重庆南开中学高2025级高二（下）数学测试
一 单选题（每小题5分）
1. 用这五个数组成无重复数字的五位数，则不同的偶数共有（ ）
A. 120个 B. 72个 C. 60个 D. 48个
【答案】D
【解析】
【分析】利用分步乘法计数原理可得答案.
【详解】由题可知，不同的偶数共有个.
故选：D.
2. 函数在区间上的（ ）
A. 最小值为0，最大值为
B. 最小值为0，最大值为
C. 最小值为，最大值为
D. 最小值为0，最大值为2
【答案】B
【解析】
【分析】先求得函数的导数，进而得到在区间上单调性，即可求得在区间上最小值和最大值.
【详解】，所以在区间上单调递增，
因此的最小值为，最大值为.
故选：B
3. 现有12张不同的卡片，其中红色，黄色，蓝色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且红色卡片至多1张，则不同的取法种数为（ ）
A. 84 B. 172 C. 160 D. 230
【答案】C
【解析】
【分析】用间接法分析．先求出“从12张卡片中任取3张的所有取法数”，再分析“取出的3张为同一种颜色”和“取出的3张有2张绿色卡片”的取法数，从而可求出答案．
【详解】根据题意，不考虑限制，从12张卡片中任取3张，共有种取法，
如果取出的3张为同一种颜色，则有种情况，
如果取出的3张有2张红色卡片，则有种情况，
故所求的取法共有种．
故选：C．
4. 设数列的前项和为 ，，，，则数列的前项和为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件构造为常数列，求出，再利用裂项相消法求和即可.
【详解】，且，
，即 ，，
故数列为常数列，且，
，则，
故数列的前项和.
故选：D.
5. 关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】已知方程有三个不同的实数解可转化为的图象与的图象有三个点,根据导数的几何意义，数形结合可得参数范围.
【详解】
由已知方程有三个不同的实数解可转化为的图象与的图象有三个点，
设直线的图象与相切于点，
因为，
所以，解得：，
又函数在单调递减，且，
函数在增，且，
所以函数与在所有且只有一个交点，
要使的图象与的图象有三个交点，
则需，
即实数的取值范围是，
故选：D．
6. 谢尔宾斯基三角形（Sierppinskitriangle）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出．先取一个实心正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形，即图中的白色三角形），然后在剩下的每个小三角形中又挖去一个“中心三角形”，用上面的方法可以无限操作下去．操作第1次得到图2，操作第2次得到图3．．．．．，若继续这样操作下去后得到图2024，则从图2024中挖去的白色三角形个数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比数列的前项和公式求得正确答案.
【详解】由图可知，图2024中挖去的白色三角形个数是：
.
故选：C
7. 设实数，若对恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先将指对混合形式变形为同构形式，再构造函数，利用函数单调性求函数最值，得到参数范围.
【详解】由，则，，
当时，，恒成立，
即任意，对恒成立；
当时，，
即，其中，
构造函数，则.
，因为，所以，单调递增；
则有，则，
构造函数，
则，令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
则， 即当时，，
故要使恒成立，则，即的取值范围为.
故选：B.
【点睛】一般地，在等式或不等式中指对形同时出现，可能需要利用指对同构来解决问题.解决问题的关键在于指对分离，构造“指幂—幂对”形式，再构造函数求解.常见的同构式有：与，与等.
8. 已知函数（）有两个不同的零点，（），下列关于，的说法正确的有（ ）个
① ② ③ ④
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】函数有两个不同零点，转化为有两个交点，构造函数，判断单调性，利用数形结合，判断①，再根据①判断②，再根据零点,构造函数，判断选项③,根据零点判断④.
【详解】由函数有两个不同零点，
转化为有两个交点，
构造函数， ，则，故，所以在单调递增，而，可得图象如图所示
故在单调递减，在单调递增，
所以，
对于①，，
所以，
所以，故①正确；
对于②，由①可知，故，
因此 ，故②正确；
对于③，因为，所以，故，
所以，
则，
构造函数，
则，而，
所以，
所以，
因为，所以，
令，构造，显然单调递增，且，
所以
所以，故③正确；
对于④，由①可知，，
所以，
令，，显然单调递增，且，
所以，故④正确.
故选：D
二 多选题（每小题6分）.
9. 现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到四家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（ ）
A. 所有可能的安排方法有64种
B. 若三名专家选择两所医院，每所医院至少去一人，则不同的安排方法有6种
C. 若三名专家选择三所医院，每所医院去一人，则不同的安排方法有24种
D. 若三名专家选择三所医院，每所医院去一人，但是甲不去A医院，则不同的安排方法有18种
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，根据分步计数原理计算出答案；B选项，先从4所医院选择2所，再安排三名专家，利用分步计数原理计算出答案；C选项，先从4所医院选择3所，再进行全排列得到C正确；D选项，再C选项的基础上，计算出每所医院去一人，甲去A医院的安排方法，从而计算出答案.
