(共22张PPT)
人教版九年级数学上册同步授课课件
21.2.1 配方法
21.2.1 解一元二次方程
1.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤．
2.学会利用配方法解一元二次方程.
3.通过配方法的探究活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯．
用配方法熟练地解数字系数为1的一元二次方程．
用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程，首先方程两边都除以二次项系数，将方程化为二次项系数是1的类型．
1．通过配成________________来解一元二次方程的方法叫做配方法．
2．配方法的一般步骤：
(1)化二次项系数为1，并将含有未知数的项放在方程的左边，常数项放在方程的右边；
(2)配方：方程两边同时加上_______________________，使左边配成一个完全平方式，写成________________的形式；
(3)若p________0，则可直接开平方求出方程的解；若p_______0，则方程无解．
完全平方形式
一次项系数的一半的平方
(mx＋n)2＝p
≥
＜
1．下列二次三项式是完全平方式的是( )
A．x2－8x－16 B．x2＋8x＋16
C．x2－4x－16 D．x2＋4x＋16
2．若x2－6x＋m2是一个完全平方式，则m的值是( )
A．3 B．－3
C．±3 D．以上都不对
3．用适当的数填空：
B
x2－4x＋_____＝(x－_____)2；
m2_____m＋ ＝(m_____)2.
C
4
2
1．完成下列配方过程.
16
4
2．解方程: x2+6x+7=0
1.解方程的方法你知道是什么了吗？它里面蕴含着非常重要的数学思想，你知道是什么了吗？
配方 降次
2.那你知道用这种方法解方程时最关键的一步是什么了吗？你能说说你发现了什么没有？
方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式
３.你能总结出来用这种方法解一元二次方程的步骤吗？
（1）把常数项移到方程右边；
（2）方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；
（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方；
（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；
（5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
３.你能总结出来用这种方法解一元二次方程的步骤吗？
【例1】解方程：x 2 + 6x + 4=0
两边加 9，左边 配成完全平方式
移项
左边写成完全 平方形式
降次
解一次方程
解x2 + 6x + 4 = 0
x2 + 6x = -4
x2 + 6x + 9 = -4 + 9
，或
，
（x + 3）= 5
2
【例2】用配方法解方程：3x2+8x-3=0
解：两边除以3，得：
移项，得：
配方，得：
即：
开方，得：
分析：配方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）把二次项的系数化为1；
（2）把常数项移到等号的右边；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
（4）用直接开平方法解这个方程.
【例3】 当x，y取何值时，多项式x2+4x+4y2﹣4y+1取得最小值，并求出最小值．
解：x2+4x+4y2﹣4y+1=x2+4x+4+4y2﹣4y+1﹣4
=（x+2）2+（2y﹣1）2﹣4，
又∵（x+2）2+（2y﹣1）2的最小值是0，
∴x2+4x+4y2﹣4y+1的最小值为﹣4．
∴当x=﹣2，y= 时有最小值为﹣4．
解析：配方法是求代数式的最值问题中最常用的方法.基本思路是：把代数式配方成完全平方式与常数项的和，根据完全平方式的非负性求代数式的最值.
1．用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时，此方程可变形为( )
A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1
C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9
2．下列配方有错误的是( )
A．x2－2x－3＝0化为(x－1)2＝4
B．x2＋6x＋8＝0化为(x＋3)2＝1
C．x2－4x－1＝0化为(x－2)2＝5
D．x2－2x－124＝0化为(x－1)2＝124
D
D
C
D
B
B
B
解:(1)
4．用配方法解方程：(1)x2－4x＋2＝0
(2)x2＋6x－5＝0
解:(2)
解(1)：
5．用配方法解方程：(1)3x2－6x－3＝0
(2)2x2－5x－4＝0
解:(2)
1．用配方法解关于x的一元二次方程x2-2x-3=0，配方后的方程可以是( )
A．(x-1)2=4 B．(x+1)2=4
C．(x-1)2=16 D．(x+1)2=16
2．一个小球以15 m/s的初速度向上竖直弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系式h＝15t－5t2，当小球的高度为10 m时，t为( )
A．1 s B．2 s
C．1 s或2 s D．不能确定
A
C
C
D
5.已知A＝a＋2，B＝a2－a＋5，C＝a2＋5a＋19.
