(共50张PPT)
第二节 平面向量的基本定理及坐标表示
【课程标准】
1．理解平面向量基本定理及其意义．
2．借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示．
3．会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算．
4．能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角．
5．能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件．
知识梳理·思维激活
【必备知识 精归纳】
1．平面向量基本定理
条件 e1，e2是同一平面内的两个____________
结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝
__________
基底 若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个
基底
点睛 基底{e1，e2} 必须是同一平面内的两个不共线向量．因为零向量平行于任意向量，所以不能作为基底中的向量．
不共线向量
λ1e1＋λ2e2
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝_______________，a－b＝_______________，
λa＝__________，|a|＝_________．
(x2－x1，y2－y1)
(x1＋x2，y1＋y2)
(x1－x2，y1－y2)
(λx1，λy1)
x1y2－x2y1＝0
B
B
A
A
C
核心题型·分类突破
ACD
C
【方法提炼】——自主完善，老师指导
应用平面向量基本定理的关键
(1)合理选择基底，注意基底必须是两个________的向量．
(2)选定基底后，通过构造平行四边形(或三角形)利用向量的加、减、数乘以
及向量平行的充要条件，把相关向量用______表示出来．
(3)注意几何性质在向量运算中的作用，用______表示未知向量，常借助图形的
几何性质，如平行、相似等．
注意：同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都
是唯一的．
不共线
基底
基底
D
ABD
答案：①③
【方法提炼】
平面向量坐标运算的技巧
(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标；
(2)注意待定系数法的应用．先求出有关向量的坐标，再用“向量相等，则坐标相同”这一结论，列方程(组)进行求解．
D
答案：3
D
AD
A
答案：－4
答案：16
【思维导图·构网络】(共80张PPT)
第三节 平面向量的数量积及应用
【课程标准】
1．通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．
2．通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．
3．会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．
4．会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用．
知识梳理·思维激活
点睛 确定两个非零向量a和b的夹角，必须将两个向量平移至同一起点．
∠AOB
0≤θ≤π
0
π
|a||b|cosθ
|a||b|cosθ
0
投影
投影向量
|a|cosθe
a·c＋b·c
a·b=0
CD
B
A
A
核心题型·分类突破
B
A
|a||b|cos〈a，b〉
x1x2＋y1y2
B
C
BC
C
A
B
C
BCD
B
AC
A
A
A
2
A
B
P
D
M
Q
C
X
A
D
B
0
M N
C
X
B
C
b
a+b
D
0
a
A
y
E
D
C
P
F
A(O
B
X
B
C
D
A
y
B
C
A
E
D
X
E
D
P
F
C
I
I
I
P
B
C
E
D
B
A
E
B
D
A
X
y个
A
D
B
M N
C
X
y
M
M
N
W
A
B
C A
B
Cr
图1
图2(共46张PPT)
第四节 解三角形
第1课时 余弦定理、
正弦定理
课程标准
借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系,掌握余弦定理、正弦定理.
知识梳理·思维激活
条件 在△ABC中,三个角A,B,C所对的边分别是a,b,c
内容 a2=__________________;
b2=__________________;
c2=___________________
变形 cos A=___________; cos B=___________; cos C=__________
b2+c2-2bccos A
c2+a2-2cacos B
a2+b2-2abcos C
2.正弦定理
条件 在△ABC中,三个角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为外接圆半径
内容
变形
点睛已知两边及一边的对角,利用正弦定理解三角形时,注意解的个数讨论,可能有一解、两解或无解.
2Rsin B
2Rsin C
3.三角形常用面积公式
(1)S=a·ha(ha表示a边上的高).
(2)S=absin C=acsin B=bcsin A=.
(3)S=r(a+b+c)(r为内切圆半径).
D
C
3.(结论1)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,则以下结论错误的
是 ( )
A.bcos C+ccos B=a B.若a2+b2
C.若sin 2A=sin 2B,则A=B D.若A>B,则sin A>sin B
C
4.(应用正弦定理漏解)在△ABC中,角A,B,C所对的各边分别为a,b,c,若a=1,b=,A=30°,则B= .
5.(结论2)在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边.已知A=,a=,则的值为 .
6.(教材提升)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=4,b=5,c=6,则
cos A= ,△ABC的面积为 .
【题型一】利用正、余弦定理解三角形
[典例1](1)(2022·西安模拟)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若A=,
cos B=,b=2,则a= ( )
A. B. C.3 D.
核心题型·分类突破
D
(2)(多选题)下列对三角形解的个数的判断中正确的是 ( )
A.a=30,b=25,A=150°,有一解 B.a=7,b=14,A=30°,有两解
C.a=6,b=9,A=45°,有两解 D.a=,b=,A=60°,无解
AD
(3)(2023·成都模拟)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,3sin Asin C=
2sin2B,2sin2A+2sin2C=5sin Asin C.
①求B;
②若A>C,b=,求a,A.
