点】三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据等式的性质可得∠BAC=∠EAF，根据旋转的性质可得AC=AF，根据SAS可证△ABC≌△AEF ，利用全等三角形的对应边相等即可求出结论.
（2）根据等腰三角形的性质及三角形内角和求出∠BAE=50°，从而可得∠FAG=∠BAE=50°，利用全等三角形的性质可得∠F=∠C=28°，利用三角形外角的性质可得∠FGC=∠FAG+∠F，据此计算即可.
19．（2021·丽水）如图，在5×5的方格纸中，线段AB的端点均在格点上，请按要求画图．
（1）如图1，画出一条线段AC，使AC＝AB，C在格点上；
（2）如图2，画出一条线段EF，使EF，AB互相平分，E，F均在格点上；
（3）如图3，以A，B为顶点画出一个四边形，使其是中心对称图形，且顶点均在格点上．
【答案】（1）解：如图1
（2）解：如图2
（3）解：如图3
【知识点】作图﹣旋转；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）利用格点的特点，画出符合题意的线段AB即可.
（2）利用平行四边形的对角线互相平分，画出线段EF.
（3）利用中心对称图形的定义，画出符合题意的四边形.
20．（2020·河池）如图，在平面直角坐标系xOy中，A(-1，2).
（1）将点A向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点B，则点B的坐标是 .
（2）点C与点A关于原点O对称，则点C的坐标是 .
（3）反比例函数的图象经过点B，则它的解析式是 .
（4）一次函数的图象经过A，C两点，则它的解析式是 .
【答案】（1）（2，3）
（2）（1，-2）
（3）
（4）y=-2x
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；关于原点对称的点的坐标特征；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：（1）将点A向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点B，则点B的坐标是（2，3）；
（ 2 ）点C与点A关于原点O对称，则点C的坐标是（1，-2）；
（ 3 ）设反比例函数解析式为 ，
把B(2，3)代入得：k=6，
∴反比例函数解析式为 ；
（ 4 ）设一次函数解析式为y=mx+n，
把A（-1，2）与C（1，-2）代入得： ，
解得： ，
则一次函数解析式为y=-2x.
故答案为：（1）（2，3）；（2）（1，-2）；（3） ；（4）y=-2x
【分析】（1）利用点的坐标平移规律：上加下减，左减右加，可得到点B的坐标。
（2）利用关于原点对称点的坐标特点：横纵坐标都互为相反数，就可求出点C的坐标。
（3）利用待定系数法，由点B的坐标，可求出此反比例函数解析式。
（4）设一次函数解析式为y=mx+n，将点A，C两点的坐标代入函数解析式，建立关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值，就可得到函数解析式。
21．已知：正方形ABCD．
（1）如图1，点E、点F分别在边AB和AD上，且AE=AF．此时，线段BE、DF的数量关系和位置关系分别是什么？请直接写出结论．
（2）如图2，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当0°＜α＜90°时，连接BE、DF，此时（1）中的结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
（3）如图3，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当a=90°时，连接BE、DF，猜想沟AE与AD满足什么数量关系时，直线DF垂直平分BE．请直接写出结论．
（4）如图4，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当90°＜α＜180°时，连接BD、DE、EF、FB得到四边形BDEF，则顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形？请直接写出结论．
【答案】解：（1）BE=DF且BE⊥DF；（2）在△DFA和△BEA中，∵∠DAF=90°﹣∠FAB，∠BAE=90°﹣∠FAB，∴∠DAF=∠BAE，又AB=AD，AE=AF，∴△DFA≌△BEA，∴BE=DF；∠ADF=∠ABE，∴BE⊥DF；（3）AE=（﹣1）AD；（4）正方形．
【知识点】全等三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，AB=AD，由AE=AF，可得BE=DF且BE⊥DF；
（2）通过证明△DFA≌△BEA，可得（1）中的结论依然成立；
（3）连接BD，直线DF垂直平分BE，可得AD+AE=BD，BD=AD，解答出即可；
（4）如图，通过证明△DAF≌△BAE，可得DF=BE，结合（2）中结论，可得到各边中点所组成的四边形的形状；
22．（2021·阜新）下面是小明关于“对称与旋转的关系”的探究过程，请你补充完整．
（1）三角形在平面直角坐标系中的位置如图1所示，简称G，G关于y轴的对称图形为 ，关于 轴的对称图形为 ．则将图形 绕 点顺时针旋转 度，可以得到图形 ．
（2）在图2中分别画出G关于y轴和直线 的对称图形 ， ．将图形 绕 点（用坐标表示）顺时针旋转 度，可以得到图形 ．
（3）综上，如图3，直线 和 所夹锐角为 ，如果图形G关于直线 的对称图形为 ，关于直线 的对称图形为 ，那么将图形 绕 点（用坐标表示）顺时针旋转 度（用 表示），可以得到图形 ．