(1)求证：B－A＞0；
(2)指出A与C哪个大？并说明理由．
解：(1)B－A＝(a－1)2＋2＞0
(2)C－A＝(a＋2)2＋13＞0，∴C＞A
6.试证明关于x的方程(a2－8a＋20)x2＋2ax＋1＝0，无论a为何值，该方程都是一元二次方程．
解：∵a2－8a＋20＝(a－4)2＋4≠0，
∴无论a取何值，该方程都是一元二次方程
1.(吉林中考)若将方程x2+6x=7化为(x+m)2=16，则m=______.
2.(兰州中考)用配方法解方程x2-2x-1=0时，配方后得的方程为( ).
A.(x+1)2=0 B.(x-1)2=0
C.(x+1)2=2 D.(x-1)2=2
3
D
3.(葫芦岛中考)有n个方程：x2+2x-8=0；
x2+2×2x-8×22=0；……；x2+2nx-8n2=0.
小静同学解第1个方程x2+2x-8=0的步骤为：“①x2+2x=8；②x2+2x+1=8+1；③(x+1)2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=-2.”
(1)小静的解法是从步骤______开始出现错误的；
(2)用配方法解第n个方程x2+2nx-8n2=0.(用含n的式子表示方程的根)
⑤
解：(2)x2+2nx-8n2=0，x2+2nx=8n2，x2+2nx+n2=8n2+n2，(x+n)2=9n2， x+n=±3n，x=-n±3n， ∴x1=-4n，x2=2n.登陆21世纪教育 助您教考全无忧
21.2.1配方法解一元二次方程同步练习
一、单选题
1. 用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（ ）
（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6
C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9
2. 一元二次方程的解是（ ）
A． B．
C． ， D． ，
3. 把方程配方，化为的形式应为（ ）
A． B．
C． D．
4. 把方程化成的形式，则m、n的值是（ ）
A．2， 7 B．－2，11 C．－2，7 D．2，11
5. 一元二次方程 ， 用配方法解该方程，配方后的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6. 对任意实数 ， 多项式的值是一个（ ）
A．正数 B．负数 C．非负数 D．无法确定
7. 用配方法解方程x2+x=2，要使方程左边为x的完全平方式，应把方程两边同时（ ）
A．加 B．加 C．减 减
8. 一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是 ， 则另一个一元一次方程是【 】21教育网
A． B． C． D．
二、填空题
9. 方程的解为
10. 若方程有解，则的取值范围是
11. 若把代数式化为的形式，其中、为常数，则=
12. 若一个三角形的三边长均满足方程x2﹣6x+8=0，则此三角形的周长为 ．
13. 在正数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b=a2-b2 ， 根据这个规则，方程(x-2)*5=0的解为 21cnjy.com
三、解答题
14. 用配方法解方程：
15. 用配方法解方程：x2+-4=0
16. 某企业2010年盈利1500万元，2012年克服金融危机的不利影响，仍实现盈 利2160万元。从2010年到2012年，如果该企业每年的盈利的年增长率相同
求：(1)、该企业2011年盈利多少万元？
(2)、若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2013年盈利多少万元？
答案与解析:
2. 答案：C
解析：
3. 答案：D．
解析：试题分析： ， 故选D．
考点：配方法
4. 答案：D．
解析：试题分析： ，
∴.
故选D．
考点：配方法
5. 答案：B
6. 答案：B．
解析：试题分析：= ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故选B．
考点：配方法的应用．21世纪教育网版权所有
7. 答案：A.
解析：试题分析：应用配方法解一元二次方程，在二次项系数为1的情况下，左右两边应该加上一次项系数一半的平方，因此，对x2+x=2，要使方程左边为x的完全平方式，应把方程两边同时加. 故选A.