【方法提炼】——自主完善,老师指导
应用正弦、余弦定理的解题技巧
(1)求边:利用正弦定理变形公式a=______等或余弦定理a2=_____________等求解.
(2)求角:利用正弦定理变形公式sin A=_________等或余弦定理变形公式
cos A=____等求解.
(3)利用式子的特点转化:如出现a2+b2-c2=λab的形式用_____定理,等式两边是关于
边或角的正弦的齐次式用正弦定理.
b2+c2-2bccos A
余弦
D
2.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bsin 2A=asin B,且c=2b,
则等于 ( )
A.2 B.3 C. D.
D
【加练备选】
1.在△ABC中,若sin A∶sin B∶sin C=1∶∶1,则B= ( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
C
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=8,c=3,A=60°,则此三角形外接圆的半径R= ( )
A. B. C. D.
D
3.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a-c=b,sin B=sinC.求cos A的值.
【题型二】利用正、余弦定理判断三角形形状
[典例2]设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,
则△ABC的形状为 ( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
A
【解析】方法一(化角为边):因为bcos C+ccos B=b·+c·==a,
所以asin A=a,即sin A=1,故A=,因此△ABC是直角三角形.
方法二(化边为角):因为bcos C+ccos B=asin A,
所以sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,
即sin(B+C)=sin2A,所以sin A=sin2A,
故sin A=1,即A=,因此△ABC是直角三角形.
方法三(射影定理):bcos C+ccos B=a=asin A,所以sin A=1,故A=,
因此△ABC是直角三角形.
【加练备选】
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cA.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等边三角形
A
【题型三】正、余弦定理的综合应用
角度1 与三角形面积有关的问题
[典例3](2023·襄阳模拟)如图,在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.
已知b=3,c=6,sin 2C=sin B,且AD为BC边上的中线,AE为∠BAC的平分线.
(1)求cos C及线段BC的长;
(2)求△ADE的面积.
【解析】(1)根据题意,sin 2C=sin B 2sin Ccos C=sin B,由正弦定理知:2ccos C=b,
又b=3,c=6,所以cos C==,又由cos C==,解得a=6,即BC=6.
(2)根据题意,因为AD为BC边上的中线,所以CD=BC=3,因为AE平分∠BAC,
所以==,故==2,
可得CE=BC=2,cos C=,则sin C=,
所以S△ADE=S△ACD-S△ACE=×3×3×-×3×2×=.
1.求解三角形面积问题的方法技巧
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值),结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积,代入公式求面积.
(2)若已知三角形的三边,可先求其中一个角的余弦值,再求其正弦值,代入公式求面积.总之,结合图形恰当选择面积公式是解题的关键.
2.解三角形中的最值或范围问题的两种解法
(1)将问题表示为边的形式,利用基本不等式求得最大值或最小值;
(2)将问题用三角形某一个角的三角函数表示,利用三角函数的有界性,单调性再结合角的范围确定最值或范围.
【加练备选】
1.在①asin 2C=4csin Ccos2;②a2-c2=bc这两个条件中任取一个,补充在下面问题中,并解答补充完整的题目.
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S为△ABC的面积,已知 .
(1)求证:A=2C;
(2)若2a=3c,且b=5,求S的值.
【解析】(1)若选择①,由asin 2C=4csin Ccos2,得a·2sin Ccos C=4c·sin C·,
因为sin C≠0,所以a·cos C=c·(1+cos A),所以sin Acos C=sin C+sin Ccos A,
得sin(A-C)=sin C,因为0所以-π若选择②,由a2-c2=bc及a2=b2+c2-2bccos A,得bc=b2-2bccos A,
得c=b-2ccos A,由正弦定理得,sin C=sin B-2sin Ccos A,
所以sin C=sin(A+C)-2sin Ccos A,则sin C=sin Acos C+cos Asin C-2sin Ccos A,
所以sin C=sin Acos C-cos Asin C=sin(A-C),因为0所以-π(2)由(1)知,A=2C,由2a=3c及正弦定理得2sin A=3sin C,
所以2sin 2C=3sin C,则4sin Ccos C=3sin C,
因为sin C≠0,所以cos C=,sin C==,由余弦定理c2=b2+a2-2abcos C,
得c2=25+c2-15c·,得c2-9c+20=0,解得c=4或c=5,当c=4时,a=6,
S=absin C=×6×5×=,当c=5时,a=,S=absin C=××5×=.
综上所述:S=或S=.
2.已知a,b,c分别是△ABC三个内角A,B,C所对的边,且acos C+c=b.
(1)求A;
(2)若a=1,求△ABC的周长L的取值范围.
【解析】(1)因为acos C+c=b,所以由正弦定理得sin Acos C+sin C=sin B,
因为sin B=sin (A+C)=sin Acos C+cos Asin C,所以sin C=cos Asin C,
因为sin C≠0,所以cos A=,又因为0(2)由正弦定理得b==,c==,所以L=a+b+c=1+(sin B+sin C)=
1+=1+2=1+2sin,
因为A=,所以B∈,所以B+∈,所以sin∈,则L∈(2,3].
