(共70张PPT)
第二节 函数的基本性质
第1课时 函数的单调性与最值
【课程标准】
借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值,理解它们的作用和实际意义.
知识梳理·思维激活
【必备知识·精归纳】
1.函数的单调性
(1)增函数与减函数
增函数 减函数
定义 一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间D I,如果 x1,x2∈D 当x1
f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上__________.特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是_______
单调递增
增函数
单调递减
减函数
增函数 减函数
图象描述 自左向右看图象是________
自左向右看图象是________
上升的
下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y=f(x)在区间D上______________或______________,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,___________叫做函数y=f(x)的单调区间.
点睛有多个单调区间时应分开写,不能用符号“∪”连接,也不能用“或”连接,只能用“,”或“和”连接.
单调递增
单调递减
区间D
2.函数的最值
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
(1) x∈I,都有___________,
(2) x0∈I,使得____________,那么称M是函数y=f(x)的最大值;类比定义可得y=f(x)的最小值.
点睛(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到;
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.
f(x)≤M
f(x0)=M
【常用结论】
1.若f(x),g(x)均在某区间上单调递增(减),则f(x)+g(x)在该区间上单调递增(减).
2.函数y=f(x)在某一单调区间上的单调性与y=-f(x),y=(f(x)≠0)的单调性相反.
3.复合函数的单调性:函数y=f(u),u=φ(x)在函数y=f(φ(x))的定义域上,如果y=f(u)与u=φ(x)的单调性相同,那么y=f(φ(x))单调递增;如果y=f(u)与u=φ(x)的单调性相反,那么y=f(φ(x))单调递减.
4.若函数f(x)在闭区间[a,b]上单调递减,则f(x)的最大值为f(a),最小值为f(b),值域为[f(b),f(a)].
【基础小题·固根基】
1.(教材变式)函数y=在区间[2,3]上的最大值是( )
A.1 B.2 C. D.
教材改编 结论应用 易错易混
1,4 2,3 5,6
B
2.(结论2)设函数f(x)在R上为增函数,则下列结论一定正确的是( )
A.y=在R上为减函数
B.y=|f(x)|在R上为增函数
C.y=-在R上为增函数
D.y=-f(x)在R上为减函数
D
3.(结论3)函数f(x)=log2(x2-4)的单调递增区间为 .
4.(教材提升)函数f(x)=在区间[a,b]上的最大值是1,最小值是,则a+b= .
5.(混淆“单调区间”与“在区间上单调”)若函数f(x)=x2-2mx+1在[2,+∞)上单调递增,则实数m的取值范围是 .
6.(忽视函数的定义域)已知函数y=f(x)是定义在[-2,2]上的减函数,且f(a+1)【题型一】求函数的单调区间
[典例1](1)若函数f(x)=ax+1在R上是减函数,则函数g(x)=a(x2-4x+3)的单调递增区间是( )
A.(2,+∞) B.(-∞,2)
C.(4,+∞) D.(-∞,4)
核心题型·分类突破
B
(2)函数f(x)=|x2-3x+2|的单调递增区间是 .
(3)函数f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是 .
(4)金榜原创·易错对对碰
①函数y=的单调递减区间是 .
②函数y=的单调递减区间是 .
【方法提炼】
求函数的单调区间的方法
(1)图象法:如果f(x)是以图象给出的,或者f(x)的图象易作出,可由函数图象直观地写出它的单调区间.
(2)复合函数法:①求函数的定义域;②求简单函数的单调区间;③求复合函数的单调区间,依据是“同增异减”.
【对点训练】
1.(2023·南阳模拟)函数f(x)=x|x-2|的单调递减区间是( )
A.[1,2] B.[-1,0]
C.(0,2] D.[2,+∞)
A
2.设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的单调递减区间是 .
3.函数y=的单调递增区间为 ,单调递减区间为 .
【解析】令u=x2+x-6,
则y=可以看作是由y=与u=x2+x-6复合而成的函数.
令u=x2+x-6≥0,得x≤-3或x≥2.
易知u=x2+x-6在(-∞,-3]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,而y=在[0,+∞)上是增函数,
所以y=的单调递减区间为(-∞,-3],单调递增区间为[2,+∞).
【加练备选】
函数f(x)=的单调递减区间为 ,单调递增区间为 .
【题型二】判断函数单调性
[典例2](1)(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为( )
A.f(x)=-x B.f(x)=
C.f(x)=x2 D.f(x)=
D
(2)试讨论函数f(x)=(a≠0)在(-1,1)上的单调性.
方法二(导数法):
f'(x)==-.
当a>0时,f'(x)<0,函数f(x)在(-1,1)上单调递减;
当a<0时,f'(x)>0,函数f(x)在(-1,1)上单调递增.
【方法提炼】——自主完善,老师指导
判断函数单调性常用的方法
(1)定义法:一般步骤为取值→______→______→__________→得出结论.
(2)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,则可由图象的
______或______确定单调性.
(3)导数法:先求导数,利用导数值的______确定函数的单调性(或单调区间).
作差
变形
判断符号
上升
下降
正负
【对点训练】
1.(多选题)下列函数在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A.y=- B.y=x
C.y=x2 D.y=()x
ABC
2.判断并证明函数f(x)=ax2+(其中1方法二(导数法):
由f'(x)=2ax-=,
因为10,可得
f'(x)>0,所以f(x)在[1,2]上单调递增.
【加练备选】
1.下列函数中,满足“ x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0”的是( )
A.f(x)=2x B.f(x)=|x-1|
C.f(x)=-x D.f(x)=ln(x+1)
C
2.设函数f(x)=-2x,证明:函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减.
方法二:对f(x)=-2x求导,
得f'(x)=·-2=-2,
因为x≥0,所以0≤<1,所以f'(x)<0.
故f(x)在[0,+∞)上单调递减.
【题型三】函数单调性的应用
角度1 比较大小问题
[典例3](2023·济宁模拟)设函数f(x)定义在实数集上,它的图象关于直线x=1对称,且当x≥1时,f(x)=3x-1,则( )
A.f()B.f()C.f()D.f()B
【解析】由题设知,当x<1时,f(x)单调递减;当x≥1时,f(x)单调递增,而x=1为对称轴,所以f()=f(1+)=f(1-)=f(),又<<<1,
所以f()>f()>f(),
即f()角度2 解不等式问题
[典例4]已知函数f(x)为定义在[0,1]上的单调递减函数,若f(x+2)≤f(x2),则x的取值范围是( )
A.[1-,1+] B.[1-,-1]
C.[-2,1+] D.[-,-1]
B
角度3 利用函数单调性求最值问题
[典例5](1)函数f(x)=()x-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为 .
(2)已知函数f(x)=则f(x)的最小值是 .
角度4 利用单调性求参数值(范围)问题
[典例6](1)金榜原创·易错对对碰
①函数f(x)=x2+2(a-1)x+2的单调递减区间是(-∞,4],则实数a的值为 .
答案:-3
②函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上单调递减,则实数a的取值范围为 .
答案:
【解析】①函数f(x)图象的对称轴为直线x=1-a,由1-a=4,得a=-3.
②函数f(x)在区间(-∞,4]上单调递减,所以1-a≥4,解得a≤-3.
实数a的取值范围为.
(2)已知f(x)=是(-∞,+∞)上的减函数,那么a的取值范围是( )
A.(0,1) B. (0,)
C. D.
C
【一题多变】
若本例(2)中条件变为“f(x)=
在(-∞,+∞)上是增函数”,求a的取值范围.
【方法提炼】
(1)比较大小:将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决.
(2)解不等式:往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时,应特别注意函数的定义域.
(3)求最值:利用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法,特别是当函数图象不易作出时.
(4)求参数:通常要把参数视为已知数,依据函数的图象或单调性的定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数.解决分段函数的单调性问题,要注意上、下段端点值的大小关系.
【对点训练】
1.已知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒成立,设a=f(-),b=f(2),c=f(e),则a,b,c的大小关系为( )
A.c>a>b B.c>b>a
C.a>c>b D.b>a>c
D
2.设函数f(x)=若函数y=f(x)在区间(a,a+1)上单调递增,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,1]
B.[1,4]
C.[4,+∞)
D.(-∞,1]∪[4,+∞)
D
【解析】作出函数f(x)的图象如图所示,
由图象可知f(x)在(a,a+1)上单调递增,需满足a≥4或a+1≤2,即a≤1或a≥4.
3.已知函数f(x)=-x|x|,x∈(-1,1),则不等式f(1-m)4.对于任意实数a,b,定义min{a,b}=设函数f(x)=-x+3,g(x)=log2x,则函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是 .
答案:1
【解析】方法一:在同一直角坐标系中,作出函数f(x),g(x)的图象,依题意,h(x)的图象如图所示.
易知点A(2,1)为图象的最高点,
因此h(x)的最大值为h(2)=1.
方法二:依题意,知h(x)=
当0当x>2时,h(x)=3-x是单调递减的,
所以h(x)在x=2处取得最大值h(2)=1.
【加练备选】
1.设函数f(x)=在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M,m,则=
( )
A. B. C. D.
D
2.已知函数y=lo(6-ax+x2)在[1,2]上是单调递增的,则实数a的取值范围为 .
【思维导图·构网络】
解题方法拓广角度 求函数的值域
微点拨掌握常见函数的值域是关键,如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数等.
一、直接法
对于较简单的函数,直接观察确定函数的值域.
[典例1](1)函数y=4-的值域为 .
答案:[2,4]
【解析】由3+2x-x2≥0得,-1≤x≤3,
y=4-=4-,
而0≤4-(x-1)2≤4 ,
所以0≤≤2,
即4-2≤4-≤4-0 ,
即2≤y≤4 ,故值域为[2,4].
(2)函数y=的值域为 .
二、换元法
(1)两类换元:代数换元和三角换元,可将复杂函数通过换元法转化为常见函数,结合图象或单调性求值域;
(2)一个注意:三角换元时,注意元的取值范围,在不改变x的取值范围的前提下,尽可能缩小x的取值范围,选择在区间内单调的函数,可以避免不必要的讨论.
[典例2](1)函数y=4x+2x-1+3的值域为 .
(2)(代数换元)函数y=x+的值域为 .
(3)(三角换元)函数y=x-的值域为 .
三、分离常数法与反解法
形如y=(c≠0)的函数
(1)分离常数法:
y==+
(2)反解法:可以由y=,得出
f(x)=h(y),由h(y)有意义得出y的范围,或由f(x)的范围求函数的值域.
[典例3](1)函数y=的值域为 .
(2)函数y=的值域为 .
四、判别式法
(1)分式函数分子分母的最高次幂为二次时,可整理成关于x的二次方程,方程有解,判别式大于等于0,即解得y的取值范围,得到值域;
(2)适用于函数的定义域为R的情况.
[典例4]函数y=的值域为 .
五、不等式法
运用基本不等式及其变形公式求值域:
a2+b2≥2ab(a,b∈R),≥(a≥0,b≥0),
ab≤()2≤(a,b∈R).
[典例5]函数y=(x>1)的值域为 .
六、配方法
二次函数或换元后为二次函数型的函数,可采用配方法.
[典例6](1)函数y=x2-2x+3,x∈[0,3) 的值域为 .
(2)已知函数f(x)=2+log3x(1≤x≤9),求函数g(x)=(f(x))2+f(x2)的最值.
七、单调性法
函数为一般函数或者复合函数,先确定函数的单调性,再求函数的值域.
[典例7](1)函数y=x+,x∈[1,2]的值域为 .
(2)函数y=的值域为 .
八、导数法
先求导数确定单调性,再求值域.
[典例8]函数y=,x∈[-1,-]的值域为 .(共72张PPT)
第二节 函数的基本性质
第2课时 函数的奇偶性与周期性
【课程标准】
1.了解函数奇偶性的概念和几何意义.
2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性.
3.了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.
知识梳理·思维激活
【必备知识·精归纳】
1.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象
偶函数 一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果 x∈I,都有-x∈I,且_________,那么函数f(x)就叫做偶函数 关于____对称
奇函数 一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果 x∈I,都有-x∈I,且__________,那么函数f(x)就叫做奇函数 关于__________对称
f(-x)=f(x)
y轴
f(-x)=-f(x)
坐标原点
点睛奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称,函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提.
函数的奇偶性1
函数的奇偶性2
2.函数的周期性
(1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈I都有x+T∈I,且f(x+T)=_________,那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数_______叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个__________的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期(若不特别说明,T一般都是指最小正周期).
点睛存在一个非零常数T,使f(x+T)=f(x)为恒等式,即自变量x每增加一个T后,函数值就会重复出现一次.
f(x)
T
最小
【常用结论】
函数奇偶性的常用结论
1.如果函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=0;
2.如果函数f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x)=f(|x|).
3.如果函数f(x)是定义在区间D上的奇函数,则对任意的x∈D,都有f(x)+f(-x)=0.特别地,若奇函数f(x)在D上有最值,则f(x)max+f(x)min=0.
【基础小题·固根基】
1.(教材变式)下列函数中为偶函数的是( )
A.f(x)=x2sin x B.f(x)=x2cos x
C.f(x)=|ln x| D.f(x)=2-x
教材改编 结论应用 易错易混
1,3 2,5,6 4
B
2.(结论2)设偶函数f(x)满足f(x)=x3-8(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=( )
A.{x|x<-2或x>4} B.{x|x<0或x>4}
C.{x|x<0或x>6} D.{x|x<-2或x>2}
B
3.(教材提升)已知f(x)是定义域为R的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x-1,若f(x0)>-1,则x0的取值范围是( )
A.(-2,+∞) B.(-∞,-2)
C.(-1,+∞) D.(-∞,-1)
C
4.(忽略奇偶函数定义域关于原点对称)已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是( )
A.- B. C. D.-
B
5.(结论1)已知函数f(x)=a-(a∈R)是奇函数,则a= .
6.(结论3)设函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m= .
【题型一】函数奇偶性的判断及应用
角度1 函数奇偶性的判断
[典例1]判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=x3+x,x∈[-1,4];
(2)f(x)=+;
(3)f(x)=x-sin x;
(4)f(x)=(x-1),x∈(-1,1);
(5)f(x)=
核心题型·分类突破
【解析】(1)因为f(x)=x3+x,x∈[-1,4]的定义域不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(2)f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称.
又f(-1)=f(1)=0,f(-1)=-f(1)=0,所以f(x)既是奇函数又是偶函数.
(3)因为x∈R,f(-x)=-x-sin(-x)=-x+sin x=-f(x),所以f(x)为奇函数.
(4)已知f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称.
因为f(x)=(x-1)=-,
所以f(-x)=-=f(x).
所以f(x)是偶函数.
(5)方法一(定义法):易知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,当x>0时,f(x)=x2-x,则当x<0时,-x>0,故f(-x)=x2+x=f(x);当x<0时,f(x)=x2+x,则当x>0时,-x<0,故f(-x)=x2-x=f(x),故原函数是偶函数.
方法二(图象法):函数f(x)=的图象如图所示,图象关于y轴对称,故f(x)为偶函数.
方法三(性质法):f(x)还可以写成f(x)=x2-|x|(x≠0),故f(x)为偶函数.