考点：配方法解一元二次方程21·cn·jy·com
8. 答案：D。
9. 答案：
解析：试题分析：可转化为
考点：一元二次方程
点评：本题难度较低，主要考查学生对一元二次方程知识点的掌握。移项是解题关键【来源：21·世纪·教育·网】
10. 答案：a≥0
解析：试题分析：因为(x-4)2≥0,又(x-4)2=a,所以a≥0.若a＜0,则等式不成立，即方程无解，故应填a≥0.
考点：直接开平方法www.21-cn-jy.com
11. 答案：0.
解析：试题分析：根据完全平方公式的结构，按照要求x2-4x+2=（x-2）2-2，可知m=2．k=-2，则m+k=0．
试题解析：∵x2-4x+2=x2-4x+4-2=（x-2）2-2，
∴m=2，k=-2，
∴m+k=0．
故填0．
考点: 配方法的应用．2·1·c·n·j·y
12. 答案：6，10，12
解析：试题分析：求△ABC的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长．首先求出方程的根，根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
解：解方程x2﹣6x+8=0得x1=4，x2=2；
当4为腰，2为底时，4﹣2＜4＜4+2，能构成等腰三角形，周长为4+2+4=10；
当2为腰，4为底时4﹣2≠＜2＜4+2不能构成三角形，
当等腰三角形的三边分别都为4，或者都为2时，构成等边三角形，周长分别为6，12，故△ABC的周长是6或10或12．
点评：本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．21·世纪*教育网
13. 答案：-3或7
解析：试题分析：先根据运算“*”的规则得到关于x的方程，再解方程即可得到结果.
由题意得方程 ， 解得x=-3或7.
考点：解一元二次方程
点评：提升对各种运算法则的理解能力是数学学习的指导思想，因而此类问题是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意
14. 答案： ， .
解析：试题分析： ，
，
，
，
，
∴ ， .
考点：解一元二次方程
点评：本题考查解一元二次方程，解答本题需要考生掌握配方法，运用配方法来解一元二次方程www-2-1-cnjy-com
15. 答案：
解析：试题分析：先移项，等式左边加上一次项系数一半的平方，再根据完全平方公式分解，最后根据直接开平方法解方程即可.
解得.
考点：配方法解方程
点评：解方程的能力是初中数学学习中的一个最基本的能力，因而此类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，属于基础题，难度一般
16. 答案：(1) 1800；（2）2592.
解析：试题分析：（1）设每年盈利的年增长率为x，就可以表示出2012年的盈利，根据2012年的盈利为2160万元建立方程求出x的值就可以求出2011年的盈利；
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21.2.1 解一元二次方程－－配方法
课题 21.2.1 配方法解一元二次方程 主备人
执教者
学科 数学 年级 九年级 授课时数 １ 课型
三维目标 知识技能 1．掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤；2．学会利用配方法解一元二次方程.
过程方法 通过配方法的探究活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯
情感态度与价值观 感受数学的严谨性以及数学结论的确定性
学习重点 用配方法熟练地解数字系数为1的一元二次方程
学习难点 用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程，首先方程两边都除以二次项系数，将方程化为二次项系数是1的类型.