故△ABC的周长L的取值范围是(2,3].(共42张PPT)
第2课时 余弦定理、
正弦定理应用举例
课程标准
能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.
知识梳理·思维激活
【必备知识】精归纳
1.仰角和俯角
在同一铅垂面内目标视线与水平线所成的角,在水平线上方叫______,
下方叫______(如图①).
仰角
俯角
2.方位角
从正北方向起按____________转到目标方向线之间的夹角叫做方位角.如B点的
方位角为α(如图②).
点睛仰角与俯角是相对水平视线而言的,而方位角是相对于正北方向而言的.
顺时针方向
3.方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角.
(1)北偏东α,即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③).
(2)北偏西α,即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向.
(3)南偏西等其他方向角类似.
4.坡角与坡度
坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角);坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度),即i==tan θ.
【常用结论】对于立体测量问题,通常要转化为两类平面问题,一是竖直放置的平面,通常要解直角三角形;另一类是水平放置的平面,通常要解斜三角形.
【基础小题】固根基
教材改编 结论应用 易错易混
2,3,6 5 1,4
1.(弄错方向角的含义)两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站北偏东40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的 ( )
A.北偏东10° B.北偏西10° C.南偏东10° D.南偏西10°
【解析】灯塔A,B的相对位置如图所示,
由已知得∠ACB=80°,∠CAB=∠CBA=50°,
则α=60°-50°=10°,即北偏西10°.
B
2.(教材变式)如图所示,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,
BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
B
3.(教材变式)已知A船在灯塔C的北偏东85°方向且A到C的距离为2 km,B船在灯塔C的西偏北25°方向且B到C的距离为 km,则A,B两船的距离为 ( )
A. km B. km
C.2 km D.3 km
A
4.(弄错俯角的含义)如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内,若飞机的高
度为海拔18 km,速度为1 000 km/h,飞行员先看到山顶的俯角为30°,经过1 min
后又看到山顶的俯角为75°,则山顶的海拔高度约为(精确到0.1 km,参考数
据:≈1.732)( )
A.11.4 km B.6.6 km C.6.5 km D.5.6 km
B
5.(结论)要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45°,在D点测得塔顶A的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40 m,则电视塔的高度为 ( )
A.10 m B.20 m C.20 m D.40 m
D
6.(教材变式)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC= ( )
A.240(-1)m B.180(-1)m
C.120(-1)m D.30(+1)m
C
【解析】记气球在地面的投影为D,
在Rt△ABD中,cos 15°=,
又cos 15°=cos(60°-45°)=,
所以AB=.在△ABC中,由正弦定理得
=,所以BC==AB=120(-1)(m).
【题型一】测量距离问题
[典例1]如图,某旅游景点有一座风景秀丽的山峰,山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC,小王和小李打算不坐索道,而是花2个小时的时间进行徒步攀登.已知∠ABC=120°,∠ADC=150°,BD=1 km,AC=3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250 m,请问:两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰(即从B点出发到达C点)
核心题型·分类突破
【解析】在△ABD中,由题意知∠ADB=∠BAD=30°,所以AB=BD=1 km.
因为∠ABD=120°,由正弦定理=,解得AD= km.
在△ACD中,由AC2=AD2+CD2-2AD·CD·cos 150°,
得9=3+CD2+2××CD,即CD2+3CD-6=0,解得CD= km,
BC=BD+CD=(km).
小王和小李2个小时可徒步攀登1 250×2=2 500(m),即2.5 km,
而<==2.5,
所以两位登山爱好者可以在2个小时内徒步登上山峰.
【一题多变】
[变式]若将本例条件“BD=1 km,AC=3 km”变为“BD=200 m,CD=300 m”,其他条件不变,求这条索道AC的长.
【方法提炼】——自主完善,老师指导
距离问题的类型及解法
(1)类型:①两点间既不可达也不可视,②两点间可视但不可达,③两点都不可达.
(2)解法:选择合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为____________________
问题,从而利用正、余弦定理求解.
求某个三角形的边长
【对点训练】
1.在高速公路建设中经常遇到开通穿山隧道的工程,如图所示,A,B,C为某山脚两侧共线的三点,在山顶P处测得三点的俯角分别为α=60°,β=45°,γ=30°,现需要沿直线AC开通穿山隧道DE,已知BC=5,AD=,EB=,则隧道DE的长度为 ( )
A.5+5 B.2+4
C.10 D.4+2
D
【解析】由已知可得,sin∠BPC=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°
=×-×=.
在△PBC中,由正弦定理可得,PB===5(+1),
在△PAB中,∠PAB=60°,∠APB=75°,PB=5(+1),
由正弦定理可得,AB===,
所以DE=AB-AD-EB=--=4+2.