【方法提炼】——自主完善,老师指导
判断函数的奇偶性的方法
(1)定义法:若函数的定义域不是关于原点对称的区间,则可立即判断该函数_____
______________________;若函数的定义域是关于原点对称的区间,再判断f(-x)是否等于______.
(2)图象法:奇(偶)函数的充要条件是它的图象__________________.
(3)性质法:偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数的和、差为________;奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为___________;一个奇函数与一个偶函数的积为________.(注:利用上述结论时要注意各函数的定义域)
既不
是奇函数也不是偶函数
±f(x)
关于原点(y轴)对称
奇函数
奇(偶)函数
奇函数
角度2 函数奇偶性的应用
[典例2](1)(2022·贵阳模拟)函数f(x)=(x-1)2可以表示为奇函数h(x)与偶函数g(x)的和,则g(1)等于( )
A.-2 B.0 C.1 D.2
D
(2)设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-1,则当x<0时,f(x)=( )
A.e-x-1 B.e-x+1
C.-e-x-1 D.-e-x+1
D
(3)(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a= .
【方法提炼】
已知函数奇偶性可以解决的三个问题
(1)求函数值:将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.
(2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出.
(3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得参数的方程或方程组,进而得出参数的值.
【对点训练】
1.(多选题)(2022·武汉模拟)下列函数中,是偶函数的是( )
A.f(x)=xsin x
B.f(x)=xln x
C.f(x)=
D.f(x)=xln(-x)
AD
【解析】A中,f(x)=xsin x为偶函数.
D中,f(x)=xln(-x)是偶函数.
B中,函数f(x)=xln x的定义域为(0,+∞),为非奇非偶函数.
C中,f(x)的定义域为R,且f(-x)===-f(x),则f(x)=为奇函数.
2.(2022·岳阳模拟)设函数f(x)在(-∞,+∞)内有定义,下列函数必为奇函数的是( )
A.y=-|f(x)| B.y=xf(x2)
C.y=-f(-x) D.y=f(x)+f(-x)
B
3.(2022·唐山模拟)已知函数f(x)=为奇函数,则a=( )
A.-1 B.1 C.0 D.±1
A
4.(2022·全国乙卷)若f(x)=ln+b是奇函数,则a= ,b= .
【加练备选】
1.(多选题)设函数f(x)=,则下列结论正确的是( )
A.|f(x)|是偶函数
B.-f(x)是奇函数
C.f(x)|f(x)|是奇函数
D.f(|x|)f(x)是偶函数
ABC
2.(2022·肇庆模拟)已知函数f(x)=为奇函数,则a=( )
A.-1 B. C.- D.1
D
【题型二】函数的周期性及应用
[典例3](1)(2022·重庆模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意的实数x,f(x-2)=f(x+2),当x∈(0,2)时,f(x)=x2,则f()等于( )
A.- B.- C. D.
A
(2)(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,则f(k)=( )
A.-3 B.-2 C.0 D.1
A
(3)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)= .
【一题多变】
若本例(3)条件“f(x+4)=f(x-2)”变为“f(x)·f(x+3)=-1”,其他不变,则f(919)的值为 .
【方法提炼】
函数周期性有关问题的求解策略
(1)判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可得到函数是周期函数,且周期为T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题.
(2)根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间上的功能.
【对点训练】
1.(2022·泰安模拟)已知函数f(x)=则f(-2 023)= .
2.已知定义在R上的函数f(x)满足对任意x都有f(x+2)=且f(2)=2,则
f(2 024)= .
【加练备选】
1.函数f(x)的定义域为R,且对任意x∈R,都有f(x+1)=f(x-1),若在区间[-1,1]上f(x)=则f(2 022)+f(2 023)=( )
A.0 B.1 C.2 D.2 022
C
2.(2022·江南十校模拟)设f(x)是定义在R上周期为2的函数,当x∈(-1,1]时,
f(x)=其中m∈R.若f()=f(),则m的值是 .
【题型三】函数的对称性及应用
[典例4](1)(多选题)已知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,则下列结论成立的是( )
A.f(x+1)为偶函数
B.f(1+x)=f(1-x)
C.f(1+x)+f(1-x)=0
D.f(1)=0
AB
【解析】由于y=f(x)的图象关于直线x=1对称,则f(1+x)=f(1-x),所以f(x+1)为偶函数,故A,B选项正确,C选项错误;如f(x)=(x-1)2+1,函数f(x)的图象关于直线x=1对称,但f(1)=1≠0,故D选项错误.
(2)函数f(x)=lg|2x-1|图象的对称轴方程为 .
(3)已知函数y=f(x)-2为奇函数,g(x)=,且f(x)与g(x)图象的交点分别为(x1,y1),(x2,y2),…,(x6,y6),则y1+y2+…+y6= .
【一题多变】
在本例(3)中,把函数“y=f(x)-2”改为“y=f(x+1)-2”,把“g(x)=”改为“g(x)=”,其他不变,求x1+x2+…+x6+y1+y2+…+y6的值.
【方法提炼】
函数对称性问题的解题关键
(1)求解与函数的对称性有关的问题时,应根据题目特征和对称性的定义,求出函数的对称轴或对称中心.
(2)解决函数对称性有关的问题,一般结合函数图象,利用对称性解决求值或参数问题.
(3)①若f(a+x)=f(a-x),对称轴:x=a;
②若f(a+x)=f(b-x),对称轴:x=;
③若f(a+x)+f(a-x)=0,对称中心:(a,0);
④若f(a+x)+f(b-x)=c,对称中心:(,).
【对点训练】
1.函数f(x)的周期为6,且f(x+2)为偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=2x-1,则f(2 025)
=( )
A.-2 B.-1 C.0 D.1
D
2.(多选题)(2022·石家庄模拟)已知函数f(x)的定义域为R,对任意x都有f(2+x)=
f(2-x),且f(-x)=f(x),则下列结论正确的是( )
A.f(x)的图象关于直线x=2对称
B.f(x)的图象关于点(2,0)对称
C.f(x)的周期为4
D.y=f(x+4)为偶函数
ACD
【解析】因为f(2+x)=f(2-x),则f(x)的图象关于直线x=2对称,故A正确,B错误;
因为函数f(x)的图象关于直线x=2对称,则f(-x)=f(x+4),又f(-x)=f(x),
所以f(x+4)=f(x),所以T=4,故C正确;因为T=4且f(x)为偶函数,故y=f(x+4)为偶函数,故D正确.
【加练备选】
已知函数f(x)=x3-ax2+bx+1的图象关于点(0,1)对称,且f'(1)=4,则a-b= .
【题型四】函数性质的综合应用
角度1 单调性与奇偶性
[典例5](2020·新高考Ⅰ卷)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是( )
A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1]
C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3]
D
【解析】方法一:因为函数f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=0.又f(x)在
(-∞,0)上单调递减,且f(2)=0,画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示,则函数f(x-1)的大致图象如图(2)所示.
当x≤0时,要满足xf(x-1)≥0则f(x-1)≤0,
得-1≤x≤0.
当x>0时,要满足xf(x-1)≥0,则f(x-1)≥0,得1≤x≤3.
故满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3].
方法二:因为f(x)在(-∞,0)上单调递减且f(2)=0,
所以f(x)在(0,+∞)上也单调递减且f(-2)=0.
所以f(-2)=-f(2)=0.
①当x>0时,由xf(x-1)≥0得f(x-1)≥0=f(2).
当x-1≥0即x≥1时,则x-1≤2,所以1≤x≤3.
当x-1<0即x<1时,f(x-1)≥f(-2),
所以x-1≤-2,即x≤-1,与x>0矛盾.
②当x<0时,f(x-1)≤f(-2).所以x-1≥-2,即-1≤x<0.
③当x=0时,显然符合题意.
综上,满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是{x|-1≤x≤0或1≤x≤3}.
【一题多变】
若本例条件中“奇函数”变为“偶函数”,则不等式xf(x-1)≥0的解集为 .
【方法提炼】
应用奇偶性与单调性解不等式问题
(1)根据函数的奇偶性,将不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式.如果函数是奇函数,当函数值前面有“-”时,可通过函数是奇函数将“-”移到括号内;如果函数是偶函数,可根据f(-x)=f(x)=f(|x|)将函数值都化为自变量为正值的形式.
(2)根据单调性,将“f”去掉,结合定义域得到关于所求变量的不等式或不等式组.
提醒注意根据已知函数的单调性与奇偶性画出函数的大致图象,借助图象分析解决问题.
角度2 奇偶性与周期性
[典例6](2021·新高考Ⅱ卷)设函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)为偶函数, f(2x+1)为奇函数,则( )
A.f(-)=0 B.f(-1)=0
C.f(2)=0 D.f(4)=0
B
【解析】因为函数f(x+2)为偶函数,
则f(2+x)=f(2-x),可得f(x+3)=f(1-x),
因为函数f(2x+1)为奇函数,则f(1-2x)=-f(2x+1),
所以f(1-x)=-f(x+1),所以f(x+3)=-f(x+1).
所以f(x+1)=-f(x-1).
所以f(x+3)=f(x-1).即f(x)=f(x+4).
故函数f(x)是以4为周期的周期函数,
因为函数F(x)=f(2x+1)为奇函数,则F(0)=f(1)=0,
故f(-1)=-f(1)=0,其他三个选项未知.
【方法提炼】——自主归纳,老师指导
应用奇偶性与周期性解决求值问题
(1)根据已知条件及相关函数的奇偶性推得函数的周期;
(2)利用函数的周期性将自变量较大的函数值转化为自变量较小的函数值,直到自变量的值进入已知解析式的区间内或与已知的函数值相联系,必要时可再次运用奇偶性将自变量的符号进行转化;
(3)代入已知的解析式求解即得欲求的函数值.
角度3 奇偶性与对称性
[典例7](1)(多选题)若f(x)的定义域为R,且函数f(x+3)是奇函数,则下列结论一定正确的是( )
A.f(0)=0
B.f(x)的图象关于点(3,0)对称
C.f(-x+3)=-f(x+3)
D.f(-x-3)=-f(x+3)
BC
【解析】因为函数f(x+3)是奇函数,所以函数f(x+3)的图象关于原点(0,0)对称,将f(x+3)的图象向右平移3个单位长度即得f(x)的图象,因此函数f(x)的对称中心为(3,0),故A错误,B正确;因为函数f(x+3)是奇函数,所以f(-x+3)=-f(x+3),故C正确,D错误.
(2)(2021·全国乙卷)设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是( )
A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1
C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1
B
【解析】方法一:因为f(x)==-1+,其图象关于点(-1,-1)中心对称,将其图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度后关于原点(0,0)中心对称,所以
f(x-1)+1为奇函数.
方法二:因为f(x)=,所以f(x-1)==,f(x+1)==.对于A,
F(x)=f(x-1)-1=-1=,定义域关于原点对称,但不满足F(x)=-F(-x);对于B,
G(x)=f(x-1)+1=+1=,定义域关于原点对称,且满足G(x)=-G(-x);对于C,
f(x+1)-1=-1=-,定义域不关于原点对称;对于D,f(x+1)+1=+1=,定义域不关于原点对称.
【方法提炼】——自主完善,老师指导
函数奇偶性与对称性的关系及其应用
(1)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,这实际上是函数图象中心对称和轴对称的特殊情形.一般地,如果图象关于直线x=a对称,那么有____________,如果图象关于点(a,0)对称,那么有_____________.
(2)从函数值的特点来看,对称轴反映的是________________,而对称中心反映的是______________________.
f(a+x)=f(a-x)
f(a+x)=-f(a-x)
两个函数值相等
两个函数值互为相反数
(3)如果函数f(x)有对称轴直线x=a,那么将其图象向左平移a个单位长度,得到_______的图象,其对称轴是____,因此函数y=f(x+a)是偶函数,反之亦然;如果函数f(x)有对称中心(a,0),那么将其图象向左平移a个单位长度,得到f(x+a)的图象,其对称中心是______,因此函数y=f(x+a)是奇函数,反之亦然.
f(x+a)
y轴
原点
角度4 函数性质的综合应用
[典例8](多选题)(2023·潍坊模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x),且在[0,2]上单调递增,下列判断正确的是( )
A.f(x)的周期是4
B.f(2)是函数的一个最大值
C.f(x)的图象关于点(-2,0)对称
D.f(x)在[2,6]上单调递减
BD
【解析】由于f(x)是奇函数,又f(2+x)=f(2-x),所以函数最小正周期为8,故A项错误;又因为f(x)关于直线x=2对称,而且在[0,2]上单调递增,所以f(x)在[2,4]上单调递减,又f(x)是奇函数,所以f(x)在[-4,-2]上单调递减,在[-2,0]上单调递增,所以f(2)是函数的一个最大值,f(x)图象关于直线x=-2对称,在[2,6]上单调递减,故B正确,C错误,D正确.
【方法提炼】
奇偶性、单调性、周期性的解题方法
(1)根据奇偶性推得周期性;
(2)利用周期性转化自变量所在的区间;
(3)利用单调性解决相关问题.
【对点训练】
1.(2020·全国Ⅱ卷)设函数f(x)=x3-,则f(x)( )
A.是奇函数,且在(0,+∞)上单调递增
B.是奇函数,且在(0,+∞)上单调递减
C.是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增
D.是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减
A
【解析】因为函数f=x3-的定义域为,其关于原点对称,
而f=-f,所以函数f为奇函数.
又因为函数y=x3在上单调递增,
在上单调递增,
而y==x-3在上单调递减,
在上单调递减,所以函数f=x3-在上单调递增,在上单调递增.
2.(2022·龙岩模拟)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,满足f(x+1)=-f(x-1),若
f(-1)>1,f(5)=a2-2a-4,则实数a的取值范围是( )
A.(-1,3)
B.(-∞,-1)∪(3,+∞)
C.(-3,1)
D.(-∞,-3)∪(1,+∞)
A
【解析】由f(x+1)=-f(x-1),可得f(x+2)=-f(x),则f(x+4)=f(x),故函数f(x)的周期为4,则f(5)=f(1)=a2-2a-4,又因为f(x)是定义在R上的奇函数,f(-1)>1,所以f(1)<-1,所以a2-2a-4<-1,解得-13.已知定义在R上的函数f(x),对任意实数x有f(x+4)=-f(x),若函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称,f(-1)=2,则f(2 025)= .
【变式备选】
1.(2022·青岛模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足:①f(x+2)=f(x);②f(x-2)为奇函数;③当x∈[0,1)时,>0(x1≠x2)恒成立,则f(-),f(4),f()的大小关系正确的为( )
A.f()>f(4)>f(-)
B.f(4)>f()>f(-)
C.f(-)>f(4)>f()
D.f(-)>f()>f(4)
C
【解析】因为f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的周期为2.
又由f(x-2)为奇函数,且f(x)的周期为2,故函数f(x)为奇函数.
由当x∈[0,1)时,>0(x1≠x2)恒成立得,f(x)在区间[0,1)内单调递增,结合f(x)为奇函数可得函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增,因为f()=f(6-)=f(-),
f(-)=f(-8)=f(),f(4)=f(0),
所以f(-)>f(4)>f().
