长郡中学2023年高二寒假作业检测试卷
数学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟.满分150分.
第I卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知数列为等比数列，则“，是方程的两实根”是”，或”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据等比数列的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】解：在等比数列中，若，是方程的两实根，
，，则，，
则，则或，即充分性成立，
当，或时，能推出，但无法推出，即必要性不成立，
即“，是方程的两实根”是“，或”的充分不必要条件，
故选：A．
2. 某中学高三（1）班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩，则估计该班数学得分大于120分的学生人数为（ ）（参考数据：）
A. 16 B. 10 C. 8 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据正态分布的性质，结合题中所给的公式进行求解即可.
【详解】因为数学成绩，所以，因此由
所以有，
估计该班数学得分大于120分的学生人数为，
故选：C
3. 若，则的值为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用两角差的余弦公式和二倍角的正弦公式化简题给条件，得到三角函数齐次式，进而求得的值
【详解】
由，可得
又，则
故选：D
4. 按从小到大顺序排列的9个数据：10，16，25，33，39，43，m，65，70，若这组数据的第一四分位数与第三四分位数的和是73，则m等于（ ）
A. 40 B. 48 C. 50 D. 57
【答案】B
【解析】
【分析】利用百分位数的求法，分别求出第一四分位数与第三四分位数，进而求出的值.
【详解】对于已知个数据：，
，第一四分位数为，
，第三四分位数为，
，解得.
故选：B.
5. 若函数（）在有最大值无最小值，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出，根据题意结合正弦函数图象可得答案.
详解】∵，∴，
根据题意结合正弦函数图象可得
，解得.
故选：B.
6. 椭圆：的上顶点为，点，均在上，且关于轴对称，若直线，的斜率之积为，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设P点坐标，Q点与P点关于x轴对称，坐标可用P点坐标表示，代入斜率之积的关系式，再结合椭圆方程，化简可得a与b的关系，即可求出离心率.
【详解】，设，则，
则，，
，
又，则，
所以，即，
所以椭圆的离心率，
故选：C.
7. 在平面内，定点A，B，C，D满足==,===–2，动点P，M满足=1，=，则的最大值是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：由已知易得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则设由已知，得，又
，它表示圆上的点与点的距离的平方的，，故选B.
【考点】平面向量的数量积运算，向量的夹角，解析几何中与圆有关的最值问题
【名师点睛】本题考查平面向量的夹角与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出，且，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出点的坐标，同时动点的轨迹是圆，则，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的数学思想．
8. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的个数是（ ）
①事件与相互独立 ②
③ ④
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据独立事件的概念判断①，计算条件概率判断②，根据全概率公式求解判断②④，即可回答.
【详解】显然，，，是两两互斥的事件，且，，
而，①错误；
，，所以，②正确；
，③正确；
，④错误，综上：结论正确的个数为2.
故选：C.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9. 关于，的方程(其中)表示的曲线可能是（ ）
A. 焦点在轴上的双曲线 B. 圆心为坐标原点的圆
C. 焦点在轴上的双曲线 D. 长轴长为的椭圆
【答案】BC
【解析】
【分析】根据各曲线的定义逐项验证参数的取值即可得出答案.
【详解】解：对于A：若曲线表示焦点在轴上的双曲线，
则，无解，选项A错误；
对于B：若曲线表示圆心为坐标原点的圆，
则，解得，选项B正确；
对于C：若曲线表示焦点在轴上的双曲线，
则，所以或，选项C正确；
对于D：若曲线表示长轴长为的椭圆，
则，，
则或，
无解，选项D错误.
故选：BC.
10. 早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中，算术中项，几何中项的定义与今天大致相同，而今我们称为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式，下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，，则的最小值为1
C. 若，，，则的最小值为
D. ，，，则的最小值为2
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用均值不等式逐项计算判断作答.
【详解】对于A，，，，则，
当且仅当，即时取等号，A正确；
对于B，，，，则
，当且仅当，即时取等号，B正确；
对于C，，，，则有，，
当且仅当，即时取等号，由及得：，所以当时，最小值为，C不正确；
对于D，，，，则，当且仅当时取等号，
因此，当时，取得最大值16，
，
所以当时，的最小值为2，D正确.