2.《九章算术》是中国古代数学专著.《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形,上、下底称为“畔”,高称为“正广”,非高腰边称为“邪”.如图所示,邪长为4,东畔长为2,在A处测得C,D两点处的俯角分别为49°和19°,则正广长约为 .(注:sin 41°≈0.66)
答案:6.6
【解析】由题可得,∠DAC=49°-19°=30°,
在△ACD中,由余弦定理可得DC2=AC2+AD2-2AC·AD·cos 30°,
代入得:28=AC2+48-12AC,即(AC-2)(AC-10)=0,
因为∠ADC>90°,故AC=10,
故BC=AC·cos 49°=10·sin 41°≈6.6.
【加练备选】
甲船在岛的正南方A处,AB=10千米,甲船以每小时4千米的速度向正北匀速航行,同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向匀速航行,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间是 ( )
A.小时 B.小时 C.小时 D.小时
A
【题型二】测量高度问题
角度1 画平面图形求高度
[典例2]如图,线段AB表示一信号塔,DE表示一斜坡,DC⊥CE.且B,C,E三点在同一水平线上,点A,B,C,D,E在同一平面内,斜坡DE的坡比为3∶7,CE=63米.某人站在坡顶D处测得塔顶A点的仰角为37°,站在坡底C处测得塔顶A点的仰角为48°(人的身高忽略不计),则信号塔的高度AB为 ( )
(结果精确到1米)(参考数据:sin 37°≈,tan 37°≈,sin 48°≈,tan 48°≈)
A.54米 B.58米
C.76米 D.85米
D
【解析】cos 37°=≈,cos 48°=≈.
在Rt△CDE中,CD=CE×=63×=27(米).
在△ACD中,∠CAD=48°-37°,∠ADC=37°+90°,
由正弦定理得=,
所以AC==,
在Rt△ABC中,AB=AC·sin 48°=
=≈≈85(米).
角度2 立体图形中求高度
[典例3]鄂州十景之一“二宝塔”中的文星塔为八角五层楼阁式砖木混合结构塔.现在在塔底共线三点A,B,C处分别测得塔顶的仰角为30°,45°,60°,且AB=BC=
m,则文星塔高为 ( )
A.20 m B. m
C. m D.30 m
B
【解析】如图所示.
设文星塔的高为PO=h,则PA==2h,PB==h,PC==h,
由余弦定理可得cos∠PBA==,
cos∠PBC==,
因为∠PBA+∠PBC=π,
故cos∠PBA+cos∠PBC=cos∠PBA+cos(π-∠PBA)=0,
即+=0,可得h=AB=×=(m).
【方法提炼】
测量高度问题的求解策略
(1)理解仰角、俯角、方向(位)角是关键.
(2)在实际问题中,若遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形.
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题.
【对点训练】
1.如图,在离地面高100 m的热气球M上,观测到山顶C处的仰角为15°,山脚A处的俯角为45°,已知∠BAC=60°,则山的高度BC为 m.
答案:150
【解析】设D为M在地面上的投影,依题意可知△AMD是等腰直角三角形,所以AM=100 m,
∠AMC=60°,∠MAC=180°-45°-60°=75°,∠ACM=180°-60°-75°=45°,
由正弦定理得=,AC=·sin 60°,
所以BC=AC·sin 60°=·sin260°=×=150(m).
2.(2022·西安模拟)飞行员高超的飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析.一次飞行训练中,地面观测站观测到一架直升机以72 km/h的速度在同一高度向正东飞行,如图,第一次观测到该飞机在北偏西60°的方向上,1 min后第二次观测到该飞机在北偏东75°的方向上,仰角为30°,则直升机飞行的高度为
km.(结果保留根号)
【解析】如图,过点O作AB的垂线,垂足为E.
由题意知∠EOA=60°,∠EOB=75°,∠COB=30°,AB==.
设OE=x,则AE=xtan∠EOA=x,BE=xtan∠EOB=xtan(45°+30°)=(2+)x,
所以AB=AE+BE=(2+2)x=,解得x=,
所以OB===×=,所以BC=OBtan∠COB=×=,即直升机飞行的高度为 km.
【加练备选】
“大玉米”是郑州新地标,被称为“中原第一高楼”,它是圆柱塔式建筑,夜晚其布景灯采用黄色设计,外形宛如一根“大玉米”.某人在地面上点C处测得塔底B在南偏西70°,楼顶A的仰角为45°,此人沿南偏东50°方向前进280m到点D,测得楼顶A的仰角为30°,按照此人的测量进行估算,则“大玉米”的高约为 ( )
A.280 m B.150 m
C.290 m D.170 m
A
【解析】如图所示,AB⊥平面BCD,
其中∠ACB=45°,∠ADB=30°,∠BCE=70°,∠DCE=50°,
设塔高AB=x m,则BC=x m,BD=x m,在△BCD中,
由余弦定理得(x)2=x2+2802-2x·280cos 120°,
整理得:x2-140x-140×280=0,
解得x=280或x=-140(舍去),所以“大玉米”的高约为280 m.