教学方法 小组合作交流
环节 操作 调整与思考
自主学习 请同学们根据学习目标，说说你想学会什么知识？努力完成下面练习吧！1.通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做______法.2.下列各式是完全平方式的是( ) A.a2+7a+7 B.m2-4m-4 C.x2-12x+ D.y2-2y+23.如果一元二次方程通过配方能化成(x+n)2=p的形式，那么(1)当p>0时，方程有______的实数根，______；(2)当p=0时，方程有两个相等的实数根______；(3)当p<0，方程______.4.若(2x-1)2=9，则2x-1=______，所以______或______.所以x1=______，x2=______.5.2x2-3x-2=0.为了便于配方，我们将常数项移到右边，得2x2-3x=2；再把二次项系数化为1，得x2-x=1；然后配方，得x2-x+()2=1+()2；进一步得(x-)2=，解得方程的两个根为______.想一想：求x2=4的解的过程，就相当于求什么的过程？请同学们通过自学，自行解决以上问题，将答案和你暂时解决不了的问题写在你的学习单上。
小组合作探究 请同学们将你认为最有意义的知识或者你弄不明白的地方提出来，与组内的同学互相交流，并将学习单合作探究部分完成。思考·解决问题试一试：完成下列配方过程 解方程：师生探究·合作交流1.解下列方程： x2-8x+7=0 2x2+8x-2=0 2x2+1=3x 3x2-6x+4=02.上述解方程的方法你知道是什么了吧？它里面蕴含着非常重要的数学思想，你知道是什么了吗？3.那你知道用这种方法解方程时最关键的一步是什么了吗？你能说说你发现了什么没有？方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式4.你能总结出来用这种方法解一元二次方程的步骤吗？.把常数项移到方程右边；.方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；.方程两边都加上一次项系数一半的平方；.原方程变形为（x+m）2=n的形式；.如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．注意:运用总结的配方法步骤解方程，先观察将其变形，即将一次项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；解方程配方后右边是负数，确定原方程无解.教师组织学生解决学生提出的问题（小组互答，教师精讲点拨,总结归纳知识点）
例题探究 1．配方法解一元二次方程【例1】（2015 科左中旗校级一模）用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）x2﹣2x﹣99=0化为（x﹣1）2=100 B．x2+8x+9=0化为（x+4）2=25C．2t2﹣7t﹣4=0化为（t﹣）2= D．3x2﹣4x﹣2=0化为（x﹣）2=总结：配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）把二次项的系数化为1；（2）把常数项移到等号的右边；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．（4）用直接开平方法解这个方程.练习1用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0；（2）3x2+8x-3=0；（3）x（x+2）=120.2．用配方法求多项式的最值【例2】（2015春 龙泉驿区校级月考）当x，y取何值时，多项式x2+4x+4y2﹣4y+1取得最小值，并求出最小值．总结：配方法是求代数式的最值问题中最常用的方法.基本思路是：把代数式配方成完全平方式与常数项的和，根据完全平方式的非负性求代数式的最值.练习2（2014 甘肃模拟）用配方法证明：二次三项式﹣8x2+12x﹣5的值一定小于0．
练习巩固提升 一、选择题1．若把代数式x2﹣2x+3化为（x﹣m）2+k形式，其中m，k为常数，结果为（ ）A．（x+1）2+4 B．（x﹣1）2+2 C．（x﹣1）2+4 D．（x+1）2+22．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后为（ ）A．（x﹣4）2=17 B．（x+4）2=15C．（x+4）2=17 D．（x﹣4）2=17或（x+4）2=173.若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是( ) A.3 B.-3 C.±3 D.以上都不对4.若方程x2-mx+4=0的左边是一个完全平方式，则m等于( ) A.±2 B.±4 C.2 D.45.用配方法解一元二次方程x2+6x-11=0，则方程可变形为( ) A.(x+3)2=2 B.(x-3)2=20 C.(x+3)2=20 D.(x-3)2=26.用配方法解方程x2-x+1=0，正确的是( )A.(x-)2=1,x1=,x2=- B.（x-）2=，x=C.(x-)2=，原方程无实数解 D.(x-)2=，原方程无实数解7.若方程4x2-(m-2)x+1=0的左边是一个完全平方式，则m等于( )二、填空题8．（2015春 盐城校级期中）一元二次方程x2﹣6x+a=0，配方后为（x﹣3）2=1，则a= ．9．（2014秋 营山县校级月考）当x= 时，代数式3x2﹣6x的值等于12．10.用适当的数填空：(1)x2-4x+______=(x-______)2；(2)m2±______m+=(m±______)2.三、解答题11.用配方法解下列方程:(1)2x2+7x-4=0； (2)x2-2x-6=x-11；[来源:21世纪教育网](3)x(x+4)=6x+12； (4)3(x-1)(x+2)=x-7.12.(吉林中考)若将方程x2+6x=7化为(x+m)2=16，求出m的值.
作业 阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4﹣（y+2）2+4∵（y+2）2≥0∴（y+2）2+4≥4∴y2+4y+8的最小值为4仿照上面的解答过程，求m2+m+4的最小值和4﹣2x﹣x2的最大值．
板书设计
教学反思
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