2.函数y=f(x)对任意x∈R都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f(1)=4,则f(520)+f(521)+f(522)的值为 .
【思维导图·构网络】(共51张PPT)
第六节 函数的图象
【课程标准】
1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
2.会画简单的函数图象.
3.学会运用函数图象研究函数的性质.
知识梳理·思维激活
【必备知识 精归纳】
1.利用描点法作函数图象的方法步骤
(1)确定函数的________.
(2)化简函数的________.
(3)讨论函数的______,即单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势).
(4)列表、描点、连线,画出函数的图象.
定义域
解析式
性质
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
点睛函数图象的左右变换都针对自变量“x”而言,如从f(-2x)的图象到f(-2x+1)的图象是向右平移个单位长度,其中是把x变成x-.
【常用结论】
函数图象平移变换“八字方针”
(1)“左加右减”,要注意加减指的是自变量.
(2)“上加下减”,要注意加减指的是函数值.
【基础小题 固根基】
教材改编 结论应用 易错易混
1,3 4 2,5
1.(教材变式)下列图象是函数y=的图象的是( )
C
2.(错用图象变换)将函数f(x)=2x+3的图象向右平移3个单位长度后得到函数g(x)的图象,则函数g(x)= .
答案:2x-3
【解析】g(x)=2(x-3)+3=2x-3.
3.(教材提升)已知函数f(x)在R上单调且其部分图象如图所示,若不等式-2答案:1
【解析】由题图可知不等式-2即为f(3)即不等式的解集为(-t,3-t),
依题意可得t=1.
4.(结论)函数y=f(x)的图象与y=ex的图象关于y轴对称,再把y=f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,则g(x)= .
5.(画错函数图象)若关于x的方程|x|=a-x只有一个解,则实数a的取值范围是 .
题型一 作函数的图象
[典例1]利用变换作出下列函数的图象:
(1)y=2x+1-1;
(2)y=|lg(x-1)|;
(3)y=x2-|x|-2.
核心题型·分类突破
【解析】(1)将y=2x的图象向左平移1个单位长度,得到y=2x+1的图象,再将所得图象向下平移1个单位长度,得到y=2x+1-1的图象,如图①所示.
(2)首先作出y=lg x的图象,然后将其向右平移1个单位长度,得到y=lg(x-1)的图象,再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方,即得所求函数y=|lg(x-1)|的图象,如图②所示(实线部分).
(3)y=x2-|x|-2=函数为偶函数,先用描点法作出[0,+∞)上的图象,再根据对称性作出(-∞,0)上的图象,其图象如图③所示.
【方法提炼】
函数图象的常见画法
(1)直接法:当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本初等函数时,可根据这些函数的特征描出图象的关键点,进而直接作出函数图象.
(2)图象变换法:若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到,则可利用图象变换作图.
提醒(1)画函数的图象一定要注意定义域.
(2)利用图象变换法时要注意变换顺序.
【对点训练】
作出下列函数的图象:
(1)y=;(2)y=|x2-4x+3|.
【加练备选】
作出下列各函数的图象:
(1)y=x-|x-1|;
(2)y=()|x+2|;
(3)y=sin|x|.
题型二 函数图象的识别
角度1 知式选图
[典例2](1)函数f(x)=的图象大致为 ( )
D
(2)若函数f(x)=ax-a-x(a>0且a≠1)在R上为减函数,则函数y=loga(|x|-1)的图象可能是
( )
D
【方法提炼】
识别函数的图象的主要方法
(1)利用函数的性质.如奇偶性、单调性、定义域等判断.
(2)利用函数的零点、极值点等判断.
(3)利用特殊函数值判断.
角度2 知图选式
[典例3](2021·浙江高考)已知函数f(x)=x2+,g(x)=sin x,则图象为下图的函数可能
是( )
A.y=f(x)+g(x)-
B.y=f(x)-g(x)-
C.y=f(x)g(x)
D.y=
D
【解析】根据题中图象可知,该函数是奇函数,且在上先单调递增再单调递减.A选项,y=h(x)=f(x)+g(x)-=x2+sin x,h(-x)≠-h(x),不符合奇函数定义,故A项错误;
B选项,y=u(x)=f(x)-g(x)-=x2-sin x,u(-x)≠-u(x),不符合奇函数定义,故B项错误;
C选项,y=f(x)g(x),y'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),将x=代入y'可计算得出y'>0,
不符合图象在该点附近单调递减性质,故C项错误;D选项,y=,y'=,
将x=代入y'可计算得出y'<0,满足图象在该点附近单调递减性质,故D项正确.
【方法提炼】
根据图象确定解析式的方法
从图象的左右上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性、周期性,注意图象与函数解析式中参数的关系,常用的方法有:
①定性分析法:通过对问题进行定性的分析,从而得出图象的上升(或下降)的趋势,利用这一特征分析解决问题.
②定量计算法:通过定量的计算来分析解决问题.
③函数模型法:由所提供的图象特征,联想相关函数模型,利用这一函数模型来分析解决问题.
角度3 知图选图
[典例4]已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b),若f(x)的图象如图所示,则g(x)=ax+b的图象是 ( )
A
【方法提炼】——自主完善,老师指导
函数图象的识别可从五个方面入手
(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.
(2)从函数的________,判断图象的变化趋势.
(3)从函数的________,判断图象的对称性.
(4)从函数的周期性,判断图象的循环往复.
(5)从函数的特征点,排除不符合要求的图象.
单调性
奇偶性
【对点训练】
1.已知定义在区间[0,2]上的函数y=f(x)的图象如图所示,则y=-f(2-x)的图象为
( )
B
【解析】
2.(2022·潍坊模拟)函数f(x)=(x∈[-π,0)∪(0,π])的图象大致是( )
B
3.如图可能是下列哪个函数的图象 ( )
A.y=2x-x2-1 B.y=
C.y=(x2-2x)ex D.y=
C
【加练备选】
1.(2023·长春模拟)函数f(x)=cos πx+ln|2x|的大致图象是 ( )
【解析】因为f(x)=cos πx+ln|2x|(x≠0),所以f(-x)=cos(-πx)+ln|-2x|=cos πx+ln|2x|=f(x),
所以f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,故排除选项A;f(1)=cos π+ln 2=-1+ln 2<0,故排除选项B;f(2)=cos 2π+ln 4=1+2ln 2>0,故排除选项D.
C
2.函数f(x)=的大致图象为( )
B
题型三 函数图象的应用
角度1 研究函数的性质
[典例5](多选题)设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有
f(x+1)=f(x-1),已知当x∈[0,1]时,f(x)=()1-x,则下列结论正确的是 ( )
A.2是函数f(x)的周期
B.函数f(x)在(1,2)上单调递减,在(2,3)上单调递增
C.函数f(x)的最大值是1,最小值是0
D.当x∈(3,4)时,f(x)=()x-3
ABD
【解析】由已知条件得f(x+2)=f(x),则y=f(x)是以2为周期的周期函数,A正确;
当-1≤x≤0时,0≤-x≤1,f(x)=f(-x)=()1+x,画出函数y=f(x)的部分图象如图所示.由图象知B正确,C不正确;当3【方法提炼】
一般根据图象观察函数性质有以下几方面:
一是观察函数图象是否连续以及最高点和最低点,确定定义域、值域;
二是观察函数图象是否关于原点或y轴对称,确定函数是否具有奇偶性;
三是观察图象上升或下降的情况,确定单调性.
角度2 函数图象在不等式中的应用
[典例6]如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是 ( )
A.{x|-1C.{x|-1C
【解析】如图,作出函数f(x)与y=log2(x+1)的图象.易知直线BC的方程为y=-x+2,
由得D点坐标为(1,1).由图可知,当-1【一题多变】
若本例中f(x)的图象不变,将不等式变为:关于x的不等式f(x)≥log2(x+a)在(-1,2]上恒成立,则实数a的取值范围是 .
【方法提炼】
求解不等式时,若采用代数法求解比较困难,但其对应函数的图象可作出时,常将不等式问题转化为两函数图象的位置关系问题,从而利用数形结合思想求解.
角度3 求参数的取值范围
[典例7]已知函数f(x)=若方程f(x)=-2x+a有两个不同的实数根,则实数a的取值范围是 .
答案:(-∞,1]
【解析】方程f(x)=-2x+a有两个不同的实数根,即方程f(x)+x=-x+a有两个不同的实数根,等价于函数y=f(x)+x与函数y=-x+a的图象有两个不同的交点.
因为f(x)=所以y=f(x)+x=
作出函数y=f(x)+x与y=-x+a的大致图象如图所示.
数形结合可知,当a≤1时,两个函数的图象有两个
不同的交点,即函数y=f(x)+2x-a有两个不同的零点.
【方法提炼】
当参数的不等关系不易找出时,可将函数(或方程)等价转化为方便作图的两个函数,再根据题设条件和图象的变化,利用数形结合思想确定参数的取值范围.
【对点训练】
1.(多选题)已知定义在R上的函数f(x), x∈R满足f(-x)+f(x)=0,且f(x+1)=-f(x-1),当
x∈(0,1]时,f(x)=x2-x,则下列说法正确的是 ( )
A.f(x)是奇函数
B.f(x)的最大值是0
C.f(x)在区间[-1,0]上不具有单调性
D.f(2 022)=0
AD
2.已知函数y=f(x)的图象是圆x2+y2=2上的两段弧,如图所示,则不等式f(x)>f(-x)-2x的解集是 .
答案:(-1,0)∪(1,]
【解析】由题中图象可知,函数f(x)为奇函数,故原不等式可等价转化为f(x)>-x.在同一平面直角坐标系中分别画出y=f(x)与y=-x的图象,由图象可知不等式的解集为(-1,0)∪(1,].
3.设函数f(x)=|x2-2x|-ax-a,其中a>0,若只存在两个整数x,使得f(x)<0,则a的取值范围是 .
【加练备选】
1.已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是 ( )
A.f(x)是偶函数,单调递增区间是(0,+∞)
B.f(x)是偶函数,单调递减区间是(-∞,1)
C.f(x)是奇函数,单调递减区间是(-1,1)
D.f(x)是奇函数,单调递增区间是(-∞,0)
C
2.若函数f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是 .
3.若当x∈(1,2)时,函数y=(x-1)2的图象始终在函数y=logax的图象的下方,则实数a的取值范围是 . (共75张PPT)
第七节 函数的应用
第1课时 函数的零点与方程的解、二分法
【课程标准】
1.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系.
2.根据具体函数的图象,能够借助计算工具利用二分法求相应方程的近似解.
知识梳理·思维激活
【必备知识·精归纳】
1.函数的零点与方程的解
(1)函数的零点
对于一般函数y=f(x),使_______的实数x.
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)=0有实数解 函数y=f(x)有______ 函数y=f(x)的图象与_____有公共点.
(3)函数零点存在定理
①条件:函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有__________.
②结论:函数y=f(x)在区间_____内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得_______,这个c也就是方程f(x)=0的解.
f(x)=0
零点
x轴
f(a)f(b)<0
f(c)=0
(a,b)
点睛连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.
2.二分法
对于在区间[a,b]上图象连续不断且__________的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间__________,使所得区间的两个端点逐步逼近______,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
f(a)f(b)<0
一分为二
零点
【常用结论】
有关函数零点的三个结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.
(2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.
【基础小题·固根基】
1.(结论)已知函数y=f(x)的图象是连续不断的曲线,且有如下的对应值表:
则函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
教材改编 结论应用 易错易混
2,3 1 4,5
x 1 2 3 4 5 6
y 124.4 33 -74 24.5 -36.7 -123.6
B
2.(教材变式)函数f(x)=ex+3x的零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
B
3.(教材提升)已知函数f(x)=则f(x)的零点为 .
4.(忽视区间端点值)函数f(x)=kx+1在[1,2]上有零点,则k的取值范围是
.
5.(应用零点和奇函数的概念不准确)设函数f(x)是定义在R上的奇函数且当x>0时,f(x)=x-1+lg x,则在R上f(x)的零点为 .
【题型一】函数零点所在区间的判定
[典例1](1)(多选题)(2022·菏泽质检)函数f(x)=ex-x-2在下列哪个区间内必有零点( )
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
核心题型·分类突破
AD
【解析】f(-2)=>0,f(-1)=-1<0,
f(0)=-1<0,f(1)=e-3<0,
f(2)=e2-4>0,
因为f(-2)·f(-1)<0,f(1)·f(2)<0,
所以f(x)在(-2,-1)和(1,2)内存在零点.
(2)设f(x)=0.8x-1,g(x)=ln x,则函数h(x)=f(x)-g(x)的零点一定位于下列哪个区间( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,e) D.(e,3)
A
【方法提炼】——自主完善,老师指导
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)定理法:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有__________.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(2)图象法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有________来判断.
f(a)·f(b)<0
公共点
【对点训练】
1.已知函数f(x)=-log2x.在下列区间中,包含f(x)零点的区间是( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞)
C
2.设函数f(x)=x-ln x,则函数y=f(x)( )
A.在区间(,1),(1,e)内均有零点
B.在区间(,1),(1,e)内均无零点
C.在区间(,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点
D.在区间(,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点
D
【解析】方法一(定理法):当x∈(,e)时,函数图象是连续的,且f'(x)=-=<0,
所以函数f(x)在(,e)上单调递减.
又f()=+1>0,f(1)=>0,f(e)=e-1<0,所以函数在区间(1,e)内有唯一的零点.
方法二(图象法):令f(x)=0,得x=ln x.
作出函数y=x和y=ln x的图象,如图,
显然y=f(x)在(,1)内无零点,在(1,e)内有零点.
【加练备选】
1.(2022·白银模拟)函数f(x)=ln x-的零点所在的区间为( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
B
2.若aA.(a,b)和(b,c)内
B.(-∞,a)和(a,b)内
C.(b,c)和(c,+∞)内
D.(-∞,a)和(c,+∞)内
A
【解析】函数y=f(x)是开口向上的二次函数,最多有两个零点,由于a则a-b<0,a-c<0,b-c<0,
因此f(a)=(a-b)(a-c)>0,
f(b)=(b-c)(b-a)<0,
f(c)=(c-a)(c-b)>0.
所以f(a)f(b)<0,f(b)f(c)<0,
即f(x)在区间(a,b)和区间(b,c)内各有一个零点.
【题型二】函数零点个数的判定
[典例2](1)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
B
(2)已知函数f(x)=则函数y=f(x)+3x的零点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
C
(3)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
B
【方法提炼】——自主完善,老师指导
函数零点个数的判定方法
(1)方程法:令_______,如果能求出解,那么有几个解就有几个零点.
(2)定理法:利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续的曲线,且__________,还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.
(3)图象法:画出两个函数的图象,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.
f(x)=0
f(a)·f(b)<0
【对点训练】
1.函数f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,当0≤x<2时f(x)=x2-x,则函数y=f(x)的图象在区间[-3,3]上与x轴的交点个数为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
B
2.函数f(x)=的零点个数是 .
