宜宾市2023-2024年高二上期数学期末模拟考试
一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知是虚数单位，复数，则（ ）
A. B. C. D.
2. 椭圆的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知甲乙两人投篮命中率分别是0.5和0.9，且两人投篮相互没有影响，若投进一球得2分，未投进得0分，则每人投篮一次，得分相等的概率为（ ）
A. 0.40 B. 0.45 C. 0.50 D. 0.05
4. 已知抛物线C：，点F为C的焦点，直线l：与x轴、y轴分别交于A，B两点，若的面积为12，则（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5. 已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（ ）
A 外离 B. 相交 C. 内切 D. 外切
6. 已知等比数列前项和为，且满足，则（ ）
A. B. C. D.
7. 在平面直角坐标系中，一动圆与轴切于点，分别过点、作圆的切线并交于点（点不在轴上），则点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
8. 一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房 (如图)，例如：从蜂房只能爬到号或号蜂房，从号蜂房只能爬到号或号蜂房……以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 直线在轴上的截距为2
B. 过点且与直线垂直的直线方程是
C. 两条平行直线与之间距离为
D. 经过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为
10. 数列的前n项和为Sn，，则有（ ）
A. B. 为等比数列
C. D.
11. 设椭圆C：的左 右焦点分别为 ，上 下顶点分别为 ，点P是C上异于 的一点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若C的离心率为，则直线与的斜率之积为
B. 若，则的面积为
C. 若C上存在四个点P使得，则C的离心率的范围是
D. 若恒成立，则C的离心率的范围是
12. 如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，点P在侧面内运动（包含边界），且AP与平面所成角的正切值为，点为 上一点，且，则下列结论中正确的有（ ）
A. 正三棱台的高为
B. 点P的轨迹长度为
C. 高为，底面圆的半径为的圆柱可以放在棱台内
D. 过点的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 直线的倾斜角为______．
14. 已知，则向量在上的投影向量的坐标是__________.
15. 在数列中，，若对任意的恒成立，则实数的最小值______________.
16. 把半椭圆：和圆弧：合成的曲线称为“曲圆”，其中点是半椭圆的右焦点，分别是“曲圆”与轴的左、右交点，分别是“曲圆”与轴的上、下交点，已知，过点的直线与“曲圆”交于两点，则半椭圆方程为_________（），的周长的取值范围是_______________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 设正项数列的前项和为，，，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，且数列的前项和，求的值.
18. 已知圆圆心在直线上，且与y轴相切于点．
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C直线交于A，B两点，_____，求m的值．
从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：
条件①：；
条件②：．
19. 第24届北京冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日由北京和张家口联合举办，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，它掀起了中国人民参与冬季运动的热潮.某比赛场馆为了顺利完成比赛任务，招募了100名志愿者，并分成医疗组和服务组，根据他们的年龄分布得到如图频率分布直方图.
（1）试估计100名志愿者的平均年龄及第75百分位数；
（2）已知医疗组40人，服务组60人，如果按分层抽样的方法从医疗组和服务组中共选取5人，再从这5人中选取3人组成综合组，求综合组中至少有1人来自医疗组的概率.
20. 已知双曲线的渐近线方程为，经过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线 与双曲线的右支交于A，B两点，且在双曲线的右支上存在点C，使得 ，求的值及点的坐标.
21. 如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，.
（1）证明：平面；
（2）设点在线段上运动，平面与平面的夹角为，求的取值范围.
22. 已知椭圆的右焦点为，点是椭圆与轴正半轴的交点，点是椭圆与轴正半轴的交点，且，直线过圆的圆心，并与椭圆相交于两点，过点作圆的一条切线，与椭圆的另一个交点为.
（1）求椭圆的方程；宜宾市2023-2024年高二上期数学期末模拟考试
一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知是虚数单位，复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数除法运算、共轭复数等知识求得正确答案.
【详解】由于，所以.
故选：B
2. 椭圆的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先确定焦点所在的位置，再求出即可得解.
【详解】椭圆的焦点在轴上，
，所以，
所以椭圆的焦点坐标为.
故选：D.
3. 已知甲乙两人投篮的命中率分别是0.5和0.9，且两人投篮相互没有影响，若投进一球得2分，未投进得0分，则每人投篮一次，得分相等的概率为（ ）
A. 0.40 B. 0.45 C. 0.50 D. 0.05
【答案】C
【解析】
【分析】根据独立事件同时发生概率公式即可求解.