【题型三】测量角度问题
[典例4](2023·大连模拟)如图所示,遥感卫星发现海面上有三个小岛,小岛B位于小岛A北偏东75°距离60海里处,小岛B北偏东15°距离(30-30)海里处有一个小岛C.
(1)求小岛A到小岛C的距离;
(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛C,求游船航行的方向.
【解析】(1)在△ABC中,AB=60,BC=30-30,∠ABC=180°-75°+15°=120°,
根据余弦定理得:AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=602+(30-30)2-2×60× (30-30)·cos 120°=5 400,所以AC=30.
所以小岛A到小岛C的距离是30海里.
(2)根据正弦定理得:=,所以=,解得sin∠ACB=,
在△ABC中,因为AB所以∠CAB=180°-120°-45°=15°.
由75°-15°=60°得游船应该沿北偏东60°的方向航行,
答:游船应该沿北偏东60°的方向航行.
【方法提炼】
测量角度问题的求解策略
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解.
提醒确定方向角时,必须先弄清楚是哪一个点的方向角.
【对点训练】
在海岸A处,发现北偏东45°方向,距离A处(-1)n mile的B处有一艘走私船,在
A处北偏西75°的方向,距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船.此时,走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜,问缉私船沿什么方向航行能最快追上走私船
【解析】设缉私船用t h在D处追上走私船,画出示意图,则有CD=10t,BD=10t,
在△ABC中,因为AB=-1,AC=2,∠BAC=120°,
所以由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=
(-1)2+22-2×(-1)×2×cos 120°=6,
所以BC=,且sin∠ABC=·sin∠BAC=×=,
所以∠ABC=45°,BC与正北方向成90°角.∠CBD=90°+30°=120°,
在△BCD中,由正弦定理得sin∠BCD===,
所以∠BCD=30°.即缉私船沿北偏东60°方向航行能最快追上走私船.
【加练备选】
如图,一条巡逻船由南向北行驶,在A处测得山顶P在北偏东15°(∠BAC=15°)方向上,匀速向北航行20分钟到达B处,测得山顶P位于北偏东60°方向上,此时测得山顶P的仰角为60°,若山高为2千米,
(1)船的航行速度是每小时多少千米
(2)若该船继续航行10分钟到达D处,
问此时山顶P位于D处的南偏东什么方向
【解析】(1)在△BCP中,tan∠PBC= BC=2,
在△ABC中,由正弦定理得= =,
所以AB=2(+1),
故船的航行速度是每小时6(+1)千米.
(2)在△BCD中,由余弦定理得CD=,
在△BCD中,由正弦定理得= sin∠CDB=,
所以山顶P位于D处南偏东45°方向.(共50张PPT)
第五节 复数
课程标准
1.通过方程的解,认识复数.
2.理解复数的代数表示及其几何意义,理解两个复数相等的含义.
3.掌握复数代数表示式的四则运算,了解复数加、减运算的几何意义.
知识梳理·思维激活
【必备知识】精归纳
1.复数的有关概念
(1)定义:形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,复数通常用字母z
表示,即z=a+bi(a,b∈R),a叫做复数z的__________,b叫做复数z的__________.
(2)分类:
①复数
z=a+bi(a,b∈R)
实部
虚部
点睛一个复数为纯虚数,不仅要求实部为0,还要求虚部不为0.
②复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
(3)复数相等:a+bi=c+di ______________(a,b,c,d∈R).
点睛两个不全为实数的复数不能比较大小.
(4)共轭复数:a+bi与c+di共轭 _____________(a,b,c,d∈R).
a=c且b=d
a=c,b=-d
2.复数的几何意义
(1)复平面
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做__________,y轴叫
做__________.实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.
(2)复数的两种几何意义
①z=a+bi(a,b∈R) 复平面内的点Z(a,b).
②z=a+bi(a,b∈R) 平面向量 .
(3)复数的模
向量 的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=
____________(a,b∈R).
实轴
虚轴
3.复数的运算
(1)运算法则:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).
(2)运算律
条件 任意z1,z2,z3∈C
加法 z1+z2=______;(z1+z2)+z3=__________
乘法 z1z2=_____;(z1z2)z3=________;z1(z2+z3)=_________
【常用结论】
1.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*).
2.z·=|z|2=||2,|z1·z2|=|z1|·|z2|,||=,|zn|=|z|n.
z2+z1
z1+(z2+z3)
z2z1
z1(z2z3)
z1z2+z1z3
【基础小题】固根基
教材改编 结论应用 易错易混
4,6 2,3 1,5
1.(忽视虚数不能比较大小)已知z1,z2为复数.若命题p:z1-z2>0,命题q:z1>z2,则p是q成立的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】因为z1,z2为复数.若z1-z2>0成立,根据虚数不可以比较大小可得z1,z2为实数或虚部相等的两个复数,无法直接得到z1>z2;若z1>z2成立,则z1,z2为实数,可得
z1-z2>0成立,故p是q的必要不充分条件.
