广西桂林市2023-2024学年高二下学期开学考试 数学（解析版）

高二年级2024年春季学期入学联合检测卷
数 学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 甲同学计划分别从3份不同的语文试卷、5份不同的数学试卷中各任选1份试卷练习，则不同的选法共有（ ）
A. 8种 B. 15种 C. 种 D. 种
2. 双曲线：的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列四对向量中，垂直的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4. 展开式中，常数项为（ ）
A B. 672 C. D. 144
5. 对两个变量的三组数据进行统计，得到以下散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 在四面体中，，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 从甲、乙等12人中任选5人，则甲、乙至多有1人被选中选法共有（ ）
A. 252种 B. 420种 C. 672种 D. 10080种
8. 已知直线：与直线：交于点，则的最大值为（ ）
A. 4 B. 8 C. 32 D. 64
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知随机变量，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 若，则 D. 若，则
10. 已知直线：，为坐标原点，则（ ）
A. 直线的倾斜角为
B. 若到直线的距离为，则c＝2
C. 过且与直线平行的直线方程为
D. 过且与直线垂直的直线方程为
11. 若曲线与曲线有6个公共点，则的值可能是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 直线：，：，若，则_____________.
13. 已知抛物线焦点为，是上一点，且，则______．
14. 被9除的余数为_____________________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆C上有两个点A，B，且AB为直径．
（1）求圆C的方程；
（2）已知P，求过点P且与圆C相切的直线方程．
16. 下表是某社区男、女居民对附近商场体验感评价的调查结果（单位：人）.
评价 居民 评价高 评价一般 总计
男居民 30
女居民 35
总计 45 100
（1）完善上述表格数据，试问是否有的把握判断体验感评价与性别有关？
（2）从评价高的居民中按性别采用分层随机抽样的方法选取6人，再从这6人中任选3人进行深度调查，记进行深度调查的男居民的人数为，求的分布列与期望.
附：，.
当时，没有充分的证据判断变量，有关联，可以认为变量，是没有关联的；
当时，有的把握判断变量，有关联；
当时，有的把握判断变量，有关联；
当时，有的把握判断变量，有关联.
17. 如图，四棱锥的底面是平行四边形，是边长为2的正三角形，平面平面为棱的中点．
（1）证明：平面．
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
18. 已知椭圆的离心率为，且椭圆的短轴长为．
（1）求椭圆的方程．
（2）设是椭圆上第一象限内的一点，是椭圆的左顶点，是椭圆的上顶点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点．记的面积为，的面积为．证明：为定值．
19. 某学校食堂每天中午为师生提供了冰糖雪梨汤和苹果百合汤，其均有止咳润肺的功效．某同学每天中午都会在两种汤中选择一种，已知他第一天选择冰糖雪梨汤的概率为，若前一天选择冰糖雪梨汤，则后一天继续选择冰糖雪梨汤的概率为，而前一天选择苹果百合汤，后一天继续选择苹果百合汤的概率为，如此往复．
（1）求该同学第二天中午选择冰糖雪梨汤的概率．
（2）记该同学第天中午选择冰糖雪梨汤概率为，证明：为等比数列．
（3）求从第1天到第10天中，该同学中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤概率的天数．
高二年级2024年春季学期入学联合检测卷
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 甲同学计划分别从3份不同的语文试卷、5份不同的数学试卷中各任选1份试卷练习，则不同的选法共有（ ）
A 8种 B. 15种 C. 种 D. 种
【答案】B
【解析】
【分析】利用分步乘法计数原理进行求解即可.
【详解】根据分步乘法计数原理，不同的选法共有种.
故选：B
2. 双曲线：的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据双曲线渐近线方程即可计算.
【详解】由题意得，，
则其渐近线方程为，
即，
故选：A.
3. 下列四对向量中，垂直的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据两向量垂直的判定方法计算即可.
【详解】对A，因为，故两向量不垂直，故A错误；
对B，因为，故两向量垂直，故B正确；
对C，因为，故两向量不垂直，故C错误；
对D，因为，故两向量不垂直，故D错误；
故选：B.
4. 的展开式中，常数项为（ ）
A. B. 672 C. D. 144
【答案】A
【解析】
【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x的指数等于0，即可求得答案.