【答案】（1）O；180
（2）解： ， 如图； ；（0，1）；90
（3）；2α
【知识点】轴对称的性质；轴对称图形；图形的旋转；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）由图象可得，图形 与图形 关于原点成中心对称，
则将图形 绕O点顺时针旋转180度，可以得到图形 ；
故答案为：O，180；
（3）∵当G关于y轴的对称图形为 ，关于 轴的对称图形为 时， 与 关于原点（0，0）对称，即图形 绕O点顺时针旋转180度，可以得到图形 ；
当G关于 y轴和直线 的对称图形 ， 时，图形 绕 点（用坐标表示）顺时针旋转90度，可以得到图形 ，点（0，1）为直线 与 y轴的交点，90度角为直线 与 y轴夹角的两倍；
又∵直线 和 的交点为 ，夹角为 ，
∴当直线 和 所夹锐角为 ，图形G关于直线 的对称图形为 ，关于直线 的对称图形为 ，那么将图形 绕 点（用坐标表示）顺时针旋转 度（用 表示），可以得到图形 ．
故答案为： ， ．
【分析】（1）根据旋转的性质以及中心对称的性质，计算得到答案即可；
（2）根据轴对称的性质以以及旋转的性质作出图形即可；
（3）根据关于坐标轴对称的性质、旋转的性质求出答案即可。
23．（2020·锦州）已知 和 都是等腰直角三角形 ， .
（1）如图1：连 ，求证： ；
（2）若将 绕点O顺时针旋转，
①如图2，当点N恰好在 边上时，求证： ；
②当点 在同一条直线上时，若 ，请直接写出线段 的长.
【答案】（1）证明：即 ，
，
即 .
和 是等腰直角三角形，
，
（2）解：①证明：如图1，连接 .
，
，
即 .
和 是等腰直角三角形，
，
，
，
.
是等腰直角三角形，
，
.
② 或 .
温馨提示：
如图2，当点N在线段 上时，连接 ，设 ，
在 中， ，
；
如图3，当点M在线段 上时，连接 ，设 ，
在 中，
解得： .
【知识点】勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用SAS定理证明 即可；（2）①连接 ，证明 ，即可证 ；②当点N在线段 上时，连接 ，在 中构造勾股定理的等量关系；当点M在线段 上时，同理即可求得.
1 / 1北师大版数学八年级下册单元清测试（第三章）培优卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2022·黄石）下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．温州博物馆 B．西藏博物馆
C．广东博物馆 D．湖北博物馆
2．（2023·郴州）下列图形中，能由图形通过平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·赤峰）如图，点，将线段先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到线段，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·赤峰）如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 5，AC= 3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C' ，则四边形ABC'A'的面积是 （ ）
A．15 B．18 C．20 D．22
5．（2020·内江）将直线 向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·苏州）如图，在 中， ，将 绕点A按逆时针方向旋转得到 .若点 恰好落在 边上，且 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·滨州）已知点是等边的边上的一点，若，则在以线段为边的三角形中，最小内角的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·呼和浩特）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，、交于点．若，则的度数是（用含的代数式表示）（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·永州）如图，在平面内将五角星绕其中心旋转180°后所得到的图案是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021·牡丹江）如图，△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝2 ，将△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（4，2）或（﹣4，2）
B．（2 ，﹣4）或（﹣2 ，4）
C．（﹣2 ，2）或（2 ，﹣2）
D．（2，﹣2 ）或（﹣2，2 ）
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2023·滨州）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为．若将向左平移3个单位长度得到，则点A的对应点的坐标是 ．
12．（2022·淄博）如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若顶点A（-3，4）的对应点是A1（2，5），则点B（-4，2）的对应点B1的坐标是 ．
13．（2022·贵港）如图，将绕点A逆时针旋转角得到，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数是 .
