泸州高2022级高二上期小结练习（一）
数 学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 已知，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量的坐标运算可得.
【详解】因为，，
所以.
故选：A
2. 把红 蓝 黑 白4张纸牌随机分给甲 乙 丙 丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（ ）
A. 对立事件 B. 必然事件
C. 互斥但不对立事件 D. 不可能事件
【答案】C
【解析】
【分析】事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不可能同时发生，也可能都不发生
【详解】事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不可能同时发生，
也可能都不发生，故它们是互斥但不对立事件
故选：C
【点睛】两个事件互斥指是不能同时发生，两个事件对立指的是不能同时发生，但必有一个发生.
3. 设x，，向量，，且，，则（ ）
A. B. C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据，，解得x，y，然后由空间向量的模公式求解.
【详解】因为向量，，且由得，由，得 解得，所以向量，，
所以，
所以
故选：C
4. 在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有1，2，3，4四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由乙猜这个小球上的数字，记为n．如果m，n满足，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】用列举法列出m，n的所有情况，根据古典概型的概率公式计算.
【详解】根据题意，m，n的情况如下：
共16种情况，
其中m，n满足的情况如下：
共10种情况，
所以两人“心领神会”的概率是.
故选：D.
5. 已知，若共面，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量的共面定理，存在实数使得成立，列出方程组，即可求解.
【详解】由向量，
因为共面，则存在实数使得成立，
即成立，
可得，解得，则.
故选：C.
6. 如图，平行六面体所有棱长都为1，底面为正方形，．则对角线的长度为（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用基底法求解即可.
【详解】由题知，
所以，
所以，即.
故选：B.
7. 如图，在长方体中，，，为中点，则到平面的距离为（ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】以为坐标原点，建立合适的空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用距离公式即可得到答案.
【详解】以为坐标原点，分别以为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系，
则,，
设平面的法向量为，则，
令得：，所以，
则点到平面的距离为，
故选：C.
8. 在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是（ ）．
A. B.
C. D. 4a
【答案】A
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系设点，利用以及，两点的位置关系可得点的轨迹为四边形，求出该矩形周长即可得结果.
【详解】在正方体中，以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
∴，，，，∴，
设，则，
∵，∴，可得；
当时，，当时，，
取，，，，
连结，，，，
则，，
∴四边形为矩形，则，，
即，，又和为平面中的两条相交直线，
∴平面，
又，，
∴为的中点，则平面，
为使，必有点平面，
又点在正方体表面上运动，所以点的轨迹为四边形，
又，，∴，则点的轨迹不是正方形，
则矩形的周长为．
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用线面垂直证明过程中辅助线较为复杂，所以建立空间直角坐标系可简化求解过程，得出点的轨迹形状即可求得周长.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 设，是两个不同的平面，是一条直线，以下命题不正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】
在正方体中可找到ABD的反例，结合平行与垂直的关系可得结果.
【详解】
对于A，若为，为平面，为平面，则，，但，A错误；
对于B，若为，为平面，为平面，则，，但，B错误；
对于C，若两平面平行，则垂直于一个平面直线必垂直于另一个平面，C正确；
对于D，若，为平面，为平面，则，，但，D错误.
故选：ABD.
10. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ）
A. 乙发生的概率为 B. 丙发生的概率为
C. 甲与丁相互独立 D. 丙与丁互为对立事件
【答案】ACD
【解析】
【分析】先计算出甲乙丙丁的概率，故可判断AC的正误，再根据独立事件的乘法公式可判断C的正误，根据对立事件的意义可判断D的正误.
【详解】设为事件“第一次取出的球的数字是奇数”，为事件“第二次取出的球的数字是偶数”，
为事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，为事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，
则，，故A正确.
，，故B错误.
而，故C正确.
两次取出的数字之和要么为奇数，要么为偶数，故丙与丁互为对立事件，
故D正确.
故选：ACD.
11. 已知空间向量，，下列结论正确的是（ ）
A.
B. ，夹角的余弦值为
C. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数
D. 在上的投影向量为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据空间向量的运算，空间位置关系得到向量表示，投影向量的概念依次讨论各选项即可.
【详解】对于A，，，故A错误；
对于B，因为，，所以，，
，设与的夹角为，则，故B正确；
对于C，因为，所以，则，解得，故C正确；
对于D，在上的投影向量为，D正确．
故选:BCD．
12. 疫情当下，通过直播带货来助农，不仅为更多年轻人带来了就业岗位，同时也为当地农民销售出了农产品，促进了当地的经济发展.某直播平台的主播现要对6种不同的脐橙进行选品，其方法为首先对这6种不同的脐橙（数量均为1），进行标号为1~6，然后将其放入一个箱子中，从中有放回的随机取两次，每次取一个脐橙，记第一次取出的脐橙的标号为，第二次为，设，其中[x]表示不超过x的最大整数，则（ ）
A. B. 事件与互斥
C. D. 事件与对立
【答案】BC
【解析】
【分析】根据有放回的随机取两次结果36种逐个分析判断即可解决.