【详解】若两人都没有投进，概率，
若两人都投进，概率，
则得分相等的概率.
故答案为：C.
4. 已知抛物线C：，点F为C的焦点，直线l：与x轴、y轴分别交于A，B两点，若的面积为12，则（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线方程求出点坐标，再由抛物线方程求出坐标，利用三角形面积求解即可.
【详解】如图，
直线l：中，令，可得，令，可得，
所以，，
由抛物线C：可得，
所以，所以，
解得.
故选：A
5. 已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（ ）
A. 外离 B. 相交 C. 内切 D. 外切
【答案】D
【解析】
【分析】由直线平分圆求出，再判断两圆的位置关系即得.
【详解】由圆面积被直线平分，
得圆的圆心在直线上，即，解得，
因此圆的圆心，半径，
而圆的圆心，半径，
显然，所以圆与圆外切.
故选：D
6. 已知等比数列的前项和为，且满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件求得等比数列的公比，进而求得.
【详解】设等比数列的公比为，
若，则，则，所以，
所以，，
所以，所以.
故选：B
7. 在平面直角坐标系中，一动圆与轴切于点，分别过点、作圆的切线并交于点（点不在轴上），则点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用切线长相等，结合双曲线的定义求解．
【详解】如图，设切线的切点分别为，则，，，
，
所以点轨迹是以为焦点双曲线的右支（除去与轴交点），
，，，则，双曲线方程为，轨迹方程为，
故选：A．
8. 一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房 (如图)，例如：从蜂房只能爬到号或号蜂房，从号蜂房只能爬到号或号蜂房……以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据递推关系以及构造法求得正确答案.
【详解】依题意，（），，
当时，
，
，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.
故选：A
【点睛】本题首先是考查观察能力，通过观察题目所给图象，探究数列的递推关系.其次是根据递推关系求通项公式，利用的是构造函数法以及等比数列的定义，将递推关系转化为等比数列的形式，从而可利用等比数列的知识来对问题进行求解.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 直线在轴上的截距为2
B. 过点且与直线垂直的直线方程是
C. 两条平行直线与之间的距离为
D. 经过点且在两坐标轴上截距相等直线方程为
【答案】BC
【解析】
【分析】结合各个选项所给条件，对各个选项逐一分析判断，即可得出结果.
【详解】对于选项A，因为，令，得到，所以直线在轴上的截距为，故选项A错误，
对于选项B，因为直线的斜率为，
所以过点且与直线垂直的直线方程是，即，故选项B正确，
对于选项C，由得到，所以两平行线间的距离，故选项C正确，
对于选项D，当两坐标轴上截距均为时，直线方程为，所以选项D错误，
故选：BC.
10. 数列的前n项和为Sn，，则有（ ）
A. B. 为等比数列
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据求得，进而求得以及判断出是等比数列.
【详解】由题得，
两式相减得，即，
当时，，
所以数列从第项起是等比数列，所以，
所以数列的通项为.
当时，；当时，符合上式，
所以，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列.
所以ABD选项正确，C选项错误.
故选：ABD
11. 设椭圆C：的左 右焦点分别为 ，上 下顶点分别为 ，点P是C上异于 的一点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若C的离心率为，则直线与的斜率之积为
B. 若，则的面积为
C. 若C上存在四个点P使得，则C的离心率的范围是
D. 若恒成立，则C的离心率的范围是
【答案】BD
【解析】
【分析】A. 设，，所以该选项错误；
B. 求出的面积为所以该选项正确；
C. 求出，所以该选项错误；
D. 若恒成立，所以，所以该选项正确.
【详解】解：A. 设，所以，因为，
所以.所以，所以该选项错误；
B. 若，则所以则的面积为所以该选项正确；
C. 若C上存在四个点P使得，即C上存在四个点P使得的面积为，所以，所以该选项错误；
D. 若恒成立，所以，所以，所以该选项正确.
故选：BD
12. 如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，点P在侧面内运动（包含边界），且AP与平面所成角的正切值为，点为 上一点，且，则下列结论中正确的有（ ）
A. 正三棱台的高为
B. 点P的轨迹长度为
C. 高为，底面圆的半径为的圆柱可以放在棱台内
D. 过点的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】延长正三棱台侧棱相交于点，分析可知三棱锥为正四面体，对于A：根据正四面体的高以及棱台的性质分析求解；对于B：根据线面夹角可得，可知点的轨迹为等边的内切圆，即可得结果；对于C：根据三棱台、圆柱的结构特征分析判断；对于D：利用等体积法求正四面体的内切球，分析可知该棱台内最大的球即为正四面体的内切球，即可得结果.