【加练备选】
函数f(x)=xcos 2x在区间[0,2π]上的零点的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
D
【题型三】函数零点的应用
角度1 根据函数零点个数求参数
[典例3](1)已知函数f(x)=(a∈R),若函数f(x)在R上有两个零点,则实数a的取值范围是( )
A.(0,1] B.[1,+∞)
C.(0,1) D.(-∞,1]
A
【解析】画出函数f(x)的大致图象如图所示.
因为函数f(x)在R上有两个零点,
所以f(x)在(-∞,0]和(0,+∞)上各有一个零点.
当x≤0时,f(x)有一个零点,需0当x>0时,f(x)有一个零点,需-a<0,即a>0.
综上,0(2)函数f(x)=-kx2有两个零点,则实数k的值为 .
答案:-1
【解析】由f(x)=-kx2=x(-kx),
函数f(x)=-kx2有两个零点,即函数y=-kx只有一个零点x0,且x0≠0.
即方程-kx=0有且只有一个非零实根.
显然k≠0,即=x2+2x有且只有一个非零实根.
即二次函数y=x2+2x的图象与直线y=有且只有一个交点(横坐标不为零).
作出二次函数y=x2+2x的图象,如图.
因为≠0,由图可知,当>-1时,函数y=x2+2x的图象与直线y=有两个交点,不满足条件.
当=-1,即k=-1时满足条件.
当<-1时,函数y=x2+2x的图象与直线y=无交点,不满足条件.
角度2 根据函数零点范围求参数
[典例4](1)(2023·北京模拟)已知函数f(x)=3x-.若存在x0∈(-∞,-1),使得f(x0)=0,则实数a的取值范围是( )
A. (-∞,) B. (0,)
C.(-∞,0) D.(,+∞)
B
【解析】由f(x)=3x-=0,可得a=3x-,
令g(x)=3x-,其中x∈(-∞,-1),
由于存在x0∈(-∞,-1),使得f(x0)=0,
则实数a的取值范围即为函数g(x)在(-∞,-1)上的值域.
由于函数y=3x,y=-在区间(-∞,-1)上均单调递增,
所以函数g(x)在(-∞,-1)上单调递增.
当x∈(-∞,-1)时, g(x)=3x-<3-1+1=,
又g(x)=3x->0,所以函数g(x)在(-∞,-1)上的值域为(0,).
因此实数a的取值范围是(0,).
(2)若函数f(x)=(m-2)x2+mx+2m+1的两个零点分别在区间(-1,0)和区间(1,2)内,则m的取值范围是 .
答案:(,)
【解析】依题意,结合函数f(x)的图象分析可知,m需满足即
解得角度3 求函数多个零点(方程根)的和
[典例5]已知函数f(x)=则方程(x-1)f(x)=1的所有实根的和为( )
A.2 B.3 C.4 D.1
A
【解析】当x>1时,2-x<1,
所以f(2-x)=-ln[2-(2-x)]=-ln x=-f(x);
当x<1时,2-x>1,所以f(2-x)=ln(2-x)=-f(x);
当x=1时,f(1)=0,
所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称.
显然x=1不是方程(x-1)f(x)=1的根.
当x≠1时,原方程可变为f(x)=,
故求方程(x-1)f(x)=1的所有实根的和即为求y=f(x)和y=的图象的交点的横坐标之和.
作出函数y=f(x)和y=的图象,如图所示.
由图象得,两个函数的图象有2个交点,分别设为A(x1,y1),B(x2,y2)(x1因为函数y=f(x)和y=的图象都关于点(1,0)对称,所以A,B也关于点(1,0)对称,
所以=1,即x1+x2=2.
【方法提炼】
已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的取值范围.
(2)分离参数法:将参数分离,转化成求已知函数零点情况的问题加以解决.
(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.
【对点训练】
1.函数f(x)=x2-ax+1在区间(,3)上有零点,则实数a的取值范围是( )
A.(2,+∞) B.[2,+∞)
C. [2,) D. [2,)
D
2.设函数f(x)的定义域为R,f(-x)=f(x)且f(x)=f(2-x),当x∈[0,1]时,f(x)=x3,则函数g(x)=|cos(πx)|-f(x)在区间(-,]上的所有零点的和为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
C
【解析】由f(-x)=f(x),知函数f(x)是偶函数,由f(x)=f(2-x),可知函数f(x)的图象的对称轴为直线x=1.由于函数f(x)与函数y=|cos(πx)|均为偶函数,
所以在(-,]上g(x)的零点之和为0,只需求在(,]上的零点和.在同一个直角坐标系中画出函数y=|cos(πx)|,y=f(x)在(,]上的图象如图,
在(,]上,(1,1)为两函数图象的交点,且另两个交点关于x=1对称,所以在(,]上,g(x)的零点和为3,故所有零点的和为3.
3.设函数f(x)=若a=1,则f(x)的最小值为 ;若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是 .
答案:-1 [,1)∪[2,+∞)
【解析】若a=1,
则f(x)=作出函数f(x)的图象如图所示.
由图可得f(x)的最小值为-1.
当a≥1时,要使f(x)恰有2个零点,需满足21-a≤0,即a≥2;
当a<1时,要使f(x)恰有2个零点,需满足解得≤a<1.
综上,实数a的取值范围为[,1)∪[2,+∞).
【加练备选】
1.(多选题)设函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-b有三个零点,则实数b可取的值为( )
A.0 B. C. D.1
BCD
【解析】函数g(x)=f(x)-b有三个零点等价于函数y=f(x)的图象与直线y=b有三个不同的交点,
当x≤0时,f(x)=(x+1)ex,
则f'(x)=ex+(x+1)ex=(x+2)ex,
所以f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,0]上单调递增,且f(-2)=-,f(0)=1,
x→-∞时,f(x)→0,
从而可得f(x)的图象如图所示.
通过图象可知,若函数y=f(x)的图象与直线y=b有三个不同的交点,则b∈(0,1].
2.已知函数f(x)=log2(x+1)-+m在区间(1,3]上有零点,则m的取值范围为( )
A. (-,0)
B. (-∞,-)∪(0,+∞)
C. (-∞,-]∪(0,+∞)
D. [-,0)
D
【解析】由于函数y=log2(x+1),y=m-在区间(1,3]上单调递增,
所以函数f(x)在(1,3]上单调递增.
由于函数f(x)=log2(x+1)-+m在区间(1,3]上有零点,
则即
解得-≤m<0.
因此,实数m的取值范围是[-,0).
3.(2023·浙江名校联盟联考)定义在R上的函数f(x),满足f(-x)=-f(x),且f(x)=f(2-x).当0答案:-6
【解析】定义在R上的函数f(x),满足f(-x)=-f(x),且f(x)=f(2-x),
则f(x+2)=-f(x),即f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
所以函数f(x)的周期为4,且其图象关于直线x=1对称.
当0所以f()=-1,则f(-)=1.
由f(x)的图象关于直线x=1对称,得f()=1,
则由周期为4可得,f()=1,f(-)=1,
f(-)=1,f(-)=1,
所以----++=-6.
【备选题型】嵌套函数的零点问题
函数的零点是高考命题的热点,主要涉及判断函数零点的个数或范围,对于嵌套函数的零点,通常先“换元解套”,将复合函数拆解为两个相对简单的函数,借助函数的图象、性质求解.
角度1 嵌套函数零点个数的判断
[典例1]已知函数f(x)=则方程f(f(x))+3=0的解的个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
C
【解析】因为函数f(x)=
由f(x)=-3,当x>0,即ln x=-3,解得x=,
当x<0时,则有x+=-3,解得x=.
因为f(f(x))+3=0,即f(x)=或f(x)=,
由f(x)=,可得ln x=,此方程只有一个根.
又x<0时,f(x)=x+≤-2,故f(x)=仅在x>0时有一个根,f(x)=在x<0时有两个根,在x>0时有一个根,综上,方程f(f(x))+3=0有五个根.
【方法提炼】
求解嵌套函数零点问题的主要步骤
(1)换元解套,转化为t=g(x)与y=f(t)的零点.
(2)依次解方程,令f(t)=0,求t,代入t=g(x)求出x的值或判断图象交点个数.
角度2 与嵌套函数零点相关的参数范围
[典例2]函数f(x)=若函数g(x)=f(f(x))-a有三个不同的零点,则实数a的取值范围是 .
答案:[-1,+∞)
【解析】设t=f(x),令f(f(x))-a=0,
则a=f(t).在同一坐标系内作y=a,y=f(t)的图象(如图).
当a≥-1时,y=a与y=f(t)的图象有两个交点.
设交点的横坐标为t1,t2(不妨设t2>t1),则t1<-1,t2≥-1.
当t1<-1时,t1=f(x)有一解,当t2≥-1时,t2=f(x)有两解.
综上,当a≥-1时,函数g(x)=f(f(x))-a有三个不同的零点.
【方法提炼】
1.求嵌套函数零点中的参数范围可抓住分段函数的图象性质,由y=a与y=f(t)的图象,确定t1,t2的取值范围,进而由t=f(x)的图象确定零点的个数.
2.含参数的嵌套函数方程,还应注意让参数的取值“动起来”,抓临界位置,动静结合.
【对点训练】
1.已知函数f(x)=则函数g(x)=2f(f(x)-1)-1的零点个数为( )
A.7 B.8 C.10 D.11
B
2.已知f(x)=,方程f2(x)+(2a-3)f(x)+a2-3a=0有三个不等实根,则a的取值范围为( )
A.{-e}∪(3-e,+∞)
B.{-e}∪(0,3-e)
C.(-∞,0)
D.{-e}∪[3-e,+∞)
B
【解析】由题意知f'(x)=(x>0且x≠1),令f'(x)=0,得x=e,所以当x∈(0,1)∪(1,e)时,f'(x)<0;
当x∈(e,+∞)时,f'(x)>0.所以函数f(x)在(0,1),(1,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,
所以当x=e时,f(x)有极小值,且极小值为e,则函数f(x)的大致图象如图所示.
由方程f2(x)+(2a-3)f(x)+a2-3a=0得f(x)=-a或f(x)=-a+3,
若方程f2(x)+(2a-3)f(x)+a2-3a=0有三个不等实根,
则有或
解得0【思维导图·构网络】
解题思维拓广角度 复合函数零点、方程根的问题
复合函数涉及内外两层函数,问题的解决往往涵盖函数与方程、数形结合、分类整合和化归与转化等数学思想.复合函数零点问题具有关系复杂、综合性强的特点,对考查学生思维能力、运算能力有较高的要求.
[常见方法]先将复合函数的解析式写出,再根据函数的解析式画出函数的图象,根据函数的图象研究零点问题.
类型一 确定复合函数零点的个数或方程解的个数
[典例1](1)已知函数f(x)=则下列关于函数y=f(f(x))+1的零点个数判断正确的是( )
A.当a>0时,有4个零点;a<0时,有1个零点
B.当a>0时,有3个零点;a<0时,有2个零点
C.无论a为何值,均有2个零点
D.无论a为何值,均有4个零点
A
【解析】所求函数的零点,即方程f(f(x))=-1的解的个数,
令t=f(x),先作出y=f(t)的图象,
直线y=ax+1为过定点(0,1)的一条直线,但需要对a的符号进行分类讨论.当a>0时,如图1所示,先拆外层可得t1=-<0,t2=,如图2所示,而t1有两个对应的x,t2也有两个对应的x,共计4个;当a<0时,如图3所示,先拆外层可得t=,如图4所示,t=只有一个满足的x,所以共1个零点.结合选项,可判断出A正确.
(2)已知f(x)=则函数y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零点个数是 .
【方法提炼】
求复合函数y=f(g(x))的零点的个数或方程解的个数的策略:
(1)先换元解“套”,令t=g(x),则y=f(t),再作出y=f(t)与t=g(x)的图象.
(2)由y=f(t)的图象观察有几个t的值满足条件,结合t的值观察t=g(x)的图象,求出每一个t与几个x对应,将x的个数汇总后即为y=f(g(x))的零点或方程解的个数,即“从外到内”.
类型二 已知函数零点的个数,求参数的取值范围
[典例2](1)已知函数f(x)=若方程f(f(x))-2=0恰有三个实数根,则实数k的取值范围是( )
A.[0,+∞) B.[1,3]
C. (-1,-] D. [-1,-]
C
【解析】因为f(f(x))-2=0,所以f(f(x))=2,所以f(x)=-1或f(x)=-(k≠0).
(i)当k=0时,作出函数f(x)的图象如图①所示,由图象可知f(x)=-1无解,所以k=0不符合题意;
(ii)当k>0时,作出函数f(x)的图象如图②所示,由图象可知f(x)=-1无解且f(x)=-无解,即f(f(x))-2=0无解,不符合题意;
(iii)当k<0时,作出函数f(x)的图象如图③所示,由图象可知f(x)=-1有1个实数根,
因为f(f(x))-2=0有3个实数根,
所以f(x)=-有2个实数根,
所以1<-≤3,解得-1综上,k的取值范围是(-1,-].
(2)已知函数f(x)=-x2-2x,g(x)=若方程g(f(x))-a=0有4个不同的实数根,则实数a的取值范围是 .
答案: [1,)
【解析】令f(x)=t,则原方程化为g(t)=a,
由方程g(f(x))-a=0有4个不同的实数根,
易知方程f(x)=t在t<1时有2个不同的解,
则原方程有4个解等价于函数y=g(t)(t<1)与y=a的图象有2个不同的交点,作出函数y=g(t)(t<1)的图象如图,由图象可知,当1≤a<时,函数y=g(t)(t<1)与y=a有2个不同的交点,即所求a的取值范围是[1,).
【方法提炼】
已知复合函数y=f(g(x))零点的个数,求参数的取值范围的问题的方法:
(1)先换元解套,令t=g(x),则y=f(t),再作出y=f(t)与t=g(x)的图象.
(2)由零点个数结合t=g(x)与y=f(t)的图象特点,从而确定t的取值范围,进而确定参数的范围,即“从内到外”.此法称为双图象法(换元法+数形结合).
【加练备选】
已知函数f(x)=|x2-4x+3|,若方程[f(x)]2+bf(x)+c=0恰有七个不相同的实根,则实数b的取值范围是( )
A.(-2,0) B.(-2,-1)
C.(0,1) D.(0,2)
B
【解析】通过图象变换作出t=f(x)的图象(如图),因为[f(x)]2+bf(x)+c=0最多只能解出2个f(x),若要解出七个根,
则t1=1,t2∈(0,1),所以-b=t1+t2∈(1,2),
解得b∈(-2,-1).(共58张PPT)
第七节 函数的应用
第2课时 函数模型
及其应用
【课程标准】
1.了解指数函数、对数函数与一元一次函数增长速度的差异.
2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的现实含义.
3.会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律,了解函数模型在社会生活中的广泛应用.
知识梳理·思维激活
【必备知识·精归纳】
1.三种函数模型的性质
函数 y=ax (a>1) y=logax (a>1) y=xα
(α>0)
在(0,+∞) 上的增减性 _________ __________ _________
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x的增大逐渐表现为与____平行 随x的增大逐渐表现为与_____平行 随α值变化而各有不同
单调递增
单调递增
单调递增
y轴
x轴
2.常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
反比例函数模型
指数函数模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)
对数函数模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)
幂函数模型 f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠0)
点睛函数模型应用问题的步骤(四步八字方针):审题,建模,解模,还原.
