(共60张PPT)
第二节 导数与函数的单调性
【课程标准】
1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
知识梳理·思维激活
【必备知识·精归纳】
1.函数的单调性与导数的关系
条件 结论 函数y=f(x)在区间(a,b)上可导 f'(x)>0 f(x)在区间(a,b)上__________
f'(x)<0 f(x)在区间(a,b)上__________
f'(x)=0 f(x)在区间(a,b)上是__________
单调递增
单调递减
常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步,确定函数的________;
第2步,求出导数f'(x)的______;
第3步,用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f'(x)在各
区间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.
定义域
零点
【常用结论】
1.若函数f(x)在(a,b)上单调递增,则x∈(a,b)时,f'(x)≥0恒成立;若函数f(x)在(a,b)
上单调递减,则x∈(a,b)时,f'(x)≤0恒成立.
2.若函数f(x)在(a,b)上存在单调递增区间,则x∈(a,b)时,f'(x)>0有解;若函数f(x)
在(a,b)上存在单调递减区间,则x∈(a,b)时,f'(x)<0有解.
【基础小题·固根基】
1.(教材变式)函数y=x-ex的单调递减区间为 ( )
A.(-∞,0) B.(0,+∞)
C.[1,+∞) D.(1,+∞)
教材改编 结论应用 易错易混
1,2,4 3,5 6
B
2.(教材提升)如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,则下列判断正确的是 ( )
A.在区间(-2,1)上f(x)单调递增
B.在区间(2,3)上f(x)单调递增
C.在区间(4,5)上f(x)单调递增
D.在区间(3,5)上f(x)单调递减
C
【解析】在区间(-2,1)上,当x∈（-2,-)时,f'(x)<0,当x∈（-,1)时,f'(x)>0,故f(x)在（-2,-)上单调递减,在（-,1)上单调递增,A错误;在区间(3,5)上,当x∈(3,4)时,f'(x)<0,当x∈(4,5)时,f'(x)>0,即f(x)在(3,4)上单调递减,在(4,5)上单调递增,D错误;在区间(4,5)上f'(x)>0恒成立,所以f(x)单调递增,C正确;在区间(2,3)上f'(x)<0恒成立,f(x)单调递减,故B错误.
3.(结论2)若函数h(x)=ln x-ax2-2x在[1,4]上存在单调递减区间,则实数a的取值范围为 ( )
A.[-,+∞) B.(-1,+∞)
C.[-1,+∞) D. (-,+∞)
B
4.(教材变式)函数y=3x2-2ln x的单调递增区间为 ,单调递减区间为 .
5.(结论1)已知函数f(x)=sin x-ax,对于任意实数x1,x2,且x1≠x2,都有<0,则a的取值范围是 .
答案:[1,+∞)
6.(单调性与充要条件的关系把握不准)若函数f(x)=sin x+kx在(0,π)上是增函数,则实数k的取值范围为 .
答案:[1,+∞)
题型一 不含参数的函数的单调性
[典例1](1)函数f(x)=x2-2ln x的单调递减区间是 ( )
A.(0,1) B.(1,+∞)
C.(-∞,1) D.(-1,1)
核心题型·分类突破
A
(2)求下列函数的单调区间.
①f(x)=; ②f(x)=;
③f(x)=(x-1)ex-x2; ④f(x)=2exsin x.
【解析】①f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞).
f'(x)==.
由f'(x)>0,解得x>e.
由f'(x)<0,解得0
所以f(x)的单调递增区间是(e,+∞),
f(x)的单调递减区间是(0,1),(1,e).
②f'(x)==.
令f'(x)>0,得cos x>-,即2kπ-令f'(x)<0,得cos x<-,即2kπ+因此f(x)的单调递增区间为(2kπ-,2kπ+)(k∈Z),f(x)的单调递减区间为(2kπ+,2kπ+)(k∈Z).
③由f(x)=(x-1)ex-x2,
得f'(x)=ex+(x-1)ex-2x=xex-2x=x(ex-2),令f'(x)=0,得x1=0,x2=ln 2.
当x变化时,f'(x),f(x)的变化如表:
由表可知,函数f(x)的单调递减区间为(0,ln 2),单调递增区间为(-∞,0),(ln 2,+∞).
④f'(x)=2ex(sin x+cos x)=2exsin(x+),由f'(x)<0,解得2kπ+由f'(x)>0,解得2kπ-x (-∞,0) 0 (0,ln 2) ln 2 (ln 2,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
【方法提炼】——自主完善,老师指导
求函数单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的________.
(2)求_____.
(3)在定义域内解不等式_______,得单调递增区间.
(4)在定义域内解不等式f'(x)<0,得单调递减区间.
定义域
f'(x)
f'(x)>0
【对点训练】
1.函数y=4x2+的单调递增区间为 ( )
A.(0,+∞) B. (,+∞)
C.(-∞,-1) D. (-∞,-)
B
2.若函数f(x)=,则函数f(x)的单调递减区间为 .
3.(2021·新高考Ⅰ卷节选)已知函数f(x)=x(1-ln x).讨论f(x)的单调性.
