(共52张PPT)
第二节 基本不等式
【课程标准】
1.掌握基本不等式≤(a,b≥0).
2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.
知识梳理·思维激活
【必备知识 精归纳】
1.基本不等式
公式 _________
成立的条件 ____________
等号成立的条件 _________
算术平均数 _____
几何平均数 ______
a>0,b>0
a=b
基本不等式：半弦和半径
2.利用基本不等式求最值
已知x,y都是正数.
(1)如果x+y=S(定值),则xy≤=______(当且仅当“x=y”时取“=”).即“和定积
最大”.
(2)如果xy=P(定值),则x+y≥2=_________(当且仅当“x=y”时取“=”).即“积定和
最小”.
点睛连续使用不等式要注意等号成立的条件保持一致.
【常用结论】
1.a2+b2≥(沟通两和a+b与两平方和a2+b2的不等关系式)
2.ab≤(沟通两积ab与两平方和a2+b2的不等关系式)
3.ab≤(沟通两积ab与两和a+b的不等关系式)
4.重要不等式串:≤≤≤(a,b都是正数)即调和平均值≤几何平均值≤算术平均值≤平方平均值(注意等号成立的条件).
【基础小题 固根基】
1.(结论3)已知a+b=1,若a>0且b>0,则ab的最大值为 ( )
A.1 B. C. D.
教材改编 结论应用 易错易混
3,6 1,4 2,5
C
2.(忽视范围)若x<0,则x+的最大值为 ( )
A.-2 B.-2 C.- D.2
A
3.(教材变式)若x>-2,则f=x+的最小值为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
A
4.(结论1)若a+b=1,则a2+b2的最小值为 ( )
A.2 B. C. D.
B
5.(忽视等号成立的条件)函数y=x2+-2(-1
A.{y|y>2} B.{y|y≥2}
C. D.
D
6.(教材提升)已知0题型一利用基本不等式求最值
角度1 直接法求最值
[典例1](1)若x>0,y>0,且x+y=18,则的最大值为 ( )
A.9 B.18 C.36 D.81
核心题型·分类突破
A
(2)已知a,b∈R,且2a-b-2=0,则9a+的最小值为 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
C
【方法提炼】
直接利用基本不等式求最值的解题策略
1.满足条件:“一正”“二定”“三相等”.其中“一正”指正数,“二定”指求最值时和或积为定值,“三相等”指满足等号成立的条件.
2.若等号不成立,要借助对勾函数的图象求最值.
角度2 拼凑法求最值
[典例2](1)当x>0时,函数y=的最小值为 ( )
A.2 B.2-1 C.2+1 D.4
B
(2)(多选题)(2022·廊坊模拟)已知a>1,则2a+的取值可以是 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
BCD
【方法提炼】
拼凑法求最值的解题策略
1.拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法;
2.对于或的分式型代数式需要先化简,再拼凑,最后利用基本不等式或对勾函数解决相应最值问题.
提醒注意验证等号取得的条件.
角度3 常值代换法求最值
[典例3](2022·焦作模拟)已知a>0,b>0,且点在直线x+y=4上,则+的最小值为 .
【一题多变】
[变式1]本例中,若正实数a,b满足+=1,则a+b的最小值是 .
[变式2]本例中,设a>0,b>1,若a+b=2,则+的最小值为 ( )
A.6 B.9 C.3 D.18
B
[变式3]本例中,若a,b都是正数,且ab=1,则++的最小值为 ( )
A.4 B.8 C.4 D.4
A
【方法提炼】——自主归纳,老师指导
常值代换法主要解决以下最值问题
(1)已知形如或可化为cx+dy=t(t为常数),求+的最值;
(2)已知形如或可化为+=t,求cx+dy型的最值;
(3)求解时要注意把已知条件变形为“1”的形式,将+看作是(+)·或cx+dy看作是(cx+dy)·(+),变形后利用基本不等式求最值.
角度4 消元法求最值
[典例4](1)已知正实数a,b满足ab+2a-2=0,则4a+b的最小值是 ( )
A.2 B.4-2 C.4-2 D.6
B
(2)(2022·温州模拟)若正实数a,b满足b+3a=2ab,则的最大值为 .
【方法提炼】
消元法求最值解题策略
对于二元变量的条件最值问题,若不能够化为“角度3”的类型,常用其中一个变量表示另一个变量,将待求式化为一个变量的关系式后求最值,此类要注意所保留变量的取值范围.
角度5 由条件等式求a+b或ab的最值
[典例5]金榜原创·易错对对碰
(1)已知x>0,y>0,且x+y+xy-3=0,则xy的取值范围是 .