【详解】A选项，甲、乙、丙三人均有4种选择，故所有可能的安排方法有种，A正确；
B选项，先从4所医院选择2所，有种选择，
再将三名专家分到两所医院，有种选择，
则不同的安排方法有种，B错误；
C选项，先从4所医院选择3所，有种选择，
再将三名专家和三所医院进行全排列，有种选择，
则不同的安排方法有种，C正确；
D选项，由C选项可知，三名专家选择三所医院，每所医院去一人，共24种选择，
若甲去A医院，从所医院中选两所，和剩余两名专家进行全排列，共有种选择，
故不同的安排方法有种，D正确.
故选：ACD
10. 已知抛物线的焦点为，准线为，是上除坐标原点以外的动点，过点且与相切的直线与轴交于点，与轴交于点，，垂足为，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值为2 B. 若点落在上，则的横坐标为2
C. 四边形为菱形 D. ,,成等比数列
【答案】CD
【解析】
【分析】根据题设条件及抛物线的性质，结合各个选项，逐一分析判断即可得出结果.
【详解】对于选项A，因为，当且仅当三点共线时取等号，即运动到原点时取等号，
此时，由题知是上除坐标原点以外的动点，故选项A错误，
对于选项B，易知，设直线的方程为，
由，消得到，则，解得，
当时，代入，得到，解得，
当时，代入，得到，解得，
所以选项B错误，
对于选项C，设，设直线的方程为，
由，消得到，由，
又，所以，解得，
所以直线的方程为，令，得到，
所以，又由抛物线的定义知，，
所以，又，所以为平行四边形，又，
所以为菱形，故选项C正确，
对于选项D，由选项C知直线的方程为，又，
令，得到，所以，又，，
得到，，
得到，所以,,成等比数列，故选项D正确，
故选：CD.
11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若函数存在两个极值，则实数的取值范围为
B. 当时，函数在上单调递增
C. 当时，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为
D. 当时，若，则最小值为
【答案】BC
【解析】
【分析】对A选项：由极值点的性质结合导数讨论单调性即可得；对B选项：结合导数讨论单调性即可得；对C选项：结合单调性，可转化为当时，有成立，求出最小值即可得；对D选项：采用同构法可确定，再将多变量化为单变量后结合导数讨论单调性即可得.
【详解】对A选项：，
若函数存在两个极值，则函数必有两个变号零点，
令，则，
令，则，
则当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故，
又当时，恒成立，
当时，，
故当，函数有两个变号零点，
即若函数存在两个极值，则实数的取值范围为，
故A错误；
对B选项：当时，，
，
令，则，
则当时，，当时，；
故上单调递减，在上单调递增，
故，故函数在上单调递增；
故B正确；
对C选项：当时，，
，
令，则，
则当时，；当时，；
故在上单调递减，在上单调递增，
故，故在上单调递增，
则存在，使不等式成立，
等价于存在，使不等式成立，
则当时，有成立，
由当时，，且在上单调递增，
故，即实数的最小值为，故C正确；
对D选项：当时，由B、C可知，、均为定义域上的增函数，
由，，故有，，
由，则，
即，故，
又，故，
令，则，令，
则，
则当时，，当时，；
故在上单调递减，在上单调递增，
即，故在上单调递增，
故无最小值，即无最小值，
故D错误.
故选：BC.
【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的综合应用问题，其中D选项中涉及到多变量问题的求解，求解此类问题的基本思路是根据已知中的等量关系，将多变量转化为单变量的问题，从而将其转化为函数最值问题的求解.
三 填空题（每小题5分）
12. 为了做好社区新疫情防控工作，需要将5名志愿者分配到甲 乙 丙 丁4个小区开展工作，若每个小区至少分配一名志愿者，则有_______________ 种分配方法（用数字作答）；
【答案】
【解析】
【分析】利用分组分配求解
【详解】先把名志愿者分成共组，然后再进行排列，有种不同的分配方法，
故答案为：
13. 已知，分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的点，若直线，与直线交于，两点，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可知直线和直线的斜率存在，且斜率之积为，设出两直线方程解出，两点坐标，即可得的表达式，利用基本不等式即可求出其最小值.
【详解】如下图所示：
设，则，易知，，直线和直线的斜率存在，
且斜率之积为.
设直线的方程为，则，
直线的方程为，则，
所以.
