重庆南开中学高2026级高一（下）数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 如图，在平行四边形中，，E是边上一点，且，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，，，则（ ）
A. A，B，C三点共线 B. A，B，D三点共线 C. A，C，D三点共线 D. B，C，D三点共线
3. 在等边中，点是边的中点，且，则为（ ）
A. B. 16 C. D. 8
4. 设D，E，F分别为的三边BC，CA，AB的中点，则＋等于（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
6. 在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC且与BC相交于点D，则向量在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
7. 在平面四边形中，，分别为，中点.若，，且，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，若，恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题，本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A.
B. 零向量与任意向量共线
C. 互为相反向量的两个向量的模相等
D. 若向量，满足，，则
10. 已知△ABC的重心为O，边AB，BC，CA的中点分别为D，E，F，则（ ）
A.
B.
C. 若，则
D. 若△ABC为正三角形，则
11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. 单调递增区间是
B. 单调递增区间是
C. 在上有3个零点
D. 将函数图象向左平移3个单位长度得到的图象所对应的函数为奇函数
12. 如图，边长为2的正六边形，点是内部（包括边界）的动点，，，.（ ）
A. B. 存在点，使
C. 若，则点的轨迹长度为2 D. 的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量，满足，，且，则实数的值是________．
14. 计算：.
15. 已知函数，将图象向左平移个单位长度，所得函数的图象关于原点对称，且在上单调递减，则__________．
16. 已知为的外心，，当最大时，边上的中线长为_________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在平行四边形中，．
（1）如图1，如果分别是的中点，试用分别表示.
（2）如图2，如果是与交点，是的中点，试用表示.
18. 已知，，.
（1）求与的夹角和的值；
（2）设，，若与共线，求实数m的值.
19. 如图,在中，已知点分别在边上，且，.
（1）用向量、表示；
（2）设,,,求线段的长.
20. 已知
（1）化简；
（2）若，，且，，求.
21. 已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若关于x的方程在上恰有一解，求实数m的取值范围．
22. 如图所示，在等腰直角中，为线段的中点，点分别在线段上运动，且，设.
（1）设，求的取值范围及；重庆南开中学高2026级高一（下）数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 如图，在平行四边形中，，E是边上一点，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意结合平面向量的线性运算法则、向量的数乘即可得解.
【详解】由题意，
所以.
故选：D.
【点睛】本题考查了平面向量线性运算法则及平面向量数乘的应用，考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题.
2. 已知向量，，，则（ ）
A. A，B，C三点共线 B. A，B，D三点共线 C. A，C，D三点共线 D. B，C，D三点共线
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量共线定理进行判断即可.
【详解】∵，又∵和有公共点B，∴A，B，D三点共线.
故选：B．
【点睛】本题考查了用向量共线定理证明三点共线问题，属于常考题.
3. 在等边中，点是边的中点，且，则为（ ）
A B. 16 C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量数量积定义即可求得的值.
【详解】等边中，点是边的中点，且，
则,，，
则
故选：C
4. 设D，E，F分别为的三边BC，CA，AB的中点，则＋等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的线性运算和中点的向量表示进行计算，即得结果.
【详解】如图，
＋＝＋＋＋＝＋
＝＋＝.
故选：C.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式求解可得答案.
【详解】令，故，，
故.
故选：B
6. 在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC且与BC相交于点D，则向量在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先画出图形，根据投影的几何意义，计算结果.
【详解】由余弦定理可知，
，
，
AD平分∠BAC且与BC相交于点D，是等腰三角形，
是中点，，
由图可知向量在上的投影向量为
，
.
故选：B
【点睛】本题考查向量的投影，重点考查数形结合分析问题，属于基础题型.
7. 在平面四边形中，，分别为，的中点.若，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量的数量积以及模长运算公式即可得解.
【详解】连接，，如图，可知.
由，即，可得.
从而，，所以.
故选：B
8. 已知函数，其图象与直线相邻两个交点的距离为，若，恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由5是函数的最大值，结合已知可得周期，从而得值，再由不等式恒成立得的范围．
【详解】由题意的最大值是5，所以由的图象与直线相邻两个交点的距离为知，．即，即，
时，，
因为，所以，，
所以，解得．
故选：A．
【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的性质，解题时能确定具体数值的先确定具体值，如，而的求法有两种：
（1）由的范围，求出的范围，并根据的范围得出和的范围，然后根据余弦函数性质得出不等关系．
（2）先利用余弦函数性质，求出时，的范围，再由已知区间是这个范围的子集，得出结论．
二、多项选择题，本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A.
B. 零向量与任意向量共线
C. 互为相反向量的两个向量的模相等
D. 若向量，满足，，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】由向量减法法则判断选项A；由零向量的性质判断选项B；由相反向量的定义判断选项C；由向量三角不等式判断选项D.
【详解】对A，，A选项错误；
对B，零向量与任意向量共线，B选项正确；
对C，互为相反向量的两个向量的模相等，C选项正确；
对D，若向量，满足，，则，即，D选项正确．
故选：BCD
10. 已知△ABC的重心为O，边AB，BC，CA的中点分别为D，E，F，则（ ）
A.
B.
C. 若，则
D. 若△ABC为正三角形，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用平面向量的线性运算及其几何意义，数量积的定义及运算法则逐项分析即得.
【详解】对于A，因为为中的中点，所以，故A正确；
对于B，因为为的重心，分别为边的中点，
所以
，所以，故B正确；
对于C，因为，所以，所以C正确；
对于D，因为为正三角形，所以，
所以，所以D不正确.