故选：ABD
11. （多选）分别为内角的对边，已知，且，则（ ）
A. B.
C. 的周长为 D. 的面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】由正弦定理得，即可判断A选项；由平方关系及商数关系即可判断B选项；先由余弦定理得，再求出周长即可判断C选项；先求得，再求面积即可判断D选项.
【详解】由正弦定理得，整理得，即，A正确；
由可得，则，B正确；
由余弦定理得，又，可得，
整理得，的周长为，C错误；
由上知：，，可得，
则的面积为，D正确.
故选：ABD.
12. 如图，正方体的棱长为，、是线段上的两个动点，且，则下列结论中正确的是（ ）
A
B. 平面
C. 的面积与的面积相等
D. 三棱锥的体积为定值
【答案】ABD
【解析】
【分析】证明出平面，利用线面垂直的性质可判断A选项；利用面面平行的性质可判断B选项；利用三角形的面积公式可判断C选项；利用锥体的体积公式可判断D选项.
【详解】对于A，由正方体的结构特征可知，平面，而平面，
则，
连接，又因为四边形为正方形，所以，，
因为，且、平面，所以，平面，
因为平面，所以，，故A正确；
对于B选项，因为平面平面，平面，则平面，B对；
对于C选项，设，取的中点，连接、，
由A选项可知平面，即平面，
又平面，所以，，
又且，所以，四边形为平行四边形，
所以，且，
因为、分别为、的中点，所以，且，
所以，四边形为平行四边形，则，
因为平面，平面，所以，，
所以，四边形为矩形，则，
又，、平面，所以，平面，
又平面，所以，，
因为，
所以，，C错；
对于D，因为的面积为，
又点到平面的距离为定值，故三棱锥的体积为定值，D对.
故选：ABD.
第II卷
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 数列中，若，，则___________.
【答案】##1.9
【解析】
【分析】依题意可得，再利用累乘法求出数列的通项公式，最后利用裂项相消法求和即可；
【详解】解：因为，所以，所以，，，，，累乘可得
即，因为，所以，所以
故答案为：
14. 在的展开式中，x的系数是___________（用数字作答）.
【答案】240
【解析】
【分析】只要求出的展开式含x的系数，即可得到答案；
【详解】的展开式的通项为：，
当，即时，展开式x的系数为：.
当显然不成立；
故答案为：240
15. 已知函数存在减区间，则实数a的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】函数存在减区间，则有解可求解．
【详解】由题可知，
因为函数存在减区间，则在上有解，
即有解，
令，，
令，解得；令，解得，
所以在单调递减，单调递增，
所以，
因为有解，所以，
解得．
故答案为：
16. 给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有5种颜色可供选择，则共有_______种不同的染色方案．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据使用的颜色种类分为三类，再对每种情况进行分类讨论，使用分步乘法以及分类加法即可求解.
【详解】由题意可知，若满足相邻区域不同色，最少需要三种颜色，最多需要五种颜色.
当有3种颜色时，则同色，同色，同色，此时的涂色种类为种.
当有4种颜色时，则有三种情况：①不同色，同色，同色，此时涂色种类为种；②同色，不同色，同色，此时涂色种类为种；③同色，同色，不同色，此时涂色种类为种；即当有4种颜色时，总的涂色种类为种.
当有5种颜色时，则有三种情况：①不同色，不同色，同色，此时涂色种类为种；②同色，不同色，不同色，此时涂色种类为种；③不同色，同色，不同色，此时涂色种类为种；即当有5种颜色时，总的涂色种类为种.
综上，总的共有种不同的方案.
故答案为：
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知直线l：．
（1）若直线l在x轴上截距和在y轴上截距相等，求a的值；
（2）若直线l与圆相切，求a的值．
【答案】（1）1；（2）4或．
【解析】
【分析】（1）分别令，，得到截距，解方程即可;
（2）根据圆心到直线的距离等于半径列出方程求解.
【详解】（1）易知直线l的截距不能为0，
令，，令，；
则
故a的值为1
（2）圆心到直线l的距离
或
故a的值为4或.
18. 已知数列满足，且.
（1）求；
（2）证明数列是等差数列，并求的通项公式．
【答案】（1）
（2）证明见解析，
【解析】
【分析】（1）由递推公式直接求出；（2）利用构造法得到，即可证明是等差数列，并写出的通项公式.