14．（2020·阜新）如图，在 中， ， .将 绕点B逆时针旋转60°，得到 ，则 边的中点D与其对应点 的距离是 .
15．（2022·宁夏）如图，直线，的边在直线上，，将绕点顺时针旋转至，边交直线于点，则 ．
16．（2022·西宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=6，将△ABC绕点A逆时针方向旋转15°得到△AB′C′，B′C′交AB于点E，则B′E= ．
三、解答题（共7题，共72分）
17．（2023·广安）将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形拼成符合要求的四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形（注：①网格中每个小正方形的边长为1；②所拼的图形不得与原图形相同；③四边形的各顶点都在格点上）．
18．（2019八上·孝南月考）如图，△ABC中，点E在BC边上.AE=AB，将线段AC绕点A旋转到AF的位置.使得∠CAF=∠BAE.连接EF，EF与AC交于点G.
（1）求证：EF =BC；
（2）若∠ABC=65°，∠ACB=28°，求∠FGC的度数.
19．（2021·丽水）如图，在5×5的方格纸中，线段AB的端点均在格点上，请按要求画图．
（1）如图1，画出一条线段AC，使AC＝AB，C在格点上；
（2）如图2，画出一条线段EF，使EF，AB互相平分，E，F均在格点上；
（3）如图3，以A，B为顶点画出一个四边形，使其是中心对称图形，且顶点均在格点上．
20．（2020·河池）如图，在平面直角坐标系xOy中，A(-1，2).
（1）将点A向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点B，则点B的坐标是 .
（2）点C与点A关于原点O对称，则点C的坐标是 .
（3）反比例函数的图象经过点B，则它的解析式是 .
（4）一次函数的图象经过A，C两点，则它的解析式是 .
21．已知：正方形ABCD．
（1）如图1，点E、点F分别在边AB和AD上，且AE=AF．此时，线段BE、DF的数量关系和位置关系分别是什么？请直接写出结论．
（2）如图2，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当0°＜α＜90°时，连接BE、DF，此时（1）中的结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
（3）如图3，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当a=90°时，连接BE、DF，猜想沟AE与AD满足什么数量关系时，直线DF垂直平分BE．请直接写出结论．
（4）如图4，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α，当90°＜α＜180°时，连接BD、DE、EF、FB得到四边形BDEF，则顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形？请直接写出结论．
22．（2021·阜新）下面是小明关于“对称与旋转的关系”的探究过程，请你补充完整．
（1）三角形在平面直角坐标系中的位置如图1所示，简称G，G关于y轴的对称图形为 ，关于 轴的对称图形为 ．则将图形 绕 点顺时针旋转 度，可以得到图形 ．
（2）在图2中分别画出G关于y轴和直线 的对称图形 ， ．将图形 绕 点（用坐标表示）顺时针旋转 度，可以得到图形 ．
（3）综上，如图3，直线 和 所夹锐角为 ，如果图形G关于直线 的对称图形为 ，关于直线 的对称图形为 ，那么将图形 绕 点（用坐标表示）顺时针旋转 度（用 表示），可以得到图形 ．
23．（2020·锦州）已知 和 都是等腰直角三角形 ， .
（1）如图1：连 ，求证： ；
（2）若将 绕点O顺时针旋转，
①如图2，当点N恰好在 边上时，求证： ；
②当点 在同一条直线上时，若 ，请直接写出线段 的长.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A：既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
B：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C：不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故答案为：A.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.