当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：
14. 已知函数，若函数的图象在点和点处的两条切线相互平行且分别交轴于、两点，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】由可得出，利用弦长公式得出，利用导数求出函数在上的值域，即可为所求.
【详解】当时，，，则，
当时，，，则，
因为函数的图象在点和点处的两条切线相互平行，
则，即，则，
，，
所以，，
令，其中，则，
当时，，此时函数在上单调递减，
当时，，此时函数在上单调递增，
所以，，因此，的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于利用切线斜率相等得出、所满足的关系式，然后将转化为含的函数，转化为函数的值域问题求解.
四 解答题
15. 名男生和名女生站成一排．
（1）甲不在中间也不在两端的站法有多少种？
（2）甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？
（3）男、女分别排在一起的站法有多少种？
（4）男、女相间的站法有多少种？
（5）甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？
【答案】（1）种
（2）种
（3）种
（4）种
（5）种
【解析】
【分析】（1）按有特殊位置元素的排列方法求解；
（2）按有特殊位置元素的排列方法求解；
（3）按捆绑法排列即可；
（4）按插空法排列即可；
（5）按部分均匀的排列方法求解即可.
【小问1详解】
先排甲有种，其余有种，
共有种排法.
【小问2详解】
先排甲、乙，再排其余人，
共有种排法.
【小问3详解】
把男生和女生分别看成一个元素，
男生和女生内部还有一个全排列，共种.
【小问4详解】
先排名男生有种方法，
再将名女生插在男生形成的个空上有种方法，
故共有种排法.
【小问5详解】
人共有种排法，
其中甲、乙、丙三人有种排法，
因而在种排法中每种对应一种符合条件的排法，
故共有种排法．
16. 已知数列的前项和为，前项积为，满足．
（1）求，和；
（2）证明：．
【答案】（1） （2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意计算出，将条件中的变为，然后化简可得是等比数列，计算可得；
（2）由（1）可得，采用放缩法可得，根据数列求和公式计算即可得证.
【小问1详解】
当时，，
当时，，
∵数列的前项积为，满足，
∴时，，化为，变形为，
时，，
数列是首项为4，公比为2的等比数列，
∴，
时，亦满足上式，即；
【小问2详解】
先证明左边：即证明，，
又由，解得，
又，
所以，
再证明右边：，
∴．
17. 已知函数
（1）讨论函数的单调性
（2）若函数在处取得极值，且对恒成立，求实数的取值范围
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求出导函数，分类讨论判断导函数正负即可得出答案；
（2）参变分离，构造函数，利用导数求最值，即可得出答案.
【小问1详解】
的定义域为，，
当，此时在单调递减；
当时，令，解得，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
综上所述，当，在单调递减；
当时，在单调递减，在单调递增.
【小问2详解】
∵函数在处取得极值，
∴，解得，经检验满足题意；
由已知，即，则，
令，
∴，令，解得，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
∴，∴，
∴的取值范围为.
【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
（1）恒成立；
（2）恒成立.
18. 已知点，集合，点，且对于S中任何异于P的点Q，都有．
（1）试判断点P关于椭圆的位置关系，并说明理由；
（2）求P的坐标；
（3）设椭圆的焦点为，，证明：．
[参考公式：]
【答案】（1）在椭圆上，理由见详解；
（2）；
（3）证明见详解.
【解析】
【分析】（1）分析当在内时，设线段与有一交点推导出矛盾即可；
（2）记在上的投影向量为，可推导是上与距离最小的点，再设，结合椭圆的方程与所给方程得出不等式求解最值即可；
（3）设直线与轴交于，根据共线可得，再结合与正弦定理，转证即可.
【小问1详解】
椭圆上，理由如下：
记，若不在上，则在内.
因为，所以在外，
设线段与有一交点，此时和共线反向，，不合题意，
因此在上.
【小问2详解】
等价于.
记在上的投影向量为，
则条件等价于，即，
这表明是上与距离最小的点.
设，则，.
因为，
故，当且仅当时取等号.
所以，
又，故，
故，
当且仅当且且时取等号，
解得，故此时.
【小问3详解】
因为，，
设直线与轴交于，则，解得.
故，则要证即证.
又，故轴，故.
在和，由正弦定理，，
又和互补，所以，
所以，从而有.
所以.
【点睛】关键点点睛：第二问关键是如何确定点的位置；第三问是焦点三角形问题，利用线段长度关系结合正弦定理证明.