答案:(0,1]
(2)已知x>0,y>0,且x+y+xy-3=0,则x+y的取值范围是 .
答案:[2,3)
【方法提炼】——自主完善,老师指导
已知a+b+ab+m=0(m为常数),求a+b或ab的最值的解题策略
1.若求a+b的取值范围,将上式变形为ab=-(a+b)-m,再利用ab≤______,得到
_______________,解出a+b的取值范围;
2.若求ab的取值范围,将上式变形为a+b=-ab-m,再利用a+b≥______,得到
____________,解出ab的取值范围.
【对点训练】
1.若x>0,则的最大值为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
A
2.(多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)若x,y满足x2+y2-xy=1,则 ( )
A.x+y≤1 B.x+y≥-2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1
BC
3.(2023·石家庄模拟)已知ab>0,a+b=1,则的最小值为 .
4.已知x>0,y>0,且x+y+xy-3=0,则x+2y的最小值是 .
【加练备选】
1.已知0A.50 B.49 C.25 D.7
B
2.(2022·绍兴模拟)若直线ax-by-3=0(a>0,b>0)过点(1,-1),则+的最大值为 .
题型二基本不等式的实际应用
[典例6]某大型广场计划进行升级改造.改造的重点工程之一是新建一个矩形音
乐喷泉综合体A1B1C1D1,该项目由矩形核心喷泉区ABCD(阴影部分)和四周的绿
化带组成.规划核心喷泉区ABCD的面积为1 000 m2,绿化带的宽分别为2 m和5 m
(如图所示).当整个项目A1B1C1D1占地面积最小时,核心喷泉区的边BC的长度为
( )
A.20 m B.50 m
C.10 m D.100 m
B
【解析】设BC=x m,x>0,则CD=m,
所以=
=1 040+4x+≥1 040+2=1 440,
当且仅当4x=,即x=50时,等号成立,
所以当BC的长度为50 m时,整个项目A1B1C1D1占地面积最小.
【方法提炼】
基本不等式实际应用问题的解题策略
1.理解题意,设出变量,建立函数模型,把实际问题抽象为函数的最值问题.
2.注意定义域,验证取等条件.
3.注意实际问题隐藏的条件,比如整数,单位换算等.
【对点训练】
(2023·南宁模拟)一家货物公司计划租地建造仓库储存货物,经过市场调查了解到下列信息:每月土地占地费y1(单位:万元)与仓库到车站的距离x(单位:km)成反比,每月库存货物费y2(单位:万元)与x成正比;若在距离车站10 km处建仓库,则y1和y2分别为2万元和8万元,这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处,才能使两项费用之和最小 并求出该值.
【解析】设y1=,y2=tx,当x=10时,=2,10t=8,所以k=20,t=0.8,
所以y1=,y2=0.8x,
所以两项费用之和为z=y1+y2=+0.8x≥2=8.
当且仅当=0.8x时,即当x=5时等号成立.
即应将仓库建在距离车站5 km处,才能使两项费用之和最小,且最小费用为8万元.
【加练备选】
(2022·邢台模拟)第五届中国国际进口博览会在上海举行.某跨国公司带来了高端空调模型参展,通过展会调研,中国甲企业计划在2023年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元,生产x千台空调,需另投入资金R万元,且R=.经测算,当生产10千台空调时需另投入的资金R=
4 000万元.现每台空调售价为0.9万元时,当年内生产的空调当年能全部销售完.
(1)求2023年该企业年利润W(万元)关于年产量x(千台)的函数关系式;
(2)2023年产量为多少时,该企业所获年利润最大 最大年利润为多少 注:利润=销售额-成本.
【解析】(1)由题意知,当x=10时,R=10×102+10a=4 000,所以a=300.
当0≤x<40时,W=900x--260=-10x2+600x-260;
当x≥40时,W=900x--260,
所以W=
(2)当0≤x<40时,W=-10+8 740,所以当x=30时,W有最大值,最大值为8 740;
当x≥40时,W=-(x+)+9190≤-2+9 190=8 990,
当且仅当x=,即x=100时,W有最大值,最大值为8 990.因为8740<8 990,
所以当2023年产量为100千台时,该企业的年利润最大,最大年利润为8 990万元.