【加练备选】
1.(2022·山师附中模拟)若幂函数f(x)的图象过点(,),则函数g(x)=的单调递增区间为 ( )
A.(0,2) B.(-∞,0)∪(2,+∞)
C.(-2,0) D.(-∞,-2)∪(0,+∞)
A
2.已知定义在区间(0,π)上的函数f(x)=x+2cos x,则f(x)的单调递增区间为 .
题型二 含参数的函数的单调性
[典例2](1)(2021·全国乙卷节选)已知函数f(x)=x3-x2+ax+1,讨论f(x)的单调性.
(2)已知函数g(x)=ln x+ax2-(2a+1)x,若a>0,试讨论函数g(x)的单调性.
【方法提炼】——自主完善,老师指导
函数在某区间上的单调性的讨论
(1)在区间内f'(x)>0(或f'(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(或减)函数的_________
___条件.
(2)可导函数f(x)在(a,b)上是增(或减)函数的充要条件: x∈(a,b),都有_________
_________,且f'(x)在(a,b)的任何子区间内都不恒为零.
(3)由函数f(x)在(a,b)上的单调性,求参数取值范围的问题,可化为
________________恒成立的问题.要注意“=”能否取到.
充分不必
f'(x)≥0
f'(x)≥0(或f'(x)≤0)
要
(或f'(x)≤0)
【对点训练】
1.已知函数f(x)=ax+ln x(a∈R),求f(x)的单调区间.
2.已知函数f(x)=x-+a(2-ln x),a>0,讨论f(x)的单调性.
③当Δ>0,即a>2时,方程g(x)=0有两个不同的实根x1=,x2=,且0则x,f(x),f'(x)的变化情况如下表:
此时f(x)在(0,)上单调递增,在(,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增.
x (0,x1) x1 (x1,x2) x2 (x2,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调 递增 极大值 单调 递减 极小值 单调
递增
【加练备选】
(2023·贵阳模拟)已知函数f(x)=(m≥0),其中e为自然对数的底数.讨论函数f(x)的单调性.
题型三 函数单调性的应用
角度1 比较大小或解不等式
[典例3](1)已知函数f(x)=sin x+cos x-2x,a=f(-π),b=f(2e),c=f(ln 2),则a,b,c的大小关系是 ( )
A.a>c>b B.a>b>c
C.b>a>c D.c>b>a
A
(2)已知a=ln 2+,b=,c=,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.aC.cB
(3)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)=20,且f(x)的导函数f'(x)满足f'(x)>6x2+2,则不等式f(x)>2x3+2x的解集为 ( )
A.{x|x>-2} B.{x|x>2}
C.{x|x<2} D.{x|x<-2或x>2}
B
【方法提炼】
1.比较函数值大小时,若自变量不在同一单调区间内,则要利用函数的性质,将其转化到同一个单调区间上,再进行比较.
2.利用单调性比较大小或解不等式,关键是根据题意构造辅助函数,利用构造的函数的单调性比较大小或解不等式.
角度2 根据函数的单调性求参数的范围
[典例4](1)已知函数f(x)=x2+2ax-ln x,若f(x)在区间[,2]上单调递增,则实数a的取值范围为 .
【一题多变】
在本例中,把“f(x)在区间[,2]上单调递增”改为“f(x)在区间[,2]上存在单调递增区间”,求a的取值范围.
(2)已知a≥0,函数f(x)=(x2-2ax)ex,若f(x)在[-1,1]上是减函数,则a的取值范围是 .
【解析】①对f(x)求导得f'(x)=3x2+2ax=3x(x+a).ⅰ当a=0时,f'(x)=3x2≥0恒成立.
所以f(x)的单调递增区间是(-∞,+∞).ⅱ当a>0时,因为f'(x)在(-∞,-a)和(0,+∞)上都恒为正,所以f(x)的单调递增区间是(-∞,-a),(0,+∞).因为f'(x)在(-a,0)上恒为负,所以f(x)的单调递减区间是
(-a,0).ⅲ当a<0时,在(-∞,0)和(-a,+∞)上均有f'(x)>0,所以f(x)的单调递增区间是(-∞,0), (-a,+∞);在(0,-a)上,f'(x)<0,所以f(x)的单调递减区间是(0,-a).②由①知,a>0且(-,0) (-a,0),
所以-a≤-,所以a≥1.即a的取值范围为[1,+∞).③由①知a>0且(-,0)=(-a,0),
所以a=1.
【方法提炼】
1.f(x)在区间D上单调递增(减),只要f'(x)≥0(≤0)在区间D上恒成立即可,如果能够分离参数,则尽可能分离参数后转化为参数值与函数最值之间的关系.
2.二次函数在区间D上大于零恒成立,讨论的标准是二次函数的图象的对称轴与区间D的相对位置,一般分对称轴在区间左侧、内部、右侧进行讨论.
【对点训练】
1.已知函数f(x)=xsin x,x∈R,则f(),f(1),f(-)的大小关系为 ( )
A.f(-)>f(1)>f() B.f(1)>f(-)>f()
C.f()>f(1)>f(-) D.f(-)>f()>f(1)
A
2.(2022·益阳模拟)已知定义在R上的奇函数f(x),其导函数为f'(x),当x>0时,f(x)+xf'(x)>0,且f(1)=0,则不等式(x2-2x)f(x)<0的解集为 ( )
A.(-∞,-1)∪(1,2) B.(-1,1) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1)
A
3.若函数f(x)=ex(sin x+a)在区间(-,)上单调递增,则实数a的取值范围是 ( )
A.(1,+∞) B.[2,+∞)
C.[1,+∞) D.(-,+∞)
C
【加练备选】
(2023·株洲模拟)若函数f(x)=ax3+x恰有3个单调区间,则a的取值范围为 .