中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.
2．【答案】B
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：由题意得能由图形通过平移得到，
故答案为：B
【分析】根据平移的性质结合题意即可求解。
3．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵点A坐标为（2，1），
∴线段OA向h 平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，点A的对应点A′的坐标为（2-3，1+2），
即（-1，3），
故答案为：C．
【分析】根据平移的性质可得答案。
4．【答案】A
【知识点】勾股定理；平移的性质
【解析】【解答】解：在 ACB中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，
由勾股定理可得： ，
∵ A’C’B’是由 ACB平移得来，A’C’=AC=3，B’C’=BC=4，
∴ ，
又∵BB’=3，A’C’= 3，
∴ ，
∴ ，
故答案为：A．
【分析】在直角三角形ACB中，可用勾股定理求出BC边的长度，四边形ABC’A’的面积为平行四边形ABB’A’和直角三角形A’C’B’面积之和，分别求出平行四边形ABB’A’和直角三角形A’C’B’的面积，即可得出答案．
5．【答案】C
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；平移的性质；图形的平移
【解析】【解答】解：原直线的k=-2，b=-1；向上平移两个单位得到了新直线，
那么新直线的k=-2，b=-1+2=1．
∴新直线的解析式为y=-2x+1．
故答案为：C．
【分析】向上平移时，k的值不变，只有b发生变化．
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：设 =x°.
根据旋转的性质，得∠C=∠ = x°， =AC， =AB.
∴∠ =∠B.
∵ ，∴∠C=∠CA =x°.
∴∠ =∠C+∠CA =2x°.
∴∠B=2x°.
∵∠C+∠B+∠CAB=180°， ，
∴x+2x+108=180.
解得x=24.
∴ 的度数为24°.
故答案为：C.
【分析】根据旋转的性质得出边和角相等，找到角之间的关系，再根据三角形内角和定理进行求解，即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：将△PBA绕点A逆时针旋转60°得到△QCA，如图所示：
∴∠QAP=60°，PB=QC，QA=PA，∠BPA=∠CQA，
∴△QPA为等边三角形，
∴PA=PQ，
∴最小锐角为∠CQP，
∵，
∴∠BPA=76°，
∴∠CQA=∠BPA=76°，
∴∠CQP=16°，
故答案为：B
【分析】将△PBA绕点A逆时针旋转60°得到△QCA，根据旋转的性质即可得到∠QAP=60°，PB=QC，QA=PA，∠BPA=∠CQA，进而得到△QPA为等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得到PA=PQ，从而得到最小锐角为∠CQP，再结合题意即可求解。
8．【答案】C
【知识点】角的运算；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将绕点顺时针旋转得到，且
∴BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，
∴∠B=∠BDC，
∴，
∴，
∴，
，
故答案为：C．
【分析】将绕点顺时针旋转得到，且，BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，
∠B=∠BDC，根据三角形内角和定理，，，再根据三角形内角和定理。
9．【答案】C
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，五角星图案绕中心旋转180°后，阴影部分的等腰三角形的顶点向下，得到的图案是C.
故答案为：C.
【分析】根据旋转的性质可得：五角星图案绕中心旋转180°后，阴影部分的等腰三角形的顶点向下，据此判断.
10．【答案】C
【知识点】旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】过点A作 于点C．
在Rt△AOC中， ．
在Rt△ABC中， ．
∴ ．
∵OA＝4，OB＝6，AB＝2 ，
∴ ．
∴ ．
∴点A的坐标是 ．
根据题意画出图形旋转后的位置，如图，
∴将△AOB绕原点O顺时针旋转90°时，点A的对应点A′的坐标为 ；
将△AOB绕原点O逆时针旋转90°时，点A的对应点A′′的坐标为 ．
故答案为：C．
【分析】过点A作 于点C．利用勾股定理求出A的坐标，再分两种情况讨论即可。
11．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：由题意得点的坐标是，
故答案为：
【分析】根据平移坐标的变化结合题意即可求解。
12．【答案】（1，3）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵顶点A（-3，4）的对应点是A1（2，5），
又
∴平移至的规律为：将向右平移5个单位，再向上平移1个单位即可得到
∵B（-4，2）
∴的坐标是（-4+5，2+1），即（1，3）
故答案为：（1，3）
【分析】利用点坐标平移的特征：左减右加，上加下减求解即可。
13．【答案】50°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据题意，
∵，
∴，
由旋转的性质，则，，
∴，
∴；
∴旋转角的度数是50°.