题型三利用基本不等式求参数的取值范围
角度1 利用基本不等式求解恒成立问题
[典例7]已知正数x,y满足=2,若不等式x+2y>m恒成立,则实数m的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
C
【方法提炼】——自主完善,老师指导
利用基本不等式解决恒成立问题的解题策略
1.含参的不等式恒成立问题,若能分离参数,则分离后利用最值转化法求解;
2.若a>f(x)恒成立,则_________;若aa>f(x)max
a角度2 利用均值不等式解决有解问题
[典例8]若x>0,不等式>m2-m有解,则实数m的取值范围是 .
【方法提炼】——自主完善,老师指导
利用基本不等式解决有解问题的解题策略
1.含参的不等式有解问题,若能分离参数,则分离后利用最值转化法求解;
2.若a>f(x)有解,则_________;若aa>f(x)min
a【对点训练】
1.(多选题)(2023·南通模拟)实数x,y满足xy+3x=3 ,若+A.-3 B.-2 C.4 D.5
AD
2.(2023·潍坊模拟)若正实数x,y满足x+y=4,且不等式+≥m2-2m-1恒成立,则实数m的取值范围为 .
【加练备选】
(2022·北京模拟)设a∈R,若关于x的不等式x2-ax+1≥0在1≤x≤2上有解,则 ( )
A.a≤2 B.a≥2 C.a≤ D.a≥
C
【备选题型】齐次化求最值
[典例]已知a>0,b>0,且a+2b=1,则+的最小值为 .
【方法提炼】
齐次化求最值的解题策略
齐次化就是含有多元的问题,通过代入已知条件,拆项、分子、分母同时除以某个表达式得到一个整体,然后转化为运用基本不等式进行求解.
【对点训练】
已知x,y,z为正实数,且x+2y-4z=0,则的最大值为 .
【思维导图·构网络】(共51张PPT)
第三节 二次函数与
一元二次方程、不等式
【课程标准】
1.从函数观点看一元二次方程:会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系.
2.从函数观点看一元二次不等式:(1)经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.(2)借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
知识梳理·思维激活
【必备知识 精归纳】
1.一元二次不等式
只含有____个未知数,并且未知数的最高次数是___的不等式,称为一元二次不等
式,一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a,b,c均为常数,a≠0).
2.二次函数的零点
一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数
的零点.
点睛二次函数的零点为对应方程的根,是一个实数,不是点的坐标.
一
2
3.二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系(其中a>0)
判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c的图象
方程ax2+bx+c=0的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
ax2+bx+c>0的解集 _______________
_______
ax2+bx+c<0的解集 ___________
{x|xx2}
R
{x|x1点睛1.解一元二次不等式一定要结合二次函数开口方向和不等号的方向下结论,防止取反.
2.若关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(m,n),则x=m与x=n为方程ax2+bx+c=0的两个根.
4.分式不等式
(1)>0(<0) f(x)·g(x)>0(<0);
(2)≥0(≤0) f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
5.简单的绝对值不等式
(1)|x|>a(a>0)的解为(-∞,-a)∪(a,+∞);
(2)|x|0)的解为(-a,a).
【常用结论】
1.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R,则一定满足;
2.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为 ,则一定满足;
3.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为R,则一定满足;
4.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为 ,则一定满足.
【基础小题 固根基】
1.(教材变式)函数y=+的定义域是( )
A. B.∪
C.∪ D.
教材改编 结论应用 易错易混
1,2 4,5 3,6
C
2.(教材提升)已知关于x的一元二次不等式ax2-3x+6>4的解集为或,则a+b的值是 ( )
A.4 B.3 C.6 D.5
B
3.(忽略二次项的符号)不等式-x2+3x+18<0的解集为 ( )
A.{x>6或x<-3}
B.
C.{x>3或x<-6}
D.
A
4.(结论1)“关于x的不等式x2-2ax+a>0对 x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是
( )
A.0C.01
B
5.(结论3)不等式x2+2x-4≥0的解集为 ,则实数a的取值范围是 ( )
A.{a|a<-2或a≥2} B.
C. D.
C
6.(遗漏k=0的情况)已知对于任意实数x,kx2-2x+k>0恒成立,则实数k的取值范围是
( )
A.k>1 B.-1C.k<-1 D.k>-1
A
题型一解不等式
角度1 不含参数的一元二次不等式和分式不等式的解法
[典例1](1)不等式x≥-3的解集为 ( )
A.∪ B.
C.∪ D.
核心题型·分类突破
A
(2)(2023·邯郸模拟)“01”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件
D.充要条件
A
【方法提炼】——自主归纳,老师指导
1.解一元二次不等式的步骤
(1)将二次项系数化为正数;
(2)计算判别式;
(3)求出对应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程没有根;
(4)根据解的情况,结合不等号的方向画图;
(5)写出不等式的解集.