答案:(-∞,0)
【思维导图·构网络】
命题点1 构造y=f(x)±g(x)型可导函数
[典例1]设f(x)为R上的奇函数,当x≥0时,f'(x)-cos x<0,则不等式f(x)答案:(0,+∞)
命题点2 利用f(x)与x构造可导型函数
[典例2](1)设f(x)为定义在R上的奇函数,f(-3)=0.当x>0时,xf'(x)+2f(x)>0,其中f'(x)为f(x)的导函数,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是 ( )
A.(-∞,-3)∪(0,3) B.(-3,0)∪(3,+∞)
C.(-3,0)∪(0,3) D.(-∞,-3)∪(3,+∞)
B
【解析】令g(x)=x2f(x),x∈R,当x>0时,g'(x)=x2f'(x)+2xf(x)
=x[xf'(x)+2f(x)]>0,即g(x)在(0,+∞)上单调递增,因为f(x)为R上的奇函数,
即f(-x)=-f(x),于是得g(-x)=(-x)2f(-x)=-g(x),则g(x)是奇函数,g(x)在(-∞,0)上单调递增,
又f(-3)=0,则g(3)=-g(-3)=-[(-3)2f(-3)]=0,当x>0时,f(x)>0 g(x)>0=g(3),得x>3,
当x<0时,f(x)>0 g(x)>0=g(-3),得-33,所以使f(x)>0成立的x的取值范围是(-3,0)∪(3,+∞).
(2)设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(1)=0,当x<0时,有xf'(x)-f(x)>0恒成立,则不等式f(x)>0的解集为 .
答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)
命题点3 利用f(x)与ex构造可导型函数
[典例3](1)f(x)为定义在R上的可导函数,且f'(x)>f(x),对任意正实数a,下列式子成立的是 ( )
A.f(a)eaf(0)
C.f(a)< D.f(a)>k
B
【解析】令g(x)=,
所以g'(x)=
=>0.
所以g(x)在R上单调递增.又a>0,
所以g(a)>g(0),即>,
即f(a)>eaf(0).
(2)若定义在R上的函数f(x)满足f'(x)+2f(x)>0,且f(0)=1,则不等式f(x)>的解集为 .
答案:(0,+∞)
【方法提炼】
(1)出现f'(x)+nf(x)形式,构造函数F(x)=enxf(x);
命题点4 利用f(x)与sin x,cos x构造可导型函数
[典例4](1)已知函数y=f(x)对任意的x∈(0,π),满足f'(x)sin x>f(x)cos x,则下列不等式成立的是 ( )
A.f()f() C.f()>f() D.f()B
(2)已知函数y=f(x)对于任意的x∈(-,)满足f'(x)cos x+f(x)sin x>0(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式不成立的是 ( )
A.f()C.f(0)A
【加练备选】
1.已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的函数,导函数f'(x)满足f'(x)A.f(2)>e2f(0),f(2 022)>e2 022f(0)
B.f(2)e2 022f(0)
C.f(2)>e2f(0),f(2 022)D.f(2)D
2.已知R上的奇函数f(x),其导函数为f'(x),且当x∈(0,+∞)时,f'(x)sin x+f(x)cos x<0,若a=f(-),b=-f(),则a与b的大小关系为 .
答案:a第三节 导数与函数的极值、最值
【课程标准】
1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
2.会利用导数求某些函数的极大值、极小值.
3.会求给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.
知识梳理·思维激活
【必备知识·精归纳】
1.函数的极值与导数
点睛(1)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能称为极值点.
(2)在函数的整个定义域内,极值不一定是唯一的,有可能有多个极大值或极小值.
条件 f'(x0)=0 在点x=x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0 在点x=x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0
图象 形如山峰
形如山谷
极值 f(x0)为极____值 f(x0)为极____值
极值点 x0为极____值点 x0为极____值点
大
小
大
小
2.函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件
一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条__________的曲线,那么它必有最大
值和最小值.
(2)求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤
①求函数y=f(x)在区间(a,b)内的______;
②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中______的一个是最大值,
______的一个是最小值.
点睛极值只能在定义域内部取得,而最值却可以在区间的端点处取得,有极值的未必
有最值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点处必定是极值.
连续不断
极值
最大
最小
【常用结论】
1.对于可导函数f(x),“f'(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件.
2.若函数f(x)在[a,b]上是单调函数,则f(x)一定在区间端点处取得最值.
3.若函数f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数的最值点.
【基础小题·固根基】
1.(教材变式)如图是f(x)的导函数f'(x)的图象,则f(x)的极小值点的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】由题意知只有在x=-1处f'(-1)=0,且其两侧导数符号为左负右正.
教材改编 结论应用 易错易混
1,2,3,4 5 6
A
2.(教材变式)函数f(x)=2x-xln x的极值是 ( )
A. B. C.e D.e2
C
3.(教材提升)函数f(x)=xe-x,x∈[0,4]的最小值为 ( )
A.0 B. C. D.