故答案为：50°.
【分析】根据题意可得DE⊥AC，∠CAD=25°，由余角的性质可得∠ADE=65°，根据旋转的性质可得∠B=∠ADE=65°，AB=AD，由等腰三角形的性质可得∠ADB=∠B=65°，然后根据内角和定理进行计算.
14．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，连接
绕点B逆时针旋转60°， 分别为 的中点，
为等边三角形，
为 中点，
故答案为：
【分析】先由旋转的旋转证明： 为等边三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解 ，从而可得答案.
15．【答案】50
【知识点】平行线的性质；旋转的性质；邻补角
【解析】【解答】解：将△AOB绕点O顺时针旋转75°至△A1OB1，
∴，
∵∠AOB=55°，
∴，
，
，
故答案为：50．
【分析】利用旋转的性质，可得∠BOB1=∠AOA1，利用邻补角的定义求出∠A1OD的度数，然后利用两直线平行，同位角相等，可求出∠1的度数.
16．【答案】
【知识点】旋转的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=6，
则∠BAC=60°，AC=3，BC=3，
将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°后，
则∠C′AC=15°，AC= AC′=3，B′C′=BC=3，
∴∠C′AE=45°，
而∠AC′E=90°，故△AC′E是等腰直角三角形，
∴AC=AC′=EC′=3
∴B′E= B′C′- EC′=33．
故答案为：33．
【分析】根据题意先求出∠C′AE=45°，再求出AC=AC′=EC′=3，最后计算求解即可。
17．【答案】解：①要求是轴对称图形但不是中心对称图形，则可作等腰梯形，如图四边形即为所求；
②要求是中心对称图形但不是轴对称图形，则可作一般平行四边形，如图四边形即为所求；
③要求既是轴对称图形又是中心对称图形，则可作菱形、矩形等，如图四边形即为所求；
④要求既不是轴对称图形又不是中心对称图形，则考虑作任意四边形，如图四边形即为所求．
【知识点】轴对称图形；作图﹣轴对称；中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的性质进行作图即可求解。
18．【答案】（1）证明：∵∠CAF=∠BAE，
∴∠BAC=∠EAF.
∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，
∴AC=AF.
在△ABC与△AEF中，
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴EF=BC
（2）解：∵AB=AE，∠ABC=65°，
∴∠BAE=180°-65°×2=50°，
∴∠FAG=∠BAE=50°.
∵△ABC≌△AEF，
∴∠F=∠C=28°，
∴∠FGC=∠FAG+∠F=50°+28°=78°
【知识点】三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据等式的性质可得∠BAC=∠EAF，根据旋转的性质可得AC=AF，根据SAS可证△ABC≌△AEF ，利用全等三角形的对应边相等即可求出结论.
（2）根据等腰三角形的性质及三角形内角和求出∠BAE=50°，从而可得∠FAG=∠BAE=50°，利用全等三角形的性质可得∠F=∠C=28°，利用三角形外角的性质可得∠FGC=∠FAG+∠F，据此计算即可.
19．【答案】（1）解：如图1
（2）解：如图2
（3）解：如图3
【知识点】作图﹣旋转；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）利用格点的特点，画出符合题意的线段AB即可.
（2）利用平行四边形的对角线互相平分，画出线段EF.
（3）利用中心对称图形的定义，画出符合题意的四边形.