2.分式不等式的解题步骤
(1)移项:化为一边为0的不等式;
(2)通分化成>0或<0的形式;
(3)把上述分式化成f(x)·g(x)>0或f(x)·g(x)<0的形式;
(4)利用解一元二次不等式的方法 求解.
角度2 含参数的一元二次不等式的解法
[典例2](1)(2022·营口模拟)已知关于x的不等式ax2+3x+2>0(a∈R).
①若ax2+3x+2>0的解集为,求实数a,b的值;
②求关于x的不等式ax2-3x+2>ax-1的解集.
【解析】①因为ax2+3x+2>0的解集为,所以方程ax2+3x+2=0的两个根分别为b,1(b<1),由根与系数的关系得,解得;
②ax2-3x+2>ax-1 ax2-(a+3)x+3>0 (ax-3)(x-1)>0,
当a=0时,不等式为x-1<0,不等式的解集为;
当a<0时,不等式化为(x- )(x-1)<0,不等式的解集为;
当a>0时,方程ax2-3x+2=ax-1的两个根分别为,1.
当a=3时,两根相等,故不等式的解集为{x|x≠1};
当a>3时,<1,不等式的解集为;
当01,不等式的解集为,
综上,当a<0时,不等式的解集为;
当a=0,不等式的解集为; 当0当a=3时,不等式的解集为{x|x≠1}; 当a>3时,不等式的解集为.
(2)(2023·福州模拟)已知a∈R,函数f(x)=2x2+ax-a,解关于x的不等式f(x)≥x2.
【方法提炼】
求解含有参数的不等式的解题策略
1.若二次项系数为常数,则需先将系数化为正数,再考虑分解因式,对两个根的大小进行讨论;若不易分解因式,可考虑对判别式进行讨论.
2.若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数为0的情况,再考虑系数不为0的情况.若能分解因式,需对两个根的大小进行讨论;若不易分解因式,可考虑对判别式进行讨论.
角度3 一元二次不等式与一元二次方程的关系
[典例3](1)(2022·哈尔滨模拟)已知不等式ax2+bx-2<0的解集为,则不等式ax2+x-3>0的解集为 ( )
A.R B. C. D.或
D
(2)(多选题)(2023·华中师大附中模拟)已知不等式ax2+bx+c>0的解集为,其中n>m>0,则以下选项正确的有 ( )
A.a<0
B.b>0
C.cx2+bx+a>0的解集为
D.cx2+bx+a>0的解集为或
ABC
【解析】因为不等式ax2+bx+c>0的解集为,所以a<0,故A正确;
因为n>m>0,令f=ax2+bx+c,所以->0,即b>0,故B正确;
由上所述,易知f<0,c<0,
由题意可得m,n为一元二次方程ax2+bx+c=0的两根,则m+n=-,mn=,
则·=,+==-,
即,为方程cx2+bx+a=0的解,
则不等式cx2+bx+a>0的解集为,故C正确,D错误.
【方法提炼】——自主完善,老师指导
一元二次不等式与方程的关系解题策略
1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的______,也是相应一元二次不等式
解集的______值.
2.给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数图象的______方向及
与x轴的______,可以利用代入根或利用根与系数的关系求解.
零点
端点
开口
交点
【对点训练】
1.不等式>1的解集为 .
2.(2023·广州模拟)已知a,b,c∈R,关于x的不等式bx2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>c}.
(1)求b,c的值;
(2)解关于x的不等式ax2-x+bc<0.
【解析】(1)因为不等式bx2-3x+2>0的解集为 {x|x<1或x>c},
所以x1=1与x2=c是方程bx2-3x+2=0的两个实数根,
由根与系数的关系,得解得b=1,c=2;
(2)由(1)知不等式ax2-x+bc<0为
ax2-x+2<0,即<0.
①当a=0时,易得不等式的解集为.
②当a<0时,不等式可化为>0,不等式的解集为.
③当a>0时,不等式可化为<0,
当>2,即0当=2,即a=时,不等式的解集为 ,
当<2,即a>时,不等式的解集为.
【加练备选】
解下列不等式:
(1)x4-x2-2≥0;
(2)x2+10>-6x;
(3)-x2+3x-5>0.
题型二一元二次不等式恒成立问题
角度1 在R上的恒成立问题
[典例4](1)(2022·宣城模拟)关于x的一元二次不等式mx2-2mx-1≤0恒成立,则实数m的取值范围为 ( )
A. B.
C. D.
C
(2)(2023·常州模拟)已知不等式>2对任意的x∈R恒成立,则实数k的取值范围是 .