A
4.(教材提升)若函数f(x)=x3-4x+m在[0,3]上的最大值为4,则m= .
答案:4
5.(结论1)若函数f(x)=aex-sin x在x=0处有极值,则a= .
答案:1
6.(忽视极值的存在条件)若函数f(x)=x3+ax2+bx+a2,在x=1处取得极值10,则a= ,b= .
答案:4 -11
题型一 利用导数求函数的极值问题
角度1 根据函数图象判断极值
[典例1]已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图,则下列叙述正确的是 ( )
A.函数f(x)在(-∞,-4)上单调递减
B.函数f(x)在x=-1处取得极大值
C.函数f(x)在x=-4处取得极值
D.函数f(x)只有一个极值点
核心题型·分类突破
D
【解析】由题中导函数的图象可得,当x≤2时,f'(x)≥0,函数f(x)单调递增;
当x>2时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.
所以函数f(x)的单调递减区间为(2,+∞),故A错误;
当x=2时函数取得极大值,故B错误;
当x=-4时函数无极值,故C错误;只有当x=2时函数取得极大值,故D正确.
【方法提炼】
由图象判断函数y=f(x)的极值要抓住的两点
(1)由y=f'(x)的图象与x轴的交点,可得函数y=f(x)的可能极值点.
(2)由导函数y=f'(x)的图象可以看出y=f'(x)的值的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性.两者结合可得极值点.
角度2 求函数的极值
[典例2](1)(2023·衡水模拟)函数f(x)=(x2-3x+1)ex的极大值为 ( )
A.-e2 B.5e-1 C.- D.-2e
B
(2)求下列函数的极值:
①f(x)=(x-5)2+6ln x;
②f(x)=x-aln x(a∈R).
【解析】①函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=x-5+=.
令f'(x)=0,解得x1=2,x2=3,
当x变化时,f(x),f'(x)的变化情况如下表:
x (0,2) 2 (2,3) 3 (3,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由上表可知,当x=2时,极大值f(2)=+6ln 2,
当x=3时,极小值f(3)=2+6ln 3.
②f'(x)=1-=,x>0.
若a≤0,则f'(x)>0恒成立,f(x)不存在极值.
若a>0,则x,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
所以f(x)的极小值为f(a)=a-aln a,无极大值.
x (0,a) a (a,+∞)
f'(x) - 0 +
f(x) 单调递减 极小值 单调递增
【方法提炼】 ——自主完善,老师指导
运用导数求可导函数y=f(x)的极值的一般步骤
(1)先求函数y=f(x)的________,再求其导数f'(x).
(2)求方程_______在f(x)定义域内的根.
(3)检查导数f'(x)在方程根的左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个
根处取得________;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得________.
提醒(1)导数为零的点不一定是极值点.
(2)在解答题中涉及极值问题要列出表格.
定义域
f'(x)=0
极大值
极小值
角度3 已知极值(点)求参数
[典例3](1)(2021·全国乙卷)设a≠0,若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点,则
( )
A.ab
C.aba2
D
【解析】当a>0时,根据题意画出函数f(x)的大致图象,如图1所示,观察可知b>a.
当a<0时,根据题意画出函数f(x)的大致图象,如图2所示,观察可知a>b.
综上,可知必有ab>a2成立.
(2)已知函数f(x)=x2+(a-1)x-aln x存在唯一的极值,且此极值不小于1,则实数a的取值范围为 .
(3)(2022·全国乙卷)已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点.若x1【解析】f'(x)=2ln a·ax-2ex,
因为x1,x2分别是函数f(x)=2ax-ex2的极小值点和极大值点,
所以函数f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上单调递减,在(x1,x2)上递增,
所以当x∈(-∞,x1)和(x2,+∞)时,f'(x)<0,
当x∈(x1,x2)时,f'(x)>0,
若a>1,当x<0时,2ln a·ax>0,2ex<0,
则此时f'(x)>0,与前面矛盾,故a>1不符合题意,
若0即方程ln a·ax=ex的两个根为x1,x2,
即函数y=ln a·ax与函数y=ex的图象有两个不同的交点,
因为0又因为ln a<0,
所以y=ln a·ax的图象由指数函数y=ax向下关于x轴作对称变换,然后将图象上的每个点的横坐标保持不变,纵坐标伸长或缩短为原来的|ln a|倍得到,如图所示,
设过原点且与函数y=g(x)的图象相切的直线的切点为(x0,ln a·),则切线的斜率为g'(x0)=ln 2a·,故切线方程为y-ln a·=ln 2a·(x-x0),则有-ln a·=-x0ln 2a·,解得x0=,则切线的斜率为ln2a·=eln2a,因为函数y=ln a·ax与函数y=ex的图象有两个不同的交点,所以eln 2a【一题多变】
若本例(2)变为f(x)存在两个极值点x1,x2(x1≠x2),则a的取值范围为 .
【方法提炼】
已知函数极值点或极值求参数的两个要领
(1)列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.