【基础小题·固根基】
1.(教材变式)在某个物理实验中,测得变量x和变量y的几组数据,如表:
则对x,y最适合的拟合函数是( )
A.y=2x B.y=x2-1
C.y=2x-2 D.y=log2x
教材改编 易错易混
1,2,5 3,4
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y -0.99 -0.01 0.98 2.00
D
【解析】根据x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除A;
根据x=2.01,y=0.98,代入计算,可以排除B,C;
将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意.
2.(教材变式)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=
3 000+20x-0.1x2(0A.100台 B.120台 C.150台 D.180台
C
3.(对三种函数增长速度的理解不透彻)已知f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,对三个函数的增长速度进行比较,下列选项中正确的是( )
A.f(x)>g(x)>h(x) B.g(x)>f(x)>h(x)
C.g(x)>h(x)>f(x) D.f(x)>h(x)>g(x)
B
4.(建错函数关系式)生物学家采集了一些动物体重和脉搏率对应的数据,并经过研究得到体重和脉搏率的对数型关系:ln f=ln k-(其中f是脉搏率(心跳次数/min),体重为W(g),k为正的常数),则体重为300 g的豚鼠和体重为8 100 g的小狗的脉搏率之比为( )
A. B. C.3 D.27
C
【解析】因为ln f=ln k-(其中f是脉搏率(心跳次数/min),体重为W(g),k为正的常数),所以当W=300 g时,则ln f1=,
即ln =ln k3-ln 300,则=,
当W=8 100 g时,则ln f2=,
即ln =ln k3-ln 8 100,则=,
所以()3==27,所以体重为300 g的豚鼠和体重为8 100 g的小狗的脉搏率之比为3.
5.(教材提升)当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到,则它至少要经过 个“半衰期”.
【题型一】用函数图象刻画变化过程
[典例1](1)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )
A.消耗1 L汽油,乙车最多可行驶5 km
B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多
C.甲车以80 km/h的速度行驶1 h,消耗10 L汽油
D.某城市机动车最高限速80 km/h,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
核心题型·分类突破
D
【解析】从题图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h时的燃油效率大于5 km/L,故乙车消耗1 L汽油的行驶路程可大于5 km,所以A错误;由题图可知甲车消耗汽油最少,所以B错误;甲车以80 km/h的速度行驶时的燃油效率为10 km/L,故行驶1 h的路程为80 km,消耗8 L汽油,所以C错误;当最高限速为80 km/h且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率,故用丙车比用乙车更省油,所以D正确.
(2)(2022·北京高考)在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献,如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系,其中T表示温度,单位是K;P表示压强,单位是bar.下列结论中正确的是( )
A.当T=220,P=1 026时,二氧化碳处于液态
B.当T=270,P=128时,二氧化碳处于气态
C.当T=300,P=9 987时,二氧化碳处于超临界状态
D.当T=360,P=729时,二氧化碳处于超临界状态
D
【解析】对于A选项,T=220,lg 1 026略大于lg 1 000=3,由题图知,处于固态;
对于B选项,T=270,lg 128略大于lg 100=2,由题图知,处于液态;
对于C选项,T=300,lg 9 987略小于lg 10 000=4,由题图知,处于固态;
对于D选项,T=360,lg 729大于2小于3,由题图知,处于超临界状态.
(3)(多选题)血药浓度(Plasma Concentration)是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时,该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后,体内血药浓度及相关信息如图所示:
根据图中提供的信息,下列关于成人使用该药物的说法中,正确的是( )
A.首次服用该药物1单位约10分钟后,药物发挥治疗作用
B.每次服用该药物1单位,两次服药间隔小于2小时,一定会产生药物中毒
C.每间隔5.5小时服用该药物1单位,可使药物持续发挥治疗作用
D.首次服用该药物1单位3小时后,再次服用该药物1单位,不会发生药物中毒
ABC
【解析】从题图中可以看出,首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗作用,A正确;根据题图可知,首次服用该药物1单位约1小时后的血药浓度达到最大值,由题图可知两次服药间隔小于2小时,一定会产生药物中毒,B正确;服药5.5小时时,血药浓度稍大于最低有效浓度,此时再服药,血药浓度增加,可使药物持续发挥治疗作用,C正确;第一次服用该药物1单位4小时后与第2次服用该药物1单位1小时后,血药浓度之和大于最低中毒浓度,因此一定会发生药物中毒,D错误.
【方法提炼】
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象;
(2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案.
【对点训练】
1.已知正方形ABCD的边长为4,动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动.设点P运动的路程为x,△ABP的面积为S,则函数S=f(x)的图象是( )
D
【解析】依题意知,当0≤x≤4时,f(x)=2x;
当4当82.(2022·泰州模拟)中国茶文化博大精深,茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间,某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度,根据所得数据得到如图所示的散点图.观察散点图的分布情况,下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律 ( )
A.y=mx2+n(m>0)
B.y=max+n(m>0,0C.y=max+n(m>0,a>1)
D.y=mlogax+n(m>0,a>0,a≠1)
B
【加练备选】
如图,一高为H且装满水的鱼缸,其底部有一排水小孔,当小孔打开时,水从孔中匀速流出,水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时,水流出所用时间为t,则函数h=f(t)的图象大致是( )
B
【解析】水匀速流出,所以鱼缸水深h先降低得快,中间降低缓慢,最后降低速度又越来越快.
【题型二】应用所给函数模型解决实际问题
[典例2](2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lgV.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259) ( )
A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6
C
【方法提炼】
求解已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数;
(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数;
(3)利用该函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验.
【对点训练】
1.(2022·合肥模拟)声强级(单位:dB)由公式LI=10lg()给出,其中I为声强(单位:W/m2).某班级为规范同学在公共场所说话的文明礼仪,开展了“不敢高声语,恐惊读书人”主题活动,要求课下同学之间交流时,每人的声强级不超过40 dB,现已知4位同学课间交流时,每人的声强分别为10-7W/m2, 2×10-9W/m2,5×10-10W/m2,
9×10-11W/m2,则这4人中达到班级要求的有( )
A.1人 B.2人 C.3人 D.4人
C
【解析】依题意,当I=10-7W/m2时,
LI=10lg=10lg 105=50;
当I=2×10-9W/m2时,LI=10lg
=10lg(2×103)=10(lg 2+3)=30+10lg 2<30+10lg 10=40;
当I=5×10-10W/m2时,LI=10lg
=10lg(5×102)=10(lg 5+2)=20+10lg 5<20+10lg 10=30;
当I=9×10-11W/m2时,LI=10lg
=10lg(9×10)=10(lg 9+1)=10+10lg 9<10+10lg 10=20.
所以这4人中达到班级要求的有3人.
2.2022年10月16日,习近平总书记在中国共产党第二十次全国代表大会上的报告中,提出了“把我国建设成为科技强国”的发展目标.国内某企业为响应这一号召,计划在2023年投资新技术、生产新手机,通过市场分析,生产此款手机全年需投入固定成本250万元,每生产x千部手机,需另投入成本R(x)万元,且R(x)=
由市场调研知,每部手机的售价为0.7万元,且全年内生产的手机当年能全部销售完.
(1)求2023年的利润W(x)(万元)关于年产量x(千部)的函数关系式(利润=销售额-成本);
(2)2023年产量为多少千部时,企业所获利润最大 最大利润是多少
【解析】(1)根据利润=销售额-成本,可得:
当0当x≥40时,W(x)=1 000x×0.7-250-(701x+-9 450)=-x-+9 200,
故W(x)=
(2)由(1)可知W(x) =
当0当x=30时,W(x)max=8 750;
当x≥40时,W(x)=-x-+9 200≤-2+9 200=9 000,
当且仅当x=, 即x=100时,W(x)max=9 000.
因为9 000>8 750,
所以产量为100千部时,企业所获利润最大,最大利润是9 000万元.
【加练备选】
1.(2023·九江模拟)碳是有机物的元素之一,生物在生存的时候,由于需要呼吸,其体内的碳-14含量大致不变,生物死去后会停止呼吸,此时体内的碳-14开始减少,人们可通过检测一件古物的碳-14含量,来估计它的大概年龄,这种方法称之为碳定年法.设Nf是生物样本中的碳-14的含量,N0是活体组织中碳-14的含量,t为生物死亡的时间(单位:年),已知Nf=N0·((其中T为碳-14半衰期,且T=5 730),若2021年测定某生物样本中Nf=N0,则此生物大概生活在( )
(参考资料:log23≈1.585.西周:公元前1046年~公元前771年;晋代:公元266年~公元420年;宋代:公元960年~公元1279年;明代:公元1368年~公元1644年)
A.西周 B.晋代 C.宋代 D.明代
C
【解析】2021年测定某生物样本中Nf=N0,已知Nf=N0(,
所以N0=N0(,得=(,
则=lo=-(log28-log29)
=-(3-2log23)≈-(3-2×1.585)=0.17,
因为T=5 730,所以t=0.17×5 730=974.1,
所以2 021-974.1=1 046.9,故此生物大概生活在宋代.
2.“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育,它能在短时间内最大限度激发一个人的潜能,使成绩在原来的基础上有不同程度的提高,以便在高考中取得令人满意的成绩,特别对于成绩在中等偏下的学生来讲,其增加分数的空间尤其大.现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化,构造了一个经过时间t(30≤t≤100)(单位:天),增加总分数f(t)(单位:分)的函数模型:f(t)=,k为增分转化系数,P为“百日冲刺”前的最后一次模考总分,且f(60)=P.现有某学生在高考前100天的最后一次模考总分为400分,依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为(lg 61≈1.79)( )
A.440分 B.460分 C.480分 D.500分
B
【解析】由题意得,f(60)=≈=P,所以k≈=0.465,
所以f(100)==≈=62,
所以该学生在高考中可能取得的总分约为400+62=462≈460(分).
【题型三】构造函数模型的实际问题
角度1 构造一次函数、二次函数、分段函数模型
[典例3](1)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”,在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图记录了三次实验的数据,根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( )
A.3.50分钟 B.3.75分钟
C.4.00分钟 D.4.25分钟
B
【解析】由题图可知,三点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)都在函数p=at2+bt+c的图象上,
所以,
解得a=-0.2,b=1.5,c=-2,
所以p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2(t-)2+,
因为t>0,所以当t==3.75时,p取得最大值,
故此时的t=3.75分钟为最佳加工时间.
(2)某景区提供自行车出租,该景区有50辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;若超出6元,则每超过1元,租不出去的自行车就增加3辆.为了便于结算,每辆自行车的日租金x(元)只取整数,并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用,用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分).
①求函数y=f(x)的解析式;
②试问当每辆自行车的日租金为多少元时,才能使一日的净收入最多
【解析】 ①当x≤6时,y=50x-115,
令50x-115>0,解得x>2.3,
因为x为整数,所以3≤x≤6,x∈Z.
当x>6时,y=[50-3(x-6)]x-115=-3x2+68x-115.
令-3x2+68x-115>0,有3x2-68x+115<0,
结合x为整数得6所以y=
②对于y=50x-115(3≤x≤6,x∈Z),
显然当x=6时,ymax=185;
对于y=-3x2+68x-115=-3(x-)2+(6因为270>185,所以当每辆自行车的日租金定为11元时,才能使一日的净收入最多.
【方法提炼】
一次函数、二次函数和分段函数模型的选取及应用策略
(1)在实际问题中,若两个变量之间的关系是正相关或负相关或图象为直线(或其一部分),一般构建一次函数模型,利用一次函数的图象与性质求解.
(2)实际问题中的面积问题、利润问题、产量问题等一般选用二次函数模型,根据已知条件确定二次函数解析式.结合二次函数的图象、最值、单调性、零点等知识将实际问题解决.
(3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成,如出租车的计费与路程之间的关系,应构建分段函数模型求解.
角度2 构造函数f(x)=ax+(ab>0)模型
[典例4]某小区为了升级居住环境,拟在小区的闲置地中规划一个面积为200 m2的矩形区域(如图所示),按规划要求:在矩形内的四周安排2 m宽的绿化,绿化造价为200元/m2,中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材,硬化造价为100元/m2.设矩形的长为x(单位:m).
(1)求总造价y(单位:元)关于长度x(单位:m)的函数;
(2)当x(单位:m)取何值时,总造价最低,并求出最低总造价.
【解析】(1)由矩形的长为x m,得矩形的宽为 m,则中间区域的长为(x-4)m,宽为(-4)m,定义域为x∈(4,50).
则y=100(x-4)(-4)+200×[200-(x-4)(-4) ],
整理得y=18 400+400(x+),x∈(4,50).
(2)因为x+≥2=20,
当且仅当x=,即x=10时取等号.
所以当x=10 m时,总造价最低为(18 400+8 000)元.
【方法提炼】
应用对勾函数f(x)=ax+(ab>0)模型的关键点
(1)明确对勾函数是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)=叠加而成的.
(2)解决实际问题时一般可以直接建立f(x)=ax+(ab>0)的模型,有时可以将所列函数关系式转化为f(x)=ax+(ab>0)的形式.
(3)利用模型f(x)=ax+(ab>0)求解最值时,要注意自变量的取值范围,及取得最值时等号成立的条件.
角度3 构造指数函数、对数函数模型
[典例5](1)(2020·全国卷Ⅰ)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散点图:
由此散点图,在10℃至40℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是( )
A.y=a+bx B.y=a+bx2
C.y=a+bex D.y=a+bln x
D
【解析】由题中散点图分布可知,散点图分布在一个对数函数的图象附近,因此,最适合作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是y=a+bln x.
(2)中国共产党第二十次全国代表大会于2022年下半年在北京召开,党的二十大是我们党带领全国人民全面建设社会主义现代化国家,向第二个百年奋斗目标进军新征程的重要时刻召开的一次十分重要的代表大会.相信中国共产党一定会继续带领中国人民实现经济发展和社会进步.资料显示,2021年,我国的GDP达到了17.7万亿美元,同期美国的GDP达到了23万亿美元,综合考虑多方面因素,将中国的GDP增速估计为6%,美国的GDP增速估计为2%,那么中国最有可能在 年实现对美国GDP的超越.参考数据:lg 1.3≈0.114,lg 1.04≈0.017.( )
A.2024 B.2026 C.2028 D.2030
C
【解析】设中国最有可能在x年后实现对美国GDP的超越,
则17.7(1+6%)x>23(1+2%)x,
即≈1.04x>≈1.3,
所以lg 1.04x>lg 1.3,
所以x>≈≈6.7,
故中国最有可能在2028年实现对美国GDP的超越.
【方法提炼】
指数(对数)函数模型的应用技巧
(1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题,在求解时,要先学会合理选择模型,在两类模型中,指数函数模型(底数大于1)是增长速度越来越快的一类函数模型,与增长率、银行利率、细胞分裂有关的问题都属于指数函数模型;对数函数模型(底数大于1)是增长速度越来越慢的一类函数模型.
(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时,一般先需要通过待定系数法确定函数解析式,再借助函数的图象求解最值问题,必要时可借助导数.
【对点训练】
1.(2023·福州模拟)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段),则为使其营运年平均利润最大,每辆客车营运年数为 .