【详解】由题知，从中有放回的随机取两次，结果有（记为）：
共36种，
若，此时取或
所以，故A错误；
若，则恒成立，
所以与互斥，故B正确；
，故C正确；
当时，，此时事件与均未发生，
所以事件与不对立，故D错误.
故选：BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：
137 960 197 925 271 815 952 683 829 436 730 257
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为______.
【答案】##0.25
【解析】
【分析】根据在这12组随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有3组，即可得出结论.
【详解】这12组随机数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有：
137、271、436共3组，
故该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为：，
故答案为：.
14. 底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______．
【答案】
【解析】
【分析】方法一：割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案；方法二：根据台体的体积公式直接运算求解.
【详解】方法一：由于，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为，
所以正四棱锥的体积为，
截去的正四棱锥的体积为，
所以棱台的体积为.
方法二：棱台的体积为.
故答案为：.
15. 已知空间中三点，则点A到直线的距离为__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用向量的模公式及向量的夹角公式，结合同角三角函数的平方关系及锐角三角函数的定义即可求解.
【详解】，
,
，
，
设点A到直线的距离为，则
.
故答案为：.
16. 如图，若正方体的棱长为2，点是正方体的底面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则下列结论中正确结论的序号是_____．
①若保持，则点在底面内运动路径的长度为
②三棱锥体积的最大值为
③若，则二面角的余弦值的最大值为
④若则与所成角的余弦值的最大值为
【答案】①②④
【解析】
【分析】对于①，易知点的轨迹是以为圆心，半径为的圆在底面内的四分之一圆，即可知①正确；对于②，的面积为定值，建立空间直角坐标系求得到平面的距离最大值为，可得②正确；对于③，若，由空间向量可得二面角的余弦值的最大值为，即③错误；异面直线与所成角的余弦值的最大值为，即④正确.
【详解】对于①，根据题意可知平面，所以为直角三角形，即，且
若保持，可知，
所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆在底面内的部分，即为四分之一圆，
因此点在底面内的运动路径长度为，即①正确；
对于②，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
如图所示：易知，则，
设平面的一个法向量为，
可得，令，可得，即；
可设，则，
所以到平面的距离为，易知当时，距离最大值为；
又在中，易知，所以边上的高为；
其面积为定值，即；
所以到平面的距离最大时，三棱锥体积的最大为，即②正确；
对于③，根据正方体性质可知平面，又是棱的中点，，
所以可得点在平面，又点在底面内，平面平面，所以；
根据B中的坐标系可知，所以可得，；
则，
设平面的一个法向量为，可得，
令，则，即；
易知平面的一个法向量为，
所以，
易知当时，，
当时，，
令，
可得在上恒成立，即在上单调递增；
此时时，最大，
当，，易知在上单调递减，
所以时，，
又由图可知，当时，点与重合，
综上二面角的余弦值的取值范围为，故③错误；
对于④，根据选项C易知，
可得，
当时，，
当时，，易知当时，取到最大值为，
综上可知，与所成角的余弦值的最大值为，即④正确；
故答案：①②④
【点睛】关键点点睛：在求解二面角以及线面角最值问题时，一般需要借助空间向量得出空间角余弦值的表达式，再利用基本不等式或函数单调性求出最值即可.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知甲 乙 丙参加某项测试时，通过的概率分别为0.6，0.8，0.9，而且这3人之间的测试互不影响．
（1）求甲 乙 丙都通过测试的概率；
（2）求甲 乙 丙至少有一人通过测试的概率；
（3）求甲 乙 丙恰有有两人通过测试的概率．
【答案】（1）0.432
（2）0.992 （3）0.444
【解析】
【分析】（1）根据相互独立事件的乘法公式求解；
（2）根据独立事件的乘法公式、对立事件概率计算公式可得答案；
（3）根据互斥事件的概率加法公式，独立事件的乘法公式计算.
【小问1详解】
甲、乙、丙都通过测试的概率为.
【小问2详解】
甲、乙、丙至少有一人通过测试的概率为．
【小问3详解】
甲 乙 丙恰有两人通过测试的概率为：
.