(2)验证:因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
【对点训练】
1.(2023·广州模拟)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(x-1)f'(x)的图象如图所示,则下列结论中正确的是 ( )
A.函数f(x)有极大值f(-3)和f(3)
B.函数f(x)有极小值f(-3)和f(3)
C.函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(-3)
D.函数f(x)有极小值f(-3)和极大值f(3)
D
【解析】由题图知,当x∈(-∞,-3)时,y>0,x-1<0 f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(-3,1)时,y<0,x-1<0 f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈(1,3)时,y>0,x-1>0 f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈(3,+∞)时,y<0,x-1>0 f'(x)<0,f(x)单调递减.
所以函数有极小值f(-3)和极大值f(3).
2.已知函数f(x)=2ln x+ax2-3x在x=2处取得极小值,则f(x)的极大值为 ( )
A.2 B.-
C.3+ln 2 D.-2+2ln 2
B
3.设a∈R,若函数y=x+aln x在区间(,e)上有极值点,则a的取值范围为 ( )
A. (,e) B. (-e,-)
C. (-∞,)∪(e,+∞) D.(-∞,-e)∪(-,+∞)
B
【加练备选】
1.(2022·南京模拟)已知函数f(x)=x(ln x-ax)在区间(0,+∞)上有两个极值,则实数a的取值范围为 ( )
A.(0,e) B. (0,) C. (0, D. (0,)
C
2.(2022·开封模拟)设函数f(x)=,若f(x)的极小值为,则a= .
题型二 利用导数求函数最值问题
[典例4](1)(2022·全国乙卷)函数f(x)=cos x+(x+1)sin x+1在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为 ( )
A.-, B.-, C.-,+2 D.-,+2
D
(2)(2021·新高考Ⅰ卷)函数f(x)=|2x-1|-2ln x的最小值为 .
(3)已知函数f(x)=ax+ln x,其中a为常数.
①当a=-1时,求f(x)的最大值;
②若f(x)在区间(0,e]上的最大值为-3,求a的值.
【解析】①易知f(x)的定义域为(0,+∞),
当a=-1时,f(x)=-x+ln x,f'(x)=-1+=,
令f'(x)=0,得x=1.
当00;
当x>1时,f'(x)<0.
所以f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数,
所以f(x)max=f(1)=-1,
所以当a=-1时,函数f(x)在(0,+∞)上的最大值为-1.
②f'(x)=a+,x∈(0,e],∈ [,+∞).
若a≥-,则f'(x)≥0,从而f(x)在(0,e]上是增函数,
所以f(x)max=f(e)=ae+1≥0,不合题意.
若a<-,令f'(x)>0,即a+>0,结合x∈(0,e],解得0令f'(x)<0,即a+<0,结合x∈(0,e],
解得-从而f(x)在(0,-)上为增函数,在(-,e]上为减函数,
所以f(x)max=f(-)=-1+ln(-).
令-1+ln(-)=-3,得ln(-)=-2,即a=-e2.
因为-e2<-,所以a=-e2即为所求.
故实数a的值为-e2.
【方法提炼】
求函数f(x)在闭区间[a,b]内的最值的方法
(1)若所给的问题中不含有参数,则只需求f'(x),并求f'(x)=0在区间[a,b]内的根,再计算使导数等于零的根的函数值,把该函数值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
(2)若所给的问题中含有参数,则需求f'(x),通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到函数f(x)的最值.
【对点训练】
1.已知函数f(x)=sin 2x+sin x,则f(x)的最小值是 ( )
A.- B. C.- D.
C
2.(2023·苏州模拟)若函数f(x)=x3+x2-在区间(a,a+5)内存在最小值,则实数a的取值范围是 ( )
A.[-5,0) B.(-5,0)
C.[-3,0) D.(-3,0)
C
【解析】由题意,f'(x)=x2+2x=x(x+2),当x<-2或x>0时,f'(x)>0;当-2f(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上单调递增,在(-2,0)上单调递减,所以函数f(x)的极小值为f(0)=-.令x3+x2-=-得x3+3x2=0,解得x=0或x=-3,作其图象如图,结合图象可知解得a∈[-3,0).
3.(2021·浙江高考)已知函数f(x)=x3-3x,x∈[0,2],则f(x)的最大值是 ,最小值是 .
【加练备选】
已知函数g(x)=aln x+x2-(a+2)x(a∈R).
(1)若a=1,求g(x)在区间[1,e]上的最大值;
(2)求g(x)在区间[1,e]上的最小值h(a).
【解析】(1)因为a=1,所以g(x)=ln x+x2-3x,所以g'(x)=+2x-3=,
因为x∈[1,e],所以g'(x)≥0,所以g(x)在[1,e]上单调递增,所以g(x)max=g(e)=e2-3e+1.
(2)g(x)的定义域为(0,+∞),g'(x)=+2x-(a+2)==.
①当≤1,即a≤2时,g(x)在[1,e]上单调递增,h(a)=g(1)=-a-1;
②当1<g()=aln-a2-a;
③当≥e,即a≥2e时,g(x)在[1,e]上单调递减,h(a)=g(e)=(1-e)a+e2-2e.
综上,h(a)=
题型三 生活中的优化问题
[典例5]中国高铁的快速发展给群众出行带来了巨大便利,极大促进了区域经济社会发展.已知某条高铁线路通车后,发车时间间隔t(单位:分钟)满足5≤t≤25,t∈N*,经测算,高铁的载客量与发车时间间隔t相关:当20≤t≤25时,高铁为满载状态,载客量为1 000人;当5≤t<20时,载客量会在满载基础上减少,减少的人数与(20-t)2成正比,且发车时间间隔为
5分钟时的载客量为100人.记发车间隔为t分钟时,高铁载客量为P(t).