B
2.(结论1)已知i是虚数单位,则复数z=i2 023+i(i-1)在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】因为z=i2 023+i(i-1)=-i-1-i=-1-2i,
所以复数z在复平面内对应的点是(-1,-2),位于第三象限.
C
3.(结论2)(多选题)设z1,z2是复数,则下列命题中的真命题是 ( )
A.若|z1-z2|=0,则= B.若z1=,则=z2
C.若|z1|=|z2|,则z1·=z2· D.若|z1|=|z2|,则=
ABC
4.(教材变式)如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是 , ,
则z1·z2= .
答案:-4-3i
【解析】z1=-2+i,z2=1+2i,z1·z2=(-2+i)(1+2i)=-4-3i.
5.(弄错纯虚数的概念)i为虚数单位,若复数(1+mi)(i+2)是纯虚数,则实数m等于 .
答案:2
【解析】因为(1+mi)(i+2)=2-m+(1+2m)i是纯虚数,所以2-m=0,且1+2m≠0,解得m=2.
6.(教材变式)已知(1+2i)=4+3i,则z= .
【题型一】复数的有关概念
[典例1](1)(2023·郴州模拟)以2i-的虚部为实部,以i+2i2的实部为虚部的新复数是 ( )
A.2-2i B.2+i
C.-+i D.+i
核心题型·分类突破
A
(2)(2022·全国乙卷)已知z=1-2i,且z+a+b=0,其中a,b为实数,则 ( )
A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2
C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-2
A
(3)已知a∈R,若(i为虚数单位)是实数,则a= ( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
B
(4)(2022·常州模拟)若z1,z2为复数,则“z1-z2是纯虚数”是“z1,z2互为共轭复数”
的 ( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】先验证充分性:令z1=4i,z2=2i满足z1-z2是纯虚数,但是不满足z1,z2互为共轭复数,所以充分性不成立;再验证必要性:令z1=z2=1,满足z1,z2互为共轭复数,但是不满足z1-z2是纯虚数,所以必要性不成立,所以“z1-z2是纯虚数”是“z1,z2互为共轭复数”的既不充分也不必要条件.
D
【方法提炼】——自主完善,老师指导
解决复数概念问题的常用方法
(1)求一个复数的实部与虚部,只需将已知的复数化为代数形式z=a+bi(a,b∈R),
则该复数的实部为___,虚部为___.
(2)复数是实数的条件:①z=a+bi∈R _____(a,b∈R);②z∈R z=;③z∈R _____.
(3)复数是纯虚数的条件:①z=a+bi是纯虚数 __________(a,b∈R);②z是纯虚数
z+=0(z≠0);③z是纯虚数 z2___0.
(4)复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为=_____,则____=|z|2=||2,即|z|=||=,
若z∈R,则=z.
a
b
b=0
z2≥0
a=0且b≠0
a-bi
<
【对点训练】
1.如果复数(b∈R)的实部与虚部相等,那么b= ( )
A.-2 B.1 C.2 D.4
A
2.(2023·济南模拟)复数z=2-i5(其中i为虚数单位)的共轭复数为 ( )
A.2-i B.2+i
C.1 D.3
B
3.(2022·南通模拟)已知复数z与(z+2)2+8i都是纯虚数,则z= ( )
A.2 B.-2 C.2i D.-2i
C
4.下列命题中,正确的命题的个数是 ( )
①若x,y∈C,则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1;
②若a,b∈R,且a>b,则a+i>b+i;
③若x2+y2=0,则x=y=0.
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】对于①,由于x,y∈C,所以x,y不一定是x+yi的实部和虚部,故①错误;
对于②,由于两个虚数不能比较大小,故②错误;
对于③,如12+i2=0,但1≠0,i≠0,故③错误.
A
【加练备选】
1.(2020·全国卷Ⅲ)复数的虚部是 ( )
A.- B.- C. D.
D
2.如果复数是纯虚数,那么实数m等于 ( )
A.-1 B.0
C.0或1 D.0或-1
D
【题型二】复数的四则运算
角度1 求复数的值
[典例2](1)(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1-z)=1,则z+= ( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
D
(2)(2022·长沙模拟)已知复数z1=-+i,z2=,则= .
【一题多变】
[变式1]将本例(2)条件“z1=-+i”改为“z1=--i”,其他条件不变,结果如何
[变式2]本例(2)条件不变,计算和,你能发现什么规律
角度2 与复数的模有关的计算问题
[典例3](1)(2022·全国甲卷)若z=1+i.则|iz+3|= ( )
A.4 B.4 C.2 D.2
D
(2)(2023·铁岭模拟)已知复数z=cos 67.5°+isin 67.5°,则= ( )
A.--i B.-+i C.-i D.1
A
【方法提炼】——自主完善,老师指导
1.复数四则运算问题的解题策略
复数的 加减法 在进行复数的加减法运算时,可类比合并同类项,运用法则(实部与
______相加减,虚部与______相加减)计算即可
复数的 乘法 复数的乘法类似于多项式的乘法,可将含有虚数单位i的看作一类
同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可
复数的 除法 除法的关键是分子分母同乘以分母的__________,解题中要注意把i的
幂写成最简形式,这里的分母实数化可类比分母含根式的分母有理化
实部
虚部
共轭复数
提醒记住以下结论,可提高运算速度.