18. 四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且．
（1）设向量，，，用、、表示向量、；
（2）求证：、、 三点共线．
【答案】（1），．
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得；
（2）借助向量共线定理证明即可得.
【小问1详解】
因为，则，
所以，
又因为，则，
所以
；
【小问2详解】
因为
，且，
所以，即、、三点共线．
19. 9月19日，2023年中国地理标志博览会主会场启动仪式在泸州市成功举行，志愿者的服务工作是丰收节成功举办的重要保障，泸州市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
（1）估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数；
（2）从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．现计划从第四组和第五组抽取的人中，再随机抽取2名作为组长．求选出的两人来自同个一组的概率．
【答案】（1）77.5
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意列式求的值，进而结合平均数和百分位数的定义运算求解.
（2）根据分层抽样求分层人数，利用列举法结合古典概型运算求解.
【小问1详解】
由题意可知：，解得，
可知每组的频率依次为，
因为，且，
设第百分位数为，则，解得，
第百分位数为.
【小问2详解】
根据分层抽样和的频率比为，
故在和中分别选取人和人，分别设为，，，和，
则这人中随机抽取两个的样本空间包含的样本点有，，，，，，，，，共个，即，
记事件“两人来自同一个组”，则事件包含的样本点有，，，，，，共个，即，
所以
20. 一位同学想调查某学校学生阅读古典四大名著《红楼梦》《三国演义》《西游记》《水浒传》的情况，他随机问了5名同学（√表示已读），得到了以下表格：
《红楼梦》 《三国演义》 《西游记》 《水浒传》
同学A √ √ √
同学B √ √
同学C √ √
同学D √ √ √
同学E √ √
（1）现在从这五位同学中选出两位，设事件A为“两位同学都读过《红楼梦》和《三国演义》”，请用集合的形式分别写出样本空间和事件A所包含的所有结果，并计算出事件A的概率；
（2）经过统计，该学校读过《红楼梦》《三国演义》《西游记》《水浒传》四本名著的概率分别为，，，，求一位同学恰好读过其中三本书的概率．
【答案】（1）样本空间和事件A所包含的所有结果见解析；事件A的概率为
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题干中表格写出样本空间和事件A所包含的所有结果，利用古典概型的概率公式计算即可；
（2）利用互斥事件的概率加法公式及独立事件的概率乘法公式即可求解.
【小问1详解】
设五位同学分别为a，b，c，d，e
样本空间
事件，则.
【小问2详解】
设一位同学读过《红楼梦》，《三国演义》，《西游记》，《水浒传》分别为事件A，B，C，D，
则一位同学恰好读过其中三本的概率为
.
故一位同学恰好读过其中三本书的概率为.
21. 如图，在四棱锥中，，是棱上靠近点的三等分点．
（1）证明：平面；
（2）设平面与平面的交线为，若平面平面，，求与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接交于点，连接，由可得平面；
（2）延长，交于点，则直线就是平面与平面的交线，以点A为原点建立空间直角坐标系，求出及面的法向量，求与平面所成角的正弦值．
【小问1详解】
连接交于点，连接，
因为，所以，
又因是棱上靠近点的三等分点，
所以，所以，
又平面平面，所以平面；
【小问2详解】
延长，交于点，
所以为平面与平面的公共点，
所以直线就是平面与平面的交线；
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，又平面，所以，
如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，
因为，
所以，所以，
则，
则，
设平面的法向量为，
则有，可取，
则，
即与平面所成角的正弦值为
22. 如图①所示，长方形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥．
（1）求四棱锥的体积的最大值；
（2）若棱的中点为，求的长；
（3）设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）作出辅助线，得到当平面⊥平面时，P点到平面ABCM的距离最大，四棱锥的体积取得最大值，求出，从而得到体积最大值；（2）作出辅助线，证明出四边形CNQM为平行四边形，从而得到；（3）作出辅助线，得到∠PGD为的平面角，即，建立空间直角坐标系，用含的关系式表达出平面PAM和平面PBC的法向量，利用空间向量夹角余弦公式得到，结合的取值范围求出余弦值的最小值
【小问1详解】
取AM的中点G，连接PG，
因为PA=PM，则PG⊥AM，
当平面⊥平面时，P点到平面ABCM的距离最大，
四棱锥的体积取得最大值，
此时PG⊥平面，且，
底面为梯形，面积为，
则四棱锥的体积最大值为
【小问2详解】
取AP中点Q，连接NQ，MQ，
则因为N为PB中点，所以NQ为△PAB的中位线，
所以NQ∥AB且，
因为M为CD的中点，四边形ABCD为矩形，
所以CM∥AB且，
所以CM∥NQ且CM=NQ，
故四边形CNQM为平行四边形，
所以.