故选：ABC.
11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. 的单调递增区间是
B. 的单调递增区间是
C. 在上有3个零点
D. 将函数图象向左平移3个单位长度得到的图象所对应的函数为奇函数
【答案】AC
【解析】
【分析】利用图象求出函数解析式，再求出单调增区间，上零点，图象的对称轴，逐一对选项判断即可．
【详解】由图象得，周期，得，
所以，．
令，解得，
故单调递增区间为．A正确，B错误；
令，解得，
令得，解得，可知C选项正确；
函数图象关于直线对称，向左平移3个单位长度，图象关于轴对称，得到的函数为偶函数，故D错误．
故选：AC．
12. 如图，边长为2的正六边形，点是内部（包括边界）的动点，，，.（ ）
A. B. 存在点，使
C. 若，则点的轨迹长度为2 D. 的最小值为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据正六边形的性质，结合向量的线性运算即可求解A，根据共线即可得矛盾求解B，根据共线即可求解C，根据数量积的运算律，结合图形关系即可求解D.
【详解】设为正六边形的中心，
根据正六边形的性质可得且四边形均为菱形，
，故A正确，
假设存在存在点，使，则,其中点为以为邻边作平行四边形的顶点，
所以在直线上，这与点是内部（包括边界）的动点矛盾，故B错误，
当时，，
取,则,所以点的轨迹为线段,
其中分别为过点作与的交点，
由于为中点，所以,故点的轨迹长度为1，C错误，
由于,
,
过作于，则,所以此时，
由于分别为上的分量，且点点是内部（包括边界）的动点，所以
当位于时，此时同时最小，故的最小值为
故选：AD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量，满足，，且，则实数的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】利用向量的线性运算，以及向量的模，转化求解即可.
【详解】由，得，因为，，所以，即.
故答案为：
14. 计算：.
【答案】
【解析】
【分析】因为，所以对进行和差公式展开，即可求解
【详解】
.
15. 已知函数，将的图象向左平移个单位长度，所得函数的图象关于原点对称，且在上单调递减，则__________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据余弦函数的性质可得，结合单调性列不等式即可求解.
【详解】由题意知图象关于原点对称，因此，解出，
由于在上单调递减，，
因此，解出，
由于，所以取，解得，又由于，且，则．
故答案为：3
16. 已知为的外心，，当最大时，边上的中线长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】作出图形，利用平面向量的运算得到，再利用余弦定理与基本不等式求得最大时的值，从而得解.
【详解】取中点D，连接，则，
则，
所以，即，又，所以，，
则，
当且仅当，即时取等号，此时角最大，
同时，所以，
所以边上中线长为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用面向量的运算转化，得到，从而得解.
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在平行四边形中，．
（1）如图1，如果分别是的中点，试用分别表示.
（2）如图2，如果是与的交点，是的中点，试用表示.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量的线性运算结合图形直接表示即可；
（2）根据向量的线性运算结合图形直接表示即可.
【小问1详解】
因为分别是的中点，
所以，
.
【小问2详解】
因为是与的交点，是的中点，
所以，
.
18. 已知，，.
（1）求与的夹角和的值；
（2）设，，若与共线，求实数m的值.
【答案】（1）与的夹角为，；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据求出，根据数量积关系求出夹角，求出模长；
（2）根据共线定理必存在使得：，求解参数.
【详解】（1），，，
，
，
所以，
所以与的夹角为，
；
（2）由（1）可得：与不共线，
，，若与共线，
则必存在使得：，
所以，
得.
【点睛】此题考查向量的数量积运算，根据数量积关系求向量夹角和模长，利用平面向量基本定理结合向量共线求参数的值.
19. 如图,在中，已知点分别在边上，且，.
（1）用向量、表示；
（2）设,,,求线段的长.
【答案】（1） ;（2）.
【解析】
【详解】试题分析:（1）现将转换为，然后利用题目给定的比例，将其转化为以为起点的向量的形式.（2）由（1）将向量两边平方，利用向量的数量积的概念，可求得.
试题解析：
（1）由题意可得：
（2）由可得：
.
故.
20. 已知
（1）化简；
（2）若，，且，，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）运用诱导公式进行求解即可；
（2）根据同角的三角函数关系式，结合两角差的余弦公式进行求解即可.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
，因为，所以
所以，
，
因为，，所以，
因，所以，
于是
所以
.
21. 已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若关于x的方程在上恰有一解，求实数m的取值范围．
【答案】21.
22.
【解析】
【分析】（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式化简，利用整体代换法即可解出的单调递增区间；
（2）先结合条件将问题转化为“在上恰有一解”，然后分析的单调性以及函数值，从而列出关于的不等式，由此求解出结果.
【小问1详解】
函数，
令，
，
函数的单调递增区间为.
【小问2详解】
将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，
若关于的方程在上恰有一解，
即在上恰有一解，
即在上恰有一解，
当时，，
函数，当时，单调递增，
当时，单调递减，
而，，，
或，解得或，
即实数的取值范围为．
22. 如图所示，在等腰直角中，为线段的中点，点分别在线段上运动，且，设.
（1）设，求的取值范围及；
（2）求面积的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件得，即可得，在中，利用即可求出结果；
（2）根据条件得到，再利用基本不等式即可求出结果.
【小问1详解】
因为为等腰直角三角形，为线段的中点，
所以.
因为点在线段上运动，所以，
因为，所以，
所以.
【小问2详解】
因为，所以，
所以，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以面积的最小值为.