①(1±i)2=_____;②=__;③=___;④=_____.
2.解与复数的模有关的计算问题的两个方法
(1)根据复数的模的公式|a+bi|=________(a,b∈R)直接计算得解;
(2)利用模的性质|z|2=||2=____求解.
±2i
i
-i
b-ai
【对点训练】
1.(2022·长沙模拟)已知i是虚数单位,若复数z满足z(1-i)=(1+i)2,则|z|= ( )
A.1 B. C.2 D.
B
2.欧拉公式eix=cos x+isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系.根据欧拉公式可知,表示的复数的实部与虚部的和是 ( )
A.- B.0 C. D.
B
【加练备选】
1.(2021·全国甲卷)已知(1-i)2z=3+2i,则z= ( )
A.-1-i B.-1+i
C.-+i D.--i
B
2.(2020·全国卷Ⅰ)若z=1+i,则|z2-2z|= ( )
A.0 B.1 C. D.2
D
【题型三】复数的几何意义
[典例4](1)(2022·重庆模拟)复数z=(i为虚数单位)在复平面内对应的点位
于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
A
(2)(多选题)(2022·襄阳模拟)18世纪末期,挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数,使复数及其运算具有了几何意义,例如|z|=|OZ|,也即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距离.下列说法正确的是 ( )
A.若|z|=1,则z=±1或z=±i
B.复数6+5i与-3+4i分别对应向量 与 ,则向量 对应的复数为9+i
C.若点Z的坐标为(-1,1),则对应的点在第三象限
D.若复数z满足1≤|z|≤,则复数z对应的点所构成的图形面积为π
BCD
【方法提炼】
复数几何意义的解题策略
(1)已知复数对应点的位置求参数范围,可依据点所在位置建立不等式求解.
(2)已知复数对应的点进行运算时,可建立方程求解.
(3)研究复数模的问题,可利用数形结合法,考虑模的几何意义求解.
(4)若复数z=x+yi(x,y∈R),则|z|=r,点Z在以(0,0)为圆心,r为半径的圆上.
【对点训练】
1.(2023·岳阳模拟)已知复数z满足z(1+i)=2i,则复数z在复平面内对应点所在象限是 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
A
B
【加练备选】
1.如图所示,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B对应的复数分别是z1,z2,则||= .
答案:5
2.若i为虚数单位,复数z满足|z|≤1,则|z-(1+i)|的最大值为 ( )
A.-1 B.
C.+1 D.2
C
【备选题型】复数与方程
[典例]已知x=-1+i是方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的一个根.
(1)求实数a,b的值;
(2)结合根与系数的关系,猜测方程的另一个根,并给予证明.
【解析】(1)把x=-1+i代入方程x2+ax+b=0,得(-a+b)+(a-2)i=0,
所以解得
(2)由(1)知方程为x2+2x+2=0.
设另一个根为x2,由根与系数的关系,
得-1+i+x2=-2,
所以x2=-1-i.
把x2=-1-i代入方程x2+2x+2=0,
则左边=(-1-i)2+2(-1-i)+2=0=右边,
所以x2=-1-i是方程的另一个根.
【方法提炼】
(1)对实系数二次方程来说,求根公式、根与系数的关系、判别式的功能没有变化,仍然适用.
(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程,判别式判断根的功能失去了,其他仍适用.
【对点训练】
在复数集内解方程x2-ix+i-1=0.(共50张PPT)
第六章 平面向量、复数
第一节 平面向量的概念及其线性运算
【课程标准】
1.通过对力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背景,理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.
2.理解平面向量的几何表示和基本要素.
3.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加、减运算及运算规则,理解其几何意义.
4.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算规则,理解其几何意义.理解两个平面向量共线的含义.
5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
知识梳理·思维激活
【必备知识 精归纳】
1.平面向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有大小又有方向的量;向量的大小称为向量的长度(模) 向量由方向和长度确定,不受位置影响
零向 量 长度为0的向量 记作0,其方向是______的
单位 向量 长度等于_____________的向量
任意
1个单位长度
名称 定义 备注
平行向量 (共线向量) 方向_____________的非零向量 0与任意向量平行(共线)
相等向量 长度相等且方向相同的向量 相等向量一定是平行向量,平行向量不一定是相等向量
相反向量 长度相等且方向相反的向量 若非零向量a ,b 互为相反向量,则a=-b
点睛 (1)向量不能比较大小;(2)表示平行向量(共线向量)的有向线段所在直线平行或重合.