答案:5
【解析】根据题图求得y=-(x-6)2+11,
所以年平均利润=12-(x+),
因为x+≥10,当且仅当x=5时等号成立,
所以为使其营运年平均利润最大,每辆客车营运年数为5.
2.(2022·滨州模拟)某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度,他认为,成年男子身高160 cm及其以下不算高个子,其高个子系数k应为0;身高190 cm及其以上的是理所当然的高个子,其高个子系数k应为1,请给出一个符合该同学想法、合理的成年男子高个子系数k关于身高x(单位:cm)的函数关系式 .
【解析】由题意知函数k(x)在[160,190]上单调递增,
设k(x)=ax+b(a>0),x∈[160,190],
由
解得
所以k(x)=x-,
所以k=
3.(2022·吉林模拟)某人计划购买一辆A型轿车,售价为14.4万元,购买后轿车每年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2.4万元,同时汽车年折旧率为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%),则大约使用 年后,用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元.
答案:4
【解析】设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元,
依题意可得14.4(1-0.9x)+2.4x=14.4,化简得x-6×0.9x=0.
令f(x)=x-6×0.9x,易得f(x)为增函数,
又f(3)=-1.374<0,f(4)=0.063 4>0,
所以函数f(x)在(3,4)上有一个零点.
故大约使用4年后,用在该车上的费用达到14.4万元.
【加练备选】
拉面是很多人喜爱的食物.师傅在制作拉面的时候,将面团先拉到一定长度,然后对折,对折后面条根数变为原来的2倍,再拉到上次面条的长度.每次对折后,师傅都要去掉捏在一只手里的面团.如果拉面师傅将300克面团拉成细丝面条,每次对折后去掉捏在手里的面团都是18克.第一次拉的长度是1米,共拉了7次,假定所有细丝面条粗细均匀、质量相等,则最后每根1米长的细丝面条的质量是 .
答案:3克
【解析】拉面师傅拉7次面条共有27-1=26=64根面条,在7次拉面过程中共对折6次,则去掉面的质量为6×18=108(克);剩下64根面条的总质量为300-108=192(克),则每根1米长的细丝面条的质量为=3(克).
【思维导图·构网络】(共49张PPT)
第三节 二次函数与幂函数
【课程标准】
1.了解幂函数的概念,结合y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的图象,理解它们的变化规律.
2.掌握二次函数的图象和性质.
3.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
知识梳理·思维激活
【必备知识 精归纳】
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地,函数_________叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
y=xα
(3)幂函数的性质
①当α>0时,幂函数的图象都过点_________和_________,且在(0,+∞)上单调递增;
②当α<0时,幂函数的图象都过点_________,且在(0,+∞)上单调递减;
③当α为奇数时,y=xα为____________;当α为偶数时,y=xα为____________.
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式:y=__________________.
顶点式:y=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为__________.
零点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为y的__________.
(1,1)
(0,0)
(1,1)
奇函数
偶函数
ax2+bx+c(a≠0)
(m,n)
零点
(2)二次函数的图象和性质
函数 y=ax2+bx+c (a>0) y=ax2+bx+c
(a<0)
图象 (抛物线)
定义域 R 值域
对称轴 顶点 坐标 奇偶性 当b=0时是偶函数, 当b≠0时是非奇非偶函数 单调性
点睛对于函数y=ax2+bx+c,要认为它是二次函数,就必须满足a≠0,当题目的条件中未说明a≠0时,就要讨论a=0和a≠0两种情况.
减
增
增
减
【常用结论】
巧识幂函数的图象和性质
【基础小题 固根基】
1.(教材变式)已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,),则f()等于( )
A.- B. C.± D.
教材改编 结论应用 易错易混
1,2,4 3 5,6
B
2.(教材提升)幂函数y=(m∈Z)的图象如图所示,则实数m的值为( )
A.3 B.0 C.1 D.2
【解析】因为函数在(0,+∞)上单调递减,所以m2-2m-3<0,解得-1所以m=0,1,2.而当m=0或2时,f(x)=x-3为奇函数,当m=1时,f(x)=x-4为偶函数.所以
m=1.
C
3.(结论)若幂函数f(x)=(a2-5a-5)在(0,+∞)上单调递增,则a等于( )
A.1 B.6 C.2 D.-1
D
4.(教材提升)已知y=f(x)为二次函数,若y=f(x)在x=2处取得最小值-4,且y=f(x)的图象经过原点,则函数解析式为 .
答案:f(x)=x2-4x
【解析】因为y=f(x)在x=2处取得最小值-4,
所以可设f(x)=a(x-2)2-4(a>0),
又图象过原点,所以f(0)=4a-4=0,a=1,
所以f(x)=(x-2)2-4=x2-4x.
5.(忽视幂函数的定义域)已知幂函数f(x)=,若f(a+1)6.(忽视区间限制)已知函数f(x)=x2-x+1,在区间[-1,1]上不等式f(x)>2x+m恒成立,则实数m的取值范围是 .
题型一幂函数的图象与性质
[典例1](1)幂函数y=x-1,y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示,则m与n的取值
情况为 ( )
A.-1C.-1核心题型·分类突破
D
【解析】幂函数y=xα,当α>0时,y=xα在(0,+∞)上单调递增,且0<α<1时,图象上凸,所以0则-1(2)已知a=,b=,c=2,则 ( )
A.bC.bA
(3)(2022·长沙模拟)幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm的图象关于y轴对称,则实数m= .
答案:2
【解析】由幂函数定义,知m2-3m+3=1,
解得m=1或m=2,
当m=1时,f(x)=x的图象不关于y轴对称,舍去,
当m=2时,f(x)=x2的图象关于y轴对称,
因此m=2.
【方法提炼】
(1)幂函数图象的特点:掌握幂函数图象,首先确定定义域,然后抓住三条线分第一象限为六个区域,即x=1,y=1,y=x分的区域.根据α<0,0<α<1,α=1,α>1的取值确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定.
(2)比较幂值大小的方法:在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较.
【对点训练】
1.当x∈(0,+∞)时,幂函数y=(m2-m-1)·x-5m-3为减函数,则实数m的值为 ( )
A.m=2 B.m=-1
C.m=-1或m=2 D.m≠
A
2.(2023·怀仁模拟)有四个幂函数:①f(x)=x-1;②f(x)=x-2;③f(x)=x3;④f(x)=.某同学研究了其中的一个函数,他给出这个函数的三个性质:(1)偶函数;(2)值域是{y|y∈R,且y≠0};(3)在(-∞,0)上是增函数.如果他给出的三个性质中,有两个正确,一个错误,则他研究的函数是 ( )
A.① B.② C.③ D.④
B
3.若(a+1<(3-2a,则实数a的取值范围是 .
题型二 二次函数的解析式
[典例2](1)已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,函数的解析式f(x)= .
答案:-4x2+4x+7
【解析】方法一 (一般式):设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由题意得解得所以所求二次函数的解析式为
f(x)=-4x2+4x+7.
方法二 (顶点式):
设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).因为f(2)=f(-1),所以抛物线的对称轴为x==,
所以m=.又根据题意,函数有最大值8,所以n=8,
所以f(x)=a(x-)2+8.因为f(2)=-1,所以a(2-)2+8=-1,解得a=-4,
所以f(x)=-4(x-)2+8=-4x2+4x+7.
方法三 (零点式):
由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),即f(x)=ax2-ax-2a-1.
又函数有最大值8,即=8.解得a=-4或a=0(舍去).
故所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.
(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),且图象被x轴截得的线段长为2,并且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),则f(x)的解析式为 .
答案:f(x)=x2-4x+3
【解析】因为f(2+x)=f(2-x)对任意x∈R恒成立,
所以f(x)图象的对称轴为直线x=2,又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2,
所以f(x)=0的两根为1和3,设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0),
因为f(x)的图象过点(4,3),所以3a=3,所以a=1,
所以所求函数的解析式为f(x)=(x-1)(x-3),即f(x)=x2-4x+3.
【方法提炼】
确定二次函数解析式的方法
根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,选择规律如下:
【对点训练】
已知函数f(x)=x2+bx+c,且g(x)=f(x)+2x为偶函数,再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知,求f(x)的解析式.
条件①:函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值为5;
条件②:函数f(x)≤0的解集为{1};
条件③:方程f(x)=0有两根x1,x2,且+=10.
【解析】函数f(x)=x2+bx+c,则g(x)=f(x)+2x=x2+(b+2)x+c,
因为g(x)为偶函数,所以g(-x)=g(x),即x2-(b+2)x+c=x2+(b+2)x+c,可得b=-2,
所以f(x)=x2-2x+c,图象开口向上,对称轴为直线x=1.
若选条件①,因为函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值为5,所以f(-2)=4+4+c=5,
解得c=-3.所以f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-3.
若选条件②,由函数f(x)≤0的解集为{1},可得f(1)=0,即1-2+c=0,解得c=1,
所以f(x)的解析式为f(x)=x2-2x+1.
若选条件③,方程f(x)=0有两根x1,x2,且+=10.
由根与系数的关系可得x1+x2=2,x1x2=c,又(x1+x2)2=++2x1x2,
所以4=10+2c,解得c=-3.所以f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-3.
【加练备选】
1.已知f(x)为二次函数,且f(x)=x2+f'(x)-1,则f(x)等于( )
A.x2-2x+1 B.x2+2x+1
C.2x2-2x+1 D.2x2+2x-1
B
2.若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b∈R)满足条件f(-x)=f(x),定义域为R,值域为(-∞,4],则函数的解析式f(x)= .
答案:-2x2+4
【解析】f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(2a+ab)x+2a2.
因为f(-x)=f(x),所以2a+ab=0,所以f(x)=bx2+2a2.
因为f(x)的定义域为R,值域为(-∞,4],所以b<0,且2a2=4,所以b=-2,所以f(x)=-2x2+4.
题型三 二次函数的图象与性质
角度1 二次函数的图象的识别
[典例3]设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是 ( )
【解析】因为abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c,那么可知,
在A中,a<0,b<0,c<0,不符合题意;B中,a<0,b>0,c>0,不符合题意;
C中,a>0,c<0,b>0,不符合题意.
D
角度2 二次函数的单调性
[典例4](1)已知函数f(x)=-2x2+bx,若对任意的实数t都有f(4+t)=f(4-t),则f(-2),f(4),
f(5)的大小关系为( )
A.f(5)>f(-2)>f(4) B.f(4)>f(5)>f(-2)
C.f(4)>f(-2)>f(5) D.f(-2)>f(4)>f(5)
【解析】因为对任意的实数t都有f(4+t)=f(4-t),所以函数f(x)=-2x2+bx的图象关于
直线x=4对称,所以f(-2)=f(10),又函数f(x)=-2x2+bx的图象开口向下,所以函数f(x)在
[4,+∞)上是减函数,因为4<5<10,所以f(4)>f(5)>f(10),即f(4)>f(5)>f(-2).
B
(2)(2022·宜宾模拟)若函数f(x)=x2+a|x|在区间[3,4]和[-2,-1]上均为增函数,则实数
a的取值范围是 ( )
A.[4,6] B.[-6,-4]
C.[2,3] D.[-3,-2]
D
角度3 二次函数的最值
[典例5]已知函数f(x)=x2-tx-1.
(1)若f(x)在区间(-1,2)上不单调,求实数t的取值范围;
(2)若x∈[-1,2],求f(x)的最小值g(t).
【一题多变】
本例条件不变,求当x∈[-1,2]时,f(x)的最大值G(t).
【方法提炼】
二次函数最值问题的类型及求解策略
(1)类型:①对称轴、区间都是给定的;②对称轴动、区间固定;③对称轴定、区间变动.
(2)求解策略:抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.
角度4 与二次函数有关的恒成立问题
[典例6]金榜原创·易错对对碰
已知两函数f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x2+4x+4,其中k为实数.
(1)对任意x∈[-3,3],都有f(x)≤g(x),则k的取值范围是 ;
答案:[86,+∞)
【解析】(1)设h(x)=f(x)-g(x)=6x2+12x-4-k,问题转化为x∈[-3,3]时,h(x)≤0恒成立,故h(x)max≤0.由二次函数的性质可知h(x)max=h(3)=86-k,
有86-k≤0,得k≥86,即k的取值范围为[86,+∞).
(2)存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,则k的取值范围是 ;
答案:[-10,+∞)
(2)由题意,存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,即h(x)=f(x)-g(x)=6x2+12x-4-k≤0在x∈[-3,3]上有解,故h(x)min≤0.由二次函数的性质可知h(x)min=h(-1)=-10-k,有-10-k≤0,得k≥-10,即k的取值范围为[-10,+∞).
(3)对任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),则k的取值范围是 .
答案:[118,+∞)
(3)对任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),所以f(x)max≤g(x)min,x∈[-3,3].
由二次函数的性质可得f(x)max=f(3)=120-k,g(x)min=g(-1)=2.
故有120-k≤2,得k≥118,即k的取值范围为[118,+∞).
【方法提炼】
由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
(1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是利用二次函数图象.
(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是:a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min.
【对点训练】
1.(多选题)二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论中正确的是( )
A.b=-2a
B.a+b+c<0
C.a-b+c>0
D.abc<0
AD
2.已知函数f(x)=-2x2+bx+c,不等式f(x)>0的解集为(-1,3).若对任意的x∈[-1,0],
f(x)+m≥4恒成立,则m的取值范围是 ( )
A.(-∞,2] B.[4,+∞)
C.[2,+∞) D.(-∞,4]
B
3.(2023·抚顺模拟)已知函数f(x)=-x2+2x+5在区间[0,m]上有最大值6,最小值5,则实数m的取值范围是 .
答案:[1,2]
【解析】由题意知,f(x)=-(x-1)2+6,则f(0)=f(2)=5=f(x)min,f(1)=6=f(x)max,
函数f(x)的图象如图所示,则1≤m≤2.
4.(2023·衡水模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足:当x≥0时,f(x)=x3,若不等式f(-4t)>f(2m+mt2)对任意实数t恒成立,则实数m的取值范围是 .
【加练备选】
1.(多选题)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(-1,0),顶点坐标为(1,n),与y轴的交点在(0,2),(0,3)之间(包含端点),则下列结论正确的是 ( )
A.当x>3时,y<0 B.4a+2b+c=0
C.-1≤a≤- D.3a+b>0
AC
【解析】依题意知,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(-1,0),顶点坐标为(1,n),所以函数与x轴的另一交点为(3,0),所以当x>3时,y<0,故A正确;
当x=2时,y=4a+2b+c>0,故B错误;因为抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A
(-1,0),且a<0,所以a-b+c=0,因为b=-2a,所以a+2a+c=0,所以3a+b<0,c=-3a,因为2≤c≤3,所以2≤-3a≤3,所以-1≤a≤-,故C正确,D错误.
2.(2022·沈阳模拟)已知f(x)=ax2-2x+1.
(1)若f(x)在[0,1]上单调,求实数a的取值范围;
(2)若x∈[0,1],求f(x)的最小值g(a).
【解析】(1)当a=0时,f(x)=-2x+1单调递减;当a>0时,f(x)的对称轴为x=,且>0,
所以≥1,即0所以a<0符合题意.综上可得a的取值范围为{a|a≤1}.
