新课标A版必修5 基本不等式

§3.4基本不等式：
【教学目标】
1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中取等号的条件.
2．过程与方法：通过例题的研究，进一步掌握基本不等式，并会用此不等式求解某些函数的最大、最小值.
3．情感态度与价值观：培养学生转化的数学思想和探究的能力，提高学生的逻辑推理能力.
【教学重点、难点】
重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程.
难点：用基本不等式求最大值和最小值.
【教学过程】
（1） 课题导入
基本不等式的几何背景：
以在北京召开的第24届国际数学家大会的会标为问题背景（如右图）
提出问题：在这个图中找出一些相等或不等关系.
教师引导学生从面积间存在的数量关系去找相等或不等关系.
（二）探求新知
1、探究图形中的不等关系
四边形ABCD的面积为 ,４个全等直角三角形面积的和为,
可得不等式：
当直角三角形变为等腰直角三角形时，即a=b时，则有.
２、总结结论：
一般地， ,那么(当且仅当a=b时等号成立).
学生简单证明.
3、认识基本不等式
特别地，若a>0,b>0,用，分别代替上式中的a、b,则得a+b≥2.其中
为a,b的算术平均数，为a,b的几何平均数。
4、探索的几何意义
如右图，AB是圆的直径，点C是AB上的一点.AB=a,BC=b，
过Ｃ点作垂直于ＡＢ的弦DE,连结AD、BD.利用此图，分析
基本不等式的几何意义.
分析：易证得∽,
则= = 。 圆的半径为r=，r,即, 当且仅当点C与圆心重合，即a=b时，等号成立.
几何意义：圆的半径不小于半弦.
（3） 拓展应用
例1 若>0，求的最小值，此时等于多少？
解： ∵>0 ∴ >0 ，由基本不等式得
≥
当且仅当=时，即=1时，.
练习:
1、若>0，求 = 的最小值。
2、若<0，则的最大值等于？
例2 若,,且+=20，求的最大值.
练习：
若,,且+4=20，求的最大值。
例3 当≥2时，求函数 的最小值。
分析：此时等号取不到，不能直接用基本不等式去求解。
给出函数图象观察最小值。让学生思考，可否有其它方法
判断最值。
总结：利用基本不等式解决函数最值问题时，应满足
以下三个条件：
1、a、b必须为正数（一正）
2、积为定值，则和有最小值
和为定值，则积有最大值 （二定）
3、等号必须要取到。（三相等）
（4） 补充练习
1、函数 （>0） 的最大值为 .
2、函数（>3） 的最小值为 .
（5） 小结
本节课我们主要学习用基本不等式来解决函数的一些最值问题。在用此不等式求解函数的最值时，要注意应满足下列三个条件：即一正，二定，三相等.
（6） 作业
课本习题3.4第1题、第2题.
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