相同或相反
2.向量的线性运算
定义 法则(或几何意义) 运算律
加法:求两个向量和的运算 (1)交换律:a+b= _____
(2)结合律:(a+b)+c=________
减法:求两个向量差的运算.向量a加上b的相反向量,叫做a与b的差 a-b=a+(-b)
b+a
a+(b+c)
定义 法则(或几何意义) 运算律
数乘:求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|=_____ ; (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向______; 当λ<0时,λa的方向与a的方向______; 当λ=0时,λa=0 λ(μa)= ______;
(λ+μ)a=_______;
λ(a+b)=______
(λ,μ为实数)
点睛 三角形法则适用于任意两个非零向量求和,平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和.
|λ||a|
相同
相反
(λμ)a
λa+μa
λa+λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使______.
【常用结论】
1.若F为线段AB的中点,O为平面内任意一点,则 =( + );
2.对于任意两个向量a,b,都有||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
b=λa
【基础小题 固根基】
教材改编 结论应用 易错易混
4,6 2,5 1,3
1.(向量有关概念理解错误)下列关于向量的结论,其中正确的为( )
A.若|a|=|b|,则a=b或a=-b
B.非零向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反
C.向量 与向量 是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上
D.若向量a与b同向,且|a|=|b|,则a>b
【解析】若|a|=|b|,但a,b方向不能确定,选项A错误;非零向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反,选项B正确;共线向量所在的直线可以重合,也可以平行,则A,B,C,D四点不一定在一条直线上,选项C错误;向量不能比较大小,选项D错误.
B
D
5.(结论2)设|a|=8,|b|=12,则|a+b|的最大值与最小值分别为 , .
答案:20 4
【解析】当a,b共线同向时,|a+b|=|a|+|b|=8+12=20,
当a,b共线反向时,|a+b|=||a|-|b||=4.当a,b不共线时,||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|,
即4<|a+b|<20,综上可知,4≤|a+b|≤20,所以最大值为20,最小值为4.
6.(教材提升)已知a与b是两个不共线的向量,且向量a+λb与-(b-3a)共线,则λ= .
题型一 平面向量的有关概念
[典例1](1) 下列四个命题中正确的有 ( )
A. 若a和b都是单位向量,则a=b
B.“向量a=b ”的充要条件是“= 且a∥b ”
C.在平行四边形ABCD 中,一定有 =
D.若a为平面内的某个向量,a0为单位向量,则a=|a|a0
核心题型·分类突破
C
(2)(2022·合肥模拟)设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使=成立的充分条件
是( )
A.a=-b B.a∥b
C.a=2b D.a∥b且|a|=|b|
C
答案:①a和d,e和b ②a和d,b和e ③a,c,d
【解析】①a∥d,e∥b,故a和d,e和b是共线向量;②a和d,b和e是方向相反的向量;③由勾股定理可得,模相等的向量有a,c,d.
【对点训练】
1.(多选题)(2022·威海模拟)下列说法正确的是( )
A.“非零向量a与b同向”是“a=b”的必要不充分条件
B.若 与 共线,则A,B,C三点在同一条直线上
C.a与b是非零向量,若a与b同向,则a与-b反向
D.设λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线
ABC
【解析】根据向量的有关概念可知A,B,C正确,对于D,当λ=μ=0时,a与b不一定共线,故D错误.
A
【加练备选】
1.设a,b为非零向量,则“a∥b”是“a与b方向相同”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】因为a,b为非零向量,所以a∥b时,a与b方向相同或相反,
因此“a∥b”是“a与b方向相同”的必要不充分条件.
B
2.给出下列命题:
①零向量是唯一没有方向的向量;
②零向量的长度等于0;
③若a,b都为非零向量,则使+=0成立的条件是a与b反向共线.
其中错误的命题的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
B
A
D
B
【方法提炼】——自主完善,老师指导
1.平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的:可直接运用相应运算法则求解;
(2)含图形的:将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用______向量、______
向量以及三角形的中位线、平行四边形的性质等,把未知向量用已知向量表示出
来求解.
2.利用平面向量的线性运算求参数的一般思路
(1)没有图形的准确作出图形,确定每一个点的位置;
(2)利用____________法则或________法则进行转化,转化为要求的向量形式;
(3)比较、观察可知所求.
相等
相反
平行四边形
三角形
B
D
C
ACD
【方法提炼】——自主完善,老师指导
利用向量共线定理解题的策略
(1)a∥b a=λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思
想的运用;
(2)当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线,即_______三点共线 ,
共线;
(3)若a与b不共线且λa=μb,则_______;
(4) =λ +μ (λ,μ为实数),若A,B,C三点共线,则_______.
A,B,C
λ=μ=0
λ+μ=1
C
【加练备选】
1.(多选题)已知向量a,b不共线,且c=λa+b,d=a+(2λ-1)b,若c与d共线,则实数λ的值
为 ( )
A.1 B.- C.-1 D.
AB