(1)求P(t)的解析式;
(2)若该线路发车时间间隔为t分钟时的净收益Q(t)=P(t)-40t2+650t-2 000(元),当发车时间间隔为多少时,单位时间的净收益最大
【解析】(1)当5≤t<20时,不妨设P(t)=1 000-k(20-t)2,因为P(5)=100,解得k=4.
因此P(t)=
(2)①当5≤t<20时,Q(t)=P(t)-40t2+650t-2 000=-t3+500t-2 000,
设F(t)==-t2-+500,5≤t<20.
因为F'(t)=-2t+=,
所以当5≤t<10时,F'(t)>0,F(t)单调递增;
当10所以F(t)max=F(10)=200.
②当20≤t≤25时,Q(t)=-40t2+900t-2 000.
设F(t)==900-40(t+),20≤t≤25.
因为F'(t)=<0,此时F(t)单调递减,
所以F(t)max=F(20)=0.
综上,发车时间间隔为10分钟时,单位时间的净收益最大.
【方法提炼】
利用导数解决生活中的实际应用问题的一般步骤
提醒在利用导数解决实际问题时,若在定义域内只有一个极值,则这个值即为最优解.
【对点训练】
某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为
12 000π元(π为圆周率).
(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;
(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.
【解析】(1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh=200πrh元,底面的总成本为160πr2元,所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元.根据题意,得200πrh+160πr2=12 000π,所以h=(300-4r2),从而V(r)=πr2h=(300r-4r3).由题意得r>0,又由h>0可得r<5,故函数V(r)的定义域为(0,5).
(2)因为V(r)=(300r-4r3),所以V'(r)=(300-12r2).令V'(r)=0,解得r1=5,r2=-5(舍去).当r∈(0,5)时,V'(r)>0,故V(r)在(0,5)上为增函数;当r∈(5,5)时,V'(r)<0,故V(r)在(5,5)上为减函数.由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8.即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大.
【加练备选】
在某次水下科研考察活动中,需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业,根据以往经验,潜水员下潜的平均速度为v(米/单位时间),每单位时间的用氧量为[()3+1](升),在水底作业10个单位时间,每单位时间用氧量为0.9(升),返回水面的平均速度为(米/单位时间),每单位时间用氧量为1.5(升),记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y(升).
(1)求y关于v的函数解析式;
(2)若c≤v≤15(c>0),求当下潜速度v取什么值时,总用氧量最少.
【解析】(1)由题意,下潜用时(单位时间),
用氧量为[()3+1]×=+(升);
水底作业时的用氧量为10×0.9=9(升);
返回水面用时=(单位时间),用氧量为×1.5=(升),所以总用氧量y=++9(v>0).
(2)y'=-=,
令y'=0,得v=10.
当0当v>10时,y'>0,函数单调递增.
所以当0当c≥10时,函数在[c,15]上单调递增,此时v=c时,总用氧量最少.
综上可知,当0【思维导图·构网络】(共52张PPT)
第四章 导数及其应用
第一节 导数的概念及其意义、导数的运算
【课程标准】
1.理解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.
2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.
3.能利用导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数;能求简单的复合函数的导数.
知识梳理·思维激活
【必备知识·精归纳】
1.导数的概念
(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数记作______或_______.
f'(x0)==.
(2)函数y=f(x)的导函数
f'(x)=y'=.
2.导数的几何意义
函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的______,相应的切线
方程为_________________.
f'(x0)
斜率
y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)
点睛求曲线切线时,要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别,前者只有一条,而后者包括了前者.
3.基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)=c(c为常数) f'(x)=___
f(x)=xα(α∈Q且α≠0) f'(x)=_____
f(x)=sin x f'(x)=______
f(x)=cos x f'(x)=______
f(x)=ax(a>0且a≠1) f'(x)=______
f(x)=ex f'(x)=___
f(x)=logax(a>0,且a≠1)
f(x)=ln x
0
αxα-1
cos x
-sin x
axln a
ex
4.导数的运算法则
若f'(x),g'(x)存在,则有[f(x)±g(x)]'=__________;
[f(x)g(x)]'=________________;
'=(g(x)≠0);
[cf(x)]'=______.
f'(x)±g'(x)
f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
cf'(x)
5.复合函数的定义及其导数
(1)一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的
函数,那么称这个函数为函数y=f(u)与u=g(x)的复合函数,记作y=_______.
(2)复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=_______,
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
点睛在复合函数求导中要分清每一步求导是哪个变量对哪个变量的求导,不能
混淆.
f(g(x))
y'u·u'x
【基础小题·固根基】
1.(教材变式)(多选题)下列求导运算正确的有 ( )
A.(sin x)'=cos x B. ()'=
C.(log3x)'= D.(ln x)'=
教材改编 易错易混
1,2,3,4 5,6
AD
2.(教材提升)已知f(x)=x(2 023+ln x),若f'(x0)=2 024,则x0= ( )
A.e2 B.1 C.ln 2 D.e
B
3.(教材变式)函数f(x)=ex+在x=1处的切线方程为 .