答案:[2,10)
【方法提炼】
一元二次不等式在R上恒成立的条件
1.ax2+bx+c>0的解集为R,则一定满足
(1)a=b=0,c>0或(2);
2.ax2+bx+c<0的解集为R,则一定满足
(1)a=b=0,c<0或(2).
角度2 在给定区间上的恒成立问题
[典例5]已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x+2,且f(x)的图象经过点A(1,-6).
(1)求f(x)的解析式;
(2)若x∈[-2,2],不等式f(x)≤mx恒成立,求实数m的取值范围.
【方法提炼】——自主归纳,老师指导
一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题求解方法
(1)最值转化法:若f(x)>0在集合A中恒成立,则函数y=f(x)在集合A中的最小值大于0;若f(x)<0在集合A中恒成立,则函数y=f(x)在集合A中的最大值小于0.
(2)分离参数法:把不等式化为a>f(x)或af(x)max或a(3)数形结合法:根据图象列出约束条件求解.
【对点训练】
1.若函数y=ax2+2ax+1的图象恒在直线y=-2上方,则实数a的取值范围为 ( )
A. B. C. D.∪
B
2.(2023·泉州模拟)若不等式x2+a(x-1)+1≥0对一切x∈(1,2]都成立,则a的最小值为
( )
A.0 B.-2 C.-2-2 D.-5
D
3.已知对任意m∈,mx2-mx-1<-m+5恒成立,则实数x的取值范围是 ( )
A. B.∪
C. D.
D
【加练备选】
已知f=x2+x+3a+b,若存在常数a,使f(x)≥0恒成立,则b的取值范围
是 .
题型三 一元二次不等式有解问题
[典例6](2023·合肥模拟)若关于x的不等式x2-ax+7>0在上有实数解,则a的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
A
【解析】方法一:(分离参数法)不等式x2-ax+7>0在上有实数解,
等价于不等式a因为函数f(x)=x+在(2,)上单调递减,在(,7)上单调递增,
又由f(2)=2+=,f=7+=8,
所以f方法二:(最值转化法)原不等式在(2,7)上有解,
它的否定是不等式x2-ax+7>0在(2,7)上无解,则,解得a≥8,因此不等式x2-ax+7>0在区间(2,7)上有解时a<8.
【方法提炼】——自主完善,老师指导
一元二次不等式在给定区间上的有解问题解题策略
(1)分离参数法:把不等式化为a>f(x)或a_______或a<_______
(注意不等号方向是否改变).
(2)最值转化法;若f(x)>0在集合A中有解,则函数y=f(x)在集合A中的最____值大于
0;若f(x)<0在集合A中有解,则函数y=f(x)在集合A中的最____值小于0.
(3)数形结合法:根据图象列出约束条件求解.
(4)最后一定要注意检验区间的开闭.
f(x)min
f(x)max
大
小
【对点训练】
1.已知命题“ x∈R,4x2+x+≤0”是真命题,则实数a的取值范围为( )
A. B.
C.[4,+∞) D.∪
D
2.若关于x的不等式x2-6x+11-a<0在区间内有解,则实数a的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
D
【加练备选】
已知关于x的不等式mx2-6x+3m<0在上有解,则实数m的取值范围是 ( )
A. B. (-∞,) C. D. (,+∞)
A
题型四一元二次不等式的实际应用
[典例7]汽车在行驶中,由于惯性的作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住,这段距离称为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要指标.在一个限速为40 km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m,乙车的刹车距离略超过10 m,又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速v(km/h)分别有如下关系式:s1=0.1v+0.01v2,s2=0.05v+0.005v2.问:甲、乙两辆汽车是否有超速现象
【解析】因为甲种车型的刹车距离s(m)与车速v(km/h)的关系式:s1=0.1v+0.01v2,
所以由题意可得:s1=0.1v+0.01v2>12 v2+10v-1 200>0 v>30或v<-40(舍去),即v>30,当v=40时,s1=0.1×40+0.01×1 600=20>12,显然甲汽车没有超速现象;
因为乙种车型的刹车距离s(m)与车速v(km/h)的关系式:s2=0.05v+0.005v2,
所以由题意可得:s2=0.05v+0.005v2>10 v2+10v-2 000>0 v>40或v<-50(舍去),即v>40,因此乙汽车有超速现象.
【方法提炼】
一元二次不等式的实际应用问题解题策略
(1)审题要慢,把题干转化成数学模型,列出正确的关系式;
(2)结合实际,写出自变量的取值范围;
(3)解不等式或求最值时,一定要在定义域范围内求解.