【小问1详解】
由题意可得，
则，
又，所以.
由，得，
所以.
【小问2详解】
由已知得，
即，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
则，
所以.
19. 某高校的大一学生在军训结束前，需要进行各项过关测试，其中射击过关测试规定：每位测试的大学生最多有两次射击机会，第一次射击击中靶标，立即停止射击，射击测试过关，得5分；第一次未击中靶标，继续进行第二次射击，若击中靶标，立即停止射击，射击测试过关，得4分；若未击中靶标，射击测试未能过关，得2分.现有一个班组的12位大学生进行射击过关测试，假设每位大学生两次射击击中靶标的概率分别为，0.5，每位大学生射击测试过关的概率为.
（1）设该班组中恰有9人通过射击过关测试概率为，求取最大值时和的值；
（2）在（1）的结果下，求该班组通过射击过关测试所得总分的平均数.
【答案】（1），的值分别为，.
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件列出，求导得，利用导数判断函数的单调性，求出取最大值时的值，再根据，解得即可.
（2）根据题意设一位大学生通过测试所得分数的平均值，求出的所有可能取值，并求出每个取值所对应的概率，求得一位大学生射击过关测试所得分数的平均数,最后确定该班组通过射击过关测试所得总分的平均数即可.
【小问1详解】
，，
∴
，，
由，得，
由，得，由，得，
∴在上是增函数，在上是减函数，
∴是的极大值点，也是的最大值点，
因为，
此时，由，解得.
∴取得最大值时，，的值分别为，.
【小问2详解】
设一位大学生射击过关测试所得分数为随机变量，
则的可能取值分别为5，4，2，
则，
，
，
∴一位大学生射击过关测试所得分数的平均数：
.
∴该班组通过射击过关测试所得总分的平均数为：.
20. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．
（1）若为棱的中点，求证：平面；
（2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；
（2）存在点，位于靠近点的三等分点处满足题意.
【解析】
【分析】（1）取中点，连接，得到，然后利用线面平行的判定定理得到平面；（2）假设在棱上存在点满足题意，建立空间直角坐标系，设，根据平面与平面的夹角的余弦值为，则两平面法向量所成角的余弦值的绝对值等于，求出，即可得出结论.
【小问1详解】
取中点，连接，
分别为中点，
，
底面四边形是矩形，为棱的中点，
，．
，，
故四边形是平行四边形，
．
又平面，平面，
平面．
【小问2详解】
假设在棱上存在点满足题意，
在等边中，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，则是四棱锥的高．
设，则，，
，所以.
以点为原点，，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
故，，．
设，
．
设平面PMB的一个法向量为，
则
取．
易知平面的一个法向量为，，
，
故存在点，位于靠近点的三等分点处满足题意.
21. 已知双曲线的左，右焦点分别为，．且该双曲线过点．
（1）求C的方程；
（2）如图．过双曲线左支内一点作两条互相垂直的直线分别与双曲线相交于点A，B和点C，D．当直线AB，CD均不平行于坐标轴时，直线AC，BD分别与直线相交于P．Q两点，证明：P，Q两点关于x轴对称．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，建立关于的方程组，求解方程组即可得答案；
（2）由题意，设直线的方程为，直线的方程为，点 ，联立，由韦达定理可得，同理可得，由直线的方程可得，同理可得，然后计算即可得证.
【小问1详解】
解：由已知可得，解得，
所以双曲线C的方程为；
【小问2详解】
证明：由题意，设直线的方程为，直线的方程为，点 ，
由，得 ，
则，得，
所以，
同理可得，其中满足，
直线的方程为，令，得,
又，所以，即，
同理可得，
因为，
所以两点关于轴对称.
22. 已知函数.
（1）当时，求的最大值；
（2）设点和是曲线上不同的两点，且，若恒成立，求实数k的取值范围.
【答案】（1）1；（2）.
【解析】
【分析】（1）当时，,求导判断函数得单调性，进而可以求出最值；
（2）不妨设，进而由题意可得设，构造函数，利用导数研究函数在的最小值即可求出结果.
【详解】（1）当时，，的定义域为，
当时，；当时，，
所以在上为增函数，在上为减函数，
所以是的极大值点，也是的最大值点，
故.
