课件25张PPT。线段是轴对称图形吗？第二章 简单的轴对称图形1学习目标1.探索并掌握线段的垂直平分线的性质；
2.掌握线段的垂直平分线的尺规作图。
3.在“操作--探究---归纳---说理”的过程中学会有条理地思考和表达，提高演绎推理能力。
问题：你对线段有哪些认识?线段是轴对称图形吗？如果是，你能找出它的一条对称轴吗？这条对称轴与线段存在着什么关系？探索1按照下面的步骤做一做：1）在纸片上画一条线段AB，对折AB使点A，B重合，折痕与AB的交点为O；O2）在折痕上任取一点C，沿CA将纸折叠；3）把纸展，AO得到折痕CA和CB。（2）CO与AB有怎样的位置关系？（1）AO与BO相等吗？CA与CB呢？能说明你的理由吗？垂直AO=BOCA=CB1线段是轴对称图形 它的一条对称轴就是对折后能使之完全重合的那条折痕；2、线段的对称轴过线段AB的 点，中O3、线段的对称轴与线段AB 。（位置关系）垂直4、线段的对称轴上的任意一点C到线段AB的两端点A,B的距离______相等1 垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。线段的垂直平分线2 线段的对称轴是这条线段的 垂直平分线AB线段的垂直平分线性质：线段垂直平分线上的任意点到这条线段两个端点的距离相等。用几何语言表达∵AO=BO,MO⊥ABM(已知)∴MA=MB(线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)2.如图，△ABC中，AD垂直平分边BC，AB＝5，那么AC＝ . 51.线段的对称轴是它的 。 垂直平分线练习题 1.在△ABC中，BC=10，边BC的垂直平分线分别交AB，BC于点E，D，BE=6，求△BCE的周长．解：因为DE是线段BC的
垂直平分线 所以EC=EB=6 所以△BCE的周长=如图，已知线段AB，画出它的垂直平分线.尺规作图做垂直平分线观察领悟作法，探索思考证明方法：探索2AB尺规作线段的中垂线作法：(1)以点A为圆心，以大于AB一半的长为半径画弧；(2)以点B为圆心，以同样的长为半径画弧，两弧的交点记为C、D；(3)经过点C、D作直线CD．直线CD即为所求．在直线AB上找一点P，使点P到M、N两点的距离相等。 解：作线段MN的垂直平分线，交直线AB于点P，点P即为所求点。如图：在△ABC中用刻度尺和量角器画出线段AB、BC、CA的垂直平分线，看看三条垂直平分线的位置有什么关系ABC∟∟∟P解答：
三条垂直平分线交于一点
思考：若设交点为P，连接PA、PB、PC，那么PA、PB、PC有什么关系？
结论：三角形三条边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等。锐角三角形三边的垂直平分线的交点在它的内部钝角三角形三边的垂直平分线的交点在它的外部直角三角形三边的垂直平分线的交点在它的一条边上总结ABCA、B、C三点表示三个镇，随着乡镇外资、集体、个体工业的发展需要，现三镇联合建造一个变电所，要求变电所到三镇的距离相等，请你作出变电所的位置（用点P表示）1、分别连接AB、BC
2、分别作线段AB、BC的垂直平分线
两直线交于点P
则点P为所求的变电所的位置P如图,AB是△ABC的一条边，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，并交BC于点D，已知AB=8cm,BD=6cm,那么EA=________, DA=____.46练习如图，在△ABC中，AB=AC=16cm，AB的垂直平分线交AC于D，如果BC=10cm，那么△BCD的周长是_______cm. ABCDE26如图，已知点D在AB的垂直平分线上，如果AC=5cm,BC=4cm,那么△BDC的周长是（ ）cm。A. 6
B. 7
C. 8
D. 9DD1、如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方,才能使从A、B到它的距离之和最短？街道CDAB拓展街道C2、如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短？DABP1. 垂直于一条线段并且平分它的直线叫这条线段的垂直平分线。2. 线段是轴对称图形，它的垂直平分线是它的一条对称轴 .3. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 .当堂达标见导学案课件23张PPT。角是轴对称图形吗？第二章 简单的轴对称图形2学习目标1.能在课本中找出角平分线的定义并画出图形
2.探索角的平分线的性质进行计算。
3.能用尺规作已知角的平分线AOB角是轴对称图形吗？如果是，你能找出它的对称轴吗？ 在一张纸上任意画一个角∠AOB，沿角的两边将角剪下，然后将这个角对折，使角的两边重合。做一做 新的折痕与OB
的交点为E .AOB(2) 过点C折OA边的垂线，得到新的折痕CD，(3) 将纸打开，E 其中点D是折痕与OA的 交点，即垂足；（1）在折痕(即角平分线)上任意取一点C; 在上述的操作过程，你发现了哪些线段相等？说说你的理由。AOBCE=CDE在折痕上另取一点，
再试一试。结论：
角是轴对称图形，
就是它的对称轴。那么角平分线
有什么性质呢？角平分线所在的直线CDEF如图， D为∠AOB的角平分线OC上一点， DE⊥OA于E, DF⊥OB于F，找出图中全等三角形以及相等的线段。
议一议ODACEB如图：
小明折出的图形，你能说明CD=CE吗？分析:
通过三角形全等来说明：
因为OC是∠AOB的平分线
所以∠AOC=∠BOC
因为CD⊥OA，CE⊥OB
所以∠CDO= ∠CEO
又因为OC=OC
所以△CDO ≌△ CEO (AAS)
所以CD=CECDEFGHI角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等实际体会角的轴对称性和角的平分线上的点的性质想一想OABCEDP辨一辨如图，OC平分∠AOB，PD与PE相等吗？（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知） ∴ = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