【详解】延长正三棱台侧棱相交于点，由题意可知：，
在等腰梯形中，因为，，，则.
即为等边三角形，可知三棱锥为正四面体，且.
对于选项A：设为等边的中心，
由正四面体的性质可知：侧面，且，
即点到底面的距离为，
又因为，，所以正三棱台的高为，故A正确；
对于选项B：因为与平面所成角的正切值为，
即，解得，
且等边的内切圆半径，
可知点的轨迹为等边的内切圆，所以点的轨迹长度为，故B错误；
对于选项C：因为正三棱台的高，且的内切圆半径为，
所以高为，底面圆的半径为的圆柱可以放在棱台内，故C正确；
对于选项D：设正四面体的内切球半径，
由等体积法可得：，解得.
因为，则该棱台内最大的球即为正四面体的内切球.
又因为，，，
则为的中点，过点的平面正好过该内切球的球心，
所以截面面积为，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：将三棱台补成三棱锥，结合题意分析可知三棱锥为正四面体，结合正四面体的性质分析判断.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 直线的倾斜角为______．
【答案】
【解析】
【分析】把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．
【详解】设直线的倾斜角为．
由直线化为，故，
又，故，故答案为．
【点睛】一般地，如果直线方程的一般式为，那么直线的斜率为，且，其中为直线的倾斜角，注意它的范围是．
14. 已知，则向量在上的投影向量的坐标是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据投影向量的知识求得正确答案.
【详解】，，
所以向量在上的投影向量的坐标是：
.
故答案为：
15. 在数列中，，若对任意的恒成立，则实数的最小值______________.
【答案】
【解析】
【分析】首先利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用函数的恒成立问题和数列的单调性的应用求出结果．
【详解】由整理得，即，又，
故数列是以4为首项，4为公比的等比数列，可得,
不等式，可化为，
令，当时，；
当时，，，
故当时，单调递减，故，
综上，，
所以，故最小值为．
故答案为：
16. 把半椭圆：和圆弧：合成的曲线称为“曲圆”，其中点是半椭圆的右焦点，分别是“曲圆”与轴的左、右交点，分别是“曲圆”与轴的上、下交点，已知，过点的直线与“曲圆”交于两点，则半椭圆方程为_________（），的周长的取值范围是_______________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由椭圆的焦点坐标以及，可得椭圆的标准方程和圆的方程，从而得到半椭圆方程；易知是椭圆的左焦点，过椭圆的右焦点的直线与曲圆可得，，在直线转动的过程中由，的位置可得三角形的周长的取值范围．
【详解】解：由，令，可得以及，
再由椭圆的方程及题意可得，，，
由，可得，
由可得，
所以，
所以半椭圆及圆弧的方程分别为，，
所以，
可得相当于椭圆的左焦点，
的周长为，
当从（不包括向运动时，，
当在轴右侧时，，所以这时三角形的周长为8，
当从向运动时，在第四象限，则，，
这时三角形的周长小于8，
当运动到时，在处，不构成三角形，三角形的周长接近，
由曲圆的对称性可得运动到轴下方时，与前面的一样，
综上所述，的周长的取值范围为，．
故答案为：；．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 设正项数列的前项和为，，，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，且数列的前项和，求的值.
【答案】（1）
（2）99
【解析】
【分析】（1）由等式，得到，证明了数列是等比数列，求出公比，写出数列的通项公式即可；
（2）首先将数列的通项公式代入，求出数列的通项公式，裂项相消法求其前项和即可.
【小问1详解】
由，
得，，则，
故正项数列为等比数列，
由于，，则，
则或（舍去）
故公比，
所以；
【小问2详解】
由（1）得：，
所以，
又，得，解得.