（2）不妨设，由，得
由，得，即
设，，则
记，
（i）当时，则图像的对称轴为，所以在上是增函数，
又，从而当时，，
所以，于是在上是减函数，
所以，此时适合题意
（ii）当时，，则恒成立，从而，所以在上是减函数，于是，此时适合题意.
（iii）当时， 的对称轴方程为，且，，所以存在，使得 ，
于是在内只有一个零点，
所以当时，，从而
所以在上是增函数，
于是当时，，此时不适合题意.
综上，实数k的取值范围
【点睛】恒成立问题解题思路：
（1）参变量分离：
（2）构造函数：①构造函数，研究函数的单调性，求出函数的最值，解不等式即可；②构造函数后，研究函数单调性，利用单调性解不等式，转化之后参数分离即可解决问题.长郡中学2023年高二寒假作业检测试卷
数学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟.满分150分.
第I卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知数列为等比数列，则“，是方程的两实根”是”，或”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2. 某中学高三（1）班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩，则估计该班数学得分大于120分的学生人数为（ ）（参考数据：）
A 16 B. 10 C. 8 D. 2
3. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 按从小到大顺序排列的9个数据：10，16，25，33，39，43，m，65，70，若这组数据的第一四分位数与第三四分位数的和是73，则m等于（ ）
A. 40 B. 48 C. 50 D. 57
5. 若函数（）在有最大值无最小值，则的取值范围是（ ）
A B. C. D.
6. 椭圆：的上顶点为，点，均在上，且关于轴对称，若直线，的斜率之积为，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7. 在平面内，定点A，B，C，D满足==,===–2，动点P，M满足=1，=，则的最大值是
A B. C. D.
8. 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的个数是（ ）
①事件与相互独立 ②
③ ④
A 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9. 关于，的方程(其中)表示的曲线可能是（ ）
A. 焦点在轴上的双曲线 B. 圆心为坐标原点的圆
C. 焦点在轴上的双曲线 D. 长轴长为的椭圆
10. 早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中，算术中项，几何中项的定义与今天大致相同，而今我们称为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式，下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ）
A 若，，，则
B. 若，，，则的最小值为1
C. 若，，，则的最小值为
D. ，，，则的最小值为2
11. （多选）分别为内角的对边，已知，且，则（ ）
A. B.
C. 的周长为 D. 的面积为
12. 如图，正方体的棱长为，、是线段上的两个动点，且，则下列结论中正确的是（ ）
A.
B. 平面
C. 的面积与的面积相等
D. 三棱锥的体积为定值
第II卷
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 数列中，若，，则___________.
14. 在的展开式中，x的系数是___________（用数字作答）.
15. 已知函数存在减区间，则实数a的取值范围为______.
16. 给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有5种颜色可供选择，则共有_______种不同的染色方案．
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知直线l：．
（1）若直线l在x轴上截距和在y轴上截距相等，求a的值；
（2）若直线l与圆相切，求a的值．
18. 已知数列满足，且.
（1）求；
（2）证明数列是等差数列，并求的通项公式．
19. 某高校的大一学生在军训结束前，需要进行各项过关测试，其中射击过关测试规定：每位测试的大学生最多有两次射击机会，第一次射击击中靶标，立即停止射击，射击测试过关，得5分；第一次未击中靶标，继续进行第二次射击，若击中靶标，立即停止射击，射击测试过关，得4分；若未击中靶标，射击测试未能过关，得2分.现有一个班组的12位大学生进行射击过关测试，假设每位大学生两次射击击中靶标的概率分别为，0.5，每位大学生射击测试过关的概率为.
（1）设该班组中恰有9人通过射击过关测试的概率为，求取最大值时和的值；
（2）在（1）的结果下，求该班组通过射击过关测试所得总分的平均数.
20. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．
（1）若为棱的中点，求证：平面；
（2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.
21. 已知双曲线的左，右焦点分别为，．且该双曲线过点．
（1）求C的方程；
（2）如图．过双曲线左支内一点作两条互相垂直的直线分别与双曲线相交于点A，B和点C，D．当直线AB，CD均不平行于坐标轴时，直线AC，BD分别与直线相交于P．Q两点，证明：P，Q两点关于x轴对称．
22. 已知函数.
（1）当时，求的最大值；
（2）设点和是曲线上不同的两点，且，若恒成立，求实数k的取值范围.