BD CD（×）判断：（2）∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知） ∴ = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
BD CD（×）（3）∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）∴ = ，（ ） 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
√不必再证全等⒈如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD 是∠B的平分线，DE⊥AB,垂足为E，DE与DC相等吗？说明理由。分析:
因为BD是∠ABC的角平分线
在Rt△ABC中， ∠C=90°，
所以DC⊥BC
又因为DE⊥AB
所以DE=DC开拓创新 试一试有一个简易平分角的仪器（如图），其中AB=AD,BC=DC,将A点放角的顶点，AB和AD沿AC画一条射线AE,AE就是∠BAD的平分线，为什么？怎样用尺规作一个角的平分线？O ２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．用尺规作角的平分线的方法AＢ作法： １．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．３．作射线OC．则射线ＯＣ即为所求． 思考：某一个星期六，某中学初一年级的同学参加义务劳动，其中有四个班的同学分别在M、N两处参加劳动，另外四个班的同学分别在道路AB、AC两处劳动，现要在道路AB、AC的交叉区域内设一个茶水供应点P ，使P到两条道路的距离相等，且使 PM= PN，请你找出点P的位置，并说明理由。
1、如图， ∵ OC是∠AOB的平分线，
又 ________________
∴PD=PE (
)PD⊥OA，PE⊥OB 角的平分线上的点
到角的两边的距离相等练一练43、已知△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且
DC=8,求点D到AB的距离是多少？ABCDE你会吗？思考：回味无穷◆这节课我们学习了哪些知识？ 1、角的平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。几何语言:∵ OC是∠AOB的平分线,
又 PD⊥OA,PE⊥OB
∴ PD=PE(角的平分线上的点
到角的两边距离相等). 2、“作已知角的平分线”的尺规作图；当堂达标见导学案课件22张PPT。等腰三角形是轴对称图形吗？第二章 简单的轴对称图形3找出图形的对称轴认识等腰三角形：有两条边相等的三角形叫等腰三角形(（顶角底角底角腰腰底边)议一议通过做一做，你有什么发现？发现？想一想等腰三角形是轴对称图形吗？找出对称轴。探究等腰三角形是轴对称图形，请找出它的对称轴。 在等腰三角形中，画出顶角的平分线、底边上的中线和高线，你又发现了什么？
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称为“三线合一”）
在ΔABC中,
因为 AD是角平分线,
所以∠BAD=∠CAD。
在ΔABD和ΔACD中,
因为AB=AC,∠BAD=∠CAD,AD=AD
所以ΔABD≌ΔACD
所以BD=CD, ∠ADB=∠ADC=90?
所以AD是ΔABC的角平分线、底边上的中线、底边上的高。如图，在△ABC中，AB=AC时，
(1)因为AD⊥BC
所以∠ ____= ∠_____;____=____
(2) 因为AD是中线
所以____⊥____; ∠_____=∠_____
(3) 因为 AD是角平分线
所以____ ⊥____;_____=____
BADCADCDBDADBCBADCADADBCBDCD等腰三角形的特征1.等腰三角形是轴对称图形 2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。 3.等腰三角形的两个底角相等。 三边都相等的三角形是等边三角形也叫正三角形（1）等边三角形是轴对称图形吗？找出对称轴（2）你能发现它的哪些特征？认识等边三角形等边三角形的性质：
1.等边三角形是轴对称图形。
2.等边三角形每个角的平分线和这个角的对边上的中线、高线重合（“三线合一”），它们所在的直线都是等边三角形的对称轴。等边三角形共有三条对称轴。
3.等边三角形的各角都相等，都等于60° 如图，是由大小不等的等边三角形组成的图案，请找出它的对称轴。如图，在等腰ΔABC中，AB=AC，顶角∠A= 100°，那么底角∠B=_______∠C =_________ . 40°40°2. 在△ABC中，AB=AC，∠B=72°，那么
∠A=______3. 在等腰三角形△ABC中，有一个角为50°，那么另外两个角分别是多少？36°2、下列说法：
（1）等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；
（2）等腰三角形的两腰上的中线长相等；
（3）等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；
（4）等腰三角形的一边长为8，一边长为16，那么它的周长是32或40．其中不正确的个数是 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 试一试3. 如图，在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,且AD=BD,
（1）∠ADC=70°，求∠BAC的度数.