18. 已知圆的圆心在直线上，且与y轴相切于点．
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C直线交于A，B两点，_____，求m的值．
从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：
条件①：；
条件②：．
【答案】（1）
（2）选择见解析，或
【解析】
【分析】（1）设圆心，易知，由圆与轴相切于点，可求以及，写出圆的方程即可.
（2）所给的两个条件，均可得到直线的距离，结合点线距离公式即可求的值.
【小问1详解】
设圆心坐标为，半径为.
由圆的圆心在直线上，知：.
又∵圆与轴相切于点，
∴，，则.
∴圆的圆心坐标为，则圆的方程为.
【小问2详解】
如果选择条件①：，而，
∴圆心到直线的距离，则，解得或.
如果选择条件②：，而，
∴圆心到直线的距离，则，解得或.
19. 第24届北京冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日由北京和张家口联合举办，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，它掀起了中国人民参与冬季运动的热潮.某比赛场馆为了顺利完成比赛任务，招募了100名志愿者，并分成医疗组和服务组，根据他们的年龄分布得到如图频率分布直方图.
（1）试估计100名志愿者的平均年龄及第75百分位数；
（2）已知医疗组40人，服务组60人，如果按分层抽样的方法从医疗组和服务组中共选取5人，再从这5人中选取3人组成综合组，求综合组中至少有1人来自医疗组的概率.
【答案】（1）平均年龄岁，第75百分位数为52.5
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图中，所有小矩形面积和为1，可求得a值，根据频率分布直方图中平均数的求法，代数即可得平均值，根据百分位数的求法，可得答案.
（2）根据分层抽样，可得医疗组抽取2人，设为a，b，服务组抽取3人，设为A、B、C，列出综合组所有可能情况，选出满足题意的情况，代入概率公式，即可得答案.
【小问1详解】
由题意得，解得，
所以100名志愿者的平均年龄为岁，
因为，
，
所以第75百分位数位于[50,60）内，设第75百分位数为x，
则，解得，
所以第75百分位数52.5
【小问2详解】
医疗组抽取人数为人，设为a，b，则服务组抽取5-2=3人，设为A、B、C，
5人中选取3人组成综合组，情况可能为
，共10种，
至少有1人来自医疗组的情况为，共9种，
所以综合组中至少有1人来自医疗组的概率
20. 已知双曲线的渐近线方程为，经过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线 与双曲线的右支交于A，B两点，且在双曲线的右支上存在点C，使得 ，求的值及点的坐标.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）根据双曲线的渐近线设出方程，代入点即可得解；
（2）联立直线与双曲线方程，根据韦达定理及向量的坐标运算即可求出点C的坐标及.
【小问1详解】
因为双曲线的渐近线方程为，
所以可设双曲线的方程为，
代入可得，，解得，
所以双曲线方程为，
即双曲线的方程为：.
【小问2详解】
设，，，
因为，则，，
由直线与双曲线方程联立可得，，
消元可得：，，
， ，
，
，解得，，
，.
21. 如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，.
（1）证明：平面；
（2）设点在线段上运动，平面与平面的夹角为，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理来证得平面；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得的取值范围.
【小问1详解】
在梯形中，因为，，
所以，所以，
所以，所以．
因为平面平面，平面平面，
因为平面，所以平面．
【小问2详解】
由（1）可建立分别以直线，，为轴，轴，轴的如图所示的空间直角坐标系，
令，则．
，．
设为平面的一个法向量，
由得，取，则，
是平面的一个法向量
，
，当时，有最小值，
当时，有最大值．
．
22. 已知椭圆的右焦点为，点是椭圆与轴正半轴的交点，点是椭圆与轴正半轴的交点，且，直线过圆的圆心，并与椭圆相交于两点，过点作圆的一条切线，与椭圆的另一个交点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的几何性质即可求解，
（2）根据相切可得，进而联立直线与椭圆方程，可得韦达定理，进而根据弦长公式以及三角形面积，结合不等式的性质即可求解.
【小问1详解】
由题意可得
，
所以，，
，，椭圆的方程为.
【小问2详解】
若圆的切线轴，则,所以,
故，因此，,
当直线有斜率时，设直线的方程为，
直线与圆相切，，，
联立与，消得.
设，，则，.
到直线的距离为1，则
，
将代入消可得，
令则故，
由于所以，进而，
所以，
综上可得
的最大值为.