【详解】展开式的通项是，
令 ，解得 ，
所以常数项为,
故选：A．
5. 对两个变量的三组数据进行统计，得到以下散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据散点图中点的分布的特征，确定3个图对应的相关系数的正负以及大小关系，可得答案.
【详解】由散点图可知第1个图表示的正相关，
故；
第2，3图表示的负相关，且第2个图中的点比第3个图中的点分布更为集中，
故，且，故，
综合可得，即，
故选：C
6. 在四面体中，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合空间向量的线性运算法则，准确计算，即可求解.
【详解】如图所示，四面体中，满足，
可得
．
故选：C.
7. 从甲、乙等12人中任选5人，则甲、乙至多有1人被选中的选法共有（ ）
A. 252种 B. 420种 C. 672种 D. 10080种
【答案】C
【解析】
【分析】分甲和乙其中一人被选中和甲乙均未被选中两种情况讨论即可.
【详解】当甲和乙其中一人被选中的情况数共有种
当甲或乙两人均未被选中的情况数共有种不同挑选方法；
则甲、乙至多有1人被选中的选法共有种不同挑选方法，
故选：C．
8. 已知直线：与直线：交于点，则的最大值为（ ）
A. 4 B. 8 C. 32 D. 64
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据已知条件得到直线恒过定点，直线恒过定点，且，根据交点得到点在以为直径的圆上，再利用点与圆的位置关系即可得到最值.
【详解】由题知：直线恒过定点.
直线化简为：，当时，，直线恒过点.
当时，直线斜率不存在，直线的斜率，则.
当时，，，，则.
综上：直线恒过定点，直线恒过定点，且.
因为直线与直线交于点，
所以点在以为直径的圆上，线段的中点坐标为，
且，则其轨迹方程为（除点外），圆的半径，
因为表示圆上的点到原点距离的平方，设，
则，所以的最大值为64.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知随机变量，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 若，则 D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据正态分布的对称性即可判断AB，根据正态分布的均值与方差的性质即可判断CD.
【详解】对A，由题意得，故A正确；
对B，，故B正确；
对C，，因为，则，故C错误；
对D，因为，则，故D正确；
故选：ABD.
10. 已知直线：，为坐标原点，则（ ）
A. 直线的倾斜角为
B. 若到直线的距离为，则c＝2
C. 过且与直线平行的直线方程为
D. 过且与直线垂直的直线方程为
【答案】CD
【解析】
【分析】根据直线方程，得直线的倾斜角，可判断；根据点到直线的距离公式计算可判断，根据与知直线平行或垂直的直线方程求法可判断.
【详解】直线可化为：，
所以斜率，得倾斜角为，故错误；
由点到直线的距离公式得，得，
所以，故错误；
设与直线平行的直线方程为，
因为平行直线方程经过原点，所以，
即平行直线方程为，故正确；
设与直线垂直的直线方程为,
因为垂直直线方程经过原点，所以，
即垂直直线方程为，故正确.
故选：.
11. 若曲线与曲线有6个公共点，则的值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】首先根据，确定是由椭圆的上半部分与双曲线的下半部分组合而成的，然后根据直线与曲线有6个公共点，结合图象求解即可.
【详解】
当时，，当时，，
所以是由椭圆的上半部分与双曲线的下半部分组合而成的．
过定点．如图，
由得，
由，得．
由得，由，得．
因为与有6个公共点，所以，由图可知，的取值范围为．
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 直线：，：，若，则_____________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据两直线平行，列式计算.
【详解】因为，所以，解得或（舍），
.
故答案为：2.
13. 已知抛物线的焦点为，是上一点，且，则______．
【答案】6
【解析】
【分析】根据抛物线的定义及焦半径公式计算即可.
【详解】由题可知．
故答案为：6
14. 被9除的余数为_____________________.
【答案】4
【解析】
【分析】整理变形得，再根据的展开式通项即可得到答案.
【详解】，
，
故被9除的余数为4.
故答案为：4.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆C上有两个点A，B，且AB为直径．
（1）求圆C的方程；
（2）已知P，求过点P且与圆C相切的直线方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由中点坐标公式求出圆心坐标，再求出半径，即可得到圆的方程；
（2）先判断点在圆上，再求得直线的斜率，从而得到切线的斜率，即可求解.