(2)①当a=0时,f(x)=-2x+1在[0,1]上单调递减,所以f(x)min=f(1)=-1.
②当a>0时,f(x)=ax2-2x+1的图象开口向上,且对称轴为x=.
(ⅰ)当<1,即a>1时,f(x)=ax2-2x+1图象的对称轴在[0,1]内,
所以f(x)在[0,]上单调递减,在[,1]上单调递增.所以f(x)min=f()=-+1=-+1.
(ⅱ)当≥1,即0③当a<0时,f(x)=ax2-2x+1的图象开口向下,且对称轴x=<0,在y轴的左侧,
所以f(x)=ax2-2x+1在[0,1]上单调递减.所以f(x)min=f(1)=a-1.
综上所述,g(a)=
【思维导图·构网络】(共48张PPT)
第四节 指数与指数函数
【课程标准】
1.了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质.
2.了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.
3.能画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点等性质.
知识梳理·思维激活
【必备知识 精归纳】
1.指数与指数运算
(1)根式的性质
①()n=_______(a使有意义);
②当n是奇数时,=a;当n是偶数时,=_________________.
(2)分数指数幂的意义
①=________(a>0,m,n∈N*,且n>1);
a
|a|=
②==_______(a>0,m,n∈N*,且n>1);
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂______________.
(3)实数指数幂的运算性质:ar·as=________,(ar)s=________,(ab)r=_________(其中
a>0,b>0,r,s∈R).
点睛化简时,一定要注意区分n是奇数还是偶数.
没有意义
ar+s
ars
arbr
2.指数函数的图象与性质
01
图 象
性 质 定义域:__ 值域:_______ 过定点_____ 当x>0时,_______; 当x<0时,____ 当x>0时,_____;
当x<0时,______
在R上是____函数 在R上是____函数
R
(0,+∞)
(0,1)
0y>1
y>1
0减
增
点睛(1)画指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象,应抓住三个关键点(0,1),(1,a),(-1,).
(2)讨论指数函数的性质时,要注意分底数a>1和0【常用结论】
指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象,
底数a,b,c,d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律:在第一象限内,指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象越高,底数越大.
【基础小题 固根基】
1.(教材变式)化简[]的结果为 ( )
A.5 B. C.- D.-5
教材改编 结论应用 易错易混
1,3 2 4,5
B
2.(结论)已知y1=()x,y2=3x,y3=10-x,y4=10x,则在同一平面直角坐标系内,它们的图象为( )
A
4.(忽视函数的定义域)函数f(x)=的值域为 .
5.(忽视底数的取值)若函数f(x)=ax在[-1,1]上的最大值为2,则a= .
题型一 指数幂的运算
[典例1](1)化简4·÷(-)的结果为 ( )
A.- B.- C.- D.-6ab
核心题型·分类突破
C
(2)(2023·沧州模拟)化简:()·(a>0,b>0)= .
(3)若+=3,则的值为 .
【方法提炼】
指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算.
(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.
(3)底数是字母,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.
(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来计算.
【对点训练】
1.已知a>0,则化为 ( )
A. B. C. D.
B
2.化简(x<0,y<0)= .
3.计算:-()0++(26= .
【加练备选】
1.(2023·杭州模拟)化简(a>0,b>0)的结果是 ( )
A. B. C. D.
B
2.计算:(-3)+(0.002-10(-2)-1+(-)0= .
题型二 指数函数的图象及应用
[典例2](1)已知函数f(x)=2x-2,则函数y=|f(x)|的图象可能是 ( )
B
(2)(多选题)已知实数a,b满足等式2 021a=2 022b,下列等式可以成立的是
( )
A.a=b=0 B.aC.0【解析】如图,观察易知,aABD
(3)某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%,专家预测经过x年可能
增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的大致图象为 ( )
D
(4)若函数y=|3x-1|在(-∞,k]上单调递减,则k的取值范围为 .
【一题多变】
[变式1]若本例(4)的条件变为:若函数y=|3x-1|-k有一个零点,则k的取值范围为 .
[变式2]若本例(4)的条件变为:若函数y=|3x-1|+m的图象不经过第二象限,则实数m的取值范围是 .
【方法提炼】
有关指数函数图象问题的解题思路
(1)已知函数解析式判断其图象,一般是取特殊点,判断选项中的图象是否过这些点,若不满足则排除;
(2)对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论;
(3)有关指数方程、不等式问题的求解,往往是利用相应的指数型函数图象,数形结合求解;
(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题,可以通过直线x=1与图象的交点进行判断.
【对点训练】
1.函数y=ax-a-1(a>0,且a≠1)的图象可能是 ( )
D
2.(2023·哈尔滨模拟)若存在正数x使ex(x+a)<1成立,则a的取值范围是( )
A.(-∞,+∞) B.(-∞,1)
C.(-∞,-1) D.(-∞,-1)
B
3.(2022·唐山模拟)当x∈[1,2]时,函数y=x2与y=ax(a>0且a≠1)的图象有交点,则a的取值范围是 ( )
A.[,2] B.[,1)∪(1,]
C.[,2] D.[,]
B
【加练备选】
1.在同一直角坐标系中,指数函数y=()x,二次函数y=ax2-bx的图象可能是( )
B
2.若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是 .
题型三 指数函数的性质的应用
角度1 比较指数幂的大小
[典例3](1)(2023·淮南模拟)设a=(),b=(),c=(),则a,b,c的大小关系是 ( )
A.a>c>b B.a>b>c
C.b>c>a D.b>a>c
A
(2)已知a=0.30.6,b=0.30.5,c=0.40.5,则 ( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>c>a D.c>b>a
D
角度2 解简单的指数方程或不等式
[典例4](1)(2022·西安模拟)已知实数a≠1,函数f(x)=若f(1-a)=f(a-1),则a的值为 .
答案:
【解析】当a<1时,41-a=21,解得a=;当a>1时,等式不成立.故a的值为.
(2)已知函数f(x)=a+的图象过点(1,-),若-≤f(x)≤0,则实数x的取值范围是 .
角度3 指数函数性质的综合应用
[典例5](1)函数f(x)=()的单调递减区间为 .
(2)已知函数f(x)=2|2x-m|(m为常数),若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则m的取值范围是 .
(3)已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=-++1,则此函数的值域为 .
【方法提炼】 ——自主完善,老师指导
有关指数型函数性质的常考题型及求解策略
题型 求解策略
比较幂值的大小 (1)能化成同底数幂的先化成同底数幂再利用____________比较大小
(2)不能化成同底数幂的,一般引入_________等中间量比较大小
解简单指数不等式 先利用幂的运算性质化为______________,再利用单调性转化为一般不等式求解
探究指数型函数的性质 与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致
单调性
“1”
同底数幂
【对点训练】
1.设y1=40.9,y2=80.48,y3=()-1.5,则 ( )
A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3
C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2
D
2.若偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则不等式f(x-2)>0的解集为 .
3.函数y=()x-()x+1在区间[-3,2]上的值域是 .
【加练备选】
1.(2022·郑州模拟)已知函数f(x)=,a=f(20.3),b=f(0.20.3),c=f(log0.32),则a,b,c的大小关系为 ( )
A.cC.bA
2.设函数f(x)=若f(a)<1,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,-3) B.(1,+∞)
C.(-3,1) D.(-∞,-3)∪(1,+∞)
C
3.已知函数f(x)=(),若f(x)的值域是(0,+∞),则a= .
【思维导图·构网络】(共61张PPT)
第五节 对数与对数函数
【课程标准】
1.理解对数的概念和运算性质,能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.
2.通过实例,了解对数函数的概念,会画出对数函数的图象,理解对数函数的单调性与特殊点.
3.了解指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数.
知识梳理·思维激活
【必备知识 精归纳】
1.对数的概念
一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作____________,其
中_______叫做对数的底数,_______叫做真数.
以10为底的对数叫做常用对数,记作_________.
以e为底的对数叫做自然对数,记作_________.
x=logaN
a
N
lg N
ln N
2.对数的性质与运算性质
(1)对数的性质:loga1=_______,logaa=_______,=_______(a>0,且a≠1,N>0).
(2)对数的运算性质
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:
①loga(MN)=________________;
②loga=________________;
③logaMn=____________(n∈R).
(3)换底公式:logab=(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1).
0
1
N
logaM+logaN
logaM-logaN
nlogaM
点睛(1)换底公式的变形:
①logab·logba=1,即logab=(a,b均大于0且不等于1).
②lobn=logab(a,b均大于0且不等于1,m≠0,n∈R).
③logNM==(a,b,N均大于0且不等于1,M>0).
(2)换底公式的推广:logab·logbc·logcd=logad(a,b,c均大于0且不等于1,d>0).
3.对数函数的图象与性质
y=logax a>1 0图象
定义域 ______ 值域 R 性质 过定点______,即x=1时,y=0 当x>1时,_____; 当01时,_____;
当0在(0,+∞)上是_______ 在(0,+∞)上是________
(0,+∞)
(1,0)
y>0
y<0
y<0
y>0
增函数
减函数
4.反函数
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于
直线_________对称.
【常用结论】
1.如图给出4个对数函数的图象
则b>a>1>d>c>0,即在第一象限,不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大.
2.对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象恒过点(1,0),(a,1),(,-1).
y=x
【基础小题 固根基】
1.(教材变式)log29·log34=( )
A. B. C.2 D.4
教材改编 结论应用 易错易混
1,4 2,3 5,6
D
2.(结论1)已知图中曲线C1,C2,C3,C4是函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象,则曲线
C1,C2,C3,C4对应的a的值依次为( )
A.3,2,, B.2,3,,
C.2,3,, D.3,2,,
B
【解析】方法一:可用结论1,画直线y=1(图略),交点的位置自左向右,底数由小到大.
方法二:因为C1,C2为增函数,所以它们的底数都大于1,又当x>1时,图象越靠近x轴,其底数越大,故C1,C2对应的a值分别为2,3.又因为C3,C4为减函数,所以它们的底数都大于0小于1,此时当x>1时,图象越靠近x轴,其底数越小,所以C3,C4对应的a分别为,.综上可得C1,C2,C3,C4对应的a值依次为2,3,,.
3.(结论2)函数y=loga(x-2)+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点 .
答案:(3,2)
【解析】因为loga1=0,令x-2=1,所以x=3,
所以y=loga1+2=2,所以原函数的图象恒过定点(3,2).
4.(教材提升)函数y=的定义域是 .
5.(忽视真数大于0)已知lg x+lg y=2lg(x-2y),则= .
6.(忽视对数函数的单调性)函数y=logax(a>0,a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a的值为 .
题型一 对数式的运算
[典例1](1)若2a=5b=10,则+= ( )
A.-1 B.lg 7 C.1 D.log710
核心题型·分类突破
C
(2)设alog34=2,则4-a= ( )
A. B. C. D.
B
(3)计算:= .
(4)计算:log23·log38+= .
【方法提炼】
对数运算的一般思路
(1)拆:首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后再用对数的运算性质化简合并.
(2)合:将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底数对数真数的积、商、幂的运算.
提醒对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的,不能出现log212=log2[(-3)×(-4)]=log2(-3)+log2(-4)的错误.
【对点训练】
1.计算:lg 25+lg 50+lg 2·lg 500+(lg 2)2= .
答案:4
【解析】原式=2lg 5+lg(5×10)+lg 2·lg(5×102)+(lg 2)2=2lg 5+lg 5+1+lg 2·(lg 5+2)
+(lg 2)2=3lg 5+1+lg 2·lg 5+2lg 2+(lg 2)2
=3lg 5+2lg 2+1+lg 2(lg 5+lg 2)
=3lg 5+2lg 2+1+lg 2
=3(lg 5+lg 2)+1
=4.
2.计算:= .
3.若logab·log3a=4,则b= .
4.若log147=a,14b=5,则用a,b表示log3528= .
【加练备选】
1.计算:log535+2lo-log5-log514= .
2.计算:
log2×log5[-(3+]= .
3.已知a>b>1,若logab+logba=,ab=ba,则a+b= .
题型二 对数函数的图象及应用
[典例2](1)(2023·泰安模拟)函数y=ln(2-|x|)的大致图象为( )
【解析】令f(x)=ln(2-|x|),易知函数f(x)的定义域为{x|-2ln(2-|-x|)=ln(2-|x|)=f(x),所以函数f(x)为偶函数,排除选项C,D.由对数函数的单调性及函数y=2-|x|的单调性知A正确.
A
(2)金榜原创·易错对对碰
①当x∈(0,]时,4x
②当x∈(0,]时,4x【方法提炼】
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.
【对点训练】
1.已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是
( )
A.0C.0A
2.函数f(x)=|log3x|在区间[a,b]上的值域为[0,1],则b-a的最小值为 .
【加练备选】
1.已知函数f(x)=logax+b的图象如图所示,那么函数g(x)=ax+b的图象可能为 ( )
【解析】结合已知函数的图象可知,f(1)=b<-1,a>1,则g(x)单调递增,且g(0)=b+1<0,
故D符合题意.
D
2.已知x1,x2分别是函数f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x-2的零点,则+ln x2的值为 ( )
A.e2+ln 2 B.e+ln 2
C.2 D.4
C
题型三 对数函数的性质及应用
角度1 比较指数式、对数式大小
[典例3](1)(多选题)若实数a,b,c满足loga2是( )
A.aC.cBCD
(2)(2020·全国卷Ⅲ)已知55<84,134<85,设a=log53,b=log85,c=log138,则( )
A.aC.bA
【方法提炼】——自主归纳,老师指导
比较对数值大小的常见类型及解题方法
常见类型 解题方法
底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断
底数为同一字母 需对底数进行分类讨论
底数不同,真数相同 可以先用换底公式化为同底后,再进行比较
底数与真数都不同 常借助1,0等中间量进行比较
角度2 解简单的对数不等式
[典例4](1)设函数f(x)=则满足f(x)≤2的x的取值范围是( )
A.[-1,2] B.[0,2]
C.[1,+∞) D.[0,+∞)
D
(2)若loga(a+1)0,a≠1),则实数a的取值范围是 .
【方法提炼】
解对数不等式的类型及方法
(1)形如logax>logab的不等式,借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0(2)形如logax>b的不等式,需先将b化为以a为底的对数式的形式.
角度3 对数函数性质的综合问题
[典例5](1)(2020·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)单调递增,则a的取
值范围是( )
A.(-∞,-1] B.(-∞,2]
C.[2,+∞) D.[5,+∞)
D
(2)(2020·全国卷Ⅱ)设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x) ( )
A.是偶函数,且在单调递增
B.是奇函数,且在单调递减
C.是偶函数,且在单调递增
D.是奇函数,且在单调递减
D
【方法提炼】
解对数函数性质综合问题的三个策略
(1)定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;
(2)底数与1的大小关系;
(3)复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.
提醒解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用.