答案:y=(e-1)x+2
6.(混淆在点P处的切线和过点P的切线)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则a的值为 ;b的值为 .
题型一 导数的概念
[典例1](1)如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则
= .(用数字作答)
核心题型·分类突破
答案:-2
(2)(2020·北京高考)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改,设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用-的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱,已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.
给出下列四个结论:
①在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;
②在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;
③在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;
④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是 .
答案:①②③
【解析】-表示区间端点连线斜率的相反数,在[t1,t2]这段时间内,甲的斜率比乙的小,所以甲的斜率的相反数比乙的大,因此甲企业的污水治理能力比乙企业强,①正确;
在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,甲企业在[t1,t2]这段时间内,甲的斜率最小,其相反数最大,即在[t1,t2]的污水治理能力最强,④错误;
在t2时刻,甲切线的斜率比乙的小,所以甲切线的斜率的相反数比乙的大,甲企业的污水治理能力比乙企业强,②正确;
在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下,所以都已达标,③正确.
【对点训练】
1.已知函数f(x)可导,则= ( )
A.f'(x) B.f'(2) C.f(x) D.f(2)
B
2.某市开始全面实施垃圾分类,家庭厨余垃圾的分出量不断增加.已知甲、乙两个小区在[0,t]这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量Q与时间t的关系如图所示.给出下列四个结论:
①在[t1,t2]这段时间内,甲小区的平均分出量比乙小区的平均分出量大;
②在[t2,t3]这段时间内,乙小区的平均分出量比甲小区的平均分出量大;
③在t2时刻,甲小区的分出量比乙小区的分出量增长的慢;
④甲小区在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[t2,t3]的平均分出量最大.
其中所有正确结论的序号是 ( )
A.①② B.②③ C.①④ D.③④
B
【解析】①在[t1,t2]这段时间内,甲小区的增长量小于乙小区的增长量,所以甲小区的平均分出量小于乙小区,说法错误.②在[t2,t3]这段时间内,甲小区的增长量小于乙小区的增长量,所以乙小区的平均分出量大于甲小区,说法正确.③在t2时刻,乙小区的图象比甲小区的图象陡,瞬时增长率大,说法正确.④甲小区的图象大致为一条直线,所以三个时间段的平均分出量相等,说法错误.
题型二 导数的运算
[典例2](1)下列求导运算正确的是 ( )
A. ()'=- B.(x2ex)'=2x+ex
C.(xcos x)'=-sin x D. (x-)'=1-
A
(2)(2020·全国卷Ⅲ)设函数f(x)=.若f'(1)=,则a= .
(3)求下列函数的导数:
①y=(3x3-4x)(2x+1);
②f(x)=;
③f(x)=;
④f(x)=cos(3x2-).
【解析】①方法一:y=(3x3-4x)(2x+1)=6x4+3x3-8x2-4x,所以y'=24x3+9x2-16x-4.
方法二:y'=(3x3-4x)'·(2x+1)+(3x3-4x)·(2x+1)'=(9x2-4)·(2x+1)+(3x3-4x)·2=24x3+9x2-16x-4.
②f'(x)= (+)'=()'+()'=+
==.
③设y=,u=1-2x2,则f'(x)=()'(1-2x2)'=(-)·(-4x)=-(1-2x2·(-4x)=2x(1-2x2.
④f'(x)=-sin(3x2-(3x2-)'
=-6xsin(3x2-).
【方法提炼】
(1)连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导.
(2)分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导.
(3)对数形式:先化为和、差的形式,再求导.
(4)根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导.
(5)三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导.
【对点训练】
1.函数y=sin 2x-cos 2x的导数y'等于 ( )
A.2cos(2x-) B.cos 2x+sin x
C.cos 2x-sin 2x D.2cos(2x+)
A
2.求下列函数的导数:
(1)y=tan x;
(2)y=x;
(3)y=;
(4)y=xsin(2x+)cos(2x+).
【解析】(1)y'=()'==.
(2)因为y=x=,所以y'=()'=.
(3)y'===.
(4)因为y=xsin(2x+)cos(2x+)=x·sin(4x+π)=-xsin 4x,所以y'=-sin 4x-x·4cos 4x=
-sin 4x-2xcos 4x.
【加练备选】
1.(2023·济南模拟)已知函数f'(x)=exsin x+excos x,则f(2 023)-f(0)等于 ( )
A.e2 023cos 2 023 B.e2 023sin 2 023
C. D.e
B
【解析】因为f'(x)=exsin x+excos x,
所以f(x)=exsin x+k(k为常数),
所以f(2 023)-f(0)=e2 023sin 2 023.
2.(2022·湖南模拟)已知函数f(x)=x2+f(0)·x-f'(0)·cos x+2,其导函数为f'(x),则 ( )
A.f(0)=-1 B.f'(0)=1
C.f(0)=0 D.f'(0)=-1
【解析】因为f(x)=x2+f(0)·x-f'(0)·cos x+2,所以f(0)=2-f'(0).
因为f'(x)=2x+f(0)+f'(0)·sin x,
所以f'(0)=f(0),故f'(0)=f(0)=1.