【对点训练】
某旅店有200张床位.若每张床位一晚上的租金为50元,则可全部租出;若将出租收费标准每晚提高10x元(x为正整数),则租出的床位会相应减少10x张.若要使该旅店某晚的收入超过12 600元,则每张床位的出租价格可定在什么范围内
【解析】设该旅店某晚的收入为y元,
则y=(50+10x)(200-10x),x∈N*,
由题意y>12 600,则(50+10x)(200-10x)>12 600,
即10 000+1 500x-100x2>12 600,
即x2-15x+26<0,解得:2所以每个床位的出租价格应定在70元到180元之间(不包括70元,180元).
【思维导图·构网络】(共50张PPT)
第二章 一元二次函数、
方程、不等式
第一节 等式与不等式的性质
【课程标准】
梳理等式的性质,理解不等式的概念,掌握不等式的性质.
知识梳理·思维激活
【必备知识 精归纳】
1.比较大小的基本方法
关系 方法 作差法 (与0比较) 作商法 (与1比较)
a>b a-b_______0
a=b a-b_______0
a >
>
<
=
=
<
<
>
2.不等式的基本性质
点睛(1)注意不等式成立的条件.
(2)注意不等式性质的单向与双向性,即是否具有可逆性.
性质 性质内容
对称性 a>b _________;a传递性 a>b,b>c _________; a可加性 a>b _____________
移项法则 a+b>c a>c-b
可乘性 a>b,c>0 ___________; a>b,c<0 ___________
同向可加性 a>b,c>d ______________
同向同正可乘性 a>b>0,c>d>0 ___________
正可乘方性 a>b>0 __________(n∈N,n≥2)
b b>a
a>c
a a+c>b+c
ac>bc
ac a+c>b+d
ac>bd
an>bn
【常用结论】
1.若ab>0,则a>b <;若ab<0,则a>b >.
2.若a>b>0,m>0,则<;
若b>a>0,m>0,则>.
3.若a>b>0,则>(n∈N,n≥2).
【基础小题 固根基】
1.(结论2)在日常生活中有这样一种现象,向糖水中不断加入糖,糖水会变得越来越甜.已知a克糖水中含有b克糖(a>b>0),再添加m克糖(m>0,假设全部溶解),可将糖水变甜.这一事实表示为下列哪一个不等式 ( )
A.> B.< C.< D.<
教材改编 结论应用 易错易混
2,3 1,4 5,6
B
【解析】因为向糖水中不断加入糖,糖水会变得越来越甜,所以糖水开始的浓度为,再添加m克糖,即浓度变为.因为a>b>0,m>0,所以-=<0,则<.
2.(教材提升)下列结论正确的是 ( )
A.若a>b,则ac>bc
B.若a>b,则>
C.若a>b,则a+c>b+c
D.若a>b,则>
C
3.(教材变式)设M=2a+7,N=(a-2)(a-3),则M与N的大小关系是 ( )
A.M>N B.M=N
C.MA
4.(结论1)若<<0,则下列不等式正确的是 ( )
A.> B.aC.a+b>ab D.a3>b3
D
5.(忽视不等式成立的条件)已知a,b,c,d为实数,若a>b且c>d,则下列结论中正确的是 ( )
A.a2>b2 B.ac2>bc2
C.a+c>b+d D.ac>bd
【解析】当a,b为负数时,A选项显然不成立;
当c=0时,B选项显然不成立;
根据不等式的同向可加性可知C正确;
当a,b,c,d为负数时,D选项显然不成立.
C
6.(误用同向可减性、区间端点开闭出错)若实数x,y满足-1题型一 比较大小
角度1 作差法比较大小
[典例1](1)(多选题)(2022·衡阳模拟)已知a>b>1,下列不等式正确的是 ( )
A.< B.a+>b+
C.a3+b3>2a2b D.a+>b+
核心题型·分类突破
BD
【解析】对于A,-===,
因为a>b>1,所以a-b>0,a+1>0,所以-=>0,即>,故A错误;
对于B,a+-(b+)=a-b+-=a-b+=(a-b) (1-)=(a-b)·,
因为a>b>1,所以a-b>0,ab>1,所以a+-(b+)>0,即a+>b+,故B正确;
对于C,当a=3,b=2时,a3+b3=33+23=35,2a2b=2×32×2=36,所以a3+b3<2a2b,故C错误;
对于D,a+-(b+)=a-b+-=a-b+=(a-b) (1+),
因为a>b>1,所以a-b>0,ab>1,所以a+-(b+)>0,即a+>b+,故D正确.