（2）找出图中相等的角并说明理由. 试一试
1、探索并发现了等腰三角形的轴对称性，及相关性质：等边对等角，三线合一。
2、等边三角形的轴对称性，及三线合一。能应用其性质解决一些简单的问题 这节课我们学到了什么？当堂达标见导学案课件24张PPT。第二章 简单的轴对称图形4等腰三角形的判定复习新课小结作业一、复习引入等腰三角形的性质1、等腰三角形的两个底角相等。简记为：(等边对等角)性质2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合。定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。练习(三线合一)简记为：复习探究小结达标本课目标练习1.掌握等腰三角形的判定方法。2、掌握等边三角形的判定方法。3.经历和探索30°直角三角形的性质。复习探究小结达标练习等腰三角形的判定方法方法1、依据等腰三角形的定义（两边相等→等腰三角形）方法2、是否能运用这一方法，进行有关的推理说明。 如果一个三角形有两个角相等，
那么这个三角形是等腰三角形。能否用等腰三角形的性质反过来判定呢？复习探究小结达标探究1如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。简记为： 等角对等边。ABCD12理由:作△ABC的角平分线AD.在△ABD 和△ACD中∵∠B＝∠C (已知)AD＝AD (公共边)∠1＝∠2 (已证)∴ △ ABD ≌ △ACD (AAS)∴ AB=AC (全等三角形的对应边相等)∴ △ABC是等腰三角形 (等腰三角形的定义)练习∵AD平分∠BAC(已知)∴∠1=∠2(角平分线的定义)等腰三角形的判定：证法二：作AD⊥BC，垂足为D
在 △BAD和△CAD中，
∠ADB= ∠ADC，
∠B=∠C,
AD=AD(公共边），
∵△BAD≌△CAD（AAS）
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）请同学们想一想：作等腰三角形底边上的中线可以证明吗？为什么？等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简记为：“等角对等边”）B符号语言：
在△ABC中,
∵∠B＝∠C
∴AB=AC（等角对等边）
注意：“等角对等边”必须在同一个三角形中使用等腰三角形的性质与判定有区别吗?性质是:等边 等角判定是:等角 等边如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°,计算∠1和∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形。已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C
求证：AB=AC=BC探究2你又可以得到一个什么结论呢？这是由判定定理推导出的一个定理，即判定一个三角形是等边三角形的一种方法。推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。60°你又可以得到什么？已知：在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=60°(或者∠B=60°）
求证：AB=AC=BC
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。这是由判定定理推导出的又一个定理，即判定一个三角形是等边三角形的另外一种方法。
1. 三个角都相等的三角形是等边三角形。2. 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。◆有一个角等于60°的三角形是等边三角形吗？◆有两个角等于60°的三角形是等边三角形吗？◆有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？分类讨论思想 我们可以用两个同样大小的三角尺（含30 °和60 ° 的角）拼接起来验证：应用 在直角三角形中，如果一个锐角等于30 °，那么它所对的直角边等于斜边的一半.ACB30 °D理由：
延长BC至D，使CD=BC，连接AD
∵ ∠ACB=90°
∴∠ACD=90°．
在 △ABC和△ADC中
∴△ABC≌△ADC(SAS)．
∴AB=AD
∵ ∠BAC=30°
∴ ∠B=60°
∴△ABD是等边三角形
∴BC= BD= AB． 你能证明这一性质吗？AC = A C
∠ACB=∠ACD
BC = CD
已知：在△ABC中，∠ACB=90°，
∠BAC=30°
试说明 BC = AB归纳结论：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30 °，那么它所对的直角边等于斜边的一半.小试牛刀 R t △ABC中， ∠ C=90 ， ∠ B =2 ∠ A， ∠ B和∠ A
各是多少度？边AB与BC之间有什么关系？2、已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC
求证：AB=AD判定三角形是等腰三角形的方法：
①等腰三角形定义。
②等腰三角形判定定理。判定三角形是等边三角形的方法：
①等边三角形定义。
②推论1 ③推论2推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
归纳结论：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30 °，那么它所对的直角边等于斜边的一半.当堂达标见导学案