20．【答案】（1）（2，3）
（2）（1，-2）
（3）
（4）y=-2x
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；关于原点对称的点的坐标特征；用坐标表示平移
【解析】【解答】解：（1）将点A向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点B，则点B的坐标是（2，3）；
（ 2 ）点C与点A关于原点O对称，则点C的坐标是（1，-2）；
（ 3 ）设反比例函数解析式为 ，
把B(2，3)代入得：k=6，
∴反比例函数解析式为 ；
（ 4 ）设一次函数解析式为y=mx+n，
把A（-1，2）与C（1，-2）代入得： ，
解得： ，
则一次函数解析式为y=-2x.
故答案为：（1）（2，3）；（2）（1，-2）；（3） ；（4）y=-2x
【分析】（1）利用点的坐标平移规律：上加下减，左减右加，可得到点B的坐标。
（2）利用关于原点对称点的坐标特点：横纵坐标都互为相反数，就可求出点C的坐标。
（3）利用待定系数法，由点B的坐标，可求出此反比例函数解析式。
（4）设一次函数解析式为y=mx+n，将点A，C两点的坐标代入函数解析式，建立关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值，就可得到函数解析式。
21．【答案】解：（1）BE=DF且BE⊥DF；（2）在△DFA和△BEA中，∵∠DAF=90°﹣∠FAB，∠BAE=90°﹣∠FAB，∴∠DAF=∠BAE，又AB=AD，AE=AF，∴△DFA≌△BEA，∴BE=DF；∠ADF=∠ABE，∴BE⊥DF；（3）AE=（﹣1）AD；（4）正方形．
【知识点】全等三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，AB=AD，由AE=AF，可得BE=DF且BE⊥DF；
（2）通过证明△DFA≌△BEA，可得（1）中的结论依然成立；
（3）连接BD，直线DF垂直平分BE，可得AD+AE=BD，BD=AD，解答出即可；
（4）如图，通过证明△DAF≌△BAE，可得DF=BE，结合（2）中结论，可得到各边中点所组成的四边形的形状；
22．【答案】（1）O；180
（2）解： ， 如图； ；（0，1）；90
（3）；2α
【知识点】轴对称的性质；轴对称图形；图形的旋转；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）由图象可得，图形 与图形 关于原点成中心对称，
则将图形 绕O点顺时针旋转180度，可以得到图形 ；
故答案为：O，180；
（3）∵当G关于y轴的对称图形为 ，关于 轴的对称图形为 时， 与 关于原点（0，0）对称，即图形 绕O点顺时针旋转180度，可以得到图形 ；
当G关于 y轴和直线 的对称图形 ， 时，图形 绕 点（用坐标表示）顺时针旋转90度，可以得到图形 ，点（0，1）为直线 与 y轴的交点，90度角为直线 与 y轴夹角的两倍；
又∵直线 和 的交点为 ，夹角为 ，
∴当直线 和 所夹锐角为 ，图形G关于直线 的对称图形为 ，关于直线 的对称图形为 ，那么将图形 绕 点（用坐标表示）顺时针旋转 度（用 表示），可以得到图形 ．
故答案为： ， ．
【分析】（1）根据旋转的性质以及中心对称的性质，计算得到答案即可；
（2）根据轴对称的性质以以及旋转的性质作出图形即可；
（3）根据关于坐标轴对称的性质、旋转的性质求出答案即可。
23．【答案】（1）证明：即 ，
，
即 .
和 是等腰直角三角形，
，
（2）解：①证明：如图1，连接 .
，
，
即 .
和 是等腰直角三角形，
，
，
，
.
是等腰直角三角形，
，
.
② 或 .
温馨提示：
如图2，当点N在线段 上时，连接 ，设 ，
在 中， ，
；
如图3，当点M在线段 上时，连接 ，设 ，
在 中，
解得： .
【知识点】勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用SAS定理证明 即可；（2）①连接 ，证明 ，即可证 ；②当点N在线段 上时，连接 ，在 中构造勾股定理的等量关系；当点M在线段 上时，同理即可求得.
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