(2)当m>1时,m3与m2-m+1的大小关系为 .
答案:m3>m2-m+1
(3)某汽车加油站的工作人员发现经常来加油的李先生和孙女士的加油习惯有所不同.李先生每次加油都说“师傅,给我加300元的油”,而孙女士则说“师傅帮我把油箱加满”.如果李先生和孙女士都加油两次,第一次加油汽油单价为x元/升,第二次加油汽油单价是y元/升(x≠y),孙女士每次加满油箱,需加油a升,我们规定谁的平均单价低谁就合算,请问李先生、孙女士谁更合算呢 ( )
A.李先生 B.孙女士
C.一样 D.不确定
A
【解析】由题意,孙女士两次加油共需付款a(x+y)元,李先生两次能加+=升油.
设李先生两次加油的平均单价为M元/升,孙女士两次加油的平均单价为N元/升,
则M==,N==,且x≠y,
所以N-M=-=>0,
所以李先生的加油方式更合算.
【方法提炼】
1.适合作差法比较大小的两(数)式的特点
(1)正负未知的两多项式;
(2)若两数为无理数且均为正,可考虑平方后再作差比较;
(3)两分式的形式;
(4)可化为同底的两对数;
2.作差法比较大小的步骤
①作差;②变形(通过因式分解或配方法等);③定号;④得出结论.
角度2 作商法比较大小
[典例2](1)已知c>1,且x=-,y=-,则x,y之间的大小关系是 ( )
A.x>y B.x=y
C.xC
(2)若a=,b=,则a b(填“>”或“<”).
【方法提炼】
1.适合作商法比较大小的两(数)式的特点
(1)两数(式)均为正数,且是幂的形式;
(2)两式均为两根式之差,且为正数,可考虑作商然后分子分母同时有理化后与1比较大小;
(3)两正分式,且作商后分子分母能约分;
(4)底数相同的两对数式,作商后结合换底公式可化为一个对数.
2.作商法比较大小的步骤
①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④得出结论.
角度3 利用中间值比较大小
[典例3](1)(2021·新高考Ⅱ卷)已知a=log52,b=log83,c=,则下列判断正确的是
( )
A.cC.aC
(2)(2023·太原模拟)设a=log62,b=,c=,则a,b,c的大小关系是 ( )
A.aC.bB
【方法提炼】
1.中间量法比较大小的适用条件
两数为指数式或对数式或其他同构式.
2.中间量的选取
(1)一般选取0和1为中间量;
(2)若两数的范围相同,可选取平均数作为中间量进行比较.
角度4 利用单调性比较大小
[典例4](1)(2022·潍坊模拟)已知a>0,则“aa>a3”是“a>3”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】因为aa>a3 a>3或00时,“aa>a3”是“a>3”的必要不充分条件.
B
(2)(多选题)(2023·滨州模拟)若实数a,b满足ln b( )
A.a2ba
BCD
【方法提炼】
利用单调性比较大小的策略
1.若两个指数式的底数相同,借助指数函数的单调性比较大小;
2.若两个指数式的指数相同,借助幂函数的单调性比较大小;
3.若指数底数均不同,取一个的底数另一个的指数作为中间量比较大小;
4.若比较大小的两个数比较接近哪个函数,可构造新函数比较大小.
【对点训练】
1.(2022·中山模拟)已知a=20.1,b=log43,c=log52,则 ( )
A.a>c>b B.b>c>a
C.a>b>c D.b>a>c
C
2.(多选题)下列说法正确的是 ( )
A.若a>b,c>d,则a-2c>b-2d B.若a,b∈,则+≥2
C.若a>b>0,m>n>0,则< D.若a>b,则a2>b2
BC
3.(多选题)(2022·威海模拟)若a>b>1,0A.amC.logmaBC
4.设a>b>0,比较与的大小.
【加练备选】
已知:a,b∈(0,+∞),且a≠b,比较aabb与abba的大小.
题型二不等式性质的应用
角度1 由不等式性质判断不等式
[典例5](1)(多选题)(2022·佛山模拟)已知a,b,c,d均为实数,则下列命题正确的是
( )
A.若a>b,c>d,则a-d>b-c
B.若a>b,c>d,则ac>bd
C.若ab>0,bc-ad>0,则>
D.若a>b,c>d>0,则>
AC
【解析】根据题意,依次分析选项:
对于A,若a>b,c>d,则-d>-c,则有a-d>b-c,A正确;
对于B,当a=2,b=1,c=-1,d=-2时,ac=bd,B错误;
对于C,若ab>0,bc-ad>0,则->0,即->0,则有>,C正确;
对于D,当a=-1,b=-2,c=2,d=1时,==-1,D错误.