B
题型三 导数的几何意义
角度1 求切线方程
[典例3](1)金榜原创·易错对对碰
已知曲线f(x)=x3-x,则
①曲线在点(1,0)处的切线方程为 ;
答案:2x-y-2=0
②曲线过点(1,0)的切线方程为 .
答案:2x-y-2=0或x+4y-1=0
【解析】f'(x)=3x2-1.
①曲线在点(1,0)处的切线的斜率为k=f'(1)=2.
所以所求切线方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.
②设切点为P(x0,-x0),则k切=f'(x0)=3-1,
所以所求切线方程为y-+x0=(3-1)(x-x0),又切线过点(1,0),
所以-+x0=(3-1)(1-x0),
解得x0=1或-.
故所求切线方程为y=2(x-1)或y-=-
即2x-y-2=0或x+4y-1=0.
(2)(2021·全国甲卷)曲线y=在点(-1,-3)处的切线方程为 .
答案:5x-y+2=0
(3)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y=ln |x|过坐标原点的两条切线的方程为 , .
【方法提炼】
求曲线y=f(x)过点P的切线方程的方法
(1)当点P(x0,y0)是切点时,切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0);
(2)当点P(x0,y0)不是切点时,可分以下几步完成:
第一步:设出切点坐标P'(x1,f(x1));
第二步:写出过点P'(x1,f(x1))的切线方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1);
第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程求出x1;
第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1)可得过点P(x0,y0)的切线方程.
角度2 求切点坐标
[典例4](1)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点Ρ处的切线垂直,则点P的坐标为 .
答案:(1,1)
(2)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是 .
答案:(e,1)
【方法提炼】
求切点坐标的思路
(1)已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,再让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.
(2)已知曲线外一点求切点的一般思路是先设出切点坐标,列出切线方程,将切点代入曲线方程,已知点代入切线方程联立方程求出切点坐标.
角度3 求参数的值(范围)
[典例5](1)(2023·青岛模拟)直线y=kx+1与曲线f(x)=aln x+b相切于点P(1,2),则2a+b等于 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
A
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是 .
答案:(-∞,-4)∪(0,+∞)
【方法提炼】
利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.
提醒(1)注意曲线上横坐标的取值范围;
(2)谨记切点既在切线上又在曲线上.
【对点训练】
1.已知曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线与直线x+2y-1=0垂直,则点P的坐标为 ( )
A.(1,3) B.(-1,3)
C.(1,3)或(-1,3) D.(1,-3)
C
2.(2021·新高考Ⅰ卷)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则 ( )
A.ebC.0D
【解析】设切点为(x0,y0),因为y'=ex,所以曲线y=ex在点(x0,y0)处的切线方程为
y-=(x-x0).又因为点(a,b)在此切线上,所以b-=(a-x0),
整理得b=(a-x0+1).令f(x)=(a-x+1)ex,所以f'(x)=(a-x)ex,则当x0,函数f(x)在(-∞,a)上单调递增;当x>a时,f'(x)<0,函数f(x)在(a,+∞)上单调递减,
所以函数f(x)在x=a处取得最大值f(a)=ea,且当x→+∞时,f(x)→-∞,当x→-∞时,f(x)→0.
因为过点(a,b)的切线有两条,即方程b=(a-x0+1)有两个不相等的实数根,
所以03.已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为 .
答案:x-y-1=0
【加练备选】
1.(2022·哈尔滨模拟)已知M是曲线y=ln x+x2+(1-a)x上的任一点,若曲线在M点处的切线的倾斜角均是不小于的锐角,则实数a的取值范围是 ( )
A.[2,+∞) B.[4,+∞)
C.(-∞,2] D.(-∞,4]
C
【解析】因为y=ln x+x2+(1-a)x,所以y'=+x+1-a,
因为曲线在M点处的切线的倾斜角均是不小于的锐角,
所以y'≥tan=1对于任意的x>0恒成立,
即+x+1-a≥1对任意x>0恒成立,
所以x+≥a,又x+≥2,
当且仅当x=,即x=1时,等号成立,
故a≤2,所以a的取值范围是(-∞,2].
2.(2022·成都模拟)已知点P是曲线y=-sin x(x∈[0,π])上的动点,点Q在直线x-2y-6=0上运动,则当|PQ|取最小值时,点P的横坐标为 ( )
A. B. C. D.
C
【思维导图·构网络】
1.解题关键.
(1)导数的几何意义:切线的斜率k等于导函数在切点处的函数值;
(2)两个等量关系:切点在切线上,又在曲线上.
2.求公切线的思路:先解决切线和第一条曲线相切,然后再解决切线和第二条切线相切即可.
类型一 判断公切线的条数
[典例1]曲线y=-(x<0)与曲线y=ln x的公切线的条数为 .
答案:1
类型二 求两曲线的公切线
[典例2]已知f(x)=ex(e为自然对数的底数),g(x)=ln x+2,直线l是f(x)与g(x)的公切线,则直线l的方程为 .
答案:y=ex或y=x+1v
类型三 求参数的值或范围
[典例3]若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln (x+1)的切线,则b=
( )
A.1 B. C.1-ln 2 D.1-2ln 2
C
[典例4]已知曲线f(x)=ln x+1与g(x)=x2-x+a有公共切线,则实数a的取值范围为 .
答案:[1,+∞)