【小问1详解】
因为圆C的直径为AB，故其圆心为C，
其半径为，
故圆C的方程为：．
【小问2详解】
因为，故P在圆C上，连接PC，
而直线的斜率：，故圆C在P处的切线的斜率为，
故所求切线的方程为：．
16. 下表是某社区男、女居民对附近商场体验感评价的调查结果（单位：人）.
评价 居民 评价高 评价一般 总计
男居民 30
女居民 35
总计 45 100
（1）完善上述表格数据，试问是否有的把握判断体验感评价与性别有关？
（2）从评价高的居民中按性别采用分层随机抽样的方法选取6人，再从这6人中任选3人进行深度调查，记进行深度调查的男居民的人数为，求的分布列与期望.
附：，.
当时，没有充分证据判断变量，有关联，可以认为变量，是没有关联的；
当时，有的把握判断变量，有关联；
当时，有的把握判断变量，有关联；
当时，有的把握判断变量，有关联.
【答案】（1）有关 （2）分布列见解析，数学期望为.
【解析】
【分析】（1）根据独立性检验的基本思想需要计算的值并与6.635比较得出结论；
（2）由分层抽样可知6名居民中男的有4人，女的有2人，分别计算，列出分布列并求均值.
【小问1详解】
评价 居民 评价高 评价一般 总计
男居民 30 20 50
女居民 15 35 50
总计 45 55 100
，
的把握判断体验感评价与性别有关；
【小问2详解】
评价高的居民男女比例为，则6人中，男居民4人，女居民2人，
则的可能取值为1,2,3，
，，，
故随机变量的分布列为：
X 1 2 3
P
．
17. 如图，四棱锥的底面是平行四边形，是边长为2的正三角形，平面平面为棱的中点．
（1）证明：平面．
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理，结合勾股定理的逆定理、面面垂直的性质定理进行证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间夹角公式进行求解即可.
【小问1详解】
，
，即．
平面平面，平面平面，平面，
平面．
【小问2详解】
如图，分别取的中点，连接．
平面．
以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
．
设是平面的法向量，则，
令，得，则．
故直线与平面所成角的正弦值为
．
18. 已知椭圆的离心率为，且椭圆的短轴长为．
（1）求椭圆的方程．
（2）设是椭圆上第一象限内的一点，是椭圆的左顶点，是椭圆的上顶点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点．记的面积为，的面积为．证明：为定值．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可求得结果；
（2）根据题意，分别表示出点的坐标，从而表示出，然后结合椭圆的方程，代入计算，即可证明.
【小问1详解】
由题可知，，解得，
故椭圆的方程为．
【小问2详解】
证明：设，则直线的方程为，令，得．
直线的方程为，令，得．
，，
．
由，得，
则．
故为定值．
19. 某学校食堂每天中午为师生提供了冰糖雪梨汤和苹果百合汤，其均有止咳润肺的功效．某同学每天中午都会在两种汤中选择一种，已知他第一天选择冰糖雪梨汤的概率为，若前一天选择冰糖雪梨汤，则后一天继续选择冰糖雪梨汤的概率为，而前一天选择苹果百合汤，后一天继续选择苹果百合汤的概率为，如此往复．
（1）求该同学第二天中午选择冰糖雪梨汤的概率．
（2）记该同学第天中午选择冰糖雪梨汤的概率为，证明：为等比数列．
（3）求从第1天到第10天中，该同学中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤概率的天数．
【答案】（1）；
（2）证明见解析； （3）同学只有1天中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤的概率.
【解析】
【分析】（1）利用条件概率公式计算即得.
（2）利用全概率公式列式，再利用构造法证明即得.
（3）由（2）求出数列的通项公式，再分奇偶解不等式得解.
【小问1详解】
设表示第一天中午选择冰糖雪梨汤，表示第二天中午选择冰糖雪梨汤，则表示第一天中午选择苹果百合汤.
根据题意得，
【小问2详解】
设表示第天中午选择冰糖雪梨汤，则，
根据题意得，
由全概率公式得
，即，
不妨设，即，
所以，解得，
则，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
【小问3详解】
由（2）得，.
由题意，只需，即，
则，即.
显然必为奇数，偶数不成立.
当时，有.
当时，显然成立.
当时，，所以当时不成立.
因为单调递减，所以也不成立.
综上，该同学只有1天中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤的概率.
【点睛】关键点点睛：利用全概率公式求随机事件B的概率问题，把事件B分拆成两个互斥事件与的和，再利用条件概率公式计算是解决问题的关键.