(2)(多选题)(2023·汕头模拟)已知a,b,c满足cA.ac(a-c)>0 B.c(b-a)<0
C.cb2ac
【解析】因为a,b,c满足c0,b>0,a-c>0,b-a>0,
所以ac(a-c)<0,c(b-a)<0,cb2ac.
BCD
【方法提炼】
判断不等式的常用方法
(1)利用不等式的性质逐个验证;
(2)利用特殊值法排除错误选项;
(3)作差(商)法;
(4)构造函数,利用函数的单调性;
(5)利用基本不等式.
角度2 利用不等式的性质求取值范围
[典例6](1)已知2是 .
(2)已知-2≤x≤-1,2≤y≤3,求x-y,的取值范围.
【方法提炼】
求代数式的取值范围的解题策略
1.求形如a-b的取值范围,要先求-b的取值范围,再加a的取值范围即为a-b的取值范围;
2.求形如的取值范围,要借助反比例函数的图象先求出的取值范围,再与a遵循“同向同正可乘性”的原则求出的取值范围;
3.已知M1(1)设g(a,b)=pf1(a,b)+qf2(a,b);
(2)根据恒等变形求得待定系数p,q;
(3)再根据不等式的同向可加性即可求得g(a,b)的取值范围.
【对点训练】
1.(2023·日照模拟)若a,b,c为实数,且a0,则下列不等关系一定成立的是( )
A.a+cbc D.b-a>c
A
2.若x,y满足-A. (-,0) B. (-,)
C. (-,0) D. (-,)
A
3.已知-1<2s+t<2,3答案:(1,8)
【加练备选】
已知有理数a,b,c,满足a>b>c,且a+b+c=0,那么的取值范围是 .
【备选题型】新定义问题
[典例]若实数x,y,m满足|x-m|>|y-m|,则称x比y远离m.
(1)若x比远离1,求实数x的取值范围;
(2)若m≤1,x+y=2,试问:x与x2+y2哪一个更远离m 并说明理由.
【解析】(1)由x比远离1,则>,即>,所以x-1>或x-1<-,得x<或x>,
所以x的取值范围是(-∞,)∪(,+∞).
(2)因为x2+y2≥=2>m,有|x2+y2-m|=x2+y2-m,
因为x+y=2,所以x2+y2=2x2-4x+4.
从而|x2+y2-m|-|x-m|=2x2-4x+4-m-|x-m|,①当x≥m时,|x2+y2-m|-|x-m|=2x2-4x+4-m-(x-m)=2(x-)2+>0,即|x2+y2-m|>|x-m|;
②当x0.
所以2(x-)2+-2m>0,
即|x2+y2-m|>|x-m|.综上,|x2+y2-m|>|x-m|,即x2+y2比x更远离m.
【方法提炼】
不等式新定义问题的求解策略
(1)新定义问题顾名思义就是给定一个新的概念,根据这种新定义解决相关的问题;
(2)根据题意套用新定义,转化到所学的不等式的知识进行解决.
【对点训练】
对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义:若>,那么称点(a,b)是点(c,d)的“上位点”,同时点(c,d)是点(a,b)的“下位点”.
(1)试写出点(3,5)的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标;
(2)已知点(a,b)是点(c,d)的“上位点”,判断是否一定存在点P,满足既是点(c,d)的“上位点”,又是点(a,b)的“下位点”,若存在,写出一个点P坐标,并证明;若不存在,则说明理由.
【解析】(1)因为对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义:
若>,那么称点(a,b)是点(c,d)的“上位点”,同时点(c,d)是点(a,b)的“下位点”,
所以点(3,5)的一个“上位点”坐标是(3,4)和一个“下位点”坐标是(3,6);
(2)因为点(a,b)是点(c,d)的“上位点”,
所以一定存在点P(a+c,b+d)满足既是点(c,d)的“上位点”,又是点(a,b)的“下位点”,
证明如下:
因为点(a,b)是点(c,d)的“上位点”,所以>,即ad>bc,
所以-==>0,
即>,所以点P(a+c,b+d)是点(c,d)的“上位点”,
所以-==<0,
即<,所以点P(a+c,b+d)是点(a,b)的“下位点”,
综上:点P(a+c,b+d)满足既是点(c,d)的“上位点”,又是点(a,b)的“下位点”.
【思维导图·构网络】