19. 已知函数，其中．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，证明：函数有唯一的零点；
（3）若，求实数a的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）求定义域，求导，分，，与四种情况，解不等式，求出函数单调性；
（2）在（1）的基础上得到函数单调性，结合零点存在性定理得到结论；
（3）由（2）知，不合要求，故，由，可得，构造，求导，结合隐零点得到函数单调性，且，，，两式相加得到，，放缩得到不等式，求出，进而得到.
【小问1详解】
函数的定义域为，
，
①当时，解不等式．有，令，得，
故函数的减区间为，增区间为；
②当时．，若，，，可得；
若，，，可得；若，可得．
故有，函数单调递增，增区间为，没有减区间；
③当时，解不等式，有或，
令，解得，
故函数增区间为，，减区间为；
④当时，解不等式，有或，令得，
故函数的增区间为，，减区间为；
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
【小问2详解】
若，函数的减区间为，增区间为，且，
当时，由，有恒成立，
又，由零点存在性定理上存在唯一零点，
由上知，函数有唯一的零点；
【小问3详解】
由（2）知．若，必有．又由，可得．
又由，不等式可化为，
设，
有，
当且时，，，可得，
当且时，，，可得，
当时，函数单调递增，
故存在正数m使得．
若，有，，有，
与矛盾，可得，
当时，；当时，，
可得函数的减区间为，增区间为，
若，必有，
有，
又由，有，
有，有．
又由，有，可得，
有，可得，
由，及，可得，
若．则实数a的取值范围为．重庆南开中学高2025级高二（下）数学测试
一 单选题（每小题5分）
1. 用这五个数组成无重复数字的五位数，则不同的偶数共有（ ）
A. 120个 B. 72个 C. 60个 D. 48个
2. 函数在区间上的（ ）
A. 最小值为0，最大值为
B. 最小值为0，最大值为
C. 最小值为，最大值为
D. 最小值0，最大值为2
3. 现有12张不同的卡片，其中红色，黄色，蓝色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且红色卡片至多1张，则不同的取法种数为（ ）
A. 84 B. 172 C. 160 D. 230
4. 设数列的前项和为 ，，，，则数列的前项和为 （ ）
A. B. C. D.
5. 关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6. 谢尔宾斯基三角形（Sierppinskitriangle）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出．先取一个实心正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形，即图中的白色三角形），然后在剩下的每个小三角形中又挖去一个“中心三角形”，用上面的方法可以无限操作下去．操作第1次得到图2，操作第2次得到图3．．．．．，若继续这样操作下去后得到图2024，则从图2024中挖去的白色三角形个数是（ ）
A B.
C D.
7. 设实数，若对恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数（）有两个不同的零点，（），下列关于，的说法正确的有（ ）个
① ② ③ ④
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二 多选题（每小题6分）.
9. 现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到四家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则（ ）
A. 所有可能的安排方法有64种
B. 若三名专家选择两所医院，每所医院至少去一人，则不同的安排方法有6种
C. 若三名专家选择三所医院，每所医院去一人，则不同的安排方法有24种
D. 若三名专家选择三所医院，每所医院去一人，但是甲不去A医院，则不同的安排方法有18种
10. 已知抛物线的焦点为，准线为，是上除坐标原点以外的动点，过点且与相切的直线与轴交于点，与轴交于点，，垂足为，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值为2 B. 若点落在上，则的横坐标为2
C. 四边形菱形 D. ,,成等比数列
11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若函数存在两个极值，则实数的取值范围为
B. 当时，函数在上单调递增
C. 当时，若存在，使不等式成立，则实数的最小值为
D. 当时，若，则的最小值为
三 填空题（每小题5分）
12. 为了做好社区新疫情防控工作，需要将5名志愿者分配到甲 乙 丙 丁4个小区开展工作，若每个小区至少分配一名志愿者，则有_______________ 种分配方法（用数字作答）；
13. 已知，分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的点，若直线，与直线交于，两点，则的最小值为______.
14. 已知函数，若函数的图象在点和点处的两条切线相互平行且分别交轴于、两点，则的取值范围为______.
四 解答题
15. 名男生和名女生站成一排．
（1）甲不在中间也不在两端的站法有多少种？
（2）甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？
（3）男、女分别排在一起的站法有多少种？
（4）男、女相间的站法有多少种？
（5）甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？
16. 已知数列的前项和为，前项积为，满足．
（1）求，和；
（2）证明：．
17. 已知函数
（1）讨论函数的单调性
（2）若函数在处取得极值，且对恒成立，求实数的取值范围
18. 已知点，集合，点，且对于S中任何异于P的点Q，都有．
（1）试判断点P关于椭圆的位置关系，并说明理由；
（2）求P坐标；
（3）设椭圆的焦点为，，证明：．
[参考公式：]
19. 已知函数，其中．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，证明：函数有唯一的零点；