【小问3详解】
连接DG，
因为DA=DM，所以DG⊥AM，
所以∠PGD为平面角，即，
过点D作DZ⊥平面ABCD，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DZ所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
过P作PH⊥DG于点H，由题意得PH⊥平面ABCM，
设，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，
设平面PAM的法向量为，
则，
令，则，
设平面PBC的法向量为，
因为，
则
令，可得：，
设两平面夹角为，
则
令，，所以，
所以，所以当时，有最小值，
所以平面和平面夹角余弦值的最小值为泸州高2022级高二上期小结练习（一）
数 学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1 已知，，则等于（ ）
A. B. C. D.
2. 把红 蓝 黑 白4张纸牌随机分给甲 乙 丙 丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（ ）
A. 对立事件 B. 必然事件
C. 互斥但不对立事件 D. 不可能事件
3. 设x，，向量，，且，，则（ ）
A. B. C. 3 D. 4
4. 在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有1，2，3，4四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由乙猜这个小球上的数字，记为n．如果m，n满足，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，若共面，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，平行六面体所有棱长都为1，底面为正方形，．则对角线的长度为（ ）
A. B. C. 2 D.
7. 如图，在长方体中，，，为中点，则到平面的距离为（ ）
A. 1 B. C. D. 2
8. 在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是（ ）．
A. B.
C. D. 4a
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 设，是两个不同的平面，是一条直线，以下命题不正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
10. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ）
A. 乙发生的概率为 B. 丙发生的概率为
C. 甲与丁相互独立 D. 丙与丁互为对立事件
11. 已知空间向量，，下列结论正确的是（ ）
A
B. ，夹角的余弦值为
C. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数
D. 在上的投影向量为
12. 疫情当下，通过直播带货来助农，不仅为更多年轻人带来了就业岗位，同时也为当地农民销售出了农产品，促进了当地的经济发展.某直播平台的主播现要对6种不同的脐橙进行选品，其方法为首先对这6种不同的脐橙（数量均为1），进行标号为1~6，然后将其放入一个箱子中，从中有放回的随机取两次，每次取一个脐橙，记第一次取出的脐橙的标号为，第二次为，设，其中[x]表示不超过x的最大整数，则（ ）
A. B. 事件与互斥
C. D. 事件与对立
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：
137 960 197 925 271 815 952 683 829 436 730 257
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为______.
14. 底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______．
15. 已知空间中三点，则点A到直线的距离为__________．
16. 如图，若正方体的棱长为2，点是正方体的底面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则下列结论中正确结论的序号是_____．
①若保持，则点在底面内运动路径的长度为
②三棱锥体积的最大值为
③若，则二面角余弦值的最大值为
④若则与所成角的余弦值的最大值为
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知甲 乙 丙参加某项测试时，通过概率分别为0.6，0.8，0.9，而且这3人之间的测试互不影响．
（1）求甲 乙 丙都通过测试的概率；
（2）求甲 乙 丙至少有一人通过测试的概率；
（3）求甲 乙 丙恰有有两人通过测试的概率．
18. 四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且．
（1）设向量，，，用、、表示向量、；
（2）求证：、、 三点共线．
19. 9月19日，2023年中国地理标志博览会主会场启动仪式在泸州市成功举行，志愿者的服务工作是丰收节成功举办的重要保障，泸州市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
（1）估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数；
（2）从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．现计划从第四组和第五组抽取的人中，再随机抽取2名作为组长．求选出的两人来自同个一组的概率．
20. 一位同学想调查某学校学生阅读古典四大名著《红楼梦》《三国演义》《西游记》《水浒传》的情况，他随机问了5名同学（√表示已读），得到了以下表格：
《红楼梦》 《三国演义》 《西游记》 《水浒传》
同学A √ √ √
同学B √ √
同学C √ √
同学D √ √ √
同学E √ √
（1）现在从这五位同学中选出两位，设事件A为“两位同学都读过《红楼梦》和《三国演义》”，请用集合的形式分别写出样本空间和事件A所包含的所有结果，并计算出事件A的概率；
（2）经过统计，该学校读过《红楼梦》《三国演义》《西游记》《水浒传》四本名著的概率分别为，，，，求一位同学恰好读过其中三本书的概率．
21. 如图，在四棱锥中，，是棱上靠近点三等分点．
（1）证明：平面；
（2）设平面与平面的交线为，若平面平面，，求与平面所成角的正弦值．
22. 如图①所示，长方形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥．
（1）求四棱锥的体积的最大值；
（2）若棱的中点为，求的长；