【对点训练】
1.设a=log63,b=log126,c=log2412,则( )
A.bC.aC
2.已知定义域为R的偶函数f(x)在(-∞,0]上是减函数,且f(1)=2,则不等式f(log2x)>2
的解集为( )
A.(2,+∞) B.(0,)∪(2,+∞)
C.(0,)∪(,+∞) D.(,+∞)
B
3.若函数f(x)=log2(x2-ax-3a)在区间(-∞,-2]上单调递减,则实数a的取值范围是
( )
A.(-∞,4) B.(-4,4]
C.(-∞,-4)∪[-2,+∞) D.[-4,4)
D
4.若函数f(x)=存在最大值,则实数a的取值范围是 .
【加练备选】
(多选题)已知函数f(x)=x+,g(x)=则( )
A.f(g(2))=2
B.g(f(1))=1
C.当x<0时,f(g(x))的最小值为2
D.当x>0时,g(f(x))的最小值为1
ABD
【思维导图·构网络】
解题思维拓广角度 指数、对数、幂值的比较大小
类型一 同构式问题比较大小
[典例1](2020·全国Ⅱ卷)若2x-2y<3-x-3-y,则( )
A.ln(y-x+1)>0 B. ln(y-x+1)<0
C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0
A
【方法提炼】
此类问题将不等式或等式两边“同构”(即结构相同),构造函数,通过函数的单调性实现比较大小或求参数取值范围.常见的同构方法有x=,xex=eln x+x,x2ex=
e2ln x+x,ln x+ln a=ln ax,ln x-1=ln ,有时也需要对两边同时加、乘某式等.
【加练备选】
若ea+πb≥e-b+π-a,则a与b的关系式为 .
类型二 含变量问题的比较大小
[典例2](1)x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则 ( )
A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y
C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z
D
【解析】方法一(作差法):
令2x=3y=5z=k,由x,y,z为正数,知k>1,则x=,y=,z=.
因为k>1,所以lg k>0,所以2x-3y=-==>0,故2x>3y,
2x-5z=-==<0,故2x<5z.所以3y<2x<5z.
方法二(作商法):
令2x=3y=5z=k,由x,y,z为正数,知k>1.则x=,y=,z=.
所以=·=>1,即2x>3y,=·=>1,即5z>2x.所以5z>2x>3y.
方法三(函数法):
令2x=3y=5z=k,由x,y,z为正数,知k>1,则x=,y=,z=.
设函数f(t)=(t>0,t≠1),则f(2)==2x,f(3)==3y,f(5)==5z.
f'(t)==,易得当t∈(e,+∞)时,f'(t)>0,函数f(t)单调递增.
因为e<3<4<5,所以f(3)所以f(3)(2)(2022·邯郸模拟)已知实数x,y,z∈R,且满足==-,y>1,则x,y,z的大小关系为
( )
A.y>x>z B.x>z>y
C.y>z>x D.x>y>z
A
【方法提炼】
(1)若题设涉及三个指数式连等或三个对数式连等,则可利用特例法求解,也可在设元变形的基础上,通过作差、作商或运用函数的性质求解.
(2)涉及不同变量结构相似的式子相等,细心挖掘问题的内在联系,构造函数,分析并运用函数的单调性求解作答.
【加练备选】
设x,y,z为正实数,且log2x=log3y=log5z>0,则,,的大小关系不可能是 ( )
A.<< B.<B
类型三 构造函数法比较大小
[典例3](1)若a=e0.2,b=,c=ln 3.2,则a,b,c的大小关系为( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>a>c D.c>b>a
B
(2)(2022·洛阳模拟)已知a=810,b=99,c=108,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.b>c>a B.b>a>c
C.a>c>b D.a>b>c
D
【方法提炼】
(1)本例(1)解题关键是构造两个不等式ex>x+1(x>0)与ln x>(x>1)进行放缩,需要学生对一些重要不等式的积累.
(2)对稍复杂的题目可能需要构造函数进行比较大小,要结合题目特征,构造合适的函数,通过导函数研究其单调性,比较出大小.(共56张PPT)
第三章 函数及其应用
第一节 函数的概念及其表示
【课程标准】
1.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域.
2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图象的作用.
3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.
知识梳理·思维激活
【必备知识·精归纳】
1.函数及其要素
非空性 两个________________A,B
唯一性 对于集合A中的__________一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有______________的数y和它对应,即f:A→B
记法 y=f(x),x∈A
定义域 自变量x的______________,即x∈A
值域 函数值的集合{f(x)|x∈A},其中与x的值相对应的y值叫做函数值
非空实数集
任意
唯一确定
取值范围
点睛在函数的概念中集合B不一定是函数的值域,它包含了函数的值域,即值域是集合B的子集.
2.同一个函数
两个函数____________相同,且______________完全一致.
3.函数的表示法
常用方法:解析法、____________、____________.
4.分段函数
两个不同:在____________的不同子集上,函数的______________不同.
定义域
对应关系
列表法
图象法
定义域
对应关系
【常用结论】
直线x=a(a是常数)与函数的图象有0个或1个交点.
【基础小题·固根基】
1.(结论)(多选题)下列能表示函数图象的有( )
【解析】根据函数的唯一性可知A,B,C符合题意.
教材改编 结论应用 易错易混
2,4,5 1 3,6
ABC
2.(教材变式)下列四组中,每组表示同一个函数的是( )
A.y=x-1与y=
B.y=()2与y=+1
C.y=x+1与y=+1
D.y=()3与y=x
D
【解析】A项y=x-1的定义域是R,值域是R,而y=的定义域是R,值域是[0,+∞),不正确;B项y=()2的定义域是[-1,+∞),而y=+1的定义域是R,不正确;C项y=x+1的定义域是R,而y=+1的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),不正确;D项的定义域、值域都是R,对应关系相同,故正确.
3.(对函数定义把握不准致误)已知集合A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列从A到B的各对应关系f不是函数的是( )
A.f:x→y=x B.f:x→y=x
C.f:x→y=x D.f:x→y=
C
4.(教材变式)已知函数f(x)=则f(f())= .
5.(教材提升)已知f(x)=+,若f(-2)=0,则a的值为 .
答案:1
6.(忽视新元范围)已知f()=x-1,则f(x)= .
【题型一】函数的定义域
角度1 具体函数的定义域
[典例1](1)(2022·新乡模拟)函数f(x)=的定义域是( )
A.(0,1)∪(1,4] B.(0,4]
C.(0,1) D.(0,1)∪[4,+∞)
核心题型·分类突破
A
【解析】要使原式有意义,
需即
解得
所以函数的定义域为∪.
(2)已知函数f(x)=的定义域是R,则实数a的取值范围是( )
A.(,+∞) B.(-12,0]
C.(-12,0) D.
B
【方法提炼】——自主完善,老师指导
1.求具体函数定义域的策略
(1)构造使解析式___________________求解即可;
(2)对于实际问题,既要使函数解析式有意义,又要使实际问题有意义.
有意义的不等式(组)
2.常见函数类型的限制条件
(1)分式型:要满足_______;
(2)根式型:(n∈N*)要满足_______;
(3)0次幂型:[f(x)]0要满足_______;
(4)对数型:logaf(x)(a>0,且a≠1)要满足_______;
(5)正切型:tan (f(x))要满足_______________.
f(x)≠0
f(x)≥0
f(x)≠0
f(x)>0
角度2 求抽象函数的定义域
[典例2]金榜原创·易错对对碰
(1)已知函数f(x)的定义域为[-1,1],则函数f(x-5)的定义域为 .
答案:[4,6]
【解析】已知函数f(x)的定义域为[-1,1],则由-1≤x-5≤1,得4≤x≤6,即函数f(x-5)的定义域为[4,6].
(2)已知函数f(x-5)的定义域为[-1,1],则函数f(x)的定义域为 .
答案:[-6,-4]
【解析】已知函数f(x-5)的定义域是[-1,1],则-1≤x≤1,则-6≤x-5≤-4,即函数f(x)的定义域为[-6,-4].
【方法提炼】——自主完善,老师指导
抽象函数定义域的求解方法
本质:函数f(g(x))的定义域指的是x的取值范围.
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f(g(x))的定义域由_________求出;
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在_____上的值域.
a≤g(x)≤b
[a,b]
【对点训练】
1.(2023·日照模拟)已知函数f(x)=,则函数的定义域为( )
A.(-∞,1)
B.(-∞,-1)
C.(-∞,-1)∪(-1,0)
D.(-∞,-1)∪(-1,1)
D
【解析】由题意知2x-4x>0,
解得x<0,则f(x)的定义域为(-∞,0),
则要使有意义,需
即
所以函数的定义域为(-∞,-1)∪(-1,1).
2.已知函数f的定义域为,则函数f的定义域为( )
A. B.
C. D.
C
3.已知函数f(x)的定义域为[-2,2],则函数g(x)=f(2x)+的定义域为
.
【加练备选】
已知函数f(x)的定义域为[-1,2],求g(x)=f(x)+f(-x)的定义域.
【题型二】求函数的解析式
[典例3](1)已知函数f(x)是一次函数,若f(f(x))=4x+8,则f(x)= .
(2)已知f(+1)=x-2,则f(x)= .
(3)已知f(x)满足2f(x)+f()=3x-1,则f(x)= .
(4)甲家到乙家的途中有一公园,甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km,甲10时出发前往乙家.如图所示,表示甲从家出发到达乙家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系.则函数y=f(x)的解析式为 .
【解析】当x∈[0,30]时,设y=k1x,
由题图得2=30k1,即k1=,所以y=x;
当x∈(30,40]时,y=2;
当x∈(40,60]时,设y=k2x+b,
由题图得即
所以y=x-2.
综上,y=
【方法提炼】
求函数解析式的四种方法
(1)待定系数法:适于已知函数的类型,先设出解析式,再利用恒等式等号两边的系数相等求解.
(2)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,要注意新元的取值范围.
(3)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的解析式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.
(4)消去法:已知关于f(x)与f() (或f(-x))的关系式,根据已知条件再构造出另外一个等式,两等式组成方程组,消去f() (或f(-x))求出f(x).
【对点训练】
1.若f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2,则f(x)= .
答案:x2-x+3
2.已知f(x)+3f(-x)=2x+1,则f(x)= .
3.已知f(1-sin x)=cos2x,则f(x)= .
答案:2x-x2(0≤x≤2)
【解析】方法一(换元法):
令t=1-sin x(0≤t≤2),则sin x=1-t,
则f(t)=1-(1-t)2=2t-t2,
所以f(x)=2x-x2(0≤x≤2).
方法二(配凑法):
因为f(1-sin x)=cos2x=1-sin2x
=(1-sin x)(1+sin x)=(1-sin x)[-(1-sin x)+2],
又0≤1-sin x≤2,
所以f(x)=2x-x2(0≤x≤2).
【加练备选】
1.若f(2x)=3x+5,则f()=( )
A.x+5 B.x+5
C.x+4 D.x+4
A
2.(多选题)下列函数中,满足f(18x)=18f(x)的是( )
A.f(x)=|x| B.f(x)=x-|x|
C.f(x)=x+2 D.f(x)=-2x
【解析】若f(x)=|x|,
则f(18x)=|18x|=18|x|=18f(x);
若f(x)=x-|x|,则f(18x)=18x-|18x|=18(x-|x|)=18f(x);
若f(x)=x+2,则f(18x)=18x+2,
而18f(x)=18x+18×2,故f(x)=x+2不满足f(18x)=18f(x);
若f(x)=-2x,则f(18x)=-2×18x=18×(-2x)=18f(x).
ABD
【题型三】分段函数
角度1 分段函数求函数值
[典例4]若f(x)=则f的值为 .
【一题多变】
[变式1]本例中,若f(a)=,则a= .
[变式2]本例中,若f(f(a))=,则a= .
[变式3]本例中,若f(a)>,则a的取值范围是 .
角度2 分段函数与方程(求参)
[典例5](2021·浙江高考)已知a∈R,函数f(x)=若f(f())=3,
则a= .
角度3 分段函数与不等式
[典例6]函数f(x)=,则f(x)【解析】方法一:当x>1且x+1>1,即x>1时,不等式f(x)1;
当x≤1且x+1>1,即0-1log21=0,x2-1当x≤1且x+1≤1,即x≤0时,不等式f(x)解得x>-,所以-综上所述,不等式的解集为(-,+∞).
方法二:作出函数的图象,如图所示,函数在(0,+∞)上单调递增,
所以当x≥0时,f(x)-,
所以-综上所述,不等式的解集为(-,+∞).
【方法提炼】——自主完善,老师指导
分段函数问题的求解
(1)求值问题:先确定要求值的自变量______________然后代入______________求解.
(2)与方程、不等式的交汇问题:
要对不同定义区间进行分类讨论,最后注意检验结果________________________.
属于哪一区间
对应的解析式
是否适合相应的分段区间
【对点训练】
1.(2022·浙江高考)已知函数f(x)=则f(f() )= ;若当x∈[a,b]时,1≤f(x)≤3,则b-a的最大值是 .
2.已知f(x)=若f(a)=5,则实数a的值是 ;若f(f(a))≤5,则实数a的取值范围是 .
【加练备选】
已知函数f(x)=,若对任意实数b,总存在实数x0,使得f(x0)=b,则实数a的取值范围是 .
【备选题型】函数的新定义问题
[典例]设函数f(x),若存在常数m>0,使|f(x)|≤m|x|,对一切定义域内x均成立,则称f(x)为F函数.下列函数中不是F函数的是( )
A.f(x)=0
B.f(x)=2x
C.f(x)=x2-3x+1,x≥2
D.f=
C
【解析】A项若f(x)=0,则|f(x)|=0,
所以当m>0时,恒有|f(x)|≤m|x|成立,所以满足条件;
B项若f(x)=2x,则|f(x)|=2|x|,
当m≥2时,|f(x)|≤m|x|成立,所以满足条件;
C项若f(x)=x2-3x+1,x≥2,则||==,
因为x≥2时,函数y=x+单调递增,
所以y=x+≥2+=.
则不存在常数m>0,使|f(x)|≤m|x|对一切定义域内x均成立,所以不满足条件;
D项,若f(x)=,
则==≤,
当m=时,|f(x)|≤m|x|对一切定义域内x均成立,所以满足条件.
【方法提炼】
函数新定义问题的求解策略
(1)新定义问题是先给出一个新的概念,或给出一个抽象函数的性质,然后根据这种新定义解决相关的问题.
(2)解决问题的关键是破译题目的信息,转化为熟悉的问题便可获解.
【对点训练】
在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点,如果函数f(x)的图象恰好通过n(n∈N+)个整点,则称函数f(x)为n阶整点函数.有下列函数:
①f(x)=sin 2x;②g(x)=x3;③h(x)=()x; ④φ(x)=ln x.
其中是一阶整点函数的是( )
A.①②③④ B.①③④
C.①④ D.④
C
【解析】对于函数f(x)=sin 2x,它只通过一个整点(0,0),故它是一阶整点函数;
对于函数g(x)=x3,当x∈Z时,一定有g(x)=x3∈Z,即函数g(x)=x3通过无数个整点,它不是一阶整点函数;
对于函数h(x)=()x,当x=0,-1,-2时,h(x)都是整数,易知函数h(x)通过无数个整点,它不是一阶整点函数;
对于函数φ(x)=ln x,它只通过一个整点(1,0),故它是一阶整点函数.
【思维